2016年开封市初三数学竞赛试卷及答案
初三竞赛数学试题(含答案)
2016年初三数学培优模拟试题一、选择题（10×4=32分）1、已知2110 x x x x-<<，则，，的大小关系是 （ ） （A ）21x x x << （B ）21x x x << （C ）21x x x << （D ）21x x x<<2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）A.．5个 Ｂ．4个 Ｃ．3个 Ｄ．2个3、如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对（a ，b ）所有可能的个数为n ，其中a +b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 （ ） A 、21 B 、61 C 、125 D 、434、古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。
地支也有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是 （ ）A. 31B. 61C. 91D. 52120a b c x ax bx c x x ++=已知、、为实数，关于的二次方程有两个非零实根、，221211x x x 则：下列关于的一元二次方程中以、为根的是 （ ） 2222222222222222()(2)0()(2)0()(2)0()(2)0.A c x b ac x aB c x b ac x aC c x b ac x aD c x b ac x a +-+=--+=+--=---=；；； 6、24ABC D AC F BC ∆如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段延长线上，4BC CF DCEF =且，四边形为平行四边形，则：图中阴影部分面积为（ ）A 、3B 、4C 、6D 、87．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 上一个动点（C 点不与A 、B 重合），CD ⊥AB ，AD 、CD 分别交⊙O 于E 、F ，则与AB •AC 相等的一定是 ( ）A ．AE •ADB ．AE •EDC ．CF •CD D ．CF •FD 8．已知二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表：且方程02=++c bx ax 的两根分别为1x 、)(212x x x <，下面说法错误．．的是( ) ． A ．5,2=-=y x ； B ．212<<x ；C ．当21x x x <<时，0>y ；D ．当21=x 时，y 有最小值． 9．如图，从1×2的矩形ABCD 的较短边AD 上找一点E ，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE 、DE ，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在（ ）．A ．AD 的中点；B ．AE ：ED=2:)15(-；C ．AE ：ED=1:2；D ．AE ：ED=2:)12(-．10.如右图，以半圆的一条弦AN 为对称轴将AN ︵ 折叠过来和直径MN 交于点B ，如果MB ：BN =2：3，且MN =10，则弦AN 的长为（ ） A .53 B .54C .34D .35 第10题二、填空题（8×4=32分）11、如下左图，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB=32，连接OC ，CD ⊥OC 交⊙O 于D ，则CD 的最大值为_____12、如右上图，已知P 是正方形ABCD 外一点，且PA=3，PB=4，则PC 的最大值是___3+413、0110101111121262...)2(a x a x a x a x a x x ++++++=--，则=+++++24681012a a a a a a -3214．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则(1) 圆2C 的半径长等于(）a(用a 表示)；(2) 圆k C 的半径为-1）k-1a( k 为正整数，用a 表示，不必证明) 15、下列两个方程组与有相同的解，则m+n=3889 ． 16、某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘 50、100 时可使得每月所付工资最少，最小值是 130000 ．17、对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f（1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= 2006 .18、如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线)0(4>=x xy 上，则图中S △OBP =D ．A .32B .33C .34D .4三、解答题19. （2011安徽芜湖，22，10分）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致.小明认为如果两次分别从1～6六个整数中任取一个数，第一个数作为点(),P m n 的横坐标，第二个数作为点(),P m n 的纵坐标，则点(),P m n 在反比例函数12y x =的图象上的概率一定大于在反比例函数6y x=的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点？（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点(),P m n 的情形； （2）分别求出点(),P m n 在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确.【答案】解: （1）列表如下： ………………………………………………………………6分画树状图如下：………………………………………………………………6分(2)由树状图或表格可知，点(),P m n共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，点（3，4），(4，3)，（2,6），（6,2）在反比例函数12yx=的图象上，……………7分点 (2，3)，（3,2），（1，6），（6,1）在反比例函数6yx=的图象上, …………………8分故点(),P m n在反比例函数12yx=和6yx=的图象上的概率相同,都是41.369=………9分所以小芳的观点正确. ………………………………………………………………10分20、问题探究（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个．．点P，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有．．的点P，并说明理由．问题解决如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）．【关键词】正方形对角线等边三角形圆周角性质三角形面积【答案】解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则∠APB＝90°，∴点P 为所求，（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边△ABP；2）作△ABP 的外接圆⊙O，分别与AD 、BC 交于点E 、F ．∵在⊙O 中，弦AB 所对的弧APB 上的圆周角均为60°，∴弧EF 上的所有点均为所求的点P ， （3）如图③，画法如下： 1）连接AC ；2）以AB 为边作等边△ABE；3）作等边△ABE 的外接圆⊙O，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP’＝CP ． 则点P 、P’为所求．