高中数学 选修2-1 北师大版 命题1 课时作业(含答案)
高中数学北师大版选修2-1课时作业：第3章 习题课4 Word版含解析
习题课(4)一、选择题1． 已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S ＝4π.故选B.答案：B2． 方程1－|x |＝1－y 表示( ) A ．两条线段 B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段 解析：由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0. ∴y ＝|x |，|x |≤1，∴曲线表示两条线段，故选A. 答案：A3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点， 弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( )A ．263B ．433C ．463D ．233解析：如右图，a ＝2，由AC →·BC →＝0⇔∠C ＝90°，|BC |＝2|AC |，∴|OC |＝|AC |，∴C (1，－1)代入椭圆方程得14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，又a 2＝4，∴c 2＝4－43＝83，∴c ＝263.∴2c ＝463.答案：C4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2.又直线AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2.代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案：B5．[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．因为抛物线的焦点为(0，p2)，直线方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13.故选C.答案：C6．[2014·浙江省学军中学期中考试]如图，F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．13B ．15C ．2D ． 3解析：本题主要考查双曲线的几何性质．∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，不妨令|AB |＝3，|BF 2|＝4，|AF 2|＝5，∵|AB |2＋|BF 2|2＝|AF 2|2，∴∠ABF 2＝90°，又由双曲线的定义得：|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 1|＋3－4＝5－|AF 1|，∴|AF 1|＝3，∴2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，∴a ＝1，|BF 1|＝6.在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2＝36＋16＝52，又|F 1F 2|2＝4c 2，∴4c 2＝52，∴c ＝13，∴双曲线的离心率e ＝ca＝13，故选A.答案：A 二、填空题7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________．解析：设AF1＝1，由△ABF 2是正三角形知，|AF 2|＝2，|F 1F 2|＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝2c 2a＝|F 1F 2||AF 1|＋|AF 2|＝33.答案：338．若直线y ＝2x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________． 解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y 2＝4x ，整理得4x 2－16x ＋9＝0，由根与系数之间的关系知x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)－6＝2，所以线段AB 的中点坐标为(2,1)．答案：(2,1)9．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是__________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，依题意c ＝7.∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2.∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.答案：x 22－y 25＝1三、解答题10．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点． (1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，Δ＝4a 2－4(3－a 2)(－2)＝24－4a 2>0， ∴a ∈(－6，6)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2. (1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋a 2)[(2a 3－a 2)2＋83－a 2]＝2(1＋a 2)(6－a 2)|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0. 即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.即a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．11．[2014·郑州外国语学校月考]已知椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．解：(1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消去y 得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25(或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25)，∴中点坐标为M (－35，25)．(2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2， |AB |＝1＋k 2l ·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝835， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝465，△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.12．已知抛物线C 1：y 2＝4px (p >0)，焦点为F 2，其准线与x 轴交于点F 1；椭圆C 2：分别以F 1、F 2为左、右焦点，其离心率e ＝12；且抛物线C 1和椭圆C 2的一个交点记为M .(1)当p ＝1时，求椭圆C 2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，且与抛物线C 1相交于A ，B 两点，若弦长|AB |等于△MF 1F 2的周长，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得c a ＝12，①c ＝1，②∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝1，且A (1,2)，B (1，－2)， ∴|AB |＝4.又∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6≠|AB |. ∴直线l 的斜率必存在．②设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k (x －1)，得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∵直线l 与抛物线C 1有两个交点A ，B ， ∴Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 4 ＝16k 2＋16>0，且k ≠0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(2＋4k2)2－4]＝(1＋k 2)(16k 2＋16k 4)＝4(1＋k 2)k 2，∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6， ∴由4(1＋k 2)k 2＝6，解得k ＝±2.故所求直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．。
【金版优课】高中数学北师大版选修2-1课时作业：2.3.2 空间向量基本定理 Word版含解析
