量子力学第三章习题
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学第三章作业及答案
第三章3.1 设ˆˆ,AB 均为厄米算符,试证: ()ˆˆˆˆ1 AB-BA是否为厄米算符; ()()ˆˆˆˆ2 i AB-BA 是否为厄米算符. 解: ()†††††ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ AB-BA =B A -A B =BA-AB所以不是厄米算符()()()()()††††††ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆi AB-BA =-i AB-BA =-i B A -A B ˆˆˆˆˆˆˆˆ=-i BA-AB=i AB-BA ⎡⎤⎣⎦所以是厄米算符3.2 设体系的波函数为球谐函数(),lm Y θϕ,求其角动量矢量与z 轴的夹角 解: 由于z L cos L θ=,因为()()()22ˆ,1,lmlm L Y l l Y θϕθϕ=+ ()()ˆ,,z lm lm L Y m Y θϕθϕ=故可取)L =,z L m =,所以,cos z L mL θ==3.3 已知 ˆ[sin cot cos ]x L i φθφθφ∂∂=+∂∂,ˆ[cos cot sin ]y L i φθφθφ∂∂=--∂∂ 问(),1lm Y θϕ=是否为ˆx L ,ˆy L 的本征态;如果是,求其本征值.解: 由于()ˆ,0x lm L Y θϕ=, ()ˆ,0y lm L Y θϕ=所以为ˆx L ,ˆy L 的本征态, 其本征值为03.4 在经典情形,对称陀螺的能量算符为()22211ˆˆˆˆ22x y z x zH L L L I I =++ 1. 问(),lm Y θϕ是否为ˆH的本征态; 2. 如果是,求其本征值.解:()()2222222211ˆˆˆˆ2211ˆˆˆ22111ˆˆ222x y zx zz z x zz x z x H L L L I I L L L I I L L I I I =++=-+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以, 其本征值为()2221111222xz x E l l m I I I ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭3.5设粒子处于范围在[0,]a 的一维无限深势阱中，状态用波函数113()sin sinx xx a a ππψ=+描述，(1)该波函数是否归一,如不归一,请写出归一化波函数 (2)求粒子能量的可能值及相应概率。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第三章课后答案3.17-3#11
合，因此有 x,0 x,0 , 故 t=0 时 x * x,0 x x,0 dx 0
并且 x 不随时间变化。 3.18 考虑一质量为 m 的粒子在一维势场 U x U 0
x 中运动，其中 n 是正整数， a
n
其中 an n* x x, 0 dx
因此 x, t
a x e
n n n
iEn t /
对于谐振子 n x N n e
x / 2
2
H n x
2 2
an dxN n e
2 2
x /2
H n x Ae
3.17
在
t=0
时 ， 处 在 谐 振 子 势 U
2
1 2 kx 中 的 一 颗 粒 子 的 波 函 数 是 2
x, 0 Ae x
2
/2
sin cos H 0 x 2 2 H 2 x 其 中 和 A 是 实 常 数 ，
x 2 e [ H n x ] dx
2
1
2
mk ，且厄米多项式归一化条件是
2
2n n !
(i)写出 x, t ； （ii）求出 x, t 态中测量粒子的能量的可能值和相对概率； （iii）求 t=0 时的 x ，并问 x 是否随时间 t 变化？ 解： （1）系统的薛定谔方程为 i
x /2
sin cos H 0 x 2 2 H 2 x
A N0 cos n 0 N 2 2 2 sin n 2 2 2
量子力学第三章习题
3.2.氢原子处在基态 ,求:
(1) 的平均值;
(2)势能 的平均值;
(3)最可几半径;
(4)动能的平均值;
(5)动量的几率分布函数.
解:(1) 的平均值:
(2)求势能的平均值:
(3)求最可几半径:
电子在半径为 的球面上的几率为
求上式对 的导数
令上式等于零,则可求得最可几半径为:
(2)求粒子动量的平均值：
由上式 已经看出，粒子在状态 中取 和 几率相等，所以动量的平均值为零，实际上：
或
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为 ,如果粒子状态的波函数为
,
A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值.
