抛物线复习题2010-12-3
高中数学 2-4-3《抛物线》习题课同步练习 新人教B版选修2-1
2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|.2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离 B ．F 到y 轴的距离 C ．F 点的横坐标 D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y 2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p2＝0(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy－p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2，x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A.二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5. 12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎨⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎨⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋2－1，解得p ＝2. 三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时， 求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎨⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k )2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。
高考抛物线专题讲解
专题4 抛物线的方程与简单性质 1、抛物线的定义及标准方程定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
⑴在叙述第一定义时要注意“平面内”三个字，去掉“平面内”这时的图形成立体图形了。
⑵0111e M FM e e M DM e M <<⎧⎪=>⎨⎪=⎩轨迹为椭圆轨迹为双曲线轨迹为抛物线 ⑶定义中蕴含的等量关系FM DM = 这一关系为抛物线上任意一点M 的焦点半径与 水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础. 2、标准方程的推导3、⑴建系：取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直线坐标系。
⑵设点：设(,)M x y 是抛物线上任意一点，设KF P =，则焦点F 的坐标为,02P ⎛⎫⎪⎝⎭准线l 的方程为2P x =-⑶列式：设抛物线上的点M x y （，）到l 的距离为d ，则抛物线是集合{}|P M MF d ==。
∵2222P P MF x y d x =-+=+（）， ∴2222P Px y x -+=+（）⑷化简220y Px P =（＞）F 的坐标为,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭准线l 的方程为2P x =-我们将点（x,y ）绕原点依次逆时针旋转900分别为（-y,x ）、(-x,-y)、(y,-x)，因此将抛物线绕原点依次逆时针旋转900由相关点法可3．抛物线的几何性质标准方程 y 2=2px （p ＞0）y 2=－2px （p ＞0）x 2=2py （p ＞0）x 2=－2py （y ＞0）图形y xO FyxO FyxOFyxO F参数p 几何意义 焦点到准线的距离焦点到准线的距离焦点到准线的距离焦点到准线的距离开口 向右 向左 向上 向下 顶点坐标 （0，0）（0，0）（0，0）（0，0）焦点坐标范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 离心率 e=1e=1e=1e=1准线方程*焦半径（抛物线上的点（x 0，y 0）到焦点的距离）说明：1、焦参数P 的确定 代数意义：抛物线方程中一次项系数一半的绝对值 几何意义：焦点到准线的距离（焦点与准线和坐标轴的交点关于顶点对称）2、一次项本身决定抛物线的形状与位置。
高三第一轮复习 抛物线的定义及几何性质
第42讲抛物线第100课时抛物线的定义及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质(1）图形与方程2124p x x =；（212y p =-；13|)2sin p AB x x x =++=）以AB 为直径的原与准线（5）/090AC B ∠=； （6）//090A FB ∠=；（7）A 、O 、/B 三点共线；（8）B 、O 、/A 三点共线； （9）112||||AF BF P +=；（10）22sin ABOp Sα=等等。
方法规律总结1. 抛物线的定义是抛物线问题的本质，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【指点迷津】【类型一】抛物线的定义及其应用【例1】：已知点A (3，4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是( )A ．(0，0)B ．(3，26)C ．(2，4)D ．(3，－26)【解析】：由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是(2，4)． 答案：C.【例2】：已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )．A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3【解析】：如图所示，由抛物线定义知|MF |＝|MH |，所以|MF |∶|MN |＝|MH |∶|MN |.由△MHN ∽△FOA ，则|MH ||HN |＝|OF ||OA |＝12， 则|MH |∶|MN |＝1∶5，即|MF |∶|MN |＝1∶ 5. 答案：C.【例3】：已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|PA |＋|PM |的最小值是________． 【解析】：将x ＝4代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±4，|a |＞4，所以A 在抛物线的外部，由题意知F (1,0)，则抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1的距离为|PN |，由定义知，|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PN |－1＝|PA |＋|PF |－1.当A ，P ，F 三点共线时，|PA |＋|PF |取最小值，此时|PA |＋|PM |也最小，最小值为|AF |－1＝9＋a 2－1. 答案：9＋a 2－1.【类型二】抛物线的标准方程【例1】：如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x【解析】：由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点(4，0)即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x . 答案：C ．【例2】：已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )．A ．±2 2B. 3C. 2 D ．± 3【解析】：抛物线的标准方程为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1.圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝m 2＋14，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，半径为m 2＋12.所以圆心到直线的距离为1，即m 2＋12＝1，解得m ＝± 3.答案：D.【例3】：如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )．A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x 【解析】：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1， 由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AF x ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案：C.【类型三】抛物线的几何性质【例1】：已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】：设抛物线方程为y 2＝2px ，当x ＝p2时，y 2＝p 2， ∴|y |＝p .∴p ＝|AB |2＝122＝6，又点P 到AB 的距离始终为6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36.故选C.答案：C.【例2】：已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )．A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4【解析】：抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以p2＝3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 做准线的垂线，垂足为M ，则|AK |＝2|AF |＝2|AM |，即|KM |＝|AM |，设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3. 