（评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG⊥AC，交AC 于点G ． ∵在Rt△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3， ∴AC＝522=+BC AB ． ∴BG＝512=⋅AC BC AB ． 在Rt△ABG 中，AB ＝4， ∴AG＝51622=+BG AB ． 在Rt△BPG 中，∠BPA＝60°， ∴PG＝5343351260tan =⨯=︒BG ， ∴AP＝AG+PG ＝534516+． ∴S △APB ＝25324965125345162121+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=⋅BG AP21、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 【关键词】二次函数的极值问题【答案】26．解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x += （2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯ 整理得：21557500x x -+=125150x x ==，（不符合题意，舍去）∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少．最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元22、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．（第2题）26. (本题满分12分)解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠= ，…….1分EF ∴=设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+． 解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+。
2016年开封市九年级一模数学试卷
2016河南中考——九年级调研考试试卷数 学（开封一模）一、选择题（每小题3分,共24分）1.下列各数中,最小的数是 【 】 （A ）3- （B ）3- （C ）31-（D ）π 2.目前网购越来越多成为人们的一种消费方式,在2016年的元旦促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元,将数字57000 000 000用科学记数法表示为 【 】 （A ）9107.5⨯ （B ）91057⨯ （C ）10107.5⨯ （D ）111057.0⨯ 3.如图是一个三通管的立体图,它的左视图是【】正面( D )( C )( B )( A )4.如图,直线b a ,被直线c 所截,b a //,21∠=∠,若403=∠°,则=∠4 【】ba（第4题）（A ）40° （B ））50° （C ））70° （D ））80°图（12）NFE BAC DM5.下列运算正确的是 【 】 （A ）623a a a =⋅ （B ）()3362a a = （C ）()222b a b a -=- （D ）22223a a a =-6.不等式组⎩⎨⎧≥+-->+03312x x 的整数解的个数是 【 】（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）无数个 7.如图（12）所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图: 第一步:分别以点A 、D 为圆心,以大于21AD 的长为半径在AD 两 侧作弧,交于两点M 、N;第二步:连结MN 分别交AB 、AC 于点E 、F; 第三步:连结DE 、DF.若BD=6, AF=4, CD=3,则BE 的长是 【 】 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）88.如图,等边三角形ABC 的边长为3,N 为AC 的三等分点,三角形边上的动点M 从点A 出发,沿A →B →C 的方向运动,到达点C 时停止.设点M 运动的路程为x ,MN 2=y ,则y 关于x 的函数图象大致为【 】（第14题）CDAOB二、填空题（每小题3分,共21分） 9.()=⎪⎭⎫⎝⎛+--+-︒12130sin 122π________.10.学校组织春游活动,安排给九年级三辆车,小刚和小行都可以从这三辆客车中任选一辆搭乘,小刚和小行同车的概率是________. 11.如下图,A 、B 是双曲线xky =上的两点,过点A 作AC x ⊥轴于点C,交OB 于D 点,若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为________.（第11题）yx（第13题）...A 3C 3A 2C 2A 1C 1O12.正多边形的一个外角是72︒,则这个多边形的内角和的度数是________.13.如上图,一段抛物线:)2(-=x x y (0≤x ≤2),记为1C ,它与x 轴交于点O ,1A ;将1C 绕点1A 旋转︒180得2C ,交x 轴交于点2A ;将2C 绕点2A 旋转︒180得3C ,,交x 轴交于点3A ; … , 如此进行下去,直至得2016C .若),4031(a P 在第2016段抛物线2016C 上,则=a ________.14.如图,在圆心角为︒90的扇形OAB 中, 半径OA=2 cm,C 为弧AB 的中点,D 、E分别是OA 和OB 的中点,则图中阴影部 分的面积为________cm 2.（第15题）15.在菱形ABCD 中,AB=5, AC=8, 点P 是 AC 上的一个动点,过点P 作EF 垂直于AC 交AD 于点E,交AB 于点F,将△AEF 沿EF 折叠,使点A 落在点A′处,当△A′CD 是直角 三角形时,AP 的长为________.三、解答题（本题共8小题,共75分）16.（8分）先化简,再求值:242212+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x xx x ,其中34+-=x .17.（7分）某研究小组为了了解本市出租车司机工作情况,随机抽取本市100名出租车司机进行了问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图. 请根据以上信息解答下列问题:（1）出租车司机工作情况扇形统计图中,“经常加班”所对应的圆心角度数为________;（2）请补全条形统计图;（3）该市共有1000名出租车司机,请估计全市出租车司机中经常加班且工作时间超过10小时的人数;（4）小明认为“全市所有出租车司机中,工作时间为9小时的人数约为130100131000=⨯”,请你判断这种说法是否正确,并说明理由. 35﹪20﹪时间经常加班的出租车司机工作时间情况 条形统计图出租车司机工作情况 扇形统计图从不加班偶尔加班经常加班18.（9分）如图（1）,线段AB=4,以线段AB 为直径画⊙O,C 为⊙O 上的动点,连接OC,过点A 作⊙O 的切线与BC 的延长线交于点D,E 为AD 的中点,连接CE. （1）求证: CE 是⊙O 的切线;（2）①当CE=________时,四边形AOCE 为正方形? ②当CE=________时,△CDE 为等边三角形?图（2）图（1）CBE OD19.（9分）已知关于x 的一元二次方程2)3)(1(m x x =--. （1）求证:对于任意实数m ,方程总有两个不相等的实数根; （2）若方程的一个根是4,求m 的值及方程的另一根.20.（9分）如图,为了测量山顶铁塔AE 的高,小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°,在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′,已知山高BE 为80 m,楼底部D 与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE. （参考数据:75.05236tan ,60.05236sin ''≈≈︒︒）21.