解:首先将波函数归一化：
所以
将给定的波函数视为能量本征函数
的线性叠加,即
第三章量子力学中的力学量
3.1一维谐振子处在基态 ,求
(1)势能的平均值 ;
(2)动量的几率分布函数;
(3)动能的平均值 .
解:(1)势能的平均值:
(2)动量的几率分布函数
所以
(3)动能的平均值
计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点能 的一半.
以上计算中,用到积分公式:
费曼方法介绍:
费曼方法求动能势能平均值.
动能平均值:
于是有:
这样根据费曼的方法,有
同样地,有
这样根据费曼的方法,有
当然有
是自洽的.
*3.3.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标系中的分量是
解:电流密度
而 为电子的几率流密度
在球坐标系中电子运动状态函数为
其中 均为实数， 是实数，只有 是非实数，而
量子力学习题3
量子力学习题31. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E nnn mn nmm()()()''0200++-∑. B. E H H E E nnn mn nmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E nnn mn mnm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E nnn mn mnm()()()''0200++-∑.2. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为 A.H E E mn nm mm '()()()000-∑ψ. B. ''()()()H E E mn nmm m000-∑ψ. C.''()()()H E E mnmnm m000-∑ψ. D. H EE mnmnm m'()()()000-∑ψ. 3. 非简并定态微扰理论的适用条件是 A.H E E mk km'()()001-<<.B.H E E mk km'()()001+<<. C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.4. S 为自旋角动量算符,则[ , ]S S y x 等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z. 5. 单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .6. Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .7. 电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 8. 电子自旋角动量的y 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200.9. 电子自旋角动量的z 分量算符在 S z表象中矩阵表示为A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S z =-⎛⎝⎫⎭⎪ 20110. C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 11.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为 A.0, . B. 0,- .C.22,. D. 22,-. 12.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,. C.a b 2222/,/. D. a a b b a b 222222/(),/()++. 13.接11题, s z 的平均值为 A. 0. B.)(222b a - . C. )22/()(2222b a b a +- . D. . 14.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2. 15.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为 A.3212/,/. B.1/2,1/2. C.3/4,1/4. D.1/4, 3/4. 16.接14题,s z 的平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2. 17. 下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.18.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性. 19. 全同性原理的内容： 。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
曾谨言量子力学第3章
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 证明：
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符 性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如 算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为
ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A
(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A
量子力学习题解答-第3章
第三章形式理论本章主要内容概要：1. 力学量算符与其本征函数量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足()**ˆˆ()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =⎰⎰或者用狄拉克符号，ˆˆf QgQf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。
厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。
若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。
一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。
而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。
对任意态测量不相容力学量ˆˆ,QF ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理2221ˆˆ,2QFQ F i σσ⎛⎫⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭2. 广义统计诠释设力学量ˆQ 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}nq ，即 ()*ˆ()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mnQf x q f x f x f x dx m n δ===⎰或ˆ, n n n m n mnQ f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n nf f =∑（恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开 (,)(),nn nx t cf x ψ=∑ 或nn n n nnf f c f ψ=ψ=∑∑展开系数为*()()(,)n n nc t f fx x t dx =ψ=ψ⎰若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的，21n nc =∑。
广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2n c 。
量子力学 第三章习题与解答
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
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而 比较上两式,我们得到:
当时，则 此时我们同时求得能量的本征值和本征函数.
(3)角动量分量 的本征值方程为 它是的一个因子。 的值取决于量子数，题给定的状态不是的本征态，而是本征态的线 性叠加。在态中，而在态中，故在所给的态中，的可能值为和，出现和 的几率分别为和，即和。 的平均值
3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 求粒子的能级和定态波函数。
解: 这是一个无限深方势阱的问题,它只存在束缚态解.当,. 设粒子的质量为,因此,系统的哈密顿算符为 考虑到的球对称性,采用球坐标系,此时,有
第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态 ,求
(1) 势能的平均值 ;
(2) 动量的几率分布函数;
(3) 动能的平均值 .
