量子力学第三章习题

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

量子力学作业习题

第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc

高等量子力学复习题

上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。

量子力学习题汇集

第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场

???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。

量子力学习题集及解答

量子力学习题集及解答

目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)

第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社第7章

第七章：粒子在电磁场中的运动 P367——7.1，7.2 证明在磁场B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： [] z y x c q i v v B ?,2μ = （1） [] x z y c q i v v B ?,2μ = （2） []y x z c q i v v B ? ,2 μ = （3） [证明]根据正则方程组： x x p H x v ??== ? ，Φ+?? ? ??-=q A c q p H 2 21? μ ? ? ? ?? -=x x x A c q p v ??1?μ 同理 ? ? ? ? ?-=y y y A c q p v ??1?μ ()z y x p p p p ?,?,?? 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： [] ? ? ????--=y y x x y x A c q p A c q p v v ??,??1,2μ ] [] y x A A c q ?,?2 2 μ+ （4） [] 0?,?=y x p p 又A ? [] z x y y x B c y x i c v v 22 ,μμ = ??? ??-?? = （因A B ??=??） 其余二式依轮换对称写出。 P368证明在规范变换下 ψψρ* = （1） [ ]ψψμψψψψμ * * *- -=A c q p p j ??21 （2）

??? ? ?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式） ψψc iqf e → （4） 则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度： ρ ρψ ψψψψψ ρ='=?=??? ? ? ???? ? ? ?='* * -* c iqf c iqf c iqf c iqf e e e e 又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 ()t r f A A , ?+→ ψψψψμc iqf c iqf c iqf c iqf e P e e p e j * - * -????? ?-='21 （5） 注意到算符的对易关系 推广到三维：() )(F )(F ,?r i r p ??=? 6） 令c iqf e r =)(F 则有： c iqf e p -=e p c iqf （7） =-e p c iqf (8) 将（7）（5）式成为： ()() j A c q p p f A c q f c q p e e f c q p e e j c iqf c iqf c iqf c iqf =--=?+-????????? ???--??? ???+=* ***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9） 在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：

高等量子力学习题.

高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式

苏汝铿量子力学习题答案第二章2.16-2.18

14QM-2.16设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） x p 和2 x p 的平均值； （3） x 和2x 的平均值； 解：氢原子基态波函数为 120121 (,,)r a r e a φθ?π-= 22h a e μ= 而动量p 本征函数为 2./3/2 1()(2)p r p r e φπ=v v h v v h 所以它在动量表象中的表达式为 2cos //223/200011()()1/21/20 1/23/222 3222 1()sin (2)[]2()111[]11(2)()()2(/)ipr a r a ip ip r r a a p e e r d d dr a e e rdr a ip ip ip i p a a a a p a πφθθ?ππππ∞-----+∞==-=--+=+????h h h h h h h g g h h h h h 于是 |()|0 x x x y z p p p dp d p dp φ∞-∞==? 由于被积函数对x p 是奇函数 22222542250004 2 2 2|()|1|()|3 8sin 3()3x x x y z x y z p p p dp d p dp p p dp d p dp p dp d d a p a a ππφφθ?π∞-∞∞-∞∞== =+=?????h h h

而223223243532 113434()4!32 r a r a r a x e x dxdydz a e r dxdydz a e r dr a a a a ππ ---====?=???g 2==>h 14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即e e +--形成的束缚态的能级； （2）以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级； （3）μ+和e - 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为： 42 22 (2)(1,2,3,)2n me E n h n π=-= （1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为： 42422222(2)(2)(1,2,3,)24e n m e e E n h n h n πμπ=-=-= 其中μ为系统折合质量，e m 为电子质量。 （2）对于μ原子来说，束缚态的能级为： 42422222(2)207(2)(1,2,3,)22e n m e m e E n h n h n μππ=- =-= 其中m μ为μ原子质量，e m 为电子质量。 （3）μ+和e - 形成的束缚态能级为： 4222(2)(1,2,3,)2e n m e E n h n π=-= 其中e m 为电子质量。 14QM-2.1８ 设势场为2()(,0)a A U r a A r r =-+>，求粒子的能量本征值。

量子力学第五章习题

第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知 ()()0 ?H U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即 ()2004ze U r r πε=- ()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为 ()2 04ze U r r πε=- 在0r r <的区域, ()U r 可由下式 ()r U r e Edr ∞ =-? 其中电场为 () () 3023300000201 4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤?? =? ?>? ? 则有: ()()()() 2 2 3 2 000 22222 2200 033000000 1443848r r r r r r U r e Edr e Edr Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞ ∞ =--=- - =---=--≤??? ? 因此有微扰哈密顿量为 ()()()() 222 200300 031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+ ≤? ?'=-=????>? 其中s e =类氢原子基态的一级波函数为 ()( 32 10010000032 02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e a ψ-==-?=?? 按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为 ()()()0 0*0011 11 100100 3 2222222000000?1 31sin 4422Zr r a s s E H H d Z e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ -''==??????=--+?? ? ????????? ? ???