（10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元,空调的销售价为每台1750元,每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元,商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等.（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少?（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台,设购进电冰箱x台,这100台家电的销售总利润为y元,要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍,且购进电冰箱少于40台,请确定获利最大的方案以及最大利润;（3）实际进货时,厂家对电冰箱出厂价下调k元,若商场保持这两种家电的售价不变,请你根据以上信息及（2）中条件,设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案.22.（10分）在△ABC 中,∠ACB 为锐角,点D 为射线BC 上一动点,连接AD,将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE,连接EC.问题发现（1）如果AB=AC,∠BAC=90°,当点D 在线段BC 上时（不与点B 重合）,如图1,请你判断线段CE,BD 之间的位置．．关系和数量．．关系____________; 拓展探究（2）如果AB=AC,∠BAC=90°,当点D 在线段BC 的延长线上时,如图2,请判断（1）中的结论是否仍然成立,如成立,请证明你的结论;问题解决（3）如图3,A B≠AC, ∠BAC≠90°,若点D 在线段BC 上运动,试探究:当锐角∠ACB 等于________度时,线段CE 和BD 之间的位置关系仍然成立（点C 、E 重合除外）.此时若作DF ⊥AD 交线段CE 于点F,AC=23,线段CF 长的最大值是________.图3图2图1EABC23.（11分）如图,抛物线c bx x y ++-=2与直线121+=x y 交于A 、B 两点,其中A 在y 轴上,点B 的横坐标为4,P 为抛物线上一动点,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为C.（1）求抛物线的解析式;（2）若点P 在直线AB 上方的抛物线上,设P 的横坐标为m ,用m 的代数式表示线段PC 的长,并求出线段PC 的最大值及此时点P 的坐标;（3）若点P 是抛物线上任意一点,且满足PAB ∠<︒0≤︒45,请直接写出: ①点P 的横坐标的取值范围;②纵坐标为整数的点P 为“巧点”, “巧点”的个数.yxCBA OP。
河南九年级数学竞赛试卷
河南九年级数学竞赛试卷专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 下列函数中，哪一个函数在其定义域内是增函数？（）A. y = -x^2B. y = x^3C. y = -xD. y = 1/x3. 在直角坐标系中，点(2, -3)关于原点的对称点是（）。
A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)4. 若一组数据的平均数为10，中位数为12，则这组数据中至少有一个数（）。
A. 大于10B. 小于10C. 等于10D. 等于125. 若a, b为实数，且a≠b，则下列哪个不等式一定成立？（）A. (a+b)^2 > a^2 + b^2B. (a-b)^2 < a^2 + b^2C. a^2 + b^2 = (a+b)^2D. a^2 + b^2 = (a-b)^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）2. 在直角坐标系中，所有第一象限的点都满足x>0且y>0。
（）3. 任何数的平方都是非负数。
（）4. 若a>b，则1/a<1/b。
（）5. 一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = b^2 4ac。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边的夹角为90度，则第三边的长度为______。
2. 在直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离为______。
3. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为______。
4. 若函数y = 2x + 3的图像与x轴相交于点A，则点A的坐标为______。
5. 若一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1x2的值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列和等比数列的定义。
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t =-a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ） .A 12.B 3.C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,t ==+<<Q 324,∴<+< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B . 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,B ∴∠=o 114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 2 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAHCM ∴=设,AM x = 则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中，BM == 则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠，化简整理得22100x -+=解得2x =（x =，故2CM =在Rt CDM ∆中，12DM ==,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠==o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC Q ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, Q ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o Q2,2180,βααβ∴=+=o解得36,72αβ==o o ，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=x Q 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =Q 2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y z xyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q 点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=225 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。
