【高中数学】2018-2019学年人教B版高中数学-选修4-4教学案-第一章- 直角坐标系平面上的伸缩变换
人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆 幂 定 理 (Word)
_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ，所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为PA 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．。
高中数学选修44全套教案
高中数学选修44全套教案单元一：函数基本概念第一课：函数的概念及表示1. 学习目标：了解函数的定义及表示方法。
2. 教学重点：掌握函数的定义和表示方法。
3. 教学难点：理解函数的概念与实际应用的联系。
4. 教学方法：讲解结合实例分析。
5. 学习过程：（1）函数的定义及表示；（2）函数的自变量、因变量；（3）函数的符号表示及图像表示；（4）函数的概念理解。
6. 巩固练习：课后习题练习。
第二课：函数的性质1. 学习目标：掌握函数的奇偶性、周期性等性质。
2. 教学重点：理解函数的奇偶性和周期性。
3. 教学难点：应用函数的性质解决问题。
4. 教学方法：归纳整理结合案例讲解。
5. 学习过程：（1）奇函数和偶函数；（2）函数的周期性；（3）函数性质的应用。
6. 巩固练习：课后习题练习。
单元二：一元二次函数第一课：一元二次函数的概念1. 学习目标：了解一元二次函数的定义及性质。
2. 教学重点：掌握一元二次函数的概念和基本性质。
3. 教学难点：理解一元二次函数和实际问题的联系。
4. 教学方法：实例分析结合讲解。
5. 学习过程：（1）一元二次函数的定义；（2）一元二次函数的图像；（3）一元二次函数的性质。
6. 巩固练习：课后习题练习。
第二课：一元二次函数的应用1. 学习目标：掌握一元二次函数在实际问题中的应用。
2. 教学重点：理解如何应用一元二次函数解决实际问题。
3. 教学难点：运用一元二次函数解决复杂实际问题。
4. 教学方法：案例分析、归纳总结。
5. 学习过程：（1）一元二次函数在实际问题中的应用；（2）解决实际问题的步骤与方法；（3）实例分析和练习。
6. 巩固练习：课后习题练习。
单元三：指数与对数函数第一课：指数函数的概念1. 学习目标：理解指数函数的定义及性质。
2. 教学重点：掌握指数函数的基本性质。
3. 教学难点：理解指数函数与实际问题的联系。
4. 教学方法：案例分析、讲解。
5. 学习过程：（1）指数函数的定义和图像；（2）指数函数的性质；（3）指数函数的应用。
2018-2019学年高中数学人教B版选修4-1课件：第一章 章末小结
半圆的半径为r， 1 ∴S△ABC＝ ab. 2 又S△ABC＝S△AOB＋S△AOC 1 1 1 ＝ ar＋ br＝ r(a＋b)． 2 2 2 1 1 1 ∴ab＝r(a＋b)．则 r ＝a＋b.
4．利用射影定理 [例6] 如图，AB是⊙O直径，过A作
切线，过B作割线交⊙O于E，交切线于 F，过B再作割线交⊙O于C，交切线于D. 求证：BE· BF＝BC· BD.
∴∠B＝∠EAC. 又∵DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD＝∠DCB. ∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD，
又因为BE为圆O的直径， ∴∠DAE＝90° ， 1 ∴∠ADF＝ (180° －∠DAE)＝45° . 2 (2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB， ∴△ACE∽△BCA， AC AE ∴BC＝AB. 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30° . AC AE ∴在Rt△ABE中，BC＝AB＝tan∠B＝tan 30° ＝ 3 3 .
证明线段等积式常用的方法
证明命题的一般步骤： (1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法； (3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已 知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性．
1．利用相似三角形 [例3] 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的
[证明] 连接AE、AC. ∵AD是切线， ∴BA⊥AD. ∵AB是直径， ∴AE⊥BF，AC⊥BD. ∴AB2＝BE· BF，AB2＝BC· BD. ∴BE· BF＝BC· BD.
5．利用相交弦定理及切割线定理 [例7] 如图所示，两圆内切于点T，大圆
的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相 交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP 于点P. 求证：(1) C E ＝ C F ； (2)AC· PF＝BC· PT.
