分段函数常见题型解法-含答案
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解析
解 决 本 题 需 要 充 分 应 用 “ 负 ” 定 义 进 行 判 倒 的
解析
本 题 是分 段 函数 ， 及 指 数 函数 、 数 函数 ， 涉 对 又
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高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数f (x )={x +1, x ≥0,f (x +2), x <0则f (−3)的值为 （ ） A.5B.−1C.−7D.22. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（ ）A.−13B.13C.−23D.233. 已知f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)＝3，则x 的值是（ ）A.1B.1或32C.1，32或±√3D.√34. 已知函数{x 2+1,x ≤0−2x,x >0，f(x)=5，则x 的值为（ ） A.−2B.2或−2C.2或−52D.2或−2或−525. 已知函数f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0则f （f(5)）＝（ ） A.0B.−2C.−1D.16. 函数f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，则当f(x)≥1时，自变量x 的取值范围为（ ） A.[1,53]B.[53，3] C.(−∞,1)∪[53，+∞)D.(−∞,1]∪[53，3]7. 函数f(x)=ln1的大致图象是( )(2−x)2A.B.C.D.的部分图象大致为() 8. 函数y=1+x+sin xx2A. B.C.D.9. 若函数f(x)={e x e ,x ≥0，x 2+5x +4，x <0，（其中e 为自然对数的底数），则函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x) 的零点个数为( )A.2B.3C.4D.510. 已知f(x)={1,x ≥0,−1,x <0,则不等式x +(x +2)⋅f(x +2)≤5的解集是( ) A.[−2, 1]B.(−∞, −2]C.[−2,32]D.(−∞,32]11. 设函数f(x)={x 2+2x ，x <0，−x 2，x ≥0，f(f(a))≤3，则实数a 的取值范围是________．12. f(x)={(12)x −2,x ≤0，2x −2,x >0，则f(x)−x 的零点个数是________．13. 若函数f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)，则f(5)=________． 14. 已知函数满足，则函数的解析式为________．15. 定义a ⊗b ={a 2+b ，a >b a +b 2，a ≤b ，若a ⊗(−2)=4，则a =________．16. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．17. 若函数f(x)＝，则f(2020)＝________．18. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4，则f(log 23)＝________．19. 函数f(x)={e x −a ，x ≤1x 2−3ax +2a 2+1，x >1，若函数y =f(x)图象与直线y =1有两个不同的交点，求a 的取值范围________．20. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3 .(1)求f (x )的解析式；(2)若f (m +1)<f (2m −1)，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)的解析式为f(x)={3x +5，(x ≤0)，x +5，(0<x ≤1)，−2x +8，(x >1).(1)画出这个函数的图象；(2)求函数f(x)的最大值；22. 已知函数f (x )=|2x −1|+|x +2|．（1）在给定的坐标系中画出函数f(x)的图象；（2）设函数g(x)=ax+a，若对任意x∈R，不等式g(x)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围．23. (1)用定义法证明函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增；(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=x3+3x2+1，求g(x)的解析式．24. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=13x3+12x2.(1)求f(x)的解析式，并补全f(x)的图象；(2)求使不等式f(m)−f(1−2m)>0成立的实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为−3<0，所以f(−3)=f(−3+2)=f(−1).因为−1<0，所以f(−1)=f(−1+2)=f(1).因为1>0，所以f(1)=1+1=2.故选D .2.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13．3.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的零点与方程根的关系【解析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x 的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x 的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x 的值．【解答】该分段函数的三段各自的值域为(−∞, 1],[O, 4)．[4, +∞)，而3∈[0, 4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴ f(x)=x 2=3,x =±√3，而−1<x <2，∴ x =√3．4.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x >0}，而f(5)＝−2∈{x|x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答】因为5>0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(5)＝3−5＝−2， 所以f （f(5)）＝f(−2)，因为−2<0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(−2)＝(−2)2+4×(−2)+3＝−16.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据题意分两种情况x >2和x ≤2，代入对应的解析式列出不等式求解，最后必须解集和x 的范围求交集．【解答】解：∵ f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，∴ 分两种情况： ①当x >2时，由f(x)≥1得，{x >22x−1≥1，解得2<x ≤3，②当x≤2时，由f(x)≥1得，|3x−4|≥1，即3x−4≥1或3x−4≤−1，解得，x≤1或x≥53，则x≤1或53≤x≤2．综上，所求的范围是(−∞,1]∪[53，3]．故选D．7.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln1(2−x)2的定义域为：x≠2，函数图像关于x=2对称，当x=0时，f(0)=ln1(2−0)2=−ln4<0，因为ln4∈(1，2).故选D.8.【答案】B【考点】奇函数分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+sin xx2，可知：f(x)=x+sin xx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+sin xx2的图象关于(0, 1)对称，当x>0时，f(x)>0，当x=π时，y=1+π．故选B．9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据分段函数解析式作出函数的图像，如图所示：, 0)和(0, +∞)上为增函数，由图可知，函数f(x)在(−52且f(f(x))=f(x)解的个数等价于f(x)=x解的个数.作出图像可知，函数y=f(x)与y=x有(−2, −2)和(e, e)两个公共点，作出f(x)=e的图像，由图可知，f(x)=e有三个解；作出f(x)=−2的图像，由图可知，f(x)=−2有两个解.综上可知，函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x)的零点的个数为5. 故选D.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由题意可得，①当x+2≥0时，f(x+2)=1，代入所求不等式可求x，②当x+2< 0即x<−2时，f(x+2)=−1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【解答】解：①当x+2≥0，即x≥−2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32，即−2≤x≤32；②当x+2<0即x<−2时，f(x+2)=−1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x−(x+2)≤5，即−2≤5，∴x<−2.综上，不等式的解集为{x|x≤32}.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】(−∞, √3]【考点】分段函数的应用分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】先讨论f(a)的正负，代入求出f(a)≥−3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．【解答】解：①若f(a)<0，则f2(a)+2f(a)≤3，解得，−3≤f(a)≤1，即−3≤f(a)<0；②若f(a)≥0，则−f2(a)≤3，显然成立；则f(a)≥0；③若a<0，则a2+2a≥−3，解得，a∈R，即a<0；④若a≥0，则−a2≥−3，解得，0≤a≤√3；综上所述，实数a的取值范围是：(−∞, √3]．故答案为：(−∞, √3]．12.【答案】【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题考查分段函数图象的作图及函数零点区间的判断问题．