答案：B.【例3】：过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.【解析】：法一 由1|AF |＋1|BF |＝2p .得|BF |＝32.法二 设∠BFO ＝θ，则⎩⎨⎧|AF |＝p ＋|AF |cos θ，|BF |＝p －|BF |cos θ，由|AF |＝3，p ＝2，得cos θ＝13，∴|BF |＝32. 答案：32.【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12B.32C ．1 D.3 【解析】：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故所求距离为|3±0|32＋2＝32. 答案：B.2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p 的值为( )．A ．1B ．2 C.12D ．4【解析】：圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2.答案：B.3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )． A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2 【解析】：分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 答案：D.4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 【解析】：由题知抛物线的准线为x ＝－p2，圆心为(3，0)、半径为4，由准线与圆相切得圆心到准线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2.答案：C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )． A ．1 B.32C ．2D ．3【解析】：由已知得双曲线离心率e ＝c a＝2，得c 2＝4a 2，∴b 2＝c 2－a 2＝3a 2，即b ＝3a .又双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，于是|AB |＝3p .由△AOB 的面积为3可得12·3p ·p 2＝3，所以p 2＝4，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)．答案：C. 二、填空题6．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．【解析】：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 答案：x 2＝12y.7．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x 0＝________.【解析】：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 答案：3.8．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________. 【解析】：如图，在等边三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ， ∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p2.又点B 在双曲线上，故13p 23－p 243＝1.解得p ＝6.答案：6. 三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．【解析】：法一：根据已知条件，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0.∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎨⎧m 2＝6p ，⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＋m 2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则准线方程为x ＝p2，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M 点到准线的距离，所以有p2－(－3)＝5，∴p ＝4.∴所求又∵点M (－3，m )在抛物线上，故m 2＝(－8)×(－3)，∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.答案：抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.10.已知倾斜角为θ的直线过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，求证：(1)|AB|＝2p sin 2θ； (2)S △AOB ＝p 22sin θ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【解析】:(1)由抛物线的定义知|AF|等于点A 到准线x ＝－p2的距离，所以|AF|＝x 1＋p 2.同理，|BF|＝x 2＋p2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋p ①又设焦点弦的方程为y ＝k(x －p 2)(k≠0)，所以x ＝1k y ＋p2，故x 1＋x 2＝1k (y 1＋y 2)＋p.y 2－2p k y －p 2＝0，y 1＋y 2＝2p k .所以x 1＋x 2＝2pk2＋p ② 将②代入①得：|AB|＝2p k 2＋2p ＝2p(1＋1k 2)＝2p(1＋1tan 2θ)＝2psin 2θ(2)如图，S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋12|OF|·|BF|·sin θ＝12|OF|·sin θ(|AF|＋|BF|)＝12|OF|·|AB|·sin θ＝12·p 2·2p sin 2θ·sin θ＝p 22sin θ. (3)设线段AB 的中点为M ，分别过A 、M 、B 作准线的垂线，垂足为C 、N 、D ，则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.所以以AB 为直径的圆与准线相切． 答案:略.【二级目标】能力提升题组 一、选择题1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y 【解析】：∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D. 答案：D.2．(2014·洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )．A. 3B. 5 C ．2 D.5－1【解析】：由题，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为22)1(2|32|-++＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.答案：D. 二、填空题3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.【解析】:抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝y A －1－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4. 答案：4. 三、解答题4. 如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O)01x =,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为③,【高考链接】1.（2010年全国Ⅱ卷理15文15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．【解析】：过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM MB =，∴M 为中点，∴1BM AB 2=0BAE 30∠=， ∴1BE AB 2=，∴BM BE =，∴M 为抛物线的焦点，∴p =2. 答案:2.2.（2009年广东理科第19题）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（２）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点，试求a 的最小值． 【解析】：（1）联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）.（2）曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=，即圆E ：2549)2()(22=-+-y a x ，其圆心坐标为)2,(a E ，半径57=r由图可知，当20≤≤a 时，曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点；当0<a 时，要使曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点，只需圆心E 到直线:20l x y -+=的距离572||2|22|≤=+-=a a d ，得0527<≤-a ，则a 的最小值为527-.答案: （1） M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）. （2） a 的最小值为527-.3.（2013年福建数学（理））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程; (2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【解析】：(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx [来源:学*科*网] 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x 又120⋅<x x ,∴124=-x x 分别代入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y .答案: (Ⅰ) 抛物线E 方程为210=x y ;(Ⅱ) 直线的方程为 32200-+=x y 或3+2200-=x y .。
