2-5指数与指数函数
第5节 指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。
人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(指数函数的性质与图像)
5 -3
8
与 1;
.
分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比
较大小;若不同底,一般用中间值法.
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探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
3
4
解:(1)∵0< <1,
3
∴y= 4 在定义域 R 内是减函数.
3 -1.8
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴
<
.
4
4
5
(2)∵0< <1,
1
(a>0,且
a≠1)的图像关于 y 轴对
称,分析指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像时,需找三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
③指数函数的图像永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图像越接近于
y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近于 y 轴,底数 a 越小.
解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,
所以
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
所以 a=2.
解得
= 1 或 = 2,
> 0,且 ≠ 1,
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当堂检测
反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这一结构形式.
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2.5指数与指数函数
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一、指数式与根式的计算
【例 1 】计算下列各式的值. (1) (2)
27 -3 8
2 1 2
+(0.002) -10( 5-2)-1+( 2 − 3)0; 3-1)0- 9-4 5;
-
1 -( 5+2
3
(3)
1 1(a>0,b>0). 1 1 4 (������ 4������ 2) ������ 3������3
请做演练巩固提升 4
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二、指数函数的图象与性质的应用
【例 2 -1 】在同一坐标系中,函数 y=2 与 y= ( A ). A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称
1 x 2
x
1 ������ 2
的图象之间的关系是
解析:∵ y=
=2-x,
∴ 它与函数 y=2x 的图象关于 y 轴对称.
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3 .与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤: (1)求复合函数的定义域; (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调性; (4)求出复合函数的单调区间(注意 “同增异减 ”). 4 .函数 y=a f(x )的值域的求解,先确定 f(x)的值域 ,再根据指数函数的单调 性确定 y=a f(x )的值域.
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而 y=
1 g (x ) 3
在 R 上单调递减.
所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).
课件7：2.5 指数与指数函数
所以 A＝{x|－1≤x<3}．
又因为 B＝{x|2－2x＋1<(12)3(x－1)}＝{x|2－2x＋1<2－3(x－1)}＝{x|－2x ＋1<－3(x－1)}＝{x|x<2}．
所以∁UA＝{x|x<－1 或 x≥3}， 所以(∁UA)∩B＝{x|x<－1}．
(理)(2014·新泰摸底)已知函数 f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)
[答案] [34，57]
[解析] 令 t＝(12)x，∵x∈[－3,2]， ∴t∈[14，8]． y＝t2－t＋1＝(t－12)2＋34. 当 t＝12时，ymin＝34； 当 t＝8 时，ymax＝57. ∴所求值域为[34，57]．
[失误与防范] 用换元法求解时，易漏掉“将 x 的取值范 围转化为新元的取值范围”而导致错误，故只要用换元法解题 就要考虑换元后新元的变化是否影响问题的结论．
• 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用 相应的指数型函数图象数形结合求解．
(文)已知实数a、b满足等式(
1 2
)a＝(
1 3
)b，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，其中不可
能成立的关系式有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
• [答案] B
指数函数的性质
• (文)(2014·山东青岛质检)设a＝0.32，b＝20.3，c＝
log20.3，则a，b，c的大小关系为( )
• A．c<a<b
B．a<c<b
• C．a<b<c
D．b<c<a
高考数学总复习 2-4 指数与指数函数但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 2-4 指数与指数函数但因为测试 新人教B 版1.(文)若log 2a <0，⎝⎛⎭⎫12b<1，则( ) A ．a >1，b >0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0[答案] C[解析] 由log 2a <0得0<a <1， 由⎝⎛⎭⎫12b<1＝⎝⎛⎭⎫120知b >0. (理)三个数P ＝(25)－15 ，Q ＝(65)－15 ，R ＝(65)－25的大小顺序是( )A ．Q <R <PB ．R <Q <PC ．Q <P <RD ．P <Q <R[答案] B[解析] 当a >1时，y ＝a x为R 上的增函数，故(65)－25 <(65)－15 ，∴R <Q ，则排除A 、C 、D ，选B.[点评] 对于P 、Q 的大小关系，当x <0时，∵0<a <1时，有a x >1，但当a >1时，a x<1，故(65)－15 <(25)－15 ，∴Q <P .2．函数f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |< 2 D ．1<|a |< 2[答案] D[解析] 由题意知，0<a 2－1<1， ∴1<a 2<2，∴1<|a |< 2.3．(文)若指数函数y ＝a x 的反函数的图象经过点(2，－1)，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．3 D ．10 [答案] A[解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝a x 过点(－1,2)，故选A. (理)(2011·山东文，3)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x 图象上知3a ＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3.4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C [解析] y ＝2x＋1的图象关于y 轴对称的曲线对应函数为y ＝21－x ，故选C.(理)(2011·聊城模拟)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1 B ．－1≤m <0 C ．m ≥1 D ．0<m ≤1[答案] A[解析] ∵|1－x |∈[0，＋∞)，∴2|1－x |∈[1，＋∞)，欲使函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，应有m ≤－1.5．(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x <1，x －1 x ≥1，且f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a >1，得0<a <1，由⎩⎨⎧a ≥1，a －1>1，得a >2，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)[答案] C[解析] 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.6．