第二章 §3 课时作业15一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{a ，b ，c }中基向量与基底{e ，f ，g }中基向量对应相等解析：A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B 项，空间基底有无数个；D 项中因为基底不唯一，所以D 错．故选C.答案：C2．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ，b ，c 为非零向量，则{a ，b ，c }不一定为基底，但若{a ，b ，c }为基底，则a ，b ，c 肯定为非零向量，所以p 为q 的必要不充分条件．答案：B3．[2014·黑龙江省哈尔滨九中模考]已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：本题主要考查空间向量基本定理及其应用．由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此，2x ＋3y ＋4z ＝－1，故选B.答案：B4．如右图所示，在空间四边形OABC 中，点M 为OA 中点，N 为AB 中点，P 在CN 上，且CP ＝12PN ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MP →＝( )A ．－13a ＋16b ＋23cB ．13a ＋16b －23cC ．－13a －16b ＋23cD ．13a －16b ＋23c解析：MP →＝MO →＋OC →＋CP →＝－12OA →＋OC →＋13CN →＝－12a ＋c ＋13×12(CA →＋CB →)＝－12a ＋c ＋16(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝－12a ＋c ＋16(a ＋b －2c )＝－13a ＋16b ＋23c .答案：A 二、填空题5．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x ＝________.解析：∵M 、A 、B 、C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，得x ＝13.答案：136．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a ，b 的关系是__________．解析：∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0， ∴a ⊥b . 答案：a ⊥b7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝________.解析：2AC 1→＝2AA 1→＋2AD →＋2AB → ＝(AA 1→＋AD →)＋(AA 1→＋AB →)＋(AD →＋AB →)＝AD 1→＋AB 1→＋AC →， ∴AC 1→＝12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)．答案：12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)三、解答题8．已知空间四边形OABC ，点M ，N ，P 分别是OA ，BC ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →，MP →.解：如图所示，连接ON . MN →＝MO →＋ON → ＝－12OA →＋12(OB →＋OC →)＝12(－a ＋b ＋c )， MP →＝OP →－OM →＝12(c －a )．9．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .解：(1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝(AB →＋13AA 1→)＋(AD →＋23AA 1→)＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→.所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13.所以x ＋y ＋z ＝13.。
(北师大版)数学高中选修2-1课时同步练习汇总(全书完整版)
（北师大版）高中数学选修2-1（全册）课时同步练习汇总[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2bC．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1⇒/ x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3n不是个大数；④sin x＞－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学．解析：①是命题，且是真命题．②是命题，且是真命题．③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[能力提升]1.下列命题正确的个数为( )①已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的范围是[1，7]；②若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的范围是(7－12，3＋12)； ③如果正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)； ④a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝(13)0.5的大小关系是a ＞b ＞c .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2. ∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7， ∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0， 解得7－12＜x ＜3＋12，②正确； 对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3. 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确； 对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2.设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③3.求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2. p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q ＞2，∴(p ＋q )2＞4，∴p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2. 4．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是()A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选 D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是()A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，因为PO⊥π，aπ，所以PO⊥a，又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO，又c平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |. ③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确； 由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． 所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0. 由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． 得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ， 所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1.当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1， 即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时，2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q ，S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q，所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．[A.基础达标]1．使不等式1a ＞1b成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其他条件均推不出1a ＞1b，故选D.2．使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.因为a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C. 3．下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 不是a ＝b 的充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0不是sin θ＞0的必要条件解析：选C.由于θ＞0⇒/ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，所以C 的说法不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，所以a ≤1，选D.5．