量子力学(周世勋)课后答案-第七章

7.1.证明：i z y x =σσσ ??? 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσ ?2????=- 及 反对易关系 0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ ???= 上式两边乘z σ ?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ ??? 7.2 求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的测不准关系： ?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ ???? ??=01102? x S ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(?2 22 2 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?222 2 121 =??? ? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S

16 )()(4 2 2 =??y x S S ① 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求 4 )()(2 2 2 2z y x S S S ≥?? 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ?? 可见①式符合上式的要求。 7.3.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的本征方程为01102a a b b λ??????= ??? ? ?????? 移项得: 20 2 a b λ λ? ? - ???= ? ? ???- ??? x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ 可得 20)2(22 ±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 ±。 设对应于本征值2 的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2 /12/12 ?χχ =x S ，得

量子力学习题解答-第2章

第二章 定态薛定谔方程 本章主要内容概要： 1. 定态薛定谔方程与定态的性质： 在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程） 222.2d V E m dx ψ ψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱） *()()m n mn x x dx ψψδ∞ -∞ =? 或δ函数正交归一性（连续谱） ' *'()()()q q x x dx q q ψψδ∞ -∞ =-? 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数 /(,)()n iE t n n x t x e ψ-ψ= 定态波函数满足含时薛定谔方程。 对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可 归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。 含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 (,)(,)n n n x t c x t ψ=ψ∑ 系数n c 由初始波函数确定 (,0)()n n n x c x ψψ=∑ ， * ()( ,0)n n c x x dx ψ∞ -∞ =ψ? 由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性 2 1n n c =∑ 对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2 n c ，能量的期待值可由 2 n n n H c E =∑ 求出。这种方法与用

*? (,)(,) H x t H x t dx ∞ -∞ =ψψ ? 方法等价。 2. 一维典型例子： （a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态） 0,0 () , x a V x << ? =? ∞ ?其它地方 能量本征函数和能量本征值为 222 2 (), 0;1,2,3,... 2 n n n x x x a n a n E ma π ψ π ?? =<<= ? ?? = 若 0, () , a x a V x -<< ? =? ∞ ?其它地方 则能量本征函数和能量本征值为 222 2 ()s i n(),;1,2,3,... 2 2(2) n n n x x a a x a n a n E m a π ψ π ?? =+-<<= ? ?? = 1 n=是基态（能量最低），2 n=是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替 的： 1 ψ是偶函数， 2 ψ是奇函数， 3 ψ是偶函数，依次类推。 （b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）： 22 1 (), 2 V x m x x ω =-∞<<∞ 能量本征函数和能量本征值为 2 1/4 /2 ()(), ; 1 , 1,2,3,... 2 n n n m x H e E n n ξ ω ψξξ π ω - ?? =≡ ? ?? ?? =+= ? ?? 其中() n Hξ厄米多项式，可由母函数 2 eξ-生成 22 ()(1) n n n d H e e d ξξ ξ ξ - ?? =- ? ??

喀兴林高等量子力学习题EX2.算符教学提纲

喀兴林高等量子力学习题E X2.算符

EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= #

练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ #

周世勋量子力学第二章知识题

第二章 波函数和薛定谔方程 2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为 ()**2J i ψψψψμ = ?-? 而定态波函数的一般形式为 ()(),i Et t e ψψ-=r r 将上式代入前式中得: ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ??= ?-?? ? 显然是这个J 与时间无关. 2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e r ikr 11= ψ (2) ikr e r -=1 2ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波. 解: 在球坐标中,梯度算符为 1ψ和2ψ只是r 的函数,与?θ,无关,所以 , ()* *1 1211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-???? ??==-+=-+ ? ????? ? ()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-???? ??==-+=-+=? ? ????? ? ()()**2 21111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ???? ??==-=-=? ? ????? ?e e e 将以上四式代入 ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ ??=?-??? (1) 对于ikr e r 11=ψ 12222 111122r r r i k p ik r r r r μμμμ??=-===????p J e e e (2) 对于ikr e r -=12ψ

212222 1111 22r r r i k p ik r r r r μμμμ??= =-=-=-=-???? p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面 波ikr e r -= 12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场 ()?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U 00 中运动,求粒子的能级和对应的波函数. 解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψ E dx d 即 02 =+''ψψk ()2 0k E = > 可知,其解为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ， 在a x ≤≤0处， 波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -= 因此有 () 2sin sin ikx ikx A e e iA kx C kx ψ-=-== 从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π 所以 sin 1,2,3n n C x n a π ψ== 2 2 222a n E n μπ = 归一化条件 1*=?dx ψψ可得 a C 2 = ()()2222 11sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα ??=-=+???? 所以 1,2,30n n x n x a a πψ= =≤≤ 综合得: 000n n x x a a x x a πψ≤≤=<>? 或 2.4. 证明()sin 20n n A x a x a a x a π ψ?'+

量子力学周世勋习题解答第五章范文

第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ）

第七章习题

第七章习题 1． 有一平凹氦氖激光器，腔长m 5.0，凹镜曲率半径为m 2，现欲用小孔光阑选出 00TEM 模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处两种情况下小孔直径各为多少？（对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基横模。） 解：由R L g -=1，可计算出75.01=g ，0.12=g ，满足1021

清华大学《大学物理》习题库试题及答案__10_量子力学习题

一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红 限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射， 发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作 半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0λhc m eRB 2)(2+ (C) 0 λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用 频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子 能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各 谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为 －0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时 氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨 道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?=ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ ［ ］