高考数学复习全套课件 第八章 第三节 抛物线
抛物线的定义可知，
|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|， 其中|MH|为M到抛物线的准线的距离． 过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则 |MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，
当且仅当点M在M1的位置时等号成立．
此时M1点的坐标为(1,2)．
(2)如图(2)，点A(3， )在抛物线y2＝2x的外部，由抛物线
焦点坐标
准线方程
F(0 ， －
y＝
)
F(0 ， )
y＝－
标准方程 焦半径 公式 性 质 范围
y2＝－2py(p>0)
y2＝2py(p>0)
|PF|＝ －y0＋
|PF|＝ y0＋
y≤0
y≥0
标准方程 顶点
y2＝－2py(p>0)
y2＝2py(p>0)
原点(0,0) 坐标 性质 离心 率e e＝1
1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点 P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ( A．y2＝8x B．y2＝－8x )
∴可设曲线C的方程为y2＝2px(p>0)，
∴p＝2，曲线C的方程为y2＝4x. (2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)． ∵ y1＝λy2， ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)， ① ②
∴
∵
＝λ2
.
＝4x2，∴x1＝λ2x2. ③
＝4x1，
③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ， ∴λx2(λ－1)＝λ－1. ∵λ≠1，∴x2＝ ，x1＝λ，∴ ＝(x1－1，－y1)．
∵λ∈[2,3]，∴λ＋ ∴|PQ|2∈
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆
重合，则p的值为 A．－2 C．－4 B．2 D．4
抛物线复习 最新版
抛物线的简单几何性质一 抛物线的几何性质：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 二、1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+=抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0≠k ，设b kx y l +=:联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点） 0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点 （相离） （2）相交弦长：弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为：d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++=抛物线)0(22>-=p px y ， (21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线)0(22>=p py x ， (21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x ，(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：d 2=（5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y θsin 24422221p p k p y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ （6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和4221x x = 例1 若线段AB 是抛物线的焦点弦，A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1、B 1，求证：∠A 1FB 1＝90°证明：不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0) 由抛物线定义知|AA 1|＝|AF|,|BB 1|＝|BF|, ∴∠AFA 1＝∠AA 1F ，∠BFB 1＝∠BB 1F ， ∵AA 1∥BB 1∥x 轴，∴∠AFO ＝∠AA 1F ，∠BFO ＝∠BB 1F ，∴∠AFA 1＝∠AFO ，∠BFB 1＝∠BFO ，∴∠A 1FB 2＝90° 变1：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
(完整版)高二抛物线基础测试题
高二抛物线基础测试题一、 选择题：1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120xD ．x 2＝120y2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，03．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )A.18 B ．－18 C ．8 D ．－84．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．45．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．126．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x <0)7．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|29．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )A.15 B ．215C.152D ．15.10．以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定11．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB ，抛物线的准线交x 轴于点M ，则∠AMB 是( )A ．锐角B ．直角C．钝角D．锐角或钝角12．(2010年高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2二．填空题13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.14．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．15．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________. 16．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．18．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．19．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．高二抛物线基础测试题参考答案一.选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBBCBCCCACBB1．解析：选B.由p2＝5得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故x 2＝20y .2．解析：选B.x 2＝－y ，∴2p ＝1，p ＝12，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14.3．解析：选B.由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.4．解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.5解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.6．解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 7．解析：选C.通径2p ＝8且焦点在x 轴上，故选C. 8．解析：选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2，∴|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|，故选C.9．解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x 得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝1＋22x 1－x 22＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝15.10． 解析：选C.|PF |＝x P ＋p 2，∴|PF |2＝x P 2＋p4，即为PF 的中点到y 轴的距离．故该圆与y 轴相切．11． 解析：选B.由题意可得|AB |＝2p .又焦点到准线距离|FM |＝p ，F 为AB 中点，∴|FM |＝12|AB |，∴△AMB 为直角三角形且∠AMB ＝90°.12．