(2010·山东枣庄市模考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≥4f x ＋1 x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.13 B.16 C.112 D.124 [答案] D[解析] ∵1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log23＝⎝⎛⎭⎫12log224＝124. 7．(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎨⎧a a <b b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x 的值域是________．[答案] (0,1][解析] 由a *b 的定义知，f (x )取y ＝3x 与y ＝3－x 的值中的较小的，∴0<f (x )≤1.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于________．[答案] 9[解析] 由程序框图可知，h (x )的值取f (x )与g (x )的值中较大的，∵f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9,9>8，∴h (3)＝9.8．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图．|f (x )|≥13⇒f (x )≥13或f (x )≤－13.∴⎝⎛⎭⎫13x ≥13或1x ≤－13∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．9．(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x1＋4x，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈0，1 －2x 4x＋1 x ∈－1，0 0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋1 4x 2＋1，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数． (理)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))； (2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性； (3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1].11.(文)(2011·浙江省金华十校模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤2log 2x －1 ，x >2，则f (f (5))等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] B[解析] f (f (5))＝f (log 2(5－1))＝f (2)＝22－2＝1.(理)(2011·山东济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 由4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，得(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y )． 即t 2－2·2x ＋y ＝2t ，t 2－2t ＝2·2x ＋y.又由2x ＋2y ≥22x ＋y ，得2x ＋y ≤14(2x ＋2y )2，即2x ＋y ≤14t 2.所以0<t 2－2t ≤12t 2.解得2<t ≤4.12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )A ．有极大值B ．有极小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] C[解析] 设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝e x2＋1e x 2－ex 1－1e x 1＝(e x 2－e x1)－e x 2－e x 1e x 2e x 1＝(e x 2－e x 1)(1－1e x 2e x 1)>0，所以函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵{a n }是递增数列， ∴f (n )为单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a 8－6> 3－a ×7－3，∴2<a <3. 13．(2011·陕西师大附中一模)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.[答案]10[解析] ∵2a ＝5b ＝m ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10.14．(文)(2011·南通六校联考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．[答案] m <n[解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)，∴y ＝a x 是减函数， 故a m >a n ⇒m <n .(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 69(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x ＝214， ∴3x ＝－1，∴x ＝－13.15．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数． ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2 2x 1－2x 22x 1＋1 2x 2＋1，∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )为R 上增函数．(3)令y ＝2x －12x ＋1，则2x ＝－1－yy －1，∵2x >0，∴－1－yy －1>0，∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x .因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x ≤a ·⎝⎛⎭⎫12x≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x在[0，＋∞)上恒成立， 设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝t 2－t 14t 1t 2－1t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝t 1－t 22t 1t 2＋1t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1， 所以实数a 的取值范围为[－5,1]．1．(2010·山东省实验中学)若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，12)[答案] D[解析] 若a >1，如图(1)为y ＝|a x －1|的图象，与y ＝2a 显然无交点；当0<a <1时，如图(2)，要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，应有2a <1，∴0<a <12.2．设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以有a ＋b ＝1，选A.[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b >a ≥0，从而避免了对a 、b 的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a 、b 的方程组求解．3．(2011·石家庄一中模拟)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12 xC.12x D ．x 2[答案] B[解析] 函数y ＝a x 的反函数是f (x )＝log a x ， ∵其图象经过点(a ，a )，∴a ＝log a a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x .4．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n ＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.5．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)[答案] A[解析] 由a －2＝4，a >0，得a ＝12，∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |.又∵|－2|>|－1|，∴2|－2|>2|－1|，即f (－2)>f (－1)．6．函数y ＝a 2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．[答案]2[解析] 由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A (1,1)，而A ∈l ， ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，由基本不等式可得：m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12.∴O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2≤122＝2， ∴O 到直线l 的距离的最大值为 2.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2x －1 x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得，⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1 ≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．8．(2011·潍坊模拟)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．[答案] f (23)<f (32)<f (13)[解析] 由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )为单调增函数，则x ≤1时，f (x )为单调减函数．又f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，13<12<23，∴f (23)<f (32)<f (13)．9．已知函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0，a ≠1)，若f (－1)＝3，则f (0)＋f (2)的值为________．[答案] 9[解析] 由f (－1)＝3得a ＋1a＝3，于是f (2)＝a 2＋1a 2＝(a ＋1a)2－2＝32－2＝7. 又∵f (0)＝1＋1＝2，∴f (0)＋f (2)＝9.。
第二章 函数2-4指数与指数函数
第2章 第4节一、选择题1．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] ∵(x ＋y )α≠x α·y α，log a (x ＋y )≠log a x ＋log a y ，a x ＋y ＝a x ·a y ，cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ≠cos x cos y ，∴选C.2．(2010·南充市)若A ＝{x ∈Z |2≤22－x<8}，B ＝{x ∈R ||x －1|>1}，则A ∩(∁R B )的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，1≤2－x <3，∴－1<x ≤1，∵x ∈Z ，∴x ＝0或1，∴A ＝{0,1}； 由|x －1|>1得，x >2或x <0，∴B ＝{x |x >2或x <0}，∴∁R B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩∁U B ＝{0,1}．3．(文)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .(理)(2010·重庆诊断)设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1B.12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b C ．a 2<ab <1 D ．log 12b <log 12a <0[答案] B[解析] 依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数得，当0<b <a <1时，有⎝⎛⎭⎫120>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛121，即12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可利用a ，b 取值的任意性取特值检验，令b ＝14，a ＝12可得，14>18>116，∴a 2>ab >b 2，排除A 、C ；log1214＝2，log 1212＝1，∴log 12b >log 12a ，排除D ，故选B. 4．(文)(2010·泰安质检)某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨[答案] C[解析] 设年增长率为x ，则由题意知40(1＋x )10＝50，∴(1＋x )10＝54，∴2010年的年产量为40(1＋x )20＝40×⎝⎛⎭⎫542＝2504≈63万吨．(理)(2010·安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为13，则？处的关系式是( )A ．y ＝log 9xB ．y ＝3xC ．y ＝3－xD ．y ＝x 13[答案] B[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝13，故选B.5．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b2a<0，∴b <0，从而c >0与A 图不符；B 中－b2a>0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b2a >0，且f (0)＝c <0，故选D.6．(文)(2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即0＝20＋b ，∴b ＝－1，故f (1)＝2＋2－1＝3，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.(理)(2010·辽宁省实验中学)已知函数f (x )＝2x－1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1，x 2，给出下列结论：(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(4)D ．(3)(4)[答案] C[解析] ∵f (x )为增函数，x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，故(1)错； 排除A 、B ；A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是f (x )＝2x －1在(0,2)上任意两点，则k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1不总大于1，故(3)错，排除D ，选C.7．(文)(2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1D ．b >1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴ax 1＝bx 2＝3， ∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)(2010·辽宁文，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100[答案] A[解析] ∵2a＝5b＝m ∴a ＝log 2m b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10 选A.8．(文)(2010·吉林市质检、上海松江市模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴k ＝2，f (x )＝a x －a －x ， 又f (x )为减函数，∴0<a <1， ∴g (x )＝log a (x ＋2)的图象为A.(理)(2010·烟台中英文学校质检、海淀期中)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A ，y ＝x ＋a 中，0<a <1，故y ＝log a x 单减，与图象不符，排除A ；对于B 、C 由y ＝x ＋a 知，a >1，∴y ＝log a x 单调增，与图象不符，排除B 、C ，因此选D.9．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n＝a n，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.10．(文)(2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(12，2)D ．