(2021年整理)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案
(完整版)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案的全部内容。
（完整版）2016年全国初中数学联赛(初三组）初赛试卷含答案编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版)2016年全国初中数学联赛（初三组)初赛试卷含答案这篇文档能够给您的工作和学习带来便利.同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <(完整版）2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案> 这篇文档的全部内容。
F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名： 成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。
河南省开封市2016年中招第二次模拟考试数学试题(附答案)
2016年中招第二次模拟考试数学试题考生注意：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．请用黑色笔直接答在答题卡上。
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（本大题共8题，每小题3分，共24分）在每小题所给的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上。
1．下面的数中，与-2的和为0的是 ( )A ．21 B ．21 C ．2 D ．-22．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 ( )A ．37πcm 2B ．6πcm 2C ．8πcm 2D ．12πcm 23．随着时代的发展，纳米机器人被广泛应用于医疗进行微创手术，一种重量为0.0000204千克，机身由碳纤维制成，被称为“血管清道夫”的纳米机器人是全球最小机器人，0.0000204用科学计数法可表示为 ( )A ．2.04×10-5B ．2. 04×10-6C ． 20.4×10-7D ． 204×10-84．在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．我市5月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：20，19，24，22，24，26．27，则这组数据的中位数与众数分别是 ( )A ．22,24B ．23,24C ．24,22D ．24,246．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为 ( )A ．331 B ．551 C ．552 D ．3327．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(1，4)、(5，4)、（1，-2），则△ABC 外接圆的圆心坐标是 ( )A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(1，3)D ．(3，1)8．如图，△ABC 中，∠ACB= 90°，∠A= 30°，AB=16.点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC(或边CB)于点Q ，设AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为 ( )二、填空题（本大题共有7题，每小题3分，共21分）9．二次根式1x 可中x 的取值范围是 .10．如图，直线AB ，CD 被BC 所截，若AB//CD ，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度．11．反比例函数y=xk 的图象经过点（-1，2），已知点A(1，y 1)，B （2，y 2），C （-3，y 3）都在该反比例函数的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .12．有4个形状、大小、颜色完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，将这四个小球放入不透明的袋中摇均，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个小球上的数字之和大于等于5的概率是 ．13．若直线x+2y=2m 与直线2x+y=2m+3(m 为常数)的交点在第四象限，则非负整数m 的值为 .14．如图，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上一点，以OA 为半径的☉O 与BC切于点D ，与AC 交于点E ，∠BAC= 60°，OA=2，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．15．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB=2.对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合， 折痕为EF;展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q;再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=33；④△BMG 是等边三角形；⑤P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PN+PH 的最小值是3.其中正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共8题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请写在答题卡上。
2016初三联赛试题与答案
∴ DCE DCG 30.5 ∴ CED 180 60 30.5 89.5 。
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
第 3 页 共 7 页
10.如图， 已知 A(1, 0), B (2, 0), C (3, 0), M 0, m m 0 为平面直角坐标系 xOy 上的四点，满 足 OP AM , AQ BM , BR CM 。若 P, Q, R 三点共线，则 m
二、（本题满分 25 分） 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB 8, AC 10 ， D 为 ABC 内 一 点 ， 满 足 ADC 90 ，
ABD ACD 。设 E 是 BC 的中点，求 DE 的长。
。
【答案】89.5°. 证明：在 BC 上取一点 G ，使得 AB BG 。 ∵ BE 平分 ABC ，
1 ∴ ABE EBC ABC 29.5 。 2
又 BD BD, 故 ABD GBD 。
BAC 180 ABC ACB 180 59 30.5 90.5 ,
第 2 页 共 7 页
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 7．已知反比例函数 y
2015 。若 A( 6, a ), B ( 3, b), C ( 2, c) 三点都在该函数的图象上， x
则实数 a, b, c 的大小关系为 【答案】 c a b 。
。
a 2b 2b 3c 3c a 8．求值 a 2b 2b 3c 3c a
2014 2016 2016 2018 2004 2018 2013 1 2017 1 2013! 2015! 2015! 2017! 2013! 2017! 2013! 2017! 1 1 1 1 . 2012! 2013! 2016! 2017!
