初高中数学衔接知识数与式
初高中教材衔接第一讲数与式(初高中衔接教材)
第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数，用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简称为数与式． 代数式中有整式 （多项式、 单项式） 、分式、 根式．它们拥有实数的属性， 能够进行运算． 在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完整平方公式），而且知道乘法公式能够使多项式的运算简易．因为在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，所以本节中将拓展乘法公式的内容，增补三个数和的完整平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情况，但在初中却没有波及，所以本节中要增补．鉴于相同的原由，还要增补“繁分式”等相关内容．一、乘法公式【公式 1】平方差公式： a 2 b 2(a b)( a b)【公式 2】完整平方公式： ( a b) 2 a 2 2ab b 2【公式 3】完整立方公式：( a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2b 3【公式 4】 ( a b c) 2a 2b 2c 2 2ab 2bc 2ca （完整平方公式 ）证明 ： (a b c) 2[( a b) c]2(a b) 22( a b)c c 2a 2 2abb 2 2ac2bc c 2 a 2b 2c 22ab2bc2ca .等式建立【例 1】计算： ( x 22x1)231] 2 解：原式 =[ x 2(2x)3(x 2 )2(2x)2(1)22 x 2 (2) x2x 2 12 1 (2 x)333 x4 2 2x 38 x 2 2 2 x1 .3 3 9说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂摆列．【公式 5】 ( ab)(a 2ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方和公式 )证明 : (a b)(a 2ab b 2 ) a 3 a 2 b ab 2 a 2b ab 2 b 3a 3b 3 .【公式 6】 ( a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方差公式 )证明 ： (a b)( a 2abb 2 ) [ a ( b)][ a 2a( b)( b)2 ]a 3( b)3 a 3 b 3 .【例 2】计算：（1） (4m)(164m m 2 )（2） ( 1 m1 n)( 1 m2 1 mn 1 n 2 )5 2 25 10 4 （ 3） (a 2)(a2)(a 4 4a 216) （ 4） ( x 2 2xy y 2 )( x 2 xy y 2 ) 2解：（ 1）原式 = 43m 364 m 3 .（ 2）原式 = ( 1m)3( 1n) 3 1 m 3 1 n 3 .52 1258（ 3）原式 = (a 2 4)(a 4 4a 2 42 ) (a 2 )3 43 a 664 .（ 4）原式 = ( xy) 2 ( x 2 xy y 2 ) 2 [( xy)( x 2 xyy 2 )] 2( x 3 y 3 ) 2 x 6 2x 3 y 3y 6 .说明 ：在进行代数式的乘法、除法运算时，要察看代数式的构造能否知足乘法公式的构造．【例 3】已知 x 23x 1 0 ，求 x 31的值．3x解：x 23x 1 0x 0x 1 3x原式 =( x 1 )( x 21 1 )(x11 )2 3]3(323) 18x x 2 x )[( xx说明 ：此题若先从方程 x 2 3x 1 0 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．此题则依据条件 式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申 ： a 3 b 3c 33abc (ab c)( a 2 b 2c 2 ab bcca )二、指数式当 nN 时， a na aa .n 个 a当 nQ 时，⑴零指数 a 01(a0) ， ⑵负指数 a n1n (a 0) .anm a n(a⑶分数指数 a m0, m, n 为正整数 ).幂运算法例： (1) m a n a mn,(2)( a m ) n a mn,(3)( ab) nnb n( ,0, ,).aaa bm n Z213 【例 4】求以下各式的值：83， 100 2 ， (16)481222322211 13解: 83(23)334； 100 21 1 1 ； (16) 4100 2 (102)2108124)43342 33327 ．33238【例 5】计算以下各式⑴ (22 11 1 ) ( 315 )1 383b 2)( 6a 2b 3a 6b 6 ； ⑵ ( p 4 q 8)a．2111(15)2 1 1 1 1 5 解: ⑴ (2a 3b 2 )(6a 2 b 3 ) 3a 6 b 6 4a32 6b2364ab 0 4a ；1313p 2⑵ ( p 4q 8) 8 ( p 4) 8( q 8)8p 2q3．q3三、根式式子a (a0) 叫做二次根式，其性质以下：(1)( a )2 a( a 0)(3)abab( a 0, b 0)(2) a 2 | a | (4)bb(a 0,b 0)aa假如有 x n a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，此中 n 为大于 1的整数．