具双峰分布特征的全程产量Weibull预测模型研究及应用

第６卷第２期　油气藏评价与开发　ＲＥＳＥＲＶＯＩＲ　ＥＶＡＬＵＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＤＥＶＥＬＯＰＭＥＮＴ　２０　１　６年４月　

具双峰分布特征的全程产量Ｗｅｉｂｕｌｌ　预测模型研究及应用　

严永滔，雷登生，袁迎中，严文德，李继强　（重庆科技学院复杂油气田勘探开发重庆市重点实验室，重庆４０１３３１）　

摘要：随着新区投产、开发调整和三次采油等方案的实施，实际油藏的产量变化曲线可能出现“双峰”形态，常规的Ａｒｐｓ产　量递减分析方法和以广义翁氏模型为代表的全程产量预测模型难以准确地描述具有双峰分布特征的产量变化规律。针　对不同的单峰产量分布形态，以Ｗｅｉｂｕｌｌ模型为基础，引入了不同单峰分布概率密度函数及加权因子，建立了具双峰形态的　二重二参数Ｗｅｉｂｕｌｌ混合分布模型。通过对双峰产量变化曲线进行处理，运用图解法对参数进行估计，求得了二重二参数　Ｗｅｉｂｕｌｌ混合分布模型的５个未知参数。实例计算结果表明：该方法计算结果与实际数据非常吻合，具有较高的精度。该　方法在类似的具有双峰分布特征的油田产量预测中具有很好的应用前景。　关键词：双峰分布；Ｗｅｉｂｕｌｌ模型；图解法；产量预测　中图分类号：ＴＥｌ５５　文献标识码：Ａ　

Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｂｉｍｏｄａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　

Ｙａｈ　Ｙｏｎｇｔａｏ，Ｌｅｉ　Ｄｅｎｇｓｈｅｎｇ，Ｙｕａｎ　Ｙｉｎｇｚｈｏｎｇ，Ｙａｎ　Ｗｅｎｄｅ　ａｎｄ　Ｌｉ　Ｊｉｑｉａｎｇ　（ＣｈｏｎｇｑｉｎｇＭｕｎｉｃｉｐａｌＫｅ）　Ｌａｈｏｒａｔｏｚ？　ｏｆＣｏｍｐｌｅｘ　ＯｉｌａｎｄＧａｓ　ＦｉｅｌｄｓＥｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　ａｎｄＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉ０　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４０１３３１．Ｃｈｉｎａ１　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｎｅｗ　ａｒｅａ　ｃｏｍｍｉｓｓｉｏｎｉｎｇ，ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｔｅｒｔｉａｒｙ　ｏｉｌ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｒｅｓ—　ｅｒｖｏｉｒ　ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｃｕｒｖｅｓ　ｍａｙ　ａｐｐｅａｒ　ｂｉｍｏｄａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　Ａｒｐｓ　ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｓｃａｌｅ　ｄｏｗｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂｙ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｗｅｎｇ’ｓ　ｍｏｄｅｌ　ａｒｅ　ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ　ｔｏ　ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ　ｄｅｓｃｒｉｂｅ　ｔｈｅ　ｂｉｍｏｄａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｕｎｉｍｏｄａｌ　ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｓｈａｐｅｓ　ａｎｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｍｏｄｅｌ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｕｎｉｍｏｄａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕ—　ｔｉｏｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｗｅｉｇｈｔｉｎｇ　ｆａｃｔｏｒｓ　ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ａ　ｄｏｕｂｌｅ　ｔｗｏ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｓｅｔ　ｕｐ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｔｒｅａｔｍｅｎｔ　ｏｆ　ｂｉｍｏｄａｌ　ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｃｕｒｖｅｓ，ｔｈｅ　ｇｒａｐｈｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ａｎｄ　ｆｉｖｅ　ｕｎ—　ｋｎｏｗｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆ　ｄｏｕｂｌｅ　ｔｗｏ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｅｘａｍｐｌｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｉｎｄｉｃａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｓ　ｃｌｏｓｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ａｃｔｕａｌ　ｄａｔａ　ｗｉｔｈ　ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｄｅｇｒｅｅ，ａｎｄ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｈａｓ　ｇｏｏｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｓｐｅｃｔ　ｆｏｒ　ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｏｉｌ　ｆｉｅｌｄｓ　ｗｉｔｈ　ｂｉｍｏｄａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｂｉｍｏｄａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｍｏｄｅｌ，ｇｒａｐｈｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ，ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　