【解答】解：函数f(x)={(12)x−2,x ≤0,2x −2,x >0的图象如图所示， 由图示可得直线y =x 与该函数的图象有两个交点，由此可得f(x)−x 有2个零点．故答案为：2．13.【答案】20【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据自变量的值代入分段函数求值．【解答】解：由f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)得， f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=2×10=20．故答案为：20．14.【答案】千(x )=三．________3′3x【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的图象分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】令f (1x )+2f (x )=1x ．联立f (x )+2f (1x )=x 消去f (1x )即可I 加加加因为f (x )+2f (1x )=x ，所以f (1x )+2f (x )=1x由{f (x )+2f (1x )=x f (1x )+2f (x )=1x，消去f (1x )，得f (x )=−x 3+23x 故答案为：f (x )=−x 3+23【解答】此题暂无解答15.【答案】 √6【考点】函数新定义问题分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】分类讨论，利用新定义即可得出．【解答】解：①当a >−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a 2−2，解得a =√6．②当a ≤−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a +(−2)2，解得a =0，应舍去． 综上可知：a =√6．故答案为：√6．16.【答案】(34, 1) 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判定定理【解析】由题意可得，a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a 的范围．【解答】∵ 函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点， ∴ a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，∴ { a >0a(−2)2+2(−2)+1>0−2<−1a <0△=4−4a >0， 解得 34<a <1，17.【答案】1【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断当x>0时，f(x+6)＝f(x)，可得x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，再由周期性及分段函数解析式求解．【解答】当x>0时，由f(x)＝f(x−1)−f(x−2)，可得f(x+1)＝f(x)−f(x−1)，两式相加得f(x+1)＝−f(x−2)，则f(x+3)＝−f(x)，∴当x>0时，f(x+6)＝−f(x+3)＝−[−f(x)]＝f(x)，即x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)＝，∴f(2020)＝f(4)＝−f(1)＝f(−1)−f(0)＝2−1＝1，故答案为：1．18.【答案】124【考点】函数的求值求函数的值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用a log a N=N进行求解．【解答】由已知得，f(x)={(12)x,x≥4f(x+1),x<4，且1<log23<2，∴f(log23)＝f(log23+1)＝f(log23+2)＝f(log23+3)＝f(log224)=(12)log224=2log2(24)−1=124．19.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.21.【答案】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x =1时，函数f(x)取得最大值6，∴ 函数f(x)的最大值为6；【考点】函数的最值及其几何意义分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）分段函数的图象要分段画，本题中分三段，每段都为一次函数图象的一部分，利用一次函数图象的画法即可画出f(x)的图象；（2）由图象，数形结合即可求得函数f(x)的最大值【解答】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x=1时，函数f(x)取得最大值6，∴函数f(x)的最大值为6；22.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．24.【答案】解：(1)设x<0，则−x>0，于是f(−x)=−13x3+12x2，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(−x)=−13x3+12x2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f (x )是偶函数，所以原不等式等价于f (|m|)>f (|1−2m|)． 又由(1)的图象知，f (x )在[0,+∞)上单调递增， 所以|m|>|1−2m|，两边平方得m 2>1−4m +4m 2，即3m 2−4m +1<0， 解得13<m <1， 所以实数m 的取值范围是{m|13<m <1}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数奇偶性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：(1)设x <0，则−x >0，于是f (−x )=−13x 3+12x 2， 又因为f (x )是偶函数，所以f (x )=f (−x )=−13x 3+12x 2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f(x)是偶函数，所以原不等式等价于f(|m|)>f(|1−2m|)．又由(1)的图象知，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|m|>|1−2m|，两边平方得m2>1−4m+4m2，即3m2−4m+1<0，解得13<m<1，所以实数m的取值范围是{m|13<m<1}．。
分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数(f x 解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值x 图1例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，所以y 关于x的表达式是01122343 4.x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识． A BP 图３。
分段连续函数的习题答案
分段连续函数的习题答案分段连续函数的习题答案在数学中，我们经常会遇到分段函数的问题。
分段函数是指在不同的定义域范围内，函数表达式会有所不同的函数。
其中，分段连续函数是指在每个定义域范围内，函数都是连续的。
在本篇文章中，我们将探讨一些分段连续函数的习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：给定函数f(x) ={x^2, x ≤ 2,4, x > 2}求f(x)在定义域范围内的连续性。
解答：我们需要分别考虑x ≤ 2和x > 2两个定义域范围内的连续性。
当x ≤ 2时，函数f(x) = x^2。
我们知道x^2是一个连续函数，因此在x ≤ 2的定义域范围内，f(x)也是连续的。
当x > 2时，函数f(x) = 4。
常数函数是一个连续函数，因此在x > 2的定义域范围内，f(x)也是连续的。
综上所述，函数f(x)在其定义域范围内是连续的。
2. 习题二：给定函数g(x) ={x, x < 1,x^2, 1 ≤ x ≤ 3,2x - 1, x > 3}求g(x)在定义域范围内的连续性。
解答：我们需要分别考虑x < 1，1 ≤ x ≤ 3和x > 3三个定义域范围内的连续性。
当x < 1时，函数g(x) = x。
线性函数是一个连续函数，因此在x < 1的定义域范围内，g(x)也是连续的。
当1 ≤ x ≤ 3时，函数g(x) = x^2。
我们知道x^2是一个连续函数，因此在1 ≤ x ≤ 3的定义域范围内，g(x)也是连续的。
当x > 3时，函数g(x) = 2x - 1。
线性函数是一个连续函数，因此在x > 3的定义域范围内，g(x)也是连续的。
综上所述，函数g(x)在其定义域范围内是连续的。
3. 习题三：给定函数h(x) ={x^3, x < 0,x^2, 0 ≤ x < 1,x, x ≥ 1}求h(x)在定义域范围内的连续性。
分段函数常见题型汇总
分段函数常见题型汇总分段函数是高中阶段的一个非常重要的内容，在近几年各省的高考中频繁出现。
必修一（人教版）第21页例5、例6都是关于分段函数的，课后习题第23页第3题、24页A组第7题、25页B组第3题以及45页第4、7题都是针对分段函数设置的，可见，教材对分段函数非常重视。
对于分段函数，我们必须首先认识到它是一个函数，不是几个函数，是自变量在不同范围对应不同的解析式。
下面分类对一些题目进行分析。
1.画分段函数的图像并求值域例1.已知y=x-1+x-2，作出这个函数的图像，并求值域.分析：对于这种类型的题目，必须首先根据绝对值的概念把绝对值符号去掉，转化为分段函数处理，对于端点要特别注意，应分清是空心还是实心。
解：由绝对值的概念，得：y=3-2x（x≤1），1（12）所以，函数y=x-1+x-2的图像如图所示，根据图像，我们可以得出函数的值域为［1，∞）.2.求分段函数的函数值例2.设函数f（x）=1-x2（x≤1），x2+x-2（x>1）求f（）的值.分析：求分段函数的函数值，首先应确定自变量的范围，然后按相应的对应关系求值，对于多层的求函数值的问题，要“由内及外”求，即先求最里面一层，然后依次往外求。
解：因为2>1，所以f（2）=22+2-2=4，所以=，因为<1，所以f（）=f（）=.例3.f（x）=x-4（x≥11），f［f（x+7）］（x<11）求f（6）的值.分析：此类问题需注意的是多次“循环求值”，才能求出最后的结果。
解：f（6）=f［f（13）］=f（9）=f［f（16）］=f（12）=8.3.解方程问题例4.已知函数f（x）=2x2+1（x≤3），4x（x>3）如果f （x0）=33，求x0的值.分析：这种问题考虑要全面，要分类处理，并且还要检验求出来的根是否在相应的自变量范围内。