解: (1) 势能的平均值:
(2) 动量的几率分布函数
所以
(3) 动能的平均值
计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点
能的一半.
以上计算中,用到积分公式: 费曼方法介绍: 设某系统的能量本征值方程为 其中含有一参数, 那么, 便有 于是有 再根据, 得到
(5) 另解：氢原子基态波函数为
， 仅是的函数而
， 所以只考虑径向的“测不准关系”
氢原子的径向能量为 而 所以
因而
取
由上两式得
即
将上式代入氢原子的径向能量表示式中
得
基态能量是上面表达式使取极小值。满足这一条件的由求极值的方法求
得，即
所以
将上式代入得
即:
(5) 这一量子化的能级与一维无限深势阱能级结果类似。波函数中常数由归 一条件求得 所以 最后得到一化的波函数为:
(6)
(7) 再考虑的一般情况, 径向方程(2)化为
(8) 边界条件为 令,则(8)式化为 这正是球贝塞尔方程,它的解可取为球贝塞尔函数或球诺伊曼函数. 由于解要求在有限,所以只取球贝塞尔函数为本方程的解 由边界条件确定. 由于取有限值,只能取一系列分立值.把的根记为,其中,则粒子的本 征值为 本征函数为 根据 有
其中归一化系数为 此时
3.11. 求3.6题中粒子位置和动量的不确定性 解: 根据3.6的结果以及对任何一个力学量有 便有 由3.6题知: 动量的平均值: 动能的平均值: 因此有 此外,有 由于是关于的偶函数,因此 另外,我们有
故我们有 最终有
3.12. 粒子处于状态 式中为常量.求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系
3.7. 一维运动粒子的状态是 其中,求
(1) 粒子的动量的几率分布函数; (2) 粒子的平均动量. 解: (1) 按照波叠加原理，任一波函数都可以看作是各种不同动量的 平面波的叠加.叠加系数为
用到积分公式 积分 再求出所给波函数的归一化常数A： 即 最后得到动量的几率分布：
(2) 求粒子动量的平均值： 由上式已经看出，粒子在状态中取和几率相等，所以动量的平均值 为零，实际上： 或
(5) 动量的几率分布函数 欲求动量的几率分布,必须先将波函数按动量的本征函数展开.即
其中 将氢原子的基态波函数代入得: 因为在积分过程中不变,我们选沿轴方向,即对的积分已经完成,以下 作对的积分: 将上式的结果代入中,最后对积分: 这就是当氢原子处在基态时,电子动量的绝对值取的几率.电子动量的绝 对值在范围内的几率,等于乘以动量空间的体积元.此题中势能动能平均 值可用费曼方法求解.
3.8. 在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子状态 的波函数为
, A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值.
解: 首先将波函数归一化： 所以
将给定的波函数视为能量本征函数 的线性叠加,即 其中系数 其中 而 将两式结果代入得 因此，能量的几率分布函数 粒子的能量平均值： 能量还可以方便的由平均值的积分公式求得
(2) 转子绕一固定轴转动. 对于定轴转动,即转子被约束在某个平面内的圆周上转动,我们可以 假设,波函数与无关.此时体系的哈密顿算符亦与无关,写作 波函数与无关,只取决于中的 即 将哈密顿算符作用于上式得到能量的本征值为 或直接解本征值方程
其中 其解
考虑单值条件, 即, 得 由此得 也可以将本征函数改写为 即
在球极坐标中(核处于原点),某一的圆环附近流过电流面积的微分圆
面积电流为
该圆电流的磁矩为
式中是环子的所围成的面积.将代入得
是一圆周电流的磁矩.
(2) 氢原子的磁矩为:
(SI)
若用CGS单位制, ,
则
(CGS)
注意到,则立即可以得到回转磁比率:
3.5. 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是,为角动量, 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:
费曼方法求动能势能平均值. 动能平均值: 于是有:
这样根据费曼的方法,有 同样地,有 这样根据费曼的方法,有 当然有 是自洽的.
