概率论与数理统计：数理统计基本概念

数理统计基本概念

教学目标:1.理解总体、样本和统计量的概念

2.掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算

教学内容：

一、引例

例如，考察某厂生产的日光灯管的质量，灯管的平均寿命是一个重要的质量指标。由于生产中各种随机因素的影响，各个灯管的寿命是不完全不同的，但受到人力、物力等限制，特别是灯管寿命测试这类试验带有破坏性，所以不可能对生产的全部灯管一一进行测试，一般只是从整批中取出一部分灯管来测试，然后根据这些得到的灯管寿命数据来推断整批灯管的平均寿命。

二、总体与个体概念

在一个统计问题中，我们把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。对多数实际问题。总体中的个体是一些实在的人或物。比如，我们要研究某大学的学生身高情况，则该大学的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体。事实上，每个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重、民族、籍贯等。而在该问题中，我们关心的只是该校学生的身高如何，对其他的特征暂不予以考虑。这样，每个学生（个体）所具有的数量指标值——身高就是个体，而将所有身高全体看成总体。这样一来，若抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现的机会多，有的出现的机会少，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的。从这个意义上看，总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。以后说“从总体中抽样”与“从某分布中抽样”是同一个意思。

例1.考察某厂的产品质量，将其产品只分为合格品与不合格品，并以0记合格品，以1记不合格品，则

总体＝｛该厂生产的全部合格品与不合格品｝＝｛由0或1组成的一堆数｝。

若以p表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该总体可由一个二点分布表示：

不同的p反映了总体间的差异。例如，两个生产同类产品的工厂的产品总体分布为：

我们可以看到，第一个工厂的产品质量优于第二个工厂。

实际中，分布中的不合格品率是未知的，如何对之进行估计是统计学要研究的问题。三、样本

为了了解总体的分布，我们从总体中随机地抽取n个个体，记其指标值为x1，x2，…，x n，则x1，x2，…，x n称为总体的一个样本，n称为样本容量，或简称样本量，样本中的个体称为样品。

从总体中抽取样本，一般总是假设满足下述两个条件：

（1）随机性为了使样本具有充分的代表性，抽样必须是随机的，应使总体中的每一个

个体都有同等的机会被抽取到，通常可以用编号抽签的方法或利用随机数表来实现。

（2）独立性 各次抽样必须是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的

结果，也不受其它各次抽样结果的影响。

这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本。

例如，从总体中进行放回抽样，显然是简单随机抽样，得到的样本就是简单随机样本。

若总体容量N 很大而样本容量n 较小(%10≤N

n )，则可以近似地看作是放回抽样，因而也就可以近似地看作是简单随机抽样，得到的样本可以近似地看作是简单随机样本。

今后，凡是提到抽样与样本，都是指简单随机抽样与简单随机样本。

例2.啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640g ，，由于随机性，事实上不可能使得所

有的啤酒净含量均为640g ,现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量，得到如下

结果：

641 635 640 637 642 638 645 643 639 640

这是一个容量为10的样本的观测值。对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。

从总体中抽取容量为n 的样本，就是对代表总体的随机变量随机地、独立地进行n 次

试验（观测），每次试验的结果可以看作是一个随机变量，n 次试验的结果就是n 个随机变

量

n X X X ,,21。

这些随机变量相互独立，并且与总体服从相同的分布。设得到的样本观测值分别是

n x x x ,,21，

则可以认为抽样的结果是n 个相互独立的事件

n n x X x X x X ===,,,2211

发生了。

若将样本n X X X ,,21看作是一个n 维随机变量),,(21n X X X ，则

(1) 当总体X 是离散型随机变量，若记其分布律为)(}{x p x X P ==，则样本

),,(21n X X X 的分布律为

)()()(),,,(2121*n n x p x p x p x x x p =；

(2)当总体X 是连续型随机变量,且具有概率密度函数)(x f 时，样本)

,,(21n X X X 的联合概率密度为

)()()(),,,(2121*n n x f x f x f x x x f =。

为了通过对样本观测值的整理、分析、研究，对总体X 的某些概率特征作出推断，往

往需要考虑各种适用的样本函数),,,(21n X X X g 。

因为一组样本n X X X ,,,21 可以看作是一个n 维随机变量，所以任何样本函数

),,,(21n X X X g 都是n 维随机变量的函数，显然也是随机变量。根据样本

n X X X ,,,21 的观测值n x x x ,,21计算得到的函数值),,(21n x x x g 就是样本函数 ),,,(21n X X X g 的观测值。

四、统计量

定义：若样本函数),,,(21n X X X g 中不含有任何未知参数，则称这类样本函数为统

计量。

数理统计中最常用的统计量及其观测值有：

（1）样本均值 ∑==n

i i X n X 1

1 它的观测值记为 ∑==n

i i x n x 1

1 （2）样本方差 ??? ??--=--=∑∑==n i i n i i X n X n X X n S 122212

11)(11 它的观测值记为 ??

? ??--=--=∑∑==n i i n i i x n x n x x n s 12221211)(11 （3）样本标准差 21

2)(11∑=--==n

i i X X n S S 它的观测值记为 212

)(11∑=--==

n

i i x x n s s （4）样本k 阶原点矩 ∑==n i k i k X n A 1

1， ,2,1=k ， 它的观测值记为 ∑==n i k i k x n a 1

1， ,2,1=k 显然，样本的一阶原点矩就是样本均值。

（5）样本k 阶中心矩 ∑=-=n i k i k X X n B 1

)(1， ,2,1=k ，

它的观测值记为 ∑=-=n i k i k x x n b 1

)(1， ,2,1=k 显然，样本一阶中心矩恒等于零。

例3.从某工人生产的铆钉中随机抽取5只，测得其直径分别为（单位：毫米）：13.7 13.08 13.11 13.11 13.13

（1）写出总体、样本、样本值、样本容量；

（2）求样本观测值的均值、方差。

解：（1）总体为某工人生产的铆钉的直径；样本为,X ,X ,X ,X ,X 54321样本值为13.7，13.08，13.11，13.11，13.13；样本容量为5。

（2）样本观测值的均值、方差的计算步骤如下：

()[]730226135131311131113081371341112261313131113111308137135

1512222222512251.......x n x n s ......x x i i i i =?-++++=

??????--==++++==∑∑==