当 n 为奇数时， n a n a ，当 n 为偶数时， n a n | a | a, a0 .a, a 0 【例 6】化简以下各式 ：(1)( 3 2) 2( 3 1) 2 (2)(1 x) 2 (2 x) 2 ( x 1)解：(1)原式 =| 32 | |3 1| 23 3 1 1(2)原式 =| x1| | x2 ( x 1) (x 2) 2 x3 ( x 2)|1) ( x 2) 1 (1 x 2)( x说明 ：请注意性质 a 2| a | 的使用：当化去绝对值符但字母的范围未知时，要对字母的取值分类议论． 【例 7】计算 ( 没有特别说明，本节中出现的字母均为正数 ) ：(1)3 3(2)1 1 (3)2 xx 38x2a b2解：(1)原式 =3(23)3(2 3) 3 3(23)(2 3)22 63(2)原式 = a ba 2bab 2abab(3)原式 =22x x x 22 22 x2xx x 2 2 x 3 2x x x .2 2说明 ： (1) 二次根式的化简结果应知足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2) 二次根式的化简常有种类有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因 式，而后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式( 如3 ) 或被开方数有分母 ( 如 x) ．这时232 可将其化为a形式 ( 如x可化为x) ，转变为 “分母中有根式”的状况．化简时，要把分母中的根b22式化为有理式， 采纳分子、 分母同乘以一个根式进行化简．( 如3 化为3(23)，此中2 333)(22 (23)与 2 3 叫做互为有理化因式 ) ．四、分式当分式 A的分子、分母中起码有一个是分式时，A就叫做 繁分式 ，繁分式的化简常用以下两种方法：BB(1) 利用除法法例； (2) 利用分式的基天性质．【例 8】化简x1 xx1xx解法一 ：原式 =xx xx x( x 1)x 1 1 x(1 x) x x x 2x xx 2xxx1 ( x 1)(x 1)xx 1x 2 x 1x解法二 ：原式 =x x xx( x1) x 1(1 x) x x(1 x)x x2x x xx1x1x( xxx2x 1)x说明 ：解法一的运算方法是从最内部的分式下手，采纳通分的方式逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基天性质 A A m进行化简．一般依据题目特色综合使用两种方法．BBm【例 9】化简x 23x 9 6xx 1 x 3 279 x x 3 6 2x解：原式 =x 2 3x 96xx 1 1 6x 13x 9)x(9 x 3 )2(3 x) x 3(x 3)(x 3)2( x 3)( x 3)(x 22( x3) 12 ( x 1)(x 3)( x 3) 23 x .2( x 3)(x 3)2( x 3)( x3) 2( x 3)说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行， 当分子、 分母为多项式时， 应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．。
初高衔接第一章数与式的运算
初高衔接第一章数与式的运算在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式。
代数式中有整式(包括多项式与单项式)、分式、根式。
它们具有实数的属性,可以进行运算。
在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本章中我们将拓展乘法公式的内容,补充立方和、立方差等公式,在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本章中将补充这方面内容以及二次根式的化简方法,基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容. 一.乘法公式的加强我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b 2; (2)完全平方公式 (a ±b)2=a 2±2ab+b 2. 我们还可以通过证明得到下列乘法公式:(1)立方和公式(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3; (2)立方差公式(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3; (3)三数和平方公式(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac);(4)两数和立方公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3; (5)两数差立方公式(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.在实际应用中,还会用到公式的变形:a 2+b 2=(a ±b)2+̅2ab; ab=14[(a+b)2-(a-b)2]; a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b). 例1计算(x 2-√2x+13)2. 例2(1)已知a=2020,b=2021,c=2022,求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值. (2)已知x 2-3x+1=0,求x 3+1x3的值例3计算:(1)(4+m)(16-4m+m 2) (2)(15m-12n)(125m 2+110mm+14n 2) (3)(a+2)(a-2)(a 4+4a 2+16) (4)(x 2+2xy+y 2)(x 2-xy+y 2)2[随堂练习1]1.填空(1)19a 2-14b 2=(12b+13a)( ); (2)(4m+ )2= 16m 2+4m+( );(3)(a+2b-c)2=a 2+4b 2+c 2+( ); (4)1125m 3-18n 3=(15m-12n)( ).2.设x=(t+1t)3,y=t 3+1t3+6，则对于任意的t>0,x 与y 的大小关系为( ) A. x>y B. x<y C. x ≥y D. x ≤y3.已知a+b+c=0,求a(1b +1c)+b(1c +1a)+c(1a +1b)的值.二.二次根式:一般地,形如√a (a ≥0)的代数式叫做二次根式。