解析：选B.∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py－p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 二． 填空题13解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0y ＝ax2，得ax 2－x ＋1＝0， 由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 答案：1414．解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，∴x 0＝4， ∴y 20＝16，∴y 0＝±4. 答案：(4，±4) 15．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0⇒x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7. 答案：7 16．解析：焦点在x 轴正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)代入点(32，12)得p ＝312，焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p >0)，∴p ＝－312.综上，所求方程为y 2＝±36x . 答案：y 2＝±36x 三、解答题17．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p2，由题意设M 到准线的距离为|MN |， 则|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10， ∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．18．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为： y 2＝ax (a ≠0)，A (m ，－3)．则由抛物线的定义得5＝|AF |＝|m ＋a4|，又(－3)2＝am .所以，a ＝±2或a ＝±18.故所求抛物线的方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .19．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k x ＋1，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－1k，y 1·y 2＝－1.因为y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB .(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，所以S △AOB ＝12|ON |·|y 1－y 2|＝12×|ON |×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k 2＋4＝10， 解得k 2＝136，所以k ＝±16.。
解析几何椭圆双曲线抛物线
令 x＝0，解得 y0＝－1＋6k4k2. 由QA? (? 2,? y0 ),QB ? (x1, y1 ? y0 ),
QA?QB ? ?2x1 ? y0 ( y1 ? y0 )
＝－21(＋2－4k82k2)＋1＋6k4k2(1＋4k4k2＋1＋6k4k2) ＝4(16(k14＋＋41k52k)22－1)＝4，
(2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A ,B ,已知点 A 的
坐标为(-a,0),点 Q (0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且
QA?QB =4,求 y0 的值.
解 (1)由 e＝ac＝ 23，得 3a2＝4c2.再由 c2＝a2－b2， 得 a＝2b. 由题意可知21×2a×2b＝4，即 ab＝2.
的双曲线满足－4≤x≤4 的部分；
当34<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上
的椭圆满足－4≤x≤4 的部分；
当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在 x 轴上
的椭圆．
探究提高 (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预 知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法 求解或用待定系数法求解． (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注 意字母的取值范围．
2
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③当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l：y＝k(x－1)，
P (x1，y1)，Q(x2，y2)．
??y＝k(x－1)， 由???x42＋y32＝1，
整理，得 (4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12
＝0.
Δ＝144k2＋144>0 恒成立．
∴x1＋x2＝4k82＋k2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
变式训练 3 已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝41，圆 F2：(x－1)2 ＋y2＝449，动圆 M 与圆 F1、F2 都相切． (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
高考数学复习题库 抛物线
高考数学复习题库抛物线抛物线一.选择题1.抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )A. B. C.－ D.－解析根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－. 答案 D2.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝( )A. B.1 C.2 D.3 解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去). 答案 C3.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( ). A. B.1 C.2 D.4 解析抛物线y2＝2px(p ＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2. 答案 C4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( ). A.18 B.24 C.36 D.48 解析如图，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0). ∵当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6. 又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36. 答案 C5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（） A. B. C. D. 答案 C6.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( ). A.n＝0 B.n＝1 C.n＝2 D.n≥3 解析结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形.本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦. 答案 C7.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B.3 C. D. 解析依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案 A二.填空题8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.解析设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝. 答案9.已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案 y2＝4x10.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________. 解析过N 作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝. 答案11.设圆C 位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________. 解析依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a ＝－1.答案－112. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。
高考数学 第八章第八节 抛物线课件 新A
∴(y1＋y2)·xy11－－yx22＝a，
∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线， 点F 叫做 抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
()
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p<0)， 由抛物线定义知，|－p2＋3|＝5，解得 p＝－4， ∴抛物线方程为 y2＝－8x.