油田产量和可采储量的预测，是油田开发中的　一项重要任务，而预测模型则是进行预测丁作的重　要工具。常规的Ａｒｐｓ递减曲线是一个单调递减函　数，从函数形态来看，是一个“无峰”的函数。自翁氏　旋回预测模型引入油气田产量预测以来，相继出现　了Ｌｏｇｉｓｔｉｃ、对数正态、Ｒａｙｌｅｉｇｈ等近２０种全过程产量　收稿日期：２０１５—０９—２３。　第一作者简介：严永滔（１９９Ｏ一），男，在读硕士研究生，油气田开发。　基金项目：重庆市自然科学基金项目（ｃｓｔｃ２Ｏ１５ｊｃｖｊＡ９ＯＯ２２）。　预测模型　～１。从函数形态来看，翁氏旋回预测模型　是一个“单峰”函数。实际油藏的产量变化，受到新　区块投产、开发调整和三次采油方案的实施等诸多　因素的影响，曲线可能是先增后降，再增再降，从而　出现“双峰”形态。陈元千等人分别根据广义单峰模　型、ＨＣＺ预测模型提出的多峰预测模型　】，对每一个　第３期　严永滔，等．具双峰分布特征的全程产量Ｗｅｉｂｕｌｌ预测模型研究及应用　１５　峰进行单独预测，从数学分析角度讲是一个分段函　数，而没有运用一个单一的函数对油田全程产量进　行拟合和预测。针对双峰产量变化曲线，以Ｗｅｉｂｕｌｌ　函数为基础，建立具有双峰形态的二重二参数　Ｗｅｉｂｕｌｌ混合分布模型，运用图解法对函数参数进行　估计，得到了更高精度的产量拟合和预测结果。　

１　Ｗｅｉｂｕｌｌ预测模型　Ｗｅｉｂｕｌｌ于１９３９年提出了数理统计的分布模型，　该模型的密度函数、分布函数和可靠性函数分别表　示为　：　）＝　ＯＬ　ｅ俐　（１）　

Ｆ（　）＝１一ｅ一　（２）　尺（　）＝１一Ｆ（　）：ｅ一㈣　（３）　式中：　）为密度函数；Ｆ（　）为分布函数；Ｒ（　）为可靠　性函数；　为分布变量，分布区间为０～∞；　为控制分　布形态的形状参数；　为控制分布峰位和峰值的尺度　

参数；ｅ为自然对数的底。　为将Ｗｅｉｂｕｌ１分布模型用于油气田开发指标的　预测，将式（１）改写为　：　旦：罢　）“　（４）　ＮＲ卢　

将式（２）改写为：　Ｎｐ：卜ｅ一（　（５）　

将式（３）改写为：　十　Ｎｐ　（６）　

式中：Ｑ为油气田的年产量，１０　ｔ／ａ（油），１０　１３ｑ。／ａ（气）；ｔ　为油气田的开发时间，ａ；ⅣＲ为油气田的可采储量，　１０　ｔ／ａ（油），１０　ｍ３／ａ（气）；ⅣＲ　为油气田的剩余可采储　量，１０　ｔ／ａ（油），１０　ｍ　／ａ（气）。　

２二重Ｗｅｉｂｕｌｌ混合模型　图１所示的是双峰产量变化曲线，每一峰均服从　相同的分布，但是参数不同，其概率密度函数为Ｑ／Ｎ　，　

图１双峰开发模式示意图　Ｆｉｇ．１　Ｓｋｅｔｃｈ　ｍａｐ　ｏｆ　ｂｉｍｏｄａｌ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｍｏｄｅ　