如果不等式|x －a |＜1成立的充分条件但不是必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是( )A.12＜a ＜32B.12≤a ≤32C ．a ＞32或a ＜12D ．a ≥32或a ≤12解析：选B.|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意可得⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32，即a ∈⎣⎡⎦⎤12，32. 6.a 为素数________a 为奇数的充分条件(填是或不是)．解析：由于a ＝2时不成立，所以a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，所以12＋a ＋2＝0，所以a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”、“必要”填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2.所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．10．分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β；(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β， α≠β sin α≠sin β，所以α≠β不是sin α≠sin β的充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得 Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2不是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的必要条件．[B.能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的既是充分条件，又是必要条件的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：选A.由P (2，3)∈A 得2×2－3＋m ＞0，即m ＞－1；由P (2，3)∈∁U B 得2＋3－n ＞0，即n ＜5.3．函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________．解析：因为x ∈R ，f (x )为奇函数． 所以f (0)＝0，即a －2＝0，所以a ＝2. 答案：a ＝24．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．(填“充分”、“必要”)解析：因为该命题的否命题为真命题，所以B ⇒A .又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A ⇒/ B ，即A 是B 的必要条件．答案：必要5．已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.所以m ≥9，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.所以实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．6．(选做题)设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 015；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 015得|－x ＋3|≥2 015，即|x －3|≥2 015，所以x －3≥2 015或x －3≤－2 015，解得x ≥2 018或x ≤－2 012.故不等式的解集为{x |x ≤－2 012或x ≥2 018}．(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.使不等式1a ＞1b 成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其它条件均推不出1a ＞1b ，故选D.2.使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.∵a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C.3.下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 是a ＝b 的不充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件解析：选C.由于θ＞0/⇒ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，∴C 中命题不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，∴a ≤1，选D. 5.对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 解析：选B.6.a 为素数解析：由于a ＝2时不成立，∴a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，∴12＋a ＋2＝0，∴a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用充分、必要填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9.(1)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件？解：(1)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，则只要{x |x ＜－m2}⊆{x |x ＜－1或x＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．(2)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件，则只要{x |x ＜－m2}⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件．10.分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β.(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β/⇒ α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β，α≠β/⇒ sin α≠sin β，所以α≠β是sin α≠sin β的不充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的不必要条件．[能力提升]1.已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2.函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________． 解析：∵x ∈R ，f (x )为奇函数． ∴f (0)＝0，即a －2＝0，∴a ＝2. 答案：a ＝23.已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 4．设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 014；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 014得|－x ＋3|≥2 014，即|x －3|≥2 014，所以x －3≥2 014或x －3≤－2 014，解得x ≥2 017或x ≤－2 011.(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3D ．x ＜3解析：选A.∵x ＞1⇒/ x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1. 2.设α，β分别为两个不同的平面，直线l α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l ⊥β”，因此选A.3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D. 5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立； 当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立． 6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D . 答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1.∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而p⇒/ q，所以p是q的必要不充分条件．10.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性． ∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n .∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q .∴a ＋b ＝0. (2)充分性．∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .∵a n＝S n－S n－1＝(aq n－a)－(aq n－1－a)＝a(q－1)q n－1(n＞1)，∴a n＋1a n＝a（q－1）q na（q－1）q n－1＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴a2a1＝aq2－aqaq－a＝q.故数列{a n}是公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.∴命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．显然集合B A，即q/⇒p，所以p不是q的必要条件．如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.又a＞0，所以0＜a≤2.∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.[A.基础达标]1．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2， 所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2， 所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立． 故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A.5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2.答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：AB ，q ：∁S B∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1.所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件． 解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1.所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}． 由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}． 显然集合B A ，即q p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7. 又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升]1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a ＜2，再由甲的描述知a ＝1.答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3.6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0] ＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b2a，a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝b 24－b22＋ac ＝4ac －b 24＜0.所以存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每一个二次函数的图像都开口向上 B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0 D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( ) A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0 B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos xD ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos xsin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC 解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ，故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2； (3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .。
高中数学北师大版选修2-1课时作业2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 Word版含解析
第二章§课时作业一、选择题．点(－，－)在坐标平面，，内的射影的坐标分别是( )．(－)，(－，－)，(，－)．(，－)，(－，－)，(，－)．(－)，(－，－)，(，－)．()，(－)，()解析：自点向坐标平面引垂线，垂足就是点在坐标平面内的射影，竖坐标＝，则得(－)，其他情况同理．答案：．在空间直角坐标系中，已知点(，，)，下列叙述中正确的个数是( )①点关于轴对称的点的坐标是(，－，)；②点关于平面对称的点的坐标是(，－，－)；③点关于轴对称的点的坐标是(，－，)；④点关于原点对称的点的坐标是(－，－，－)．．．．．解析：只有④正确．①中(，－，－)，②中(－，，)，③中(－，，－)．答案：．已知，，为标准正交基，＝＋＋，则在方向上的投影为( )．．－．．－解析：·＝··〈，〉，则·〈，〉＝＝(＋＋)·＝＝，故选.答案：．棱长为的正四面体－中，以△的中心为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，为的中点，则的坐标为( )．．．．解析：底面△的高＝×＝，＝，＝＝＝，，而，则中点的坐标为.∴＝.答案：二、填空题．已知线段的长度为，与直线的夹角为°，则在上的投影为．解析：在上的投影为·°＝－.答案：－．在三棱锥－中，为△的重心，设＝，＝，＝，则＝(用，，表示)．解析：如图，＝＋＝＋(为的中点)＝＋(－)＝＋×(＋)＝(＋＋)．答案：(＋＋)．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足(－)·(－)＝，则的最大值是．解析：由已知，得＝(＋)·＝·＋·〈＋，〉，即＝〈＋，〉，当〈＋，〉＝时，取得最大值.答案：三、解答题．已知在正四棱锥－中，为底面中心，底面边长和高都是，，分别是侧棱，的中点，按照下列要求建立空间直角坐标系，分别写出点，，，，，，的坐标．如图，以为坐标原点，分别以射线，，的指向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．解：设，，分别是轴，轴，轴正方向上的单位向量．因为点在坐标平面内，且底面正方形的中心为，边长为，所以＝＋，所以向量的坐标为()，即点的坐标为()．同理可得(，－)，(－)，(－，－)．。
高中数学(北师大版选修2-1)配套课时作业第三章 空间向量与立体几何 4.1 Word版含答案
§曲线与方程
曲线与方程
课时目标.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.了解求曲线方程的步骤.会求简单曲线的方程．
．在平面直角坐标系中，如果某曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程(，)＝的实数解建立了如下的关系：
()曲线上点的坐标都是这个方程的解；
()以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么这个方程叫做；这条曲线叫做．
．如果曲线的方程是(，)＝，点的坐标是(，)，则①点在曲线上；②点不在曲线上．
一、选择题
．方程＋－＝表示的曲线是()
．已知直线的方程是(，)＝，点(，)不在上，则方程(，)－(，)＝表示的曲线是()
．直线．与垂直的一条直线
．与平行的一条直线．与平行的两条直线
．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()
．＝与＝
．＝与＝
．－＝与＝
．＝与＝
．已知点(－)，()，()，则△底边的中线的方程是()
．＝．＝(≤≤)
．＝．＝(≤≤)
．在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是()
．＋＝
．＋＝ (>)
．＝－
．＝－ (<<)
．如果曲线上的点的坐标满足方程(，)＝，则下列说法正确的是()
．曲线的方程是(，)＝
．方程(，)＝的曲线是
．坐标不满足方程(，)＝的点都不在曲线上
．坐标满足方程(，)＝的点都在曲线上
题号
答案
二、填空题
．若方程＋＝的曲线经过点()和，则＝，＝.
．到直线＋－＝的距离为的点的轨迹方程为．
．已知点()，(，－)，动点满足＝，则点的轨迹方程是．
三、解答题
．已知平面上两个定点，之间的距离为，点到，两点的距离之比为∶，求动点的轨迹方。
【金版优课】高中数学北师大版选修2-1课时作业：第2章 习题课2 Word版含解析