答案： B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( )
图形
范围
y≥0，x∈R
x2＝－2py(p>0) y≤0，x∈R
对称轴 顶点坐标
焦点坐标
(0，p2)
y轴
原点O(0,0) (0，－p2)
准线方程 离心率 焦半径
y＝－p2
y＝p2 e＝1
|PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
考点一 抛物线的定义及应用
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
3．直线与抛物线的位置关系 (1)设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线Ax＋By＋C＝0，将
直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋ q＝0， ①若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点． ②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线 的对称轴平行．
专题九 解析几何第二十八讲 抛物线(含答案)
专题 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．82.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程；3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =uu u r uu r，求AB ．4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：24=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则⋅FM FN = A ．5B ．6C ．7D ．82．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．103．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A B ．23C ．2D ．1 4．(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．（2015浙江）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++6．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，7．（2014新课标1）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = A ．72 B ．52C ．3D ．2 8．（2014新课标2）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A B C ．6332 D ．949．（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4310．（2013新课标1）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．411．（2013江西）已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN =A ．B ．1:2C ．1:D ．1:312．（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为 A 、2B 、22C 、4D 、813．（2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y = 14．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48 二、填空题15．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=，则k =______．16．（2017新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．17．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则 ．19．（2013北京）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．21．（2010浙江）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题22．（2018北京）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．24．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 25．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．26．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．27．（2017北京）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．28．(2016年全国III)已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．29．（2015新课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 30．（2014山东）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。
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高二数学训练题《抛物线》
班级: 姓名: 学号: 2010、12、20.
一、选择题
1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为 ( )
A ．y ＝－14
B ．y ＝18
C ．y ＝116
D ．y ＝－116
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P(m ，－2)到焦点的距离为4，
则m 的值为 ( )
A ．4
B ．－2
C ．4或－4
D ．12或－2
3．点M(5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ( )
A ．y ＝12x 2
B ．y ＝－36x 2
C ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2
D ．y ＝112x 2或y ＝－136
x 2 4．直线l 过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，
AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是 ( )
A ．y 2＝12x
B ．y 2＝8x
C ．y 2＝6x
D ．y 2＝4x
5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3
的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上两点，且OA ·OB ＝0，则原点O 到直线AB 的最大距离为 ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
7.如图，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC
＝0，
则|FA |＋|FB |＋|FC
|等于 ( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2
8．(2009年高考山东卷)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A ．y 2＝±4x
B ．y 2＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
9．若抛物线2
8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。
A ．(7,
B ．(14,
C ．(7,±
D ．(7,-±
10．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ） A ．
2p B ．p C ．p 2 D ．无法确定 11．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1是( )
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．直角或钝角
12．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x+2y+10=0
的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为 （ ）
A ．5
B ．4
C （
D ）115 13．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且
2
121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．2
5 D ．3 二、填空题
14．过点M(1,0)作直线与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，则1|AM|＋1|BM|
＝________. 15．对于抛物线y 2＝2x 上任意一点Q ，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是________．
16．连结抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标
原点，则△OAM 的面积为________．
17．抛物线x y 62
=的准线方程为 .
18．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。
19．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 .
20．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.
三、解答题
1．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；
(2)过点P(2，－4)；
(3)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF|＝5.
2．在平面直角坐标系xOy 中，直线L 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．
(1)如果直线L 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值； (2)如果OA ·
OB ＝－4，证明直线L 必过一定点，并求出该定点．
3．已知A 、B 两点在抛物线C ：x 2
＝4y 上，点M(0,4)满足MA ＝λBM
. (1)求证：OA ⊥OB
； (2)设抛物线C 过A 、B 两点的切线交于点N,求证：点N 在一条定直线上；
4．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．
5.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程．。