初三数学竞赛试题(含答案)
初三数学竞赛试题(含答案) 初三数学竞赛试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.要使方程组 $3x+2y=a$，$2x+3y=2$ 的解是一对异号的数，则 $a$ 的取值范围是（）。
A) $4\sqrt{3}<a<3$B) $a<4\sqrt{3}$C) $a>3$D) $a>3$ 或 $a<4\sqrt{3}$2.一块含有 $30^\circ$ 角的直角三角形（如图），它的斜边 $AB=8$ cm，里面空心 $\triangle DEF$ 的各边与 $\triangle ABC$ 的对应边平行，且各对应边的距离都是 $1$ cm，那么$\triangle DEF$ 的周长是（）。
A) $5$ cmB) $6$ cmC) $(6-3)$ cmD) $(3+3)$ cm3.将长为 $15$ cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（）。
A) $5$ 种B) $6$ 种C) $7$ 种D) $8$ 种4.作抛物线 $A$ 关于 $x$ 轴对称的抛物线 $B$，再将抛物线 $B$ 向左平移 $2$ 个单位，向上平移 $1$ 个单位，得到的抛物线 $C$ 的函数解析式是 $y=2(x+1)^2-1$，则抛物线$A$ 所对应的函数表达式是（）。
A) $y=-2(x+3)^2-2$B) $y=-2(x+3)^2+2$C) $y=-2(x-1)^2-2$D) $y=-2(x+3)^2+2$5.书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是（）。
A) $\frac{2}{11}$B) $\frac{3}{32}$C) $\frac{3}{26}$D) $\frac{3}{26}$6.如图，一枚棋子放在七边形 $ABCDEFG$ 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子 $10$ 次，移动规则是：第 $k$ 次依次移动 $k$ 个顶点。
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B 2 .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 2 .B 3.C .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y =（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分） (A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B 2 .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,2t ==<<-324,∴<< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴=，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为 333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦故选B .3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径，90,B ∴∠=114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 2 .B 3.C 2 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =,AMAHCM ∴=设,AM x = 则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中，BM == 则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠，化简整理得22100x -+=解得2x =（x =，故CM =在Rt CDM ∆中，12DM ==,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C在反比例函数y =（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭.【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设,,,C m A n m n ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故,CD n m AD m n=-=-，于是232n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩解得m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan tan 603,CD AD DAC =⋅∠== 1.DM =在Rt ADM ∆中，2AM ==.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=2,2180,βααβ∴=+=解得36,72αβ==，72DBC BCD ∴∠=∠=,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠== 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即AE 是F 的切线，直线AMP 是F 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅ AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值.(4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y z xyz ++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =ABD ACB ∴∠=∠点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=22 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。
河南省开封五中2016届九年级上学期第一次月考数学试卷【解析版】
2015-2016学年河南省开封五中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（每小题3分，共24分）1．下列各图中，不是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2．下列方程中是一元二次方程的是( )A．xy+2=1 B．C．x2=0 D．ax2+bx+c=03．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是( )A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=64．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是( )A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞15．已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为( )A．0 B．1 C．﹣1 D．26．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A．4个B．5个C．6个D．7个7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为( )A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中①a＜0 b＞0 c＞0；②4a+2b+c=3；③；④b2﹣4ac＞0；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大．正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（每空2分，共24分）9．方程（m﹣2）x|m|+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．10．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是__________．11．