习题课(2)一、选择题1．若A (1，－2,3)，B (2,5,6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，－2,3) B ．(2,5,6) C ．(1,7,3)D ．(－1，－7,3)解析：∵AB →＝(1,7,3)，又与AB →平行的非零向量都可作为l 的方向向量， ∴(1,7,3)＝AB →可作为l 的方向向量． 答案：C2．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A ．(－13，－23，－23)B ．(－13，23，－23)C ．(－13，23，23)D ．(13，23，23)解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2. 所以n ＝(1，－2,2)．因为|n |＝3， 所以平面ABC 的一个单位法向量可以是 (－13，23，－23)． 答案：B3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)解析：∵n 为α的一个法向量，∴n ·AP →＝0，把P 点依次代入满足上式即可． 答案：B4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱CC 1，BC ，A 1B 1上的点，若∠B 1MN ＝90°，则∠PMN 的大小是( )A ．等于90°B ．小于90°C ．大于90°D ．不确定解析：∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥MN ， ∵MP →·MN →＝(MB 1→＋B 1P →)·MN →＝MB 1→·MN →＋B 1P →·MN →＝0， ∴MP ⊥MN ，即∠PMN ＝90°. 答案：A5．[2014·辽宁大连一模]长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A ．1010B ．3010C ．21510D ．31010解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 答案：B6．如右图所示 ，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )A ．36 B ．34 C ．33D ．233解析：如右图所示，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝ 3.所以B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫－32，0，0. 结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量， 由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－12，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． 所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝23 3.答案：D 二、填空题7．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.解析：AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0.得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y .则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－43y )＝2∶3∶(－4)．答案：2∶3∶(－4)8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是__________．解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，BC 1→＝(－1,0,1)，A 1D →＝(－1，0，－1)，BD →＝(－1，－1,0)，设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，x ，y )，设平面A 1BD 与BC 1所成的角为θ，n ⊥A 1D →，n ⊥BD →，所以n ·A 1D →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1－y ＝0，－1－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.所以n ＝(1，－1，－1)，则cos 〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n |BC 1→||n |＝－63，所以sin θ＝63， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫632＝33. 答案：339．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．解析：设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1，1)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×(－1)＋(－1)×12·2＝－12，∴〈n 1，n 2〉＝2π3.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为π3或2π3.答案：π3或2π3三、解答题10．在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，EF ⊥PB 于点F .(1)证明：P A ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如右图所示建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)，所以EG →＝(a2，0，－a 2)，又P A →＝(a,0，－a )，所以P A →＝2EG →， 这表明P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )，DE →＝(0，a 2，a 2)，所以PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE .由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .11．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，AD ⊥BD ，又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED . 所以BD ⊥平面AED .(2)连接AC ，由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)， 因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0， 所以x ＝3y ＝3z ， 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量， 则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 12． [2013·浙江高考]如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小． 解：(1)如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知A (0，2，2)， B (0，－2，0)，D (0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)，因为AQ →＝3QC →， 所以Q (34x 0，24＋34y 0，12)．因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P (0,0，12)，所以PQ →＝(34x 0，24＋34y 0,0)． 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)， 故PQ →·u ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD . (2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)，知⎩⎨⎧－x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝(y 0＋2x 0，－1,22)．又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝12，即⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝3.①又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.②联立①，②，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－2(舍去)或⎩⎨⎧x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.。
高中数学北师大版选修2-1课时作业：3.4.3 曲线与方程(3) Word版含解析