解：当x0≤3时，2x02+1=33，解得x0=±4.又因为x0≤3，所以x0只能为-4.当x0>3时，4x0=33，解得x0=>3，所以x0的值为-4或.4.分段函数的奇偶性问题例5.判断函数f（x）=x2+1（x>0），-x2-1（x<0）的奇偶性.分析：判断函数的奇偶性，首先应验证函数定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数，若关于原点对称再考查f（x）是否等于f（-x）或-f（x），或者f （-x）×f（x）=0，f（-x）-f（x）=0.但对于分段函数，则需分段判断。
分段函数的求法高中数学解题方法含详解
分段函数的求法高中数学解题方法一、单选题 1．若f （x ）＝,0,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，且f （x ）＝1，则x ＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．02．为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”．假设计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月的用水量（ ） A ．13B ．14C ．15D ．163．设函数()121,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()02f x >，则0x 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．(),1-∞- C ．()4,+∞D ．()1,4-4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则使得1(())2f f x =成立的x 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知函数()0,πcos ,0,3x f x xx ≤=⎨>⎪⎩则()()100f f -=（ ） A ．12-B ．12C ．1D ．1-6．已知函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩若()04f f m ⎡⎤=⎣⎦，则实数m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．已知函数,0(),0x e x f x mx m x ⎧≥=⎨+<⎩，在R 上单调递增，其中e 为自然对数的底数，那么当m 取得最大值时，关于x 的不等式()()ln f x m ≤的解集为（ ） A ．(,1]-∞B ．(]1,1-C ．(]0,eD ．(1,]e -9．已知()()[)2,0,1log ,1,2aax x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若()1f x =有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．()1,210．若f (x )=,13,1ax x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()21,12,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩.若()1212,x x R x x ∀∈≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(]1,3C ．[]3,4D ．(]1,4 12．已知函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤<⎩，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ． ][(,13,) -∞-⋃+∞D ．(3],-∞13．已知函数ln ,1(),()(2),1xx x f x g x kx f xe x ≥⎧==+'⎨<⎩，对12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立，则k 的取值范围是（ ）A ．11(,]36e -∞-- B ．11[)36e ++∞， C ．1111[,]3636e e --+ D ．11(,]36e -∞--11[)36e ++∞， 14．已知函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，，若存在实数1234x x x x ，，，，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x +++的取值范围是（ ） A ．2573⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[257)3，C ．46143⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则 A ．12a ≥-B ．1123a -≤≤ C ．13a ≥D ．102a -≤<或0a >二、多选题16．已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在实数m 满足()12(())12f m f f m ++=，则（ ）A ．()0f m ≤B ．()f m 可能大于0C ．(,1]m ∈-∞-D ．(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦17．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题18．设函数()ln ,01,0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩，若()1f m =，则实数m =______.19．已知函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =-，则0x =___________.20．已知函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，若((2))2f f =，则实数a 的值为______．21．已知函数221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，若1()14f a f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则实数a 的值为__________． 22．已知函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是________．23．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．24．已知函数()2log 1,033x x f x x ⎧-<≤⎪=>，则使不等式()12f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围为______.25．已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________. 26．11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________．27．已知函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称，则实数m 的取值范围为___________． 28．若函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩1)a ≠,的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．29．已知函数()||f x x x a =--，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为_________．30．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．31．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.(1) 解不等式：()0x f x ⋅≤；(2) 当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，求实数m 的取值范围； (3) 对于满足(2)的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求实数k 的取值范围.32．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.33．已知函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩，数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数t 的取值范围是_________.34．已知0a >且0a ≠，函数223,2()1log ,2a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩存在最小值，则(4)f a 的取值范围为__________．四、双空题35．已知函数()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦_______，若()5f a =-，则a =______．36．若函数12,0()2,0x x x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，则((1))f f -=_________，若1()2f a =，则a =________．37．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，当()1f a =时，a =_______；如果对于任意实数R 都有()2f x b ≥成立，那么实数b 的取值范围是_________．超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 39．若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =__________．②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是__________． 40．已知函数[][]()sin,1,12f x x x x π=+∈-.其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]3.54,2.12-=-=.(1)函数()f x 是_________函数（奇偶性）；(2)函数()f x 的值域是________.五、解答题41．已知函数()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求()3f 、()()2ff -的值；（2）若()10f a =，求a 的值. 42．