*3.3. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标系中的分 量是
解: 电流密度 而为电子的几率流密度 在球坐标系中电子运动状态函数为
其中均为实数，是实数，只有是非实数，而 另外球坐标中的梯度算符为 则电流密度的径向分量为：
.
这个公式对于求某些力学量本征态下的平均值问题会非常有用.具体到
这里的(1)、(3)小题,有
(1)
.
因而
. 这样便有
这里, 用到了, 因此, 有
(3)
.
因而
. 根据费曼方法, 有 这样, 便有
从以上两例, 可以看到:利用费曼方法,可以非常简捷地得到所要的
结果.这种方法,在后面还会用到.
此外,根据(1)与(3)两道小题,有
3.9. 设氢原子处于状态 求氢原子的能量、角动量的平方及角动量分量的可能值,这些可能值出 现的几率和这些力学量的平均值.
解: (1) 能量 能量的本征值方程为
其能量为 可见所给的波函数是能量的本征函数，本征值为，即
(2) 角动量的平方 角动量平方的本征值方程为
其 可见所给的波函数是角动量平方的本征函态，角动量平方有确定的值 (对应于)
(1) 在中心势中,角动量是守恒量.因此它的各分量都是守恒量.选体系的守 恒量完全集为,本征值方程(1)的解为的本征态. 代入方程(1),便得到径向波函数满足的方程
(2) 令
则
(3)
首先考虑，态即的状态波函数与角度无关，则薛定谔方程变为
(4) 它的解为 即 要求在时有限，所以，故 因为在处是硬壁，粒子绝不可能透出外面，所以于是有 即 即 与 联立求解得到粒子的能级为
子的总能量
。
(3)
图1表示电子能量对于的依赖关系。由图可见曲线有一个最小值； 从对
应于最小值的点满足。可以很容易地求出的值，记为。换句话说，氢原
子的电子在距核的距离等于处，出现的几率最大(能量最低状态)。将式
(3)对求导，并令其等于零，得到：
。
(4)
满足此点的用表示，则有
，
由此解得把上式代入方程(3)，得到氢原子中电子最小能量：
电子动量的值的最小不准确量，为明确起见，假定
，
(2)
动量值不能比它的值的不准确量更小是显而易见的。所以最小可能
动量值是。把核看作静止不动。电子绕核运动的能量等于它的动能()和
它的势能(处于距核处， )的总和。为了进行估算。假定电子总能量的
经典表达式仍然是有意义的。将方程代入动能表达式，得到氢原子中电
3.2. 氢原子处在基态,求:
(1) 的平均值; (2) 势能的平均值; (3) 最可几半径; (4) 动能的平均值; (5) 动量的几率分布函数. 解: (1) 的平均值: (2) 求势能的平均值: (3) 求最可几半径: 电子在半径为的球面上的几率为 求上式对的导数 令上式等于零, 则可求得最可几半径为: (4) 动能的平均值
解: 是不归一的，因此令归一化常数为,则有 因此得: 最后得归一化波函数为 (1) 求粒子动量的平均值 (2) 计算测不准关系 因 另解:
所以 最后得：
3.13. 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
解: 假设氢原子中电子的运动出现在一个具有半径的区域，电子位
置的不准确量可取成，根据测不准关系式
。
(1)
电流密度方向的分量为 其实是很显然的，因为和对不起作用，所以状态函数与实函数的情况相 同.
电流密度方向的分量为 综上所述：
3.4. 由上题知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆电流组成的. (1) 求一圆电流的磁矩; (2) 证明氢原子磁矩为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
原子磁矩与角动量之比
这个比值,称为回转比磁比率.
解: (1) 一个微分的园环中通过电流所产生的磁矩
可归一化为: 最后得
因此本征值为
3.6. 设粒子的状态为 求此时的平均动量和平均动能.
解: 方法I: 将上式代入中得 可见动量可以取5个值,依次是:和 由归一化条件:得 所以归一化系数为 它们出现的几率分别为是:和 动量的平均值: 动能的平均值: 方法II: 上面利用欧拉公式直接展开,结果与方法I一样,以下运算与方法I完 全相同.