(0,1) [答案] A[解析] 设A (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，由条件知C (x 0,4x 0)，∴y B ＝4x 0＝22x 0，∴B (2x 0,22x 0)，∵直线AB 过原点，∴k OA ＝k OB ，∴22x 02x 0＝2x0x 0，∴x 0＝1，∴A (1,2)．(理)(2010·湖南八校联考)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0] [答案] A[解析] 由题意知，log 12(4x －2x ＋1＋1)≥0，则有0<4x －2x ＋1＋1≤1，解得x ≤1且x ≠0，排除C 、D.经检验，当x ∈(0,1]时，f (x )的值域是[0，＋∞)．故选A.[点评] 由函数f (x )的值域为[0，＋∞)知，令u ＝4x－2x ＋1＋1，则log 12u ≥0，∴0<u ≤1，而u ＝(2x －1)2，∴x ≤1且x ≠0，而当x ＝1时，u ＝1，当x ＝0时，u ＝0，故0<x ≤1时，0<u ≤1，因此集合{x |x ≤1且x ≠0}的所有包含{x |0<x ≤1}的子集都可以取作该函数的定义域．二、填空题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x x ∈[－1，0]3x x ∈(0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________. [答案] 2[解析] ∵－1<log 312<0，∴f (log 312)＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝(3log 312)－1＝2.(理)(2010·北京东城区)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x x ≤0f (x －1)－f (x －2) x >0，则f (－1)＝______，f (33)＝________.[答案] 4，－2[解析] f (－1)＝21－(－1)＝4，f (33)＝f (32)－f (31)＝f (31)－f (30)－f (31)＝－f (30)，同理f (30)＝－f (27)，∴f (33)＝f (27)，∴f (33)＝f (3)＝－f (0)＝－2.12．(文)(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________，最小值为________．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 96(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x＝214，∴3x ＝－1，∴x ＝－13.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2(x －1) x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．14．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，φ(x )＝log 2x ，则f (12＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x ) h (x )>φ(x )h (x ) h (x )≤φ(x )，∵h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＝22，φ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 三、解答题15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，∴f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x1＋4x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)－2x 4x＋1 x ∈(－1，0)0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋12x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1)，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．16．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围． [解析] 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3t －1)＝0，①要使原方程有两个实数根，方程①必须有两个正根 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0t 1t 2＝3k －1>0t 1＋t 2＝2>0解得13<k ≤23[点评] ∵t ＝3x >0，∴原方程有两个实数根x 1、x 2，则对应的方程①应有两个正根t 1＝3x 1，t 2＝3x 2，而不是两个任意实数根．17．(文)(2010·辽宁省锦州市通考)已知函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A (1,1)，B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)若数列{c n }满足c n ＝6na n －n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵函数f (x )＝m ·2x＋t 的图象经过点A 、B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋t ＝14m ＋t ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1t ＝－1，∴f (x )＝2x－1，∴S n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1.(2)c n ＝3n ·2n－n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n)－(1＋2＋…＋n )，令P n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ① 则2P n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1② ①－②得－P n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2×(2n －1)2－1－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴P n ＝(n －1)2n ＋1＋2， ∴T n ＝3(n －1)2n ＋1＋6－n (n ＋1)2. (理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛12x ＋⎝⎛⎭⎫14x. 因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x ≤a ·⎝⎛⎭⎫12x ≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝(t 2－t 1)(4t 1t 2－1)t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝(t 1－t 2)(2t 1t 2＋1)t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1， 所以实数a 的取值范围为[－5,1]．。
【高优指导】2017高考数学一轮复习 第二章 函数 2.5 指数与指数函数课件 理 北师大版
-61 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1) (������-4)4 =π-4. ( × ) (2) ������������ 与( ������)n 都等于 a(n∈N+). ( × )
2 1 (3)(-4)4 =(-4)2 =-2. x-1
������ ������ 4
-4-
2.实数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂的意义是
������ ������ ������
= ������������ (a>0,m,n∈N+,且 n>1). ②正数的负分数指数幂的意义是 ������
������ ������
������
=
1
������ ������
������ =
-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
对点训练1 化简下列各式:
1 (1)0.027 3
3
−
1 -2 7
3
+
7 2 9
3
1 2
-( 2-1)0;
(2)
7 ������2
������-3 ÷
������-8 · ������15 .
解:(1)原式= =(a2)3
2 3 1
27 1 000 3 1 - 3
关闭
∵f(3)=π,∴a =π,∴a=π ,
3
1 3
∴f(x)= π
C
1 3
������
=π .