已知函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩（1）若1()()12f x f x +->，求x 的取值范围；（2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，求b 的取值范围.43．已知()f x x x a b =-+，x ∈R .（1）当1a =、0b =时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当1a =、1b =时，若()2log 3f x =，求x 的值.44．已知函数22,2()2,2x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩（1）若0)(8f x =，求0x 的值； （2）解不等式()8f x >.45．设函数()1 ,01(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中a 为常数且()0,1a ∈.新定义：若0x 满足()()00ff x x=，但()00f x x ≠，则称0x 为()f x 的回旋点.（1）当12a =时，分别求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）当(],1x a ∈时，求函数(())y f f x =的解析式，并求出()f x 回旋点； （3）证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点，并求出回旋点12,x x . 46．已知函数()3,0ln ,0x x f x x x e-<⎧=⎨<<⎩的值域为M ,函数()()142x x g x x M +=-∈.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时,若函数()()142xx h x b b R +=--∈有零点,求b 的取值范围,并讨论零点的个数.47．已知函数2()22,()2|1|f x x tx t g x x =-+-=-，函数()min{(),()}F x f x g x =，其中{},min ,.,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩ （1）若()24f x t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围； （2）若6t ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围； ②求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M t ． 48．已知()f x x x a =-，0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 在[]1,3-上的最大值；（2）对任意的1x ，[]21,1x ∈-都有()()124f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】分段讨论即可求出. 【详解】解：当x ≥0时，f （x ）＝x ，由f （x ）＝1，得x ＝1， 当x ＜0时，f （x ）＝﹣x ，由f （x ）＝1，得1x =-． 综上，x ＝±1． 故选：C ． 2．B 【分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可. 【详解】当用水量为312m 时，水费为12336⨯=，而本月交纳的水费为48元，显然用水量超过312m ， 当用水量为318m 时，水费为36(1812)672+-⨯=，而本月交纳的水费为48元，所以本月用水量不超过318m ，所以有(4836)62-÷=，因此本月用水量为312214m +=， 故选：B 3．A 【分析】分别在00x ≤和00x >的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】当00x ≤时，()0001222x x f x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，01x ∴->，解得：01x <-；当00x >时，()12002f x x ==>，解得：04x ；综上所述：0x 的取值范围为()(),14,-∞-+∞.故选：A. 4．B 【分析】令()f x t =，由()12f t =得到12t =-，2t =()1f x t =和()2f x t =，得到x 的值，从而得到答案.【详解】令()f x t =，则()12f f x =⎡⎤⎣⎦的零点，转化为()12f t =，而21,0()ln ,0t t f t t t ⎧-+≤=⎨>⎩，由21120t t ⎧-+=⎪⎨⎪≤⎩，解得12t =-（正值舍）， 由1ln 20t t ⎧=⎪⎨⎪>⎩，解得2t =， 所以()1f x t ==，即0x ≤时，21x -+=，得12(1)x =-+（正值舍）， 0x >时，ln x =x e =， ()2f x t ==即0x ≤时，21x -+，得x 无解，0x >时，ln x =，得x = 所以()12f f x =⎡⎤⎣⎦有3个零点. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查求复合函数的零点，关键在于通过换元法，区分内外层函数，逐层求解，属于中档题. 5．A 【分析】直接代入，先求()100f -，再求()()100f f -.【详解】由题意知()10010f -==，则()()()10π4ππ10010coscos cos π333f f f ⎛⎫-====+ ⎪⎝⎭π1cos 32=-=-．故选：A【点睛】求分段（复合）函数函数值的方法步骤： （1）找到给定自变量所在的区间； （2）将自变量带入解析式求解. 6．C 【分析】根据分段函数的解析式，先求出()02f =，再根据()04f f m ⎡⎤=⎣⎦可得答案. 【详解】因为函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩，所以()0012f e =+=，所以()()02424f f f m m ⎡⎤==+=⎣⎦， 解得2m =， 故选：C. 7．B 【分析】依题意，当0x >时，(21)))((1a x x a f =-+-为减函数，再比较分段点处函数值大小，即可得答案. 【详解】依题意()f x 在R 上为减函数，所以02101()13a a -<⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得102a ≤<， 故选：B. 8．B 【分析】首先根据函数()f x 的单调性求得01m <≤，从而确定m 的最大值为1，接着确定函数()f x 的解析式，接着分类讨论()()ln 1f x ≤的解集即可.解：因为函数()f x 在R 上单调递增，则有000m m m e>⎧⎨⨯+≤⎩，解得01m <≤，所以m 的最大值为1，此时,0()1,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，令()()ln 1f x ≤，解得()0f x e <≤，当0x <时，01x e <+≤，解得11x e <≤-﹣，所以10x -<<， 当0x ≥时，0x e e <≤，解得01x ≤≤， 综上，不等式的解集为(]1,1-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，处理这类问题主要是每一段上的单调性要考虑，还要考虑两段的端点值进行比较大小才能最后确定函数的单调性. 9．D 【分析】解方程()1f x =，根据该方程有两解可得出关于a 的不等式组，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知0a >且1a ≠.当12x ≤<时，由()log 1a f x x ==，可得x a =； 当01x <<时，由()21f x ax ==，可得x =由于方程()1f x =有两解，则1201a ≤<⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得12a <<. 因此，实数a 的取值范围是()1,2. 故选：D. 10．D由()a f x x =在[1，+∞)上单调递减且131aa ≤-+可解得结果. 【详解】因为函数()3f x x a =-+在(,1)-∞上是单调递减的，又()f x =,13,1ax xx a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数， 所以()af x x =在[1，+∞)上单调递减，即a >0， 并且131a a ≤-+，解得12a ≥．综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞.故选：D 【点睛】易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误. 11．B 【分析】首先可得函数()f x 在R 上是增函数，然后保证函数()f x 在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果. 【详解】依题意可知，函数()f x 在R 上是增函数，则11412a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪-≤⎪⎩，解得13a.故选：B . 【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断． 12．B先根据已知条件求解出()f x 的值域以及()g x 的最小值，然后根据题意得到224a a -与()f x 值域的端点的大小关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()2g x x x =-，a 为实数，所以22()24g a a a =-， 因为224y a a =-，所以当1a =时，y 的最小值为2-， 因为函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象如下图，且2(7)6,()2,()1f f e f e --==-=，所以结合图象可知()f x 值域为[2,6]-，因为存在实数m ，使()2()0f m g a -=，所以22246a a -≤-≤，即13a -≤≤， 故选：B ．【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集． 13．D 【分析】由题知，()()min min g x f x ≤，先求出()min f x ，再对k 分类讨论求出范围. 