已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为﹣3，则p=__________．12．若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是__________．13．抛物线y=﹣（x+1）2+3的开口__________，对称轴是直线__________，顶点坐标是__________．14．抛物线y=（x﹣1）2+2可以由y=x2向__________平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到．15．某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台．设平均每次的降价率为x，根据题意列出的方程是__________．三、解答题（本大题7个小题，共72分）16．解方程：（1）x2﹣2x﹣15=0（2）x2﹣2x﹣399=0（用配方法）（3）3x（x+1）=3x+3（4）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0，求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．18．△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？19．阅读材料后，解答问题：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：可设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；请你依据此解法解方程：（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0．20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与坐标轴交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求此函数的解析式；（2）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（3）根据图象直接写出y＜0时x的取值范围．21．某超市销售一种旅游纪念品，平均每天可售出20套，每套盈利40元．“十一”期间，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天销售这种纪念品盈利1200元，那么每套应降价多少元？22．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．2015-2016学年河南省开封五中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（每小题3分，共24分）1．下列各图中，不是中心对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180°，能够和原来的图形重合，该图即是中心对称图形即可判断得出答案．【解答】解：A、C、D符合中心对称图形的定义，是中心对称图形，B不符合中心对称图形的定义．故选B．【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，能够根据概念正确判断中心对称图形，特别注意观察组合图形的每一部分的对称性，难度适中．2．下列方程中是一元二次方程的是( )A．xy+2=1 B．C．x2=0 D．ax2+bx+c=0【考点】一元二次方程的定义．【专题】推理填空题．【分析】根据一元二次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是2次得整式方程，即可判断答案．【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；C、是一元二次方程，故本选项正确；D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有3个条件：①整式方程，②含有一个未知数，③所含未知数的项的次数是1次．3．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是( )A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，配方得（x﹣2）2=2．故选：A．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是( )A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数的图象．【分析】根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），又图象开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．故选：B．【点评】主要考查了二次函数图象的对称性．要会利用对称轴和与x轴的一个交点坐标求与x轴的另一个交点坐标．5．已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为( )A．0 B．1 C．﹣1 D．2【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】将c=﹣a﹣b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b，原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，∴x=1为原方程的一个根，故选B．【点评】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．6．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A．4个B．5个C．6个D．7个【考点】一元二次方程的应用．【专题】计算题．【分析】飞机场可以看作是点，航线可以看作过点画的直线．设有n个机场就有=10．【解答】解：设这个航空公司有机场n个=10n=5或n=﹣4（舍去）故选B【点评】本题考查类比方法的运用，飞机场好像点航线好比过点画的线，按过点画直线的规律列方程求解．7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为( )A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状、大小及相对位置．【解答】解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（﹣2，0）、B（2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．故选B．【点评】本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，学生往往因理解不透题意而出现问题．8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中①a＜0 b＞0 c＞0；②4a+2b+c=3；③；④b2﹣4ac＞0；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大．正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】①根据二次函数开口向下可判断a的正负，由对称轴大于0可判断b的正负，由于二次函数交于y轴正半轴可判断c的正负；②令x=2，根据图象即可得出答案；③对称轴为﹣，根据图象即可得出答案；④二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即可得△＞0；⑤由图象可知当x＜2时，y随x的增大先增大后减小；【解答】解：①根据二次函数开口向下，∴a＜0，对称轴为﹣＞0，∴b＞0，二次函数交于y轴正半轴，∴c＞0，故正确；②令x=2，由图象知：y=4a+2b+c=3，故正确；③对称轴为﹣，由图象知：﹣＜2，故错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即可得△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故正确；⑤由图象可知当x＜2时，y随x的增大先增大后减小，故错误；故正确的个数为：3个，故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是根据图象信息进行判断．二、填空题：（每空2分，共24分）9．