[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第一讲第1节平面直角坐标
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[核心必知]1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．[精讲详析]解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a，0)，B(a，0)，设顶点C(x，y)．法一：由△ABC是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，则yx＋a·yx－a＝－1(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法三：由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点C与点B不重合，所以x2＋y2＝a(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA|＝（x＋4）2＋y2，|MB|＝（x－4）2＋y2，|MC|＝x2＋（y－2）2，|MD|＝x2＋（y＋2）2，∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得[（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2]＝[x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2].化简，得y2－x2＋6＝0.∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[精讲详析]本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系． 设B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，h )．则直线AC 的方程为y ＝－ha x ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0.直线AB 的方程为y ＝ha x ＋h ，即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：|BD |＝|2ah |a 2＋h2，|CE |＝|2ah |a 2＋h2，∴|BD |＝|CE |， 即BD ＝CE .(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c 2)，∴AD 2＋BD 2＝（a ＋b ）24＋c 24＋（a －b ）24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2. ∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y后的图形是什么形状？(1)y 2＝2x ；(2)x 2＋y 2＝1.[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y 2＝2x ，可得4y ′2＝6x ′，即y ′2＝32x ′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入x 2＋y 2＝1，得(3x ′)2＋(2y ′)2＝1，即x ′219＋y ′214＝1， 即伸缩变换之后的图形为焦点在y 轴上的椭圆．利用坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0）求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎨⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，然后将其代入已知的曲线方程求得关于x ′，y ′的曲线方程．3．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．解：设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .代入x ′2－y ′2＝1得(x 3)2－(y 2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法，湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个新热点．[考题印证](湖北高考改编)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法． [解]如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．一、选择题1．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cos x ′2 B ．y ′＝3cos 2x ′C ．y ′＝13cos x ′2D ．y ′＝13cos 2x ′解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 2．直线2x ＋3y ＝0经伸缩变换后变为x ′＋y ′＝0，则该伸缩变换为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yD.⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 解析：选B 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0）y ′＝μ·y ，（μ>0），将其代入方程x ′＋y ′＝0，得， λx ＋μy ＝0.又∵2x ＋3y ＝0，∴λ＝2，μ＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y .3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题5．将点P (2，3)变换为点P ′(1，1)的一个伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hx （h >0）y ′＝kx （k >0），由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h1＝3k，解得⎩⎨⎧h ＝12，k ＝13∴⎩⎨⎧x ′＝x2，y ′＝y 3.答案：⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y36．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入y ＝log 3x 得y ′＝log 312x ′，即y ＝log 3x 2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x ′2＋y ′216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0），则⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ.代入x 2＋y 2＝16得x ′216λ2＋y ′216μ2＝1.∴16λ2＝1，16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y8．已知A (2，－1)，B (－1，1)，O 为坐标原点，动点M ，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1，1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 (x －42)2－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎨⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．10．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|P A |，|PB |，|PC |，且满足|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程．解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P (x ，y )，B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，3a )，(y >0，a >0)用点的坐标表示等式|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)∴e ＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13， ∴b 2a 2＝23. 又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1＝ 2. ∴b 2＝2，a 2＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )．那么线段PF 1的中点为N (0，t 2)． 设M (x ，y )，由于MN ―→＝(－x ，t 2－y )， PF 1―→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN ―→·PF 1―→＝2x ＋t （y －t 2）＝0y ＝t，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 本章小结》4
直击考点考点一：极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化，弦长问题例题1：直线过点α3tan=-4α=2cos4πρθ+（）1413x ty t=+⎧⎨=--⎩=2cos+4πρθ（）到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（4）2（﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：（﹣24coθ，2inθ）所以M到直线的距离d==，（其中inα=，coα=）从而当coθ=，inθ=﹣时，d取得最小值．说明：例题1和变式训练1，主要是训练学生极坐标与堂总结（2）直线的参数方程中参数t的几何意义（注意使用条件）课后安排实践练习：1．点(,)P x y是椭圆222312x y+=上的一个动点，则2x y+的最大值为（）．A．22B．23C．11D．222．在圆2＋2＋2=0上求一点，使它到直线2＋3－5=0的距离最大．3．在椭圆42＋92=36上求一点221259x y+=22(1)1x y-+=，N，求线段MN的长．6．在平面直角坐标系O中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．。
人教课标版(B版)高中数学选修4-4第一章 坐标系极坐标系教案2