高中数学初高衔接教材精编版 第一讲 数与式的运算(选上)
高中数学初高衔接教材精编版第一讲数与式的运算（选上）第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?等式成立212x?)23122解：原式=[x?(?2x)?]3【例1】计算：(x?111?(x2)2?(?2x)2?()2?2x2(?2)x?2x2??2??(?2x)3338221?x4?22x3?x2?x?339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b)2222322223332233 1解：原式=[a?(?b)][a2?a(?b)?(?b)2]?a3?(?b)3?a3?b3 我们得到：【公式3】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）(4?m)(16?4m?m2)（2）(m?151111n)(m2?mn?n2) 225104（3）(a?2)(a?2)(a4?4a2?16) （4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2 解：（1）原式=4?m?64?m（2）原式=(m)?(n)?3331531231313m?n 1258（3）原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64 （4）原式=(x?y)2(x2?xy?y2)2?[(x?y)(x2?xy?y2)]2?(x3?y3)2?x6?2x3y3?y6说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．1的值． x312解：?x?3x?1?0 ?x?0 ?x??3x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18xxxx2【例4】已知x?3x?1?0，求x?3 说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知a?b?c?0，求111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b?原式=a?b?ca?ca?b?b??c? bcacaba(?a)b(?b)c(?c)a2?b2?c2????? ①bcacababc 2?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc?a3?b3?c3?3abc ②，把②代入①得原式=?3abc??3 abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)二、根式式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0) (3)(2)a2?|a|bb?(a?0,b?0) aaab?a?b(a?0,b?0) (4)【例6】化简下列各式： (1)(3?2)2?(3?1)2 (2)(1?x)2?(2?x)2 (x?1)解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)(2) 原式=|x?1|?|x?2|??(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) ?说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)32?3 (2)11? ab(3) 2x?x3?8x 2解：(1) 原式=3(2?3)(2?3)(2?3)?3(2?3)22?3?6?33a?ba2b?ab2?(2) 原式= abab(3) 原式=22x?x?x2?2?22x?2x?xx?22x?32x?xx 2?2说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数3或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如32?3)或被开方数有分母(如axxx)．这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，22b2要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如32?3化为3(2?3)(2?3)(2?，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)．3)【例8】计算：(1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?b)2(2)aa?ab?aa?ab解：(1) 原式=(1?b)2?(a)2?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1(2) 原式=aa(a?b)?aa(a?b)??1a?b?1a?b?(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)2a a?b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x?2?32?3?,y?2?32?3，求x3?y3的值．解：x?2?32?3(2?3)222?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两BBx 1?xx?1x?x种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简4感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初高中数学衔接专题