方程（m﹣2）x|m|+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，则m=﹣2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=2，m﹣2≠0，进而得出答案．【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=2，m﹣2≠0，解得：m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．10．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（﹣2，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．11．已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为﹣3，则p=4．【考点】一元二次方程的解．【分析】已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为﹣3，因而把x=﹣3代入方程即可求得p 的值．【解答】解：把x=﹣3代入方程可得：（﹣3）2﹣3p+3=0，解得p=4故填：4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≤3，且k≠0．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴b2﹣4ac=36﹣4×k×3=36﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤3，且k≠0，则k的取值范围是k≤3，且k≠0，故答案为：k≤3，且k≠0．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，得出b2﹣4ac的符号与x轴交点个数关系式是解题关键．13．抛物线y=﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，3）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y=﹣（x+1）2+3，∴a=﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）．故本题答案为：向下，x=﹣1，（﹣1，3）．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．14．抛物线y=（x﹣1）2+2可以由y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y=（x ﹣1）2+2，故答案为：右，1；上，2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15．某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台．设平均每次的降价率为x，根据题意列出的方程是7200（1﹣x）2=3528．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设平均每次的降价率为x，根据原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，可列方程求解．【解答】解：设平均每次的降价率为x，由题意，得7200（1﹣x）2=3528．故答案为7200（1﹣x）2=3528．【点评】本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价可以列出方程．三、解答题（本大题7个小题，共72分）16．解方程：（1）x2﹣2x﹣15=0（2）x2﹣2x﹣399=0（用配方法）（3）3x（x+1）=3x+3（4）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x﹣1）2=400，然后利用直接开平方法解方程；（3）先把方程变形得到3x（x+1）﹣3（x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣5）（x+3）=0，x﹣5=0或x+3=0，所以x1=5，x2=﹣3；（2）x2﹣2x=399，x2﹣2x+1=400，（x﹣1）2=400，x﹣1=±20，所以x1=21，x2=﹣19；（3）3x（x+1）﹣3（x+1）=0，（x+1）（3x﹣3）=0，x+1=0或3x﹣3=0，所以x1=﹣1，x2=1；（4）（2x﹣5+x+4）（2x﹣5﹣x﹣4）=0，2x﹣5+x+4=0或2x﹣5﹣x﹣4=0，所以x1=，x2=9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0，求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【专题】证明题．【分析】先计算△=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8，配方得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，根据△的意义即可得到无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．【解答】证明：△=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有两实数根．18．△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）观察图形，由于△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，可得出旋转中心；（2）观察图形，线段AB旋转后，对应边是AC，∠BAC就是旋转角，可得出旋转角；（3）因为旋转前后AB、AC是对应边，故AB的中点M，旋转后就是AC的中点了．【解答】解：（1）∵△ABD经旋转后到达△ACE，它们的公共顶点为A，∴旋转中心是点A；（2）线段AB旋转后，对应边是AC，∠BAC就是旋转角，也是等边三角形的内角，是60°，∴旋转了60°；（3）∵旋转前后AB，AC是对应边，故AB的中点M，旋转后就是AC的中点了，∴点M转到了AC的中点．【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．19．阅读材料后，解答问题：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：可设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；请你依据此解法解方程：（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】阅读型．【分析】先设x2﹣2x=t，则方程即可变形为t2﹣2t﹣3=0，解方程即可求得t即x2﹣2x的值，再解关于x的一元二次方程即可．【解答】解：设t=x2﹣2x，则原方程可化为：t2﹣2t﹣3=0，（t﹣3）（t+1）=0，∴t=﹣1或3，即x2﹣2x=﹣1或x2﹣2x=3，解得x1=x2=1，x3=3，x4=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与坐标轴交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求此函数的解析式；（2）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（3）根据图象直接写出y＜0时x的取值范围．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），再把A（﹣1，0），B（3，0），C （0，﹣3）代入即可得出此函数的解析式；（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向、由顶点公式得出对称轴及顶点坐标；（3）由题意把函数转化为不等式，得x2﹣2x﹣3＞0，从而求出x的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入得a（0+1）（0﹣3）=﹣3，解得a=1，∴此函数的解析式y=（x+1）（x﹣3）即y=x2﹣2x﹣3；（2）∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=﹣=1，==﹣4，顶点坐标（1，﹣4）；（3）∵y＜0，即图象在x轴的下方，∴由图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0．