第三章 §4 课时作业34一、选择题1．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线解析：方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.答案：C2．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)， P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝4(x >0) C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2(0<x <2) 解析：注意所求轨迹在第四象限内． 答案：D4．[2014·广东省珠海一中模考]点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1上，点C 是∠AOB 的平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为( )A ．(x －23)2＋y 2＝49B ．(x ＋23)2＋y 2＝49C ．(x －13)2＋y 2＝49D ． (x ＋13)2＋y 2＝49解析：本题主要考查求曲线的方程．设B (x 0，y 0)，C (x ，y )由|OA ||OB |＝2，得AC →＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1y 0＝32y，因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得(x －23)2＋y 2＝49，故选A.答案：A 二、填空题5．动点P 到点(1，－2)的距离为4，则动点P 的轨迹方程为________． 解析：设P (x ，y )，由题意易知所求轨迹为圆，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝166．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__________． 解析：设圆C 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0的距离 d ＝|a －b －1|2＝r ，①又圆C 过A (4,1)，B (2,1)， ∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2， ② (2－a )2＋(1－b )2＝r 2，③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2， ∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝27．由动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__________．解析：由题意得OP ＝2，为定长，所以点P 的轨迹是以定点O 为圆心，r ＝2的圆． ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝4 三、解答题8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任一动点，若F 2关于∠F 1PF 2的平分线的对称点H 在线段PF 1上，求点H 的轨迹方程．解：如图，设点P 在双曲线的右支上，且PQ 为∠F 1PF 2的平分线．∵F 2关于PQ 的对称点为H ， ∴|PF 2|＝|PH |，且H 在PF 1上． 又|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－|PH |＝|F 1H |＝2a .即H 在以F 1为圆心，半径为2a 的圆上，其方程为(x ＋c )2＋y 2＝4a 2.9．△ABC 的三边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．解：以C 为原点O ，CB 、CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于AC ＝3，BC ＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝12×3r＋12×4r ＋12×5r ，得r ＝1， 于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，那么当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.。
北师大版高中数学选修2-1§1 命题
§1命题（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1.命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆命题是( )A.若一个数是负数，则这个数的平方不是正数B.若一个数的平方是正数，则这个数是负数C.若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数2.命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的逆否命题是()A.若a－1≤b－1，则a≤bB.若a＜b，则a－1＜b－1C.若a－1＞b－1，则a＞bD.若a≤b，则a－1≤b－13.命题“若∠A=60°,则△ABC是等边三角形”的否命题是()A.假命题B.与原命题同真同假C.与原命题的逆否命题同真同假D.与原命题的逆命题同真同假4.用反证法证明命题“√2+√3是无理数”时,假设正确的是（）A.假设√2是有理数B.假设√3是有理数C.假设√2或√3是有理数D.假设√2+√3是有理数5.原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的是()A.原命题是真命题B.逆命题是假命题C.否命题是真命题D.逆否命题是真命题6.与命题“若a∈M,则b∉M”等价的命题是（）A.若a∉M,则b∉MB.若b∉M，则a∈MC.若a∉M，则b∈MD.若b∈M，则a∉M二、填空题（本题共2小题，每小题4分，共8分）7.给出下列命题：①原命题为真,它的否命题为假；②原命题为真,它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真,则它的否命题一定为真；⑤“若m>1，则mx2−2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)8.命题：“如果√x－2+(y+1)2=0，则x=2且y=－1”的逆否命题为.三、解答题（本题共3小题，共44分）9.（本小题满分14分）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；（2）若x2+y2=0,则实数x,全为零.10.（本小题满分14分）已知下列三个方程：x2+ 4ax−4a+3=0,，x2+2ax−2a=0，其中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围. 11.（本小题满分16分）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除.§1命题（北京师大版选修2-1）答题纸得分：_________一、选择题二、填空题7.______________8.______________三、解答题9.解：10.解：11.解：§1命题（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B 解析：一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”．2.A 解析：由逆否命题的定义可得.要注意“＞”的否定是“≤”.3.D 解析：“若∠A =60°,则△ABC 是等边三角形”的否命题是真命题，且否命题与逆命题同真同假.4.D 解析：用反证法证明命题时，先假设命题结论不成立，即假设√2+√3是有理数.5.C 解析：圆内接四边形也可能是矩形，故原命题不正确；逆命题：“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题也是真命题，故选C.6.D 解析：因为原命题与逆否命题是等价命题，所以只需找出原命题的逆否命题即可．故选D.二、填空题7.②③⑤解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两个命题同真同假，故 ①④错误，②③正确．要使mx 2−2(m +1)x +m +3>0的解集为R ， 则{Δ=4(m +1)2−4m(m +3)<0，m >0，解得m >1.故⑤正确． 8.如果x ≠2或y ≠－1，则√x －2+(y +1)2≠0解析：“x =2且y =－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，“√x －2+(y +1)2=0”的否定为√x －2+(y +1)2≠0，故原命题的逆否命题为“如果x ≠2或y ≠－1，则√x －2+(y +1)2≠0”. 三、解答题9.解：（1）逆命题：若方程x 2+2x +q =0有实根，则q <1，假命题. 否命题：若q ≥1，则方程x 2+2x +q =0无实根，假命题. 逆否命题：若方程x 2+2x +q =0无实根，则q ≥1，真命题. （2）逆命题：若实数x ,全为零，则x 2+y 2=0，真命题. 否命题：若x 2+y 2≠0，则实数x ,不全为零，真命题. 逆否命题：若实数x ,不全为零，则x 2+y 2≠0，真命题．10.解：假设三个方程x 2+4ax −4a +3=0,，x 2+2ax −2a =0都没有实数根， 则有{(4a )2−4(−4a +3)<0，(a −1)2−4a 2<0，(2a )2−4(−2a )<0，解得{−32<a <12，a >13或a <−1，−2<a <0，即−32<a <−1.因此若三个方程中至少有一个方程有实数根，则a 的取值范围是{a|a ≥−1或a ≤−32}.11.解：(1)逆命题:若两个三角形相似,则它们一定全等,为假命题.否命题:若两个三角形不全等,则它们一定不相似,为假命题. 逆否命题:若两个三角形不相似,则它们一定不全等,为真命题. (2)逆命题:若一个自然数能被5整除,则它的末位数字是零,为假命题. 否命题:若一个自然数的末位数字不是零,则它不能被5整除,为假命题. 逆否命题:若一个自然数不能被5整除,则它的末位数字不是零,为真命题.。
高中数学选修2-1课时作业15：1.1.1 命题