高中数学选修4-4教案第一备课人：姚雪艳第一讲 坐标系一 平面直角坐标系课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标：知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换 过程与方法：体会坐标变换的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换 教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 授课类型：新授课教学措施与方法：启发、诱导发现教学. 教学过程：一、阅读教材P4—P8问题探究1：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线sin 2y x =？思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？问题探究2：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin y x =？思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么？问题探究3：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin 2y x =？二、新课讲解：定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换 注（1） '(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩0,0λμ>>（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)221x y +=例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
三、知识应用：1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（）A ．21B .2 C.3 D.312、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 35后，曲线C 变为曲线22281,x y ''+=则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y += B.2291001x y +=C ．2210241x y += D.22281259x y += 3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 3121后的图形。
高中数学选修四教案
高中数学选修四教案
一、教案标题：向量的数量积及其应用
二、教学目标：
1. 掌握向量的数量积的定义和性质；
2. 能够运用向量的数量积求向量夹角和向量的投影；
3. 能够应用向量的数量积解决实际问题。
三、教学内容：
1. 向量的数量积的定义和性质；
2. 向量夹角的余弦定理；
3. 向量的投影及其应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际问题，引出向量的数量积的概念和应用。
2. 讲解向量的数量积的定义和性质，引导学生理解向量的数量积的意义。
3. 演示向量夹角的余弦定理的推导过程，并进行例题讲解。
4. 练习：让学生进行练习，巩固向量的数量积和夹角的概念。
5. 讲解向量的投影的概念及其应用，举例说明。
6. 练习：让学生进行解决实际问题的练习，提高应用能力。
7. 总结：归纳本节课的重点内容，强化学生对向量的数量积和应用的理解。
五、教学辅助手段：
1. 教学PPT；
2. 黑板；
3. 教材；
4. 实物或图片展示。
六、教学反馈：
1. 布置作业，让学生巩固所学知识；
2. 听取学生对本节课的反馈和建议；
3. 综合评价学生的学习情况，及时调整教学策略。
高中数学人教B版选修4-4教学案第一章 1.5 1.5.1 柱坐标系
1．5.1柱坐标系[读教材·填要点]．柱坐标系的概念设空间中一点的直角坐标为(，，)，点在坐标面上的投影点为，点在平面)，则三个有序数ρθ，ρ，上的极坐标为(θ称为空间中点的θ，)，构成的数组ρ(，柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥≤θ<π，为任意实数．．直角坐标与柱坐标的转化空间点的直角坐标(，，)与柱坐标(ρ，θ，)之间的变换公式为(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝.)))[小问题·大思维]．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．．在极坐标中，方程ρ＝ρ(ρ为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ的圆，方程θ＝θ(θ为常数)表示与极轴成θ角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ表示中心轴为轴，底半径为ρ的圆柱面，它是上述圆周沿轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ表示与坐标面成θ角的半平面．[例]已知空间点的直角坐标为(，)，求它的柱坐标．[思路点拨]本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．[精解详析]由公式(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝，))得ρ＝＋，＝.∴ρ＝()＋()＝＋＝.∴ρ＝.θ＝＝＝，又>，>，点在第一象限，∴θ＝.∴点的柱坐标为.已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出θ，还要根据点所在的象限确定θ的值(θ的范围是[π))．．点的直角坐标为(，，－)，则它的柱坐标为( )解析：选∵ρ＝＝，θ＝＝，∴点的柱坐标为.[例]已知点的柱坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨]本题考查柱坐标与直角坐标的转化．解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．[精解详析]∵点的柱坐标为，∴ρ＝，θ＝.由公式(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝，))得(\\(＝(π)，＝(π)，＝，))即(\\(＝()，＝，＝.))∴点的直角坐标为(，)．已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝))即可．。
高中选修4数学教案
高中选修4数学教案
教师：XXX
第一课时：立体几何的基本概念
目标：了解立体几何的基本概念，掌握立体几何的相关术语。
教学重点：球、柱、锥的表面积和体积的计算。
教学难点：利用给定条件计算球、柱、锥的体积。
教学准备：教科书、教学PPT、黑板、粉笔。
教学过程：
1. 导入：通过图片展示不同的立体几何图形，让学生猜测它们的名称。
2. 引入：介绍球、柱、锥的定义和特点，让学生看视频了解它们的表面积和体积计算方法。
3. 实例讲解：以一个具体的例子说明如何计算球、柱、锥的体积。
4. 练习：让学生自行计算几个给定图形的体积，并进行讲解和讨论。
5. 拓展：引导学生思考如何计算其他立体几何图形的体积，并鼓励他们尝试解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调立体几何的重要性，并对下节课的内容做简单预告。
板书设计：
立体几何的基本概念
- 球的表面积和体积的计算
- 柱的表面积和体积的计算
- 锥的表面积和体积的计算
作业布置：布置一些练习题，巩固本节课所学知识。
教学反思：本节课主要介绍了立体几何的基本概念和相关计算方法，通过实例讲解和练习，学生对立体几何的理解有了一定的提高。
在接下来的教学中，需要继续引导学生理解和应
用这些知识，提高他们的数学解题能力。
人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-弦切角定理 (Word)
1．2.3弦切角定理[对应学生用书P22][读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．[小问题·大思维]一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．[对应学生用书P23][例1]如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．[思路点拨]本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．[精解详析]由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部．即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.[例2]已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB.[思路点拨]本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．[精解详析]法一：如图(1)，延长AD交⊙O于E，AB切⊙O于A，∵CD⊥AE，∴AC＝CE.又∵∠DAC的度数＝1CE的度数．2∠CAB的度数＝1AC的度数．2∴∠DAC＝∠CAB.法二：如图(2)，延长BO交⊙O于E，连接AE，则∠CAE＝90°.又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E.∵AB是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠E.∴∠DAC＝∠CAB.法三：如图(3)，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.。
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_1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换
[对应学生用书P1]
[读教材·填要点]
1．直角坐标系
(1)直线上点的坐标
在直线上取定一点O ，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．
(2)平面直角坐标系
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x 轴，一条称为y 轴，交点O 称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．
(3)空间直角坐标系
过空间中一个定点O ，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x ，y ，z )之间就建立了一一对应关系．
2．平面上的伸缩变换
设点P (x ，y )是平面上的任意一点，在变换⎩⎨⎧ X ＝ax ，Y ＝by
(a >0，b >0) 的作用下，变为平面上的新点Q (X ，Y )，这种变换就是平面上的伸缩变换．
[小问题·大思维]
1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？
提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．
2．伸缩变换中的系数a ，b 有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系。