【详解】 1x >时，()ln f x x =()1f x x '∴=∴()122f '=∴1()2g x kx =+12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立()()min min g x f x ∴≤对函数ln ,1(),1xx x f x xe x ≥⎧=⎨<⎩当1x >时，()ln f x x =，此时()min 0f x = 当1x <时，()x f x xe =()(1)x f x x e '∴=+令()(1)0x f x x e '+==得1x =- 当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增所以1x =-为极小值点，此时1(11)f e e-=-=--故()min 1f x e=- 当0k =，1()2g x =不合题意； 当0k >，()()min 1332g x g k =-=-+所以1132k e -+≤-，解得1136k e ≥+ 当0k <，()()min 1332g x g k ==+所以1132k e +≤-，解得1136k e ≤--综上得11(,]36k e ∈-∞--11[)36e ++∞， 故选：D. 14．D 【分析】画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像, 令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =，分析1234x x x x ，，，所在的区间，结合对数函数，余弦函数的性质，可得1234x x x x +++的取值范围.【详解】解：画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像如图，令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =， 当3x =时，(3)cos 1f π=-=，当9x =时，(9)cos31f π=-=， 由图像可知，当01a <<时，直线与()f x 有4个交点， 且1234013 4.59x x x x <<<<<<<<，则：3132log x log x =，可得3132log x log x =-，121=x x ， 由()3y cos x π=-的图像关于直线6x =对称，可得3412x x +=，可得1234x x x x +++=2221211)3(x x x ++<<， 设2222121()13()g x x x x =++<<，由对勾函数性质可得其在(1,3)区间上单调递增，当21x =时，123414x x x x +++=， 当23x =时，1234463x x x x =+++， 故可得1234x x x x +++的取值范围是46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故选：D. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质、对数函数与余弦函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题. 15．B 【分析】因为()cos f x x x =-在[1,0]-单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在(0,2]也是单调递增，且31a -≥-，解不等式组，即可得到本题答案. 【详解】当10x -≤≤时，()cos 2sin ,1,6666f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=--∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[1,0]-上单调递增，因为()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，所以2()23f x ax x a =+-在区间(0,2]上单调递增，当0a >时，对称轴10x a=-<，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤；当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a=->，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足3112a a-≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上得，1123a -≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法. 16．AD 【分析】若()0>f m ，将()f m 代入上支函数，可得(())f f m =ln[()]2f m -，结合题意，可得()f m 的范围，同理若()0f m ≤，将()f m 代入下支函数，又可解得()f m 范围，根据()f m 范围，再分别讨论0m ≤，0m >，将m 代入不同方程，即可得答案. 【详解】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-． 若()0>f m ，则()1ln[()]222f m f m -=-， ．ln 1≤-x x ，2x x >，．ln 23x x -≤-，112122xxx -<-<-， ．1ln 23122x x x x -≤-<-<-， ．方程无解；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +， 故只需解()0f m ≤即可， 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，由()ln 20f m m =-≤，解得20e m <≤．综上所述，当(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=． 故选：AD . 【点睛】本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的(())f f m 的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题. 17．ABC 【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.18．e【分析】当0m>时，()ln1f m m==，当0m<时，()11f m m=-=，分别解出m的值，再验证．【详解】函数ln,0,()1,0,x xf xx x>⎧=⎨-<⎩∴当0m>时，()ln1f m m==，解得m e=，当0m<时，()11f m m=-=，解得0m=（舍），∴实数m e=．故答案为：e．19．4【分析】根据题意，由函数的解析式分01x ≤与01x >两种情况讨论，求出0x 的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，当01x ≤时，()()20012f x x =-=-，无解；当01x >时，()0102log 2f x x ==-，解可得04x =，符合题意，故04x =， 故答案为：4. 20．2 【分析】根据分段函数解析式计算可得； 【详解】 解：因为2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，((2))2f f = 所以2log (2)21f ==，则((2))(1)342f f f a a ==-+=，解得2a =． 故答案为：2． 21．：8或2- 【分析】根据分段函数解析式先求出1()4f 的值，然后分类讨论解方程即可求a 的值． 【详解】因为221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，所以22211()log log 2244f -===-， 又因为()f a 1()14f +=，所以()f a 11()1(2)34f =-=--=．若0a >，由()3f a =得2log 3a =，解得8a =；若0a ≤，由()f a 3=得213a --=，即24a -=，2a ∴-=，2a =-， 综上8a =或2a =-． 故答案为：8或2-． 【点睛】方法点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值 ，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值． 22．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先利用已知条件，结合图象确定,m n 的取值范围，设()()f m f n t ==，即得到n m -是关于t 的二次函数，再求二次函数的取值范围即可. 【详解】先作函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩图象如下：由图可知，若m n <，()()f m f n =，设()()f m f n t ==，则(]0,1t ∈，0m n ≤<，由()1f m m t =+=知，1m t =-；由()f n t ==知，2n t =；故()222131124n m t t t t t ⎛⎫-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，(]0,1t ∈，故12t =时，n m -最小值为34，1t =时，n m -最大值为1，故n m -的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断,m n 的取值范围，才能分别找到,m n 与相等函数值t 的关系，构建函数求值域来突破难点. 23．15,48⎛⎫⎪⎝⎭【分析】采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】令()0f x t =，则()f t A ∈. ．若t A ∈，则()12f t t =+，11022t ∴≤+<，解得：102t -≤<，不满足t A ∈，舍去；．若t B ∈，则()()21f t t =-，()10212t ∴≤-<，解得：314t <≤，即()0314f x <≤， 若0x A ∈，则()0012f x x =+，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭； 若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴<-≤，解得：01528x ≤<，015,28x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：求解复合函数()()f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件.24．1,32⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数，列出不等式，分类求解即可. 【详解】211log 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭得，当03x <≤时，由2log 12x -<，得132x <≤；当3x >2<，此时无解. 综上所述，不等式()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分段函数的应用，考查计算能力，属于中档题． 25．2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.26．