解析
������ 3
关闭
答案
-91 2 3 4 5
4.(2015北京模拟)在同一坐标系中,函数y=2x与y=
间的关系是( ) A.关于y轴对称 C.关于原点对称 B.关于x轴对称 D.关于直线y=x对称
二.2.5指数与指数函数
1 2
1 2
题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
1 2
思维启迪
解析
探究提高
【例 1】 (1)计算：(124＋22 3) －27 ＋16 －2×(8 ) ；
1 6 3 4
2 3
－1
(1)本题是求指数幂的值，按指 数幂的运算律运算即可； (2)注意 x ＋x 、x ＋x 与 x ＋x 之间的关系．
1 2 1 6 3 4 3 2 2 3
3 2
3 2
(2)∵x ＋x ＝3，∴(x ＋x )2＝9， － － ∴x＋2＋x 1＝9，∴x＋x 1＝7，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴(x＋x 1)2＝49，∴x2＋x 2＝47，
－ －
又∵x ＋x ＝(x ＋x )· (x－1＋x 1)
－
3 2
m n
m n
1
2．指数函数的单调性 是底数 a 的大小决 定的，因此解题时 通常对底数 a 按： 0<a<1 和 a>1 进行 分类讨论． 3．比较指数式的大小 方法：利用指数函 数单调性、利用中 间值．
(a>0，m、n∈N*，且 n>1)． ⑥0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数 指数幂 没有意义 ． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ a
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2
答案
7
(－ 2，－1)∪(1， 2)
3
解析
3
4 5
D A
题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
1 2
思维启迪
解析
探究提高
【例 1】 (1)计算：(124＋22 3) －27 ＋16 －2×(8 )－1；
高中数学：第二章 2.5指数与指数函数
知识梳理 0<a<1
图象
定义域 值域
(1) R (2) (0，＋∞)
基础知识·自主学习
知识梳理
(3)过定点 (0,1)
(4)当x>0时， y>1 ； (5)当x>0时， 0<y<1 ；
性质 当x<0时， 0<y<1
当x<0时， y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是 (7)在(－∞，＋∞)上是
增函数
减函数
例3 (1)k为何值时，方程|3x－1|
解析
思维升华
当k<0时，直线y＝k与函数y ＝ |3x － 1| 的 图 象 无 交 点 ， 即
＝k无解？有一解？有两解？
方程无解； 当k＝0或k≥1时，直线y＝k
与函数y＝|3x－1|的图象有唯
一的交点，
所以方程有一解；
题型分类·深度剖析 题型三 指数函数的应用
论正确的是( D )
单调递减，
A．a>1，b<0
所以0<a<1.
B．a>1，b>0
函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)
C．0<a<1，b>0
＝ ax 的 基 础 上 向 左 平 移 得 到
D．0<a<1，b<0
的，所以b<0.
题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象和性质 解析
答案
思维升华
例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图 所示，其中a，b为常数，则下列结 (1)对与指数函数有关的函数
论正确的是( D )
的图象的研究，往往利用相
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0
2014高考数学一轮复习课件_2.5指数与指数函数
形结合求解．
【尝试解答】
(1)由f(x)＝|2x－1|
2x－1，x≥0， ＝ 可作出函数的 1－2x，x＜0.
图象如图．因此函数f(x)在(－∞， 0)上递减；函数f(x)在(0，＋∞)上 递增．
(2)在同一坐标系中分别作出
函数f(x)、f(x＋1)的图象，
如图所示．
由图象知，当|2x0＋1－1|＝|2x0－1|时，解得x0＝ 2 2 log2 ，两图象相交，从图象可见，当x＜log2 时，f(x)＞f(x 3 3 ＋1)； 2 当x＝log2 时，f(x)＝f(x＋1)； 3 2 当x＞log2 时，f(x)＜f(x＋1)． 3
指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确 复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都 要借助“同增异减”这一性质分析判断． 2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞
0时的情况．
ax－1 已知函数f(x)＝ x (a＞0且a≠1)． a ＋1 (1)求f(x)的定义域和值域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性．
(2，－2)
3．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2 －1)x在定义域内是
减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知0＜a2－1＜1， ∴1＜a2＜2，即1＜a＜ 2或－ 2＜a＜－1.