解得： x 1．综上所述，原不等式的解为1 x 3 ．
解法 2： x − 2 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离，所以不等式 x − 2 1的几何意义即
为 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1，观察数轴可知坐标为 x 的点在坐标为 3 的点的
左侧，在坐标为 1 的点的右侧．所以原不等式的解为1 x 3 ．
原式= a b + c + b a + c + c a + b = a(−a) + b(−b) + c(−c) = − a2 + b2 + c2 ①
bc
ac
ab bc ac ab
abc
a3 + b3 = (a + b)[(a + b)2 − 3ab] = −c(c2 − 3ab) = −c3 + 3abc
[公式 3]
= a3 − b3 (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1]式子 a(a 0) 叫做二次根式，其性质如下：
(1) ( a)2 =
；(2) a2 =
；(3) ab =
[2] 平 方 根 与 算 术 平 方 根 的 概 念 ： x = a(a 0) ，其中 a (a 0) 叫做 a 的算术平方根． [3]立方根的概念： x= 3 a
； (4) b =
．
a
叫做 a 的平方根，记作
叫做 a 的立方根，记为
4．分式 分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子 都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以 分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
最新初高中数学衔接知识点专题(一)
初高中数学衔接知识点专题（一）★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；(2)= ；(3) = ；(4)= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作0)x a =≥，其(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x +（2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3） （4）例6 设x y ==，求33x y +的值．例7 化简：（1）11xx x x x -+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+（1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．【巩固练习】1． 解不等式 327x x ++-<2．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4．设x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1)3÷ (2)(3)(4) ÷1A C |x －1||x －3|● 各专题参考答案 ●专题一数与式的运算参考答案例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x＞4．例2（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．（2）原式=33331111()()521258m n m n -=-（3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=-（4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++ 例3解：2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x+-+=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab+++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ①33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abcabc-=-例5解：（1）原式6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式=（4） 原式===例6解：77 14,1x y x y xy ===+=-⇒+== 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．35．444222222222x y z x y x z y z ---+++ 6．()(((13,2,3,4-施工组织设计和专项施工方案审查的基本内容一、施工组织设计和专项施工方案审查的基本内容 施工组织设计：1编审程序应符合相关规定；2施工进度、施工方案及工程质量保证措施应符合施工合同要求； 3资源（资金、劳动力、材料、设备）供应计划应满足工程施工需要； 4安全技术措施应符合工程建设强制性标准； 5施工总平面布置应科学合理。
。初高衔接专题1数与式的运算