12,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先判断出()y f x =为减函数，列不等式组，解出a 的范围. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，不妨设12x x <，则有()()12f x f x >，所以()y f x =为减函数，所以需满足：1103011113a a a a ⎧-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎛⎫⎪-⨯+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1233a <≤.则a 的取值范围12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法： (1)分段函数的每一段都单调； (2)根据单调性比较端点函数值的大小. 27．()2,+∞ 【分析】根据偶函数的性质可得函数()1e exxg x =+和函数()2h x x m =-+存在两个交点，再结合函数的单调性得()()00h g >，由此可得出结论． 【详解】解：∵函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称， 构造定义在R 上的函数()1e exx g x =+和函数()2h x x m =-+， 易得函数()g x 和函数()h x 均为偶函数， ∴函数()g x 和函数()h x 在R 上存在两个交点， ∴函数()g x 和函数()h x 在()0,∞+上存在一个交点，又函数()g x 在()0,∞+上单调递增，函数()h x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()max min h x g x >，即()()00h g >，即112m >+=，故答案为：()2,+∞． 28．1[,1)3【分析】先求出当2x ≥时，()f x 的范围，再由()f x 的值域为R ，列不等式组，解出a 的范围． 【详解】当2x ≥时，2log 1x ≥． 因为()f x 的值域为R ，所以只需201341a a a <<⎧⎨-+≥⎩，解得113a ≤<． 故答案为1[,1)3． 29．1 【分析】当2a ≥时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，矛盾，故不满足；当02a <<时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，进而得212a a -≤+-，解不等式(]0,1a ∈，进而得实数a 的最大值 【详解】解：当2a ≥时，取绝对值得()(),,(),,x x a x a f x x x a x a x x a --≥⎧⎪=--=⎨--<⎪⎩，作出函数()f x 的图像如图1，此时，1(2,)x ∈+∞，()(]1,0f x ∈-∞，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，显然不满足，； 当02a <<时，函数图像如图2所示，此时，1(2,)x ∈+∞，()()1,42x a f ∈-∞-+，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，所以当212a a -≤+-时，才能满足对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立，整理不等式212a a -≤+-得：20a a -≤，解得：[]0,1a ∈， 由于02a <<，所以(]0,1a ∈.由于所求为实数a 的最大值，故不需要再讨论0a ≤的情况.所以，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分2a ≥时和02a <<时两种情况分别讨论求解. 30．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a+∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点， 设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，12a x =02a <=，1222a x +=+4022a +==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4a x 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a+∞上单调递增， 欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤， 综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 31．(1) 1x ≤；(2) [0,2]；(3) [4,)+∞. 【分析】(1) 分段函数需分段讨论；(2) 先求方程()1f x =的实根，在结合函数的单调性求解； (3) 利用分离参数的方法，转化为函数的最大值问题. 【详解】(1) 当0x ≤时，由()20x x f x x ⋅=⋅≤得，0x ≤；当0x >时，由2()log 0x f x x x ⋅=⋅≤得，2log 0x ≤，解得01x <≤. 综上可知，不等式()0x f x ⋅≤的解集为{}|1x x ≤.(2) 解()1f x =得0x =或2x =，又函数2x y =为增函数，所以当0x <时，()21xf x =<，2log y x =为增函数，所以当2x >时，()1f x >，当02x <≤时，()1f x ≤，故若(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则m 的取值范围为[]0,2.(3)在(2)的条件下，有()1f x ≤恒成立，若2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立， 只需2(2)3101m k m k --+-≥，对[]0,2m ∈恒成立.整理得22113m m k m+-≥--，令3t m =-，有[]1,3t ∈，3m t =-，()()23231148t t k t t t -+--⎛⎫≥-=-++ ⎪⎝⎭，又44t t +≥=，当且仅当2t =时等号成立， 所以48484t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭，故4k ≥， 所以k 的取值范围为[)4,+∞. 32．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作出()y f x =，()1y f x =-的大致图象，由()()1f x f x -<恒成立，利用数形结合可得到关于a 的不等式()91a a ---<，解不等式即可得解. 【详解】(),3,33,313,3313,3333x a a x ax a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <， 又0a >，所以108a <<. 故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数()f x 的大致图象，然后根据函数()y f x =与()1y f x =-的图象的关系，数形结合判段a 的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题. 33．12,1⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由分段函数及复合函数单调性的性质,可得t 的取值范围.再由分段函数单调性的性质,及数列的自变量取值特征,即可确定t 的取值范围. 【详解】数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈,若数列{}n a 是单调递减数列函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩当03,*n n N <<∈时, ()2144tn n a f n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由复合函数单调性性质可知2y tn =-为单调递增函数.则0t >;当3,*n n N ≥∈时,()()241518n a f n tn t n t ==-+-+-为单调递减,则()04722t t t >⎧⎪-⎨-<⎪⨯-⎩,解得12t >当2n =时222144t a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当3n =时, ()3934151836a t t t t =-+-+-=-.因为数列{}n a 是单调递减数列所以满足2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立而当1t =时,2214364t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 22144t y -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减,36y t =-单调递增由函数性质可知2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1t <由以上可得t 满足0121t t t >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩,所以112t <<.即1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为:1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列的函数性质,分段函数单调性的综合应用,由数列的单调性求参数的取值范围.注意数列与函数的取值范围区别,不等式边界的选取也是解决问题的关键,属于难题. 34．[4,)+∞ 【解析】当2x ≤时．()()222312f x x x x =-+=-+，当且仅当1x =时．()f x 取得最小值2．当2x >时，若01a <<．则()1log 22a f x <+<．显然不满足题意．若1a >．要使()f x 存在最小值，必有1log 22a +≥．解得12a <≤．即448a <≤．()()4141log 42log 42log a a f a a a =+=+=+．由410log 2a <≤．可得212log a ≥．可得()44f a ≥．故答案为[)4,+∞. 35．2172或1或2利用函数解析式由内到外逐层计算可得()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；分0a ≤和0a >解方程()5f a =-，综合可得出实数a 的值. 