【答案】
(－ 2，－1)∪(1， 2)
4 ． (2013· 广 州 六 校 联 考 ) 已 知 函 数 g(x) ＝ 2x ， 且 有
【答案】
A
易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识，造成思维受 阻． (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目 作答，造成误解．
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
题型一
指数幂的运算
3 23
a b ab2 【例 1】 化简：(1) (a＞0，b＞0)； 1 1 1 1 4 （a4b2） a－3b3 2 27－ 1 －1 0 3 － (2) ＋ (0.002) － － 10( 5 － 2) ＋ ( 2 － 3) . 8 2
或“＜”)．
【解析】 设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数， 由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n. 【答案】 ＞
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
4．若函数 y＝ (a2－1)x在 (－∞，＋∞)上为减函数，则实
数a的取值范围是________．
【解析】 由 y＝(a2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得 0＜ a2－1＜1，∴1＜a2＜2，即 1＜a＜ 2或－ 2＜a＜－1. 【答案】 (－ 2，－1)∪(1， 2)
1 A.2，2 1 C.4，2 1 B.2， 1 D.4， 2 2
)
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
【解析】 当 a＞1 时， 如图所示， 使得两个函数图象有交点， 1 需满足2·22≥a2，即 1＜a≤ 2； 1 1 2 0＜a＜1 时，需满足 a ≥2·1 ，即2≤a＜1，
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
ar＋s
ars
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
2．指数函数的图象与性质
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) a ＝( a)n＝a.( n
2
1
10 ＋1 5－ 2
1 8 2 ＝－273＋5002－10(
5＋2)＋1
4 167 ＝9＋10 5－10 5－20＋1＝－ 9 .
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
【方法规律】 (1)指数幂的运算首先将根式、分数
指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应
1
1 2 a＝1 时，y＝2x 与 y＝1 在[1，2]上有交点． 1 综上2≤a≤ 2.
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
【答案】 B
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
3．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m________n(填“＞”
－
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
5 2 4 3 27 1 1 － 64 2 3 － 8 3 － 1 ＝ (1) 原 式 ＝ 1 0005 10
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
1 2 1 （a b a3b3）2 3 1 1 1 1 【解析】 (1)原式＝ ＝ a ＋ － 1 ＋ b 1 ＋ － 2 － 2 6 3 3 3 1 1 2 ab a－3b3
3 2
＝ab 1.
－
27－ 1 － 3 (2)原式＝ － 8 ＋500 2－
－ －
∴(a＋1) 2＋(b＋1) 2＝(3－ 3) 2＋(3＋ 3)
－ － －
－2
1 1 2 ＝ ＋ ＝ . 12－6 3 12＋6 3 3
【答案】 D
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
1 2 2．(2016· 唐山二模)当 x∈[1，2]时，函数 y＝2x 与 y＝ax(a＞ 0)的图象有交点，则 a 的取值范围是(
注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算 的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正 数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能 既有分母又含有负指数．
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
1 2 3 3 － 跟踪训练 1 (1)[(0.0645) 2.5]3－ 38－π 0＝________． 1 1－ (2)4 2· 1＝________． － － （0.1） 1·（a3·b 3）2 （ 4ab 1）3
)
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
1．若 a＝(2＋ 3) 1，b＝(2－ 3) 1，则(a＋1) 2＋(b＋1) 2 的
－ － － －
值是( A．1 2 C. 2
) 1 B.4 2 D.3
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【解析】 ∵a＝(2＋ 3) 1＝2－ 3，b＝(2－ 3) 1＝2＋ 3，
n
n
) )
m m (2)分数指数幂 a n 可以理解为 n 个 a 相乘．( 2 1 (3)(－1)4＝(－1)2＝ －1.( )
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
(4)函数y＝a－x是R上的增1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(
(6)函数y＝2x－1是指数函数．( 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× ) (5)× (6)×
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
5 ． (2017· 南 昌 一 模 ) 函 数 y ＝ 8 － 23 － x(x≥0) 的 值 域 是
________．
【解析】 ∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3， ∴0＜23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x＜8， ∴函数y＝8－23－x的值域为[0，8)． 【答案】 [0，8)
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.5 [ 考纲要求 ]
指数与指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景 .2. 理解有
理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握
指数函数图象通过的特殊点 .4.知道指数函数是一类重要的 函数模型．
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