3运筹学——线性规划2
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
2015-2016(1)管理学第七章线性规划2讲义
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
加工能力
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
-30-
5
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
Lingo求解
代码 输出
建立模型：
设 产品的产量
加工能力
甲x1件 ，乙 x2件，则 z=2 x1+3 x2
2
3
（二）规划问题研究思想： 1 在资源数量有限（或一定）的前提下， 如何充分利用这些资源，以完成更多的任务 （或产出最大）。 2 在任务量一定的前提下，如何统筹安排 这些任务，才能使消耗的资源最少。
（三）线性规划的定义
定义：线性规划就是由目标函数、约束条件和 非负变量所组成的极值问题。其中目标函数是 变量的线性函数，而约束条件是由线性等式或 线性不等式所表示的。 亦即：线性规划所研究的是具有线性约束条件 的线性极值问题。
（5）多学科结合 （ 6）优化分析
2
二、运筹学的产生与发展 引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
1.产生 第二次世界大战中，英国，军事上，防空，海上护航 运筹学这个名词的正式使用是在1938年，当时英 国为解决空袭的早期预警，做好反侵略战争准备，积 极进行“雷达”的研究。但随着雷达性能的改善和配 置数量的增多，出现了来自不同雷达站的信息以及雷 达站同整个防空作战系统的协调配合问题。
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
加工能力
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
-30-
5
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
Lingo求解
代码 输出
建立模型：
设 产品的产量
加工能力
甲x1件 ，乙 x2件，则 z=2 x1+3 x2
2
3
（二）规划问题研究思想： 1 在资源数量有限（或一定）的前提下， 如何充分利用这些资源，以完成更多的任务 （或产出最大）。 2 在任务量一定的前提下，如何统筹安排 这些任务，才能使消耗的资源最少。
（三）线性规划的定义
定义：线性规划就是由目标函数、约束条件和 非负变量所组成的极值问题。其中目标函数是 变量的线性函数，而约束条件是由线性等式或 线性不等式所表示的。 亦即：线性规划所研究的是具有线性约束条件 的线性极值问题。
（5）多学科结合 （ 6）优化分析
2
二、运筹学的产生与发展 引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
1.产生 第二次世界大战中，英国，军事上，防空，海上护航 运筹学这个名词的正式使用是在1938年，当时英 国为解决空袭的早期预警，做好反侵略战争准备，积 极进行“雷达”的研究。但随着雷达性能的改善和配 置数量的增多，出现了来自不同雷达站的信息以及雷 达站同整个防空作战系统的协调配合问题。
运筹学基础-对偶线性规划(2)
用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
原问题是：
maxZ=2x1 +x2 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥0
5x2 +x3 =15 6x1 + 2x2 +x4 = 24 x1 + x2 +x5 = 5 xi ≥0
原问题的标准型是：maxZ=2x1 +x2+0x3+0x4 +0x5
b
15 24 5 0
x1 0 6 1 2
比 值
-
24/6=4
5/1=5
检验数j
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
检验数行的－ (cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi ；
原问题变量
0 2
原问题松驰变量
1 0 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 0 0 1 0
3
x3 x1
x2 1 检验数j= cj-zj
-1/4 -1/2
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2 则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2
又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的 对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约 束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
一、问题的提出 二、线性规划数学模型的一般形式 三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
运筹学第二章习题和答案
运筹学第二章习题和答案运筹学是一门研究如何通过数学模型和方法来优化决策和资源分配的学科。
在运筹学的学习过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们可以巩固理论知识，提高解决问题的能力。
本文将针对运筹学第二章的习题进行讨论和答案解析。
第二章主要介绍了线性规划的基本概念和方法。
线性规划是一种常见的优化问题，其数学模型可以表示为最大化或最小化一个线性目标函数的同时满足一组线性约束条件。
在解决线性规划问题时，我们常常使用单纯形法或者内点法等方法。
习题2.1：一个公司生产两种产品A和B，每个单位A产品的利润为3万元，每个单位B产品的利润为4万元。
公司的生产能力为每天生产A产品100个单位，B产品80个单位。
产品A和B分别需要2个和3个单位的原材料X和Y。
而公司每天可用的原材料X和Y分别为180个单位和210个单位。
问该公司应如何安排生产，才能使利润最大化？解析：首先，我们需要定义决策变量。
假设公司每天生产A产品x个单位，B 产品y个单位。
则我们的目标是最大化利润，即最大化目标函数Z=3x+4y。
同时，我们需要满足生产能力和原材料约束条件。
生产能力约束条件为x≤100，y≤80。
原材料约束条件为2x+3y≤180，2x+3y≤210。
通过绘制约束条件的图形，我们可以得到可行解的区域。
在该区域内，我们需要找到目标函数Z=3x+4y的最大值点。
通过计算，我们可以得到最大利润为320万元，此时生产100个单位的A产品和60个单位的B产品。
习题2.2：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
产品A的生产需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y，产品B的生产需要2个单位的原材料X 和1个单位的原材料Y。
每个单位的产品A的利润为3万元，每个单位的产品B的利润为4万元。
工厂每天可用的原材料X和Y分别为10个单位和12个单位。
问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大化？解析：同样地，我们首先定义决策变量。
假设工厂每天生产A产品x个单位，B产品y个单位。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学基础-线性规划(2)
四、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标
准型可以转化为标准型计算
（一）线性规划的标准形式
线性规划的标准形式为： 目标函数最大化 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a 约束条件为等式， 11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm 右端常数项 决策变量非负 bi≥0 x1,x2,…,xn ≥0
S.t.