【详解】()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()11335f =--=-，则()()1510122f f f ⎡⎤=-=-+=⎣⎦；当0a ≤时，()2125f a a =+=-，解得172a =-，合乎题意； 当0a >时，()2335f a a a =--=-，可得2320a a ，解得1a =或2.综上所述，172a =-或1或2. 故答案为：2；172或1或2.36．21-或14【分析】根据分段函数定义计算，注意自变量的取值范围，在已知1()2f a =求a 时要分类讨论． 【详解】121(1)2f --==，所以1211((1))()22f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭1()2f a =，若122x=，1x =-，符合题意，若1212x =，14x =也符合题意．故答案为：2；1-或14．37．2e -或52- (],1-∞- 【分析】分类讨论将a 代入()f x 进行求值即可，再根据恒成立问题的解法求得()f x 的最小值即可得解.若1a ≥-可得()ln(2)1f a a =+=， 所以2a e =-，满足题意， 若1a <-，()241f a a =--=， 所以52a =-，满足题意， 当1x ≥-，ln(2)0x +≥， 当1x <-，242x -->-， 根据题意可得22b -≥，所以1b ≤-. 故答案为：2e -或52-；(],1-∞-. 38．163,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可. 【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩， 当01x ≤<时，5332x -=，即16x =； 当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<， 综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.39．①0 ②2]． 【分析】．1）若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则x e =，舍去． （2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，所以为使得值域为[]0,2，则ln x 的值能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．【详解】．1）分段讨论：若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则1lnx =，则x e =，不在定义域范围内，所以舍去 因此0x =（2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦， 为使得值域为[]0,2，则ln x 的值域能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．所以122e a e ≤≤ ，即2a e ⎤∈⎦【点睛】本题考查分段函数定义域与值域的求解，关键分清自变量取值对值域取值的影响，属于难题． 40．非奇非偶 (){}1,12-⋃ 【分析】根据函数奇偶性定义，可判断函数[][]()sin ,1,12f x x x x π=+∈-是非奇非偶函数，再根据三角函数值域，可分段求解函数值域. 【详解】 （1）(1)110,(1)112f f -=-+==+=函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数.（2）由题意得[)(]1sin ,1,02()sin ,0,122,1x x xf x x x ππ⎧--∈-⎪⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩当[)1,0x ∈-时，函数()f x 是减函数，(0)()(1)f f x f <≤-得1()0f x -<≤； 当()0,1x ∈时，函数()f x 是增函数，(0)()(1)f f x f ∴<<，得0()1<<f x ； 当1x =时，()2f x =.综上得函数()f x 的值域为(){}1,12-⋃. ．．．．：①非奇非偶；② (){}1,12-⋃ 【点睛】本题考查具体函数的奇偶性定义，和新函数的值域求法，综合性较强，有一定难度. 41．（1）()36f =，()()20f f -=；（2）5. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算可得答案； （2）分类讨论，代入求解可得a 的值. 【详解】（1）因为()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，所以()3236,f =⨯=()2220,f -=-+=则()()200f f f -==⎡⎤⎣⎦.（2）当 1a ≤-时，()210f a a =+=，解得8a =（舍）；当1?2a -<<时，()210f a a ==，则a =；当2a ≥时，()210f a a ==，则5a =. 所以a 的值为5. 42．（1）14x >-；（2）12b ≤.【分析】（1）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可；（2）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，求出21()2f x x +的最小值，即可求得的b 取值范围. 【详解】（1）若0x ≤，则1122x -≤-，则1()()12f x f x +->等价为11112x x ++-+>，解得14x >-，此时014x -<≤；当0x >时，()21x f x =>，1122x ->-， 当102x ->即12x >时，满足1()()12f x f x +->恒成立，当11022x -<-≤，即102x <≤时，1111()12222f x x x -=-+=+>，此时1()()12f x f x +->恒成立.综上所述：14x >-. （2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，即2min 1[()]2b f x x ≤+.令21()()2g x f x x =+， 当0x ≤时，22211111()()1(1)22222g x f x x x x x =+=++=++≥， 当0x >时，2211()()222x g x f x x x =+=+在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=， 综上，21()()2g x f x x =+的最小值是12，所以12b ≤. 43．（1）非奇非偶函数；（2）x 的值为4 【分析】（1）根据题意得出()1f x x x =-，然后得出()f x -与()f x -，再根据奇函数与偶函数性质即可得出结果；（2）根据题意将()2log 3f x =转化为22log log 120x x --=，然后分为2log 1x ≥、2log 1x <两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当1a =、0b =时，()1f x x x =-， 则()11f x x x x x -=---=-+，()1f x x x -=--， 因为()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-， 所以函数()f x 是非奇非偶函数.（2）当1a =、1b =时，()11f x x x =-+，()2log 3f x =，即22log log 113x x -+=，22log log 120x x --=，若2log 1x ≥，即2x ≥，()22log log 120x x --=，()222log log 20x x --=，()()22log 2log 10x x -+=，解得2log 2x =或2log 1x =-（舍去），即4x =； 若2log 1x <，即02x <<，()22log 1log 20x x --=，()222log log 20x x -+=，无解，综合所述，x 的值为4. 【点睛】关键点点睛：定义域关于y 轴对称的函数()f x ，若函数()f x 满足()()f x f x =-，则函数()f x 是偶函数，若函数()f x 满足()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数.44．（1）0x =；（2）{|>x x .【分析】（1））当02x ≤时，根据解析式求出0x ，当02x >时，求出对应的0x ，判断0x 是否符合要求，进而即可求解.（2）根据分段函数对x 进行分类讨论，分别求出2x ≤和2x >时的满足()8f x >的范围，进而求解即可.【详解】（1）当02x ≤时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x0x =(舍去)，故0x （2）()8f x >等价于228x x ≤⎧⎨>⎩ ——①或2228x x >⎧⎨+>⎩——②解①得x φ∈，解②得>x综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于一般题目. 45．（1）12(())33f f =，4455f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩；211x a a =-++是()f x 的回旋点（3）见解析，121a x a a =-++，2211x a a =-++. 【分析】（1）利用函数解析式即可求出13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）由1a x <≤得出()()111f x x a=--，讨论21a x a a <<-+和211a a x -+≤≤时，()()f f x 的解析式，即可得出当(],1x a ∈时，函数(())y f f x =的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出()f x 回旋点；（3）将0x a ≤≤分成20x a ≤≤和2a x a <≤两种情况进行讨论，得出[]0,x a ∈内()f x 的回旋点，结合（2）中得出的(],1x a ∈内()f x 的回旋点，即可证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点. 【详解】解：（1）当12a =时，()()1 2,02121,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝ 44221555f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴422425555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）f x 中[]0,1x ∈时，值域也是0,1又1a x <≤，()0,1a ∈()()111f x x a∴=-- 由()1111a x a<-≤-，得21a x a a <<-+ ∴当21a x a a <<-+时，()()21111(1)()11(1)f f x x x a a a a ⎡⎤=--=-⎢⎥---⎣⎦ 同理，当211a a x -+≤≤时，()10()11f x x a a≤=-≤- ()()f f x ∴=()()111111(1)x x a a a a ⎡⎤⨯-=-⎢⎥--⎣⎦∴当(],1x a ∈时，()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩当21a x a a <<-+，由21()(1)x a x a -=-得12x a=∈-2(,1)a a a -+ 1111(1)2122f a a a a ⎛⎫∴=-= ⎪----⎝⎭，故12x a =-不是()f x 的回旋点. 当211a a x -+≤≤时， 由()11(1)x x a a -=-得211x a a =∈-++]2(1,1a a -+。