＿日Ｊ以将其表不为多个Ｗｅｉｂｕｌ１分布的加杈和：　刖＝　ＮＲＲ＝ｌ～　Ｎｐ＝　）＋ｑＲ２（　＋ｇ＝１）（７）　

式中　ｑ为加权因子，可表示为：　ＮＲＲ＝　ｒ＋ｑｅ　（８）　

Ｎｐ＝ｌ一　且　ｅ　（９）　

Ｑ：　ｆｐ。一（　ｙ＋ｇ。一（　）　一ｐ　一（者ｙ—ｇ　一（焘ｙ　｝（　≥２）　（１。）　ｌ　Ｊ　式中的两重Ｗｅｉｂｕｌｌ混合分布函数包含５个未知　参数：　、Ｏｌ：、　、　、Ｐ，这里ｆ≥０，ｑ可以由ｑ＝ｌ－ｐ计算。　当ＯＬ　＝　时，不失一般性，我们假定　＜　：。当　＝Ｏ／　时，要求　。　，否则模型将成为一个简单的Ｗｅｉｂｕｌ１　分布【３１　

为了画出ＷＰＰ（Ｗｅｉｂｕｌ１　ｐｌｏｔｔｉｎｇ　ｐａｐｅｒ）图，可以　在普通坐标纸上画Ｑ一￡的变换关系，即　１的关系：　＝ｌｎ（ｔ１　（１１）　ｙ＝ｌｎ　ｎＲ（ｅ　））Ｉ　（１２）　

这样，所谓的ＷＰＰ就是函数ｙ（ｘ）的图形，记这条　曲线为Ｃ。当ｐ＝ｌ的时候，Ｒ（　）＝Ｒ　（ｔ），Ｃ成为了一条　直线。　ｙ：Ｏｌ１（　一１ｎ卢１）　（１３）　用　记这条直线。类似的ｐ＝０时，Ｒ（ｔ）＝Ｒ：（　），Ｃ　成为了另一条直线。　＝　２

（　—ｌｎ１３２）　（１４）　

记这条直线为　。这两种极端情况都使混合模　型退化为简单Ｗｅｉｂｕｌｌ模型，对于０　＜ｌ，令　是直线　

。和　的交点，记为坐标（　，Ｙ　），则：　１６　油气藏评价与开发　第６卷　＝（　１．／３　一ＯＬ　１ｎ卢　）／（　一ａ：）　（１５）　ｙ　＝　ｌｎ（／３　／／３：）　（１６）　令ｔＭ是对应交点　的ｆ值，即ｔＭ＝ｅｘｐ（ｘ　），则有：　￡　＝／３，（／３：／／３　）　‘　２一　¨＝卢　（／３　／／３。）　１　‘　２一　Ｉ’（１７）　

对应Ｒ（ｔ　）：　（　）＝Ｒ（ｔＭ）－ｅｘｐ　／／３　）　／　２　］（１８）　

Ｒ（ｔ　）的几何意义是：它表示为在交点Ｍ右边有　Ｒ（ｔ　）￣１００％个数据点。　由公式（１６）可见，交点Ｍ的坐标与两尺度参数　比有以下关系：　１）当　俭：ｌ时，　：ｌｎ（卢。）＝ｌｎ（３２），ｙＭ＝０，Ｒ（ｔ　）＝　ｅ－ｉ＝３６．８％　２）当　ｚ＞Ｉ时，ｘＭ＜Ｉｎ（卢：）＝ｒａｉｎ［Ｉｎ（／３　），Ｉｎ（　）】，　ｙ　＜０，Ｒ（ｔＭ）＞３６．８％　３）当卢－　＜１时，ｘＭ＞ｌｎ（　）＝ｍｉｎ［１ｎ（／３　），Ｉｎ（卢　）】，　＿ｙＭ＞０，Ｒ（ｆＭ）＜３６．８％　由此可见，　椴越大，则位于交点Ｍ右边的数据　越多，反之越少。　

３　Ｗｅｉｂｕｌｌ模型参数确定方法　图解法参数估计是在概率图上进行的。对于二　参数Ｗｅｉｂｕｌ１分布，可以通过变换，将样本点近似拟　合成一条直线。　

：ｅ（　）　（１９）　Ｒ　左右两边取两次自然对数，则有：　

ｌｎｌｎ　＝　（ｆ）刊ｎＪＢ　（２。）　令：　ｎｌｎ　（２１）　Ｘ＝ｌｎ（ｔ１　（２２）　ｂ＝一ＯｔＩｎ／３　（２３）　Ｗ：Ｏｔ　（２４）　则：　Ｙ＝　＋ｂ　（２５）　对于二重二参数Ｗｅｉｂｕｌ１分布，用上式将数据进　行变换，得到点坐标（　），将点描在直角坐标系中，　按照数据点的分布趋势，拟合出一条曲线。做曲线