（2）maxZ’= - 6 x1 -7 x2 + x’3－ x’’3 +0 x4 + 0 x5 + 0 x6+ 0 x7
S.t.
五、线性规划解的概念
在讨论线性规划问题的求解之前,先要了解线性规划问 题的解的概念。由前面讨论可知线性规划问题的标准型为：
Max Z
j 1 n a ij x j b j (i 1,2, , m) j 1 x j 0 ( j 1,2, , n)
=- x1 + 8 求解 x4 = -2x2 + 12 x5= -3x1 -4 x2+ 36 令非基变量x1=x2=0，得到x3=8，x4=12，x5=36。 得基解 X=(0,0,8,12,36)T
（二）标准型的表达方式
线性规划标准型的表达方式有代数式、矩阵式两种：
1. 代数式 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm x1,x2,…,xn ≥0 maxZ=
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线性规划问题(3)
[Shift]+[Enter] 或 [Insert]
线性规划的图解
max
约束条件：
z=x1+3x2 x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1≥0,x2≥0
x2 6
最优解(4/3,14/3)
4
可行域
-8
目标函数等值线
6
x1
0
作 业
预习教材第二章、第三章; 复习Excel,线性代数,微积分 网上搜索相关的资料; P.23第二章 习题 第 2 ⑴, ⑸, ⑹, 3
1
5
6
4
2 12
5 14
3 8
8
加剂中维生
素最低含量
求：最低成本的原料混合方案
2013-7-31 11
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi (i =1,2,3,4) 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 约束条件
x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8
xi 0 (i =1,…,4)
线性规划问题(2)
3x1+2x2=12 目标函数 Z = 3x1+4x2 =13.5 可行解区域 2x1+4x2=10 最优解(3.5,0.75) 最优值：13.5 2x1+9x2=18
线性规划问题(3)
x1+2x2≤8
4x1
≤16
约束条件
4x2≤12
x1≥0 , x2≥0
目标函数 max Z=2x1+3x2
2013-7-31 5
研究的先驱者
1939 KANTOROVICH(苏联 康托洛维奇) 写了《生产组织与计划中的数学方法》
提出了“解乘数法”，后获诺贝尔奖；
1947 DANTZIG（美国科学院院士）
提出了“单纯形法”，本世纪初它被评 为二十世纪“十大算法”之一。
2013-7-31 6
冯•诺伊曼(von Neuman)和摩根斯坦 (Morgenstern)1944年发表的《对策论与 经济行为》涉及与线性规划等价的对策 问题及线性规划对偶理论; 到1960年“最佳资源利用的经济计算” 60-70年代开始利用计算机解LP问题 从 50约束 100变量 到 30000约束 3000000变量 70年代起在理论上又有了新发展。
设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量 (i ＝1，2，3， j ＝1，2，3) Min Z = 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31+4x32 +2x33
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x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 x11 +x21+x31 = x12 +x22+x32 = x13 +x23+x33 = xij 0
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LP与诺贝尔奖
• 1975年 列奥尼德· 康托洛维奇（LEONID VITALIYEVICH KANTOROVICH）苏联人 (1912-1986)与佳林· 库普曼斯（TJALLING C. KOOPMANS）美国人 (1910-1985)获诺贝尔经 济奖：前者在1939年创立了享誉全球的线性规 划要点，后者将数理统计学成功运用于经济计 量学。他们对资源最优分配理论做出了贡献。 • 从1964年诺贝尔奖设经济学奖后，到1992年28 年间的32名获奖者中有13人(40%)从事过与线 性规划有关的研究工作，其中比较著名的还有 Simon，Nash, Samullson，Leontief，Arrow， Miller，Aumann[2005]等
3
6.6
0
6.3
4
6
1
6.5
料头
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0
0.1
0.2
0.3
0.8
1.1
1.4
0.9
17
不宜用料头，而应用总根数。
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根
宜用≥ 宜用≥
宜用≥
min Z = 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
x1 + 2x2 + x4 =100 2x3 +2x4+ x5=100
x1 + 2x2 30