3.分段函数
3.分段函数I ．题源探究·黄金母题【例1】已知函数()()()4,0;4,0.x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩求()1f ，()3f -，()1f a +的值．【解析】因为()()()4,0;4,0.x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，所以(1)1(14)5f =⨯+=，(3)3(34)21f -=-⨯--=，()(1)(5),1,1(1)(3), 1.a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩ II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩．其中.a ∈R ，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是_____．【答案】25-【解析】∵5191()()()()2222f f f f -=-==，∴112225a -+=-，即35a =，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-． 【例3】【2016高考北京理】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.3()3g x x x =-与直线2y x=-【解析】如图作出函数的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此①当a =时，()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，得()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-【例4】【2016年山东高考理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________．【答案】(3,)+∞【解析】由题意画出函数()y f x =与y b =的图像如下图时才符合题意，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根应满足240m m m m ⎧-<⎨>⎩解得3m >，即m的取值范围是(3,)+∞．理论基础·解题原理考点一 分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量x 不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数x ，此函数实质上也是分段函数．（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心．考点三 分段函数的性质 1．分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性．2．分段函数的奇偶性：判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数x ，判断()f x -与()f x 的关系．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系．【技能方法】已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）．若能利用数形结合可加快求解的速度.【易错指导】（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解； （2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在0x =有定义时，忽视对(0)f 的验证；（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；V ．举一反三·触类旁通考向1 求解分段函数的函数值【例1】【2015全国新课标Ⅱ卷理】设函数211l o g (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．．9D ．12【例2】【2012高考江苏10】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为___________． 【例3】【2015高考山东理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 考向2 求分段函数的最值（或值域）【例4】【2015高考浙江理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是___________．【例5】【2015高考福建理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是___________．考向3 分段函数的奇偶性【例6】【2016届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数sin(),0,()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ） A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==考向4 分段函数的单调性【例7】【2016届浙江宁波效实中学高三上期中考试理科】函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤- 考向5分段函数的图象交点【例8】【2016届西安中学高三第四次仿真理】已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()(2)0f x f x +-=，（2）(2)()f x f x -=-；（3）在[1,1-上表达式为[1,0]()cos(),(0,1]2x f x x x π∈-=⎨∈⎪⎩，则函数()f x 与函数2,0()1,0x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[3,3]-上的交点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 考向6分段函数的零点【例9】【2016届陕西省西工大附中第九次适应性训练数理】函数21,0()2ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数为_________． 【例10】【2015年天津高考理科】已知函数22||2()(2)2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考向6 分段函数与不等式【例11】【2016届合肥市高三第三次教学质量检测理】已知函数2log (1),1()(2),1x x f x f x x +≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2f x >的解集是___________．b 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭。
初二数学分段函数练习题
初二数学分段函数练习题1. 函数f(x)如下，求定义域：2x+1, x < 2f(x) =x-1, x ≥ 2答案：函数f(x)的定义域为(-∞, 2)∪[2, +∞)2. 函数g(x)如下，求解不等式g(x) ≤ 3：-x+3, x < -1g(x) =2x-5, x ≥ -1解答：首先确定不等式两边的取值范围。
当x < -1时，g(x) = -x + 3，不等式变为 -x + 3 ≤ 3，解得 -x ≤ 0，即x ≥ 0。
当x ≥ -1时，g(x) = 2x - 5，不等式不变，解得 2x - 5 ≤ 3，即x ≤ 4。
综合以上，解不等式g(x) ≤ 3得到定义域为x ≥ 0 且x ≤ 4。
3. 函数h(x)如下，求解方程h(x) = 1：3x+4, x < 2h(x) =解答：根据方程h(x) = 1，分别求解 x < 2 和x ≥ 2 两种情况下的方程。
当 x < 2 时，3x + 4 = 1，解得 x = -1。
当x ≥ 2 时，-2x + 7 = 1，解得 x = 3。
综合两组解，方程h(x) = 1的解为 x = -1, 3。
4. 函数k(x)如下，求解不等式k(x) > -2：-x+3, x < -1k(x) =2x-5, x ≥ -1解答：首先确定不等式两边的取值范围。
当x < -1时，k(x) = -x + 3，不等式变为 -x + 3 > -2，解得 -x > -5，即 x < 5。
当x ≥ -1时，k(x) = 2x - 5，不等式不变，解得 2x - 5 > -2，即 x > 1.5。
综合以上解集，不等式k(x) > -2的解为 x < 5 且 x > 1.5。
5. 函数m(x)如下，求解方程m(x) = -1：4x+1, x < 3m(x) =解答：根据方程m(x) = -1，分别求解 x < 3 和x ≥ 3 两种情况下的方程。
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【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （ ）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）； 当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时 ，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（ ）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3） 若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ )4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立， 当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即 ；当时，，则，即。