专题一： 数与式的运算
制卷：王小凤
学生姓名
一．绝对值
【知识归纳】
绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝 对值仍是零．即
a, a 0, | a | 0, a 0,
a, a 0. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．
b3 ．
b c ；) a c
【练习提高 1】
1．填空：
（ 1） 1 a2 1 b2 (1 b 1 a) （
94
23
（ 2） (4m
)2 16m2 4m (
）； )；
(3 ) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 (
)．
2．选择题：
（1）若 x2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于 (
)
2
cd
2m
np
例 1 若 5x 4 A B ，求常数 A, B 的值． x( x 2) x x 2
解： ∵ A B A( x 2) Bx ( A B) x 2 A 5x 4 ，
x x2
x(x 2)
x( x 2)
x( x 2)
A B 5, ∴
2 A 4,
解得 A 2, B 3．
例 2 （ 1）试证： 1
___；
（3） 4 24 6 54 3 96 2 150 __
___；
（4）若 x
5 ，则 x 1
x1
x1
x1 ______
2
x1 x1 x1 x1
__．
2．等式 x
初高中数学衔接 第1课 数与式的运算 1
初高中数学衔接第1课数与式的运算 1----7cd2d8d8-7158-11ec-a923-7cb59b590d7d初高中数学衔接第1课数与式的运算1初中与高中数学衔接第1课数与公式的运算&LPAR；1&rpar；第1课数与式的运算（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的对数值，零的绝对值仍然是零⎨0，a＝0，⎨绝对值的几何意义：数字的绝对值是从其点到数字轴原点的距离。
两个数字之差绝对值的几何意义：| A-B |表示数字轴上数字A和数字B之间的距离。
[示例1]表示| x+1 |和| x-1的几何意义|【例2】化简：(1)|3x－2|；(2)|x＋1|＋|x－3|；x－4x＋4；[示例3]求解以下方程：（1）| x-1 |=1；（2） | x2－1 |＝1。
【例4】解下列不等式．(1)|2x＋3|≤2；(2)|x－1|＋|x－3|>4.（4） t＋4t＋4。
【例5】画出下列函数的图象．(1)y＝|x|；(2)y＝|x－2|＋|x＋2|.1.平方差公式：（a+b）（a-b）=A2-B2。
完全平方公式：（a±b）2=A2±2Ab+b23。
三次和公式：（a+b）（a2ab+B2）=A3+B3 4。
立方差分公式：（a-b）（A2+AB+B2）=a3-b35．三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)．6．两数和立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.7．两数差立方公式：(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.【例6】因式分解．(1)x3－1；(2)x3＋1.[示例7]计算：（x+1）（x-1）（x2-x+1）（x2+x+1）【例8】已知：x＋y＝1，求x3＋y3＋3xy的值．[示例9]已知x2-3x+1=0，找到X3+1【例10】设x＝2323，y2－3X3+Y3的值1．下列叙述正确的是()a、如果a=B，那么a=BB。
初高中数学衔接教材：第2课 数与式的运算(2)及答案
一、比例与齐次式我们在式的运算中，常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式，这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向；齐次式常常会同除以某一个数，转化过程在本质上起到消元作用，从而会出现整体思想．例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证：此三角形为直角三角形．例2 已知：a b ＝c d. 求证：(1)a －b b ＝c －d d ；(2)a ＋b b ＝c ＋d d； (3)a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d .例3 已知△ABC 中，有AB AD ＝AC AE ，求证：AD DB ＝AE EC . 例4 已知：a ＋b ＝1且1b ＝2a，求a 和b . 例5 已知y ＝2x (x ≠0)．(1)求x 2－3xy ＋y 2xy ＋y 2的值． (2)求证：x 2＋32xy －y 2＝0. 例6 已知：x ∶y ∶z ＝1∶2∶3.求x 3－yz 2＋3z 3xyz的值．二、二次根式 一般地，形如a (a ≥0)的代数式叫做二次根式．其运算性质如下：1．(a )2＝a (a ≥0)．2.a 2＝|a |.3.ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．4. b a ＝b a(a >0，b ≥0)． 例7 将下列式子化为最简根式． (1)12b ；(2)a 2b (a ≥0)； (3)4x 6y (x <0)．例8 试比较下列各组数的大小． (1)12－11和11－10； (2)26＋4和22－ 6. 例9 化简：(3＋2)2 012·(3－2)2 013.例10 化简：(1)9－45；(2) x 2＋1x 2－2(0<x <1)． 例11 已知：x ＝3－23＋2，y ＝3＋23－2. 求：3x 2－5xy ＋3y 2的值．例12 已知：x >0，y >0，x ＋2xy －15y ＝0. 