2x2 24
煤
劳动日 仓库
约束条件
3x1 + 2x2 60
x1 、x2 0
目标函数 max Z= 40x1 +50x2 利润
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例2. 添加剂由四种原料混合制造：
原料 1 2
3
每单位添
VA VB VＣ 每单位成本 4 1 0 2 6
1
1
7
2
校园网资源
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2
校园网资源
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3
运筹学
元培信计、自动化05级 2007.9.29.用
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第二章 线性规划
•运筹学中应用最广泛的方法之一; •运筹学的最基本的方法之一，网络规划， 整数规划，目标规划和多目标规划包括博弈 论都是以线性规划为基础的；
•解决有限资源最优分配的有效方法，使付 出的费用最小或获得的收益最大为目标。 •所以以说线性规划是运筹学中历史悠久、 理论成熟而且应用最广泛的一个分支。
x2≤250
约束条件
2x1+x2≤400
x1≥0 , x2≥0
目标函数 max Z=50x1+100x2 可以用Excel的“规划求解”解 线性规划问题。 Excel
用Excel解线性规划(1)
• 准备工作：从校园网上下载两个压缩文件
• /kejian/dbn/Solver.rar • /kejian/dbn/Analysis.rar
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线性规划的数学模型
例1、生产计划问题
产品 煤 A 1 B 2 可用资源 30
劳动日
仓库 利润
3
0 40
2
2 50
60
24
问A、B各生产多少时, 可获最大利润? 解：设A、B各生产 x1、x2 个单位。 、y
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解: 设产品 A、B 产量分别为x1、x2 [称为决策变量]
一般式
max(min) Z = C1X1+ C2X2+…+CnXn
a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=,)b1
a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=,)b2
… … … … … …
am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=,)bm
Xj 0(j=1,…,n)
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x1≥0 , x2≥0非负约束
目标函数
max Z=50x1+100x2利润
图解法：x1+ x2≤300 的几何意义是半平面。
图解线性规划问题(1)
最优解(0.5,2.5)
2x1+x2=4
目标函数 Z = 50x1+100x2 =275
可行解区域
x1+x2=3
Excel解线性规划(1)
x1+ x2≤300
xi 0 (i =1,…,5) ，且为整数
严格地说这不是线性规划，而是 整数规划 。
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例4、运输问题:有一批原棉分
别存在三个仓库，三个厂要用。 仓库/工厂 1 2 3 库存
1
2 3
2
2 3
1
2 4
3
4 2
50
30 10 90 供销平衡
需求
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40
15
35
20
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例3、合理下料问题[p.64 例5]
100套钢筋架子每套
2.9m 2.1m 各1，原料长7.4m 1.5m
Ⅳ 1 2 Ⅴ 0 1 Ⅵ 0 3 Ⅶ 0 0 Ⅷ 1 1
下料方法有：
Ⅰ 2.9m 2.1m 1 0 Ⅱ 2 0 Ⅲ 0 2
1.5m
合计
3
7.4
1
7.3
2
7.2
0
7.1
线性规划问题(3)
目标函数 Z = 2x1+3x2 =14 可行解区域 4x2=12 最优解(4,2) 4x1=16 x1+2x2=8
在数学符号软件“Mathematica”中,只要在 其中键入命令:
线性规划问题(3)
LinearProgramming[{-2,-3},{{-1,-2}, {-4,0},{0,-4}},{-8,-16,-12}]
3x1+ x2+2x3
xi 0 (i =1,…,5)
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+3x5=100
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解：设按第i种方案下料的原材料为xi根
min
Z = x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 x1 + 2x2 + x4
≥ 100
2x3 +2x4+ x5 ≥ 100 3x1+ x2+2x3 +3x5 ≥ 100
∑式
max (min) Z C j X j
j1 n
n a ij X j bi (i 1,2,.., m) j1 X 0( j 1,2,.., n ) j