1.1 命题及其关系1.1.1命题一、基础达标1.下列语句是命题的是()A.2015是一个大数B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗？D.a≤15[答案] B[解析]A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.2.下列命题是真命题的是()A.{∅}是空集B.{x∈N||x－1|<3}是无限集C.π是有理数D.x2－5x＝0的根是自然数[答案] D[解析]x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数.3.已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是正确的.如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个[答案] C[解析]把α、β换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，由直线与平面垂直的判定定理可知，该命题是正确的；把α、γ换成直线a 、b 时，则该命题可改写为“a ∥β，且a ⊥b ⇒β⊥b ”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把β、γ换成直线a 、b ，则该命题改为“a ∥α，b ⊥α⇒a ⊥b ”，显然成立.4.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等.③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切. 其中真命题的序号是( )A.①②③B.①②C.①③D.②③[答案] C[解析] ①是真命题；②标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，假命题；③圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切，是真命题.5.已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是( )A.若a ∥b ，则α∥βB.若α⊥β，则a ⊥bC.若a 、b 相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a 、b 相交[答案] D[解析] D 中如果α、β相交，a 和b 可以相交，也可以异面.6.下列命题，是真命题的是( )A.若ab ＝0，则a 2＋b 2＝0B.若a >b ，则ac >bcC.若M ∩N ＝M ，则N ⊆MD.若M ⊆N ，则M ∩N ＝M[答案] D[解析] A 中，a ＝0，b ≠0时，a 2＋b 2＝0不成立；B 中，c ≤0时不成立；C 中，M ∩N ＝M 说明M ⊆N .故A 、B 、C 均错误.7.把命题“a >0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增加而增加”改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假.解 a >0时，若x 增加，则函数y ＝ax ＋b 的值也随之增加，它是真命题.二、能力提升8.给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0.其中真命题的序号是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④[答案] B[解析] ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题.9.命题“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”形式为________.[答案] 若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称10.给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，是真命题的是________(填序号).[答案] ②④[解析] 命题①是假命题，“两条直线”应改为“两条相交直线”；命题②是面面垂直的判定定理，是真命题；命题③是假命题，垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交；命题④是面面垂直的性质定理的另一种说法，是真命题.11.判断下列命题的真假.(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数y ＝1x的图象关于原点对称. 解 (1)假命题.当a >0时，抛物线开口向上，有最小值.(2)假命题.反例：若此数列为递减数列，如数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差是－3.(3)真命题.y ＝1x是奇函数，所以其图象关于原点对称. 12.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.(1)当x ＋y ＝5时，x ＝2且y ＝3；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解 (1)若x ＋y ＝5则x ＝2且y ＝3.∵x ＝1，y ＝4时，x ＋y ＝5.∴是假命题.(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根. ∵Δ＝1－4m <0，∴是真命题.(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，真命题.三、探究与创新13.已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得由A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题.解 若A ，则B ，即“若x >1＋a 5，则x >1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若B ，则A ，即“若x >1，则x >1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.。
高中数学北师大版选修2-1课时作业：第3章 习题课3 含解析
习题课(3)一、选择题1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．答案：D2．方程x＝3y2－1所表示的曲线是( )A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.答案：C3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是( )A．－3 B．1 3C．3 D．－1 3解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x2＋ky2＝1可化为x21＋y21k＝1，故离心率e＝1－1k1＝2，解得k＝－13，故选D.答案：D4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A ．233B ． 3C ．2D ．233或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋(b a )2，所以结果为2或233，故选D.答案：D5． [2014·山东高考]已知a>b>0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b2a ，e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，∴b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.答案：A6．若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是( )A ．35B ．45C ．53D ．54解析：由已知得2b ＝a ＋c ， ∴2b a ＝1＋c a.∴2e 2－1＝1＋e.平方得4(e 2－1)＝e 2＋2e ＋1 即3e 2－2e －5＝0.∴e ＝53.答案：C 二、填空题7．[2013·陕西高考]双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，∴e 2＝c 2a 2＝2516，e ＝54.答案：548．过双曲线x 24－y 23＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN|的值为________．解析：|MF 2|＋|NF 2|－|MN|＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.答案：89．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1<k<4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k<1或k>4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k<52.其中命题正确的序号为__________．解析：由⎩⎨⎧4－k>0，k －1>0，4－k ≠k －1，解得1<k<52或52<k<4，此时方程表示椭圆，且1<k<52时表示焦点在x 轴上的椭圆，所以①②错，④正确；由(4－k)(k －1)<0得k<1或k>4，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.。
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2016-2017学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题课后演练
提升 北师大版选修2-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 0°＝0
C．x2－2x＋1＞0
D．作△ABC∽△EFG
解析： A、C、D不能判断真假，不是命题，故选B.