求x －y x ＋xy的值． 例13 化简：x 2＋6x ＋9＋x 2－4x ＋4.1．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则k ＝________. 2．已知：x 2－3xy ＋2y 2＝0，则x y＝________. 3．已知x ∶y ＝1∶2，求：x 2－3xy ＋4y 2x 2＋y 2的值．4．已知：x 2＋5xy －6y 2＝0，求：2x ＋3y 2x －y的值．5．已知三角形的三边之比为5∶12∶13.求证：此三角形为直角三角形．6．已知：a 2＝b 2＋c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)b a ＝12，求c a 的值．(2)b a ≥12，求c a 的取值范围．7．已知：a 2＋b 2＝c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)c a ＝2，求b a的值． (2)c a ≥2，求b a的取值范围．8．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求a 2＋b 2－c 22ab的值．9．化简下列各式．(1) 8－28； (2)12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋1100＋99.10．已知：x ＝3－52，求x 2x 4＋x 2＋1的值．11．计算：23×6－(2－5)2＋15＋2.12．已知：x ＝a ＋1a (a >0)，化简：x ＋2＋x －2x ＋2－x －2.答案精析例1 证明 设三角形的三边分别为a ，b ，c ，∵a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，k >0，∵a 2＋b 2＝9k 2＋16k 2＝(5k )2＝c 2，∴三角形为直角三角形．例2 证明 (1)∵a b ＝c d ，∴a b －1＝c d －1，a －b b ＝c －d d. (2)∵a b ＋1＝c d ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋d d. (3)设a b ＝c d＝k ，则a ＝kb ，c ＝kd ， a ＋cb ＋d ＝kb ＋kd b ＋d＝k ，∴a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d . 例3 证明 ∵AB AD ＝AC AE ，由例2可知：AB －AD AD ＝AC －AE AE ，∴DB AD ＝EC AE ，即AD DB ＝AE EC . 例4 解 ∵1b ＝2a ＝1＋2a ＋b ＝3，∴b ＝13，a ＝23. 例5 (1)解 原式＝1－3y x ＋(y x )2y x ＋(y x)2＝－16. (2)证明 原式＝x 2[1＋32(y x )－(y x)2]＝0. 例6 解 设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，原式＝k 3－2k ·(3k )2＋3(3k )3k ·2k ·3k ＝323. 例7 解 (1)23b (2)a b (3)－2x 3y .例8 解 (1)∵12＋11>11＋10>0， ∴112＋11<111＋10，∴12－11<11－10.(2)∵22－6＝222＋6，又∵4>22， ∴24＋6<222＋6＝22－ 6. 例9 解 原式＝(3＋2)2 012(3－2)2 012(3－2)＝3－ 2.例10 解 (1)原式＝ 22－45＋52 ＝(2－5)2＝|2－5|＝5－2. (2)原式＝(x －1x )2＝|x －1x |＝1x －x (∵0<x <1)． 例11 解 xy ＝1，x ＋y ＝10，原式＝289.例12 解 x ＋2xy －15y ＝0，(x ＋5y )(x －3y )＝0，∵x ＋5y >0，∴x ＝9y ，原式＝23. 例13 解 原式＝|x ＋3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1 (x ≤－3)5 (－3<x <2)2x ＋1 (x ≥2).强化训练1.122.2或1 3．解 由y ＝2x ，得：原式＝x 2－3x ×(2x )＋4(2x )2x 2＋(2x )2＝115. 4．解 由条件得：x ＝－6y 或x ＝y ，∴原式＝913或5. 5．证明 设a ∶b ∶c ＝5∶12∶13，则a ＝5k ，b ＝12k ，c ＝13k (k >0) a 2＋b 2＝(25＋144)k 2＝(13k )2＝c 2.所以三角形为直角三角形．6．解 (1)c a ＝32 (2)0<c a ≤327．解 (1)c 2a 2＝2,1＋(b a )2＝2，(b a )2＝1，b a＝1(∵a >0，b >0) (2)c 2a 2≥2,1＋b 2a 2≥2，(b a )2≥1，b a≥1(∵a >0，b >0)． 8．解 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，原式＝－14.9．解 (1)7－1；(2)910．解 x 2＝7－352，1x 2＝7＋352，x 2＋1x 2＝7，原式＝1x 2＋1x 2＋1＝18. 11．解 原式＝23×2×3－|5－2|＋(5－2)＝2. 12．解 x ＋2＝(a ＋1a )2＝a ＋1a，x －2＝|a －1a |， a >1时，x －2＝a －1a ，原式＝a ＋1a ＋(a －1a )a ＋1a －(a －1a)＝a .a ＝1时，x ＝2，原式＝1. 0<a <1时，x －2＝1a －a ，原式＝a ＋1a ＋1a －a a ＋1a ＋a －1a ＝1a .∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a >11 a ＝11a 0<a <1。