【点评】本题考查了二次函数的性质，以及用待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标的方法，是中考的常见题型．21．某超市销售一种旅游纪念品，平均每天可售出20套，每套盈利40元．“十一”期间，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天销售这种纪念品盈利1200元，那么每套应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设每套降价x元，那么就多卖出2x套，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售这种纪念品盈利1200元，可列方程求解即可．【解答】解：设每套降价x元，由题意得：（40﹣x）=1200x2﹣30x+200=0，（x﹣10）（x﹣20）=0，解得：x1=10或x2=20为了减少库存，所以x=20．答：每套应降价20元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．【考点】矩形的性质；一元二次方程的应用；函数自变量的取值范围；三角形的面积．【专题】存在型．【分析】（1）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△PBQ 的面积，后令其为8cm2，求出t的值即可；（2）用S=S矩形ABCD﹣S△PBQ求面积即可．【解答】解：（1）第t秒钟时，AP=t，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t，当△PBQ的面积等于8cm2时，﹣t2+6t=8，解得：t=2或4，即运动开始后第2或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2；（2）∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）．【点评】本题考查矩形的性质，难度适中，解题关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016年开封市初三数学竞赛试卷
班级 座号 姓名 成绩
一、选择题（每题5分）
1、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、不能唯一确定
2.已知四边形的四条边的长分别是m 、n 、p 、q ，且满足m 2+n 2+p 2+q 2=2mn+2pq.则这个四边形是 ( )
（A ）平行四边形 (B)对角线互相垂直的四边形
(C)平行四边形或对角线互相垂直的四边形 (D)对角线相等的四边形
3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％。
则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ）
A 、2x ％
B 、1＋2 x ％
C 、（1＋x ％）x ％
D 、（2＋x ％）x ％
4、设P ＝121220022001++，Q ＝1
21220032002++，则P 与Q 的大小关系是（ ） A 、P ＞Q B 、P ＝Q C 、P ＜Q D 、不能确定
5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（ ）
A 、4个
B 、5个
C 、6个
D 、7个
6、如果1x 、2x 是两个不相等的实数，且满足12003121=-x x ，12003222=-x x ，那么21x x 等于
（ ）
A 、2003
B 、－2003
C 、1
D 、－1
7、若实数x ，y 满足条件06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是 （ ）
A 、14
B 、15
C 、16
D 、不能确定
二、填空题（每题6分）
1、△ABC 中，AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高为3，则BC 边的长为＿＿＿＿。
2、锐角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则c 边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。
3、若a ＋2b －3c ＝4,5a －6b ＋7c ＝8，则9a ＋2b －5c ＝＿＿＿＿。
4、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高h 与时间t 的关系应是在下面右边六个图像中的＿＿＿（填标号）。
5、已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。
如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为＿＿＿＿。
6.从一付扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取四张牌，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除和乘方混合运算(可以使用括号，但每张牌不重复使用)，使运算结果为24或-24.其中
A,2,3,…,K 依次代表1,2,3,…,13，红色扑克牌代表正数，黑色扑克牌代表负数.某同学抽到的四张牌是红桃3、黑桃4、方块6和草花K ，请你写出两个算式_____ 。
三、解答题（12、12、12、13）
1、已知：不论k 取什么实数，关于x 的方程
16
32=--+bk x a kx （a 、b 是常数）的根总是 x ＝1。
试求a 、b 的值。
2.已知，求下式的值： f()+f()+…+f()+f(1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2003)+f(2004).
3、如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12,0），B（0,9），C（3,0），D（0,4），Q为线段AB 上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。
问OP·OQ的值是否变化？证明你的结论。
4、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量3
am时，只付基本费8元和定
am时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过3
m付b元的超额费。
13
竞赛试题参考答案
一、选择题
D C D A B D B
二、填空题
1、4或2
2、53＜＜c
3、24
4、⑵
5、9
6、略
三、解答题
1、解：把x ＝1代入原方程并整理得（b ＋4）k ＝7－2a
要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 不论k 取什么实数均成立，只有⎩⎨⎧=-=+0
2704a b
解之得 2
7=a ，4-=b 2、解：∵，
∴，
，f(0)=0.
∴f()+f(n)=1，
∴原式=f()+f(2004)+f()+f(2003)+…+f()+f(2)+f(1)+f(1)+f(0)=2004.
3、解：点Q 在线段AB 上运动的过程中，OP ·OQ 的值是不变的。
证明如下：连结DC 、PC
∵ 3
1==OA OD OB OC ，∠COD ＝∠BOA ＝Rt ∠ ∴ △COD ∽△BOA
∴ ∠1＝∠A ∵ O 、C 、P 、D 四点共圆 ∴ ∠1＝∠2 ∴ ∠2＝∠A
∵ ∠POC ＝∠AOQ ∴ △POC ∽△AOQ
∵ OA
OP OQ OC = ∴ OP ·OQ ＝OC ·OA ＝36 4、解：设每月用水量为x 3m ，支付水费为y 元。
则
⎩
⎨⎧≥+-+≤≤+= ② ① )()(8 )0(8a x c a x b a x c y 由题意知：0＜c ≤5 ∴ 0＜8＋c ≤13
从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量153m 、223m 均大于最低限量a 3m ，将x ＝15，x ＝22分别代入②式，得
⎩⎨⎧+-+=+-+= ④
③c a b c a b )22(833 )15(819 解得 b ＝2， 2a ＝c ＋19 ⑤
再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a ，将x ＝9代入②，得 9＝8＋2（9－a ）＋c ，即2a ＝c ＋17 ⑥
⑥与⑤矛盾。
故9≤a ，则一月份的付款方式应选①式，则8＋c ＝9， ∴ c ＝1 代入⑤式得，a ＝10。
综上得 a ＝10，b ＝2，c ＝1。