答案： B
2．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真
命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析： 原命题与逆否命题为真，逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”是假
命题，因为还可以是AB＝BC，所以否命题也是假命题．
答案： C
3．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的两个三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： ①错．②错，若xy＝0则x，y至少一个为0，而未必|x|＋|y|＝0.③对，同
向不等式，两边加上同一个常数．不等号不变．④错．
答案： A
4．下列命题中，是真命题的是( )
A．命题“若ac＞bc，则a＞b”
B．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题
D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
解析： 对于A，因为c的正负未知，因而a与b的大小不定，所以A为假；对于B，
逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；对于C，
否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以C
为假；对于D，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为
原命题与逆否命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．给出下列命题
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形
②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆
③圆的内接四边形的对角互补
④正方形的四条边相等
⑤对角不互补的四边形不内接于圆
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形
其中，互为逆否命题的有________，互为否命题的有________，互为逆命题的有
________．
答案： ①和④，③和⑤ ①和⑥，②和⑤ ④和⑥，②和③
6．下列命题是真命题的有________．(填序号)
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
解析： ①逆命题“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题．②∵原命题为假，
∴逆否命题也为假．③否命题“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，假如x＝4>－3，但x2＋x－6
＝14>0，故为假．
答案： ①
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m＜14时，方程mx2－x＋1＝0有实根；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)互相垂直的两直线斜率乘积等于－1.
解析： (1)若m＜14，则方程mx2－x＋1＝0有实根，真命题．因为方程mx2－x＋1＝0
有无实根取决于判别式Δ＝1－4m，
当m＜14时，Δ＞0，
故当m＜14时，方程mx2－x＋1＝0有实根为真；
(2)若x∈R，则x2≥0，真命题．
(3)若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率乘积等于－1.假命题．当一条直线斜率
为0，另一条直线斜率不存在时两条直线垂直，而斜率乘积不等于－1.
8．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝1，则a＝1且b＝1.
(3)若直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面；
解析： (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题；
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．
(2)逆命题：若a＝1且b＝1，则ab＝1，真命题．
否命题：若ab≠1，则a≠1或b≠1，真命题；
逆否命题：若a≠1或b≠1，则ab≠1，假命题．
(3)逆命题：若直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的两条相交直线，为真命
题；
否命题：若直线不垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线不垂直于平面，为真命
题；
逆否命题：若直线不垂直于平面，则这条直线不垂直于平面内的两条相交直线，为真
命题．
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9．(10分)已知c＞0，设p：函数y＝cx在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2c|＞1的
解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
解析： 函数y＝cx在R上单调递减⇔0＜c＜1.
记P＝{c|0＜c＜1}．不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒
大于1.
∵x＋|x－2c|＝ 2x－2c，x≥2c，2c，x＜2c，
∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.
∴不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞12.
记Q＝c c＞12.如果p正确，且q不正确，则0＜c≤12.
如果p不正确，且q正确，则c≥1，所以c的取值范围为0，12∪[1，＋∞)．