高二数学寒假作业试题 理(一)

湖北省武汉市黄陂区2016-2017学年高二数学寒假作业试题理(一) 一．填空题（共3小题）

1．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是．

2．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．

（1）圆C的标准方程为．

（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．

二．解答题（共3小题）

4．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

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5．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA⊥平面ABC ，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．

（1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积；

（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC⊥BM，并求的值．

6．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，点A （2，）在椭圆上，且AF 2与x 轴垂直．

（1）求椭圆的方程；

（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求△AOB 面积的最大值．

寒假作业（一）参考答案

1．由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，

∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8

∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，

此时|AB|=b2，∴5=8﹣b2，解得．

故答案为．

2．（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），

∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；

（2）由（1）知，B（0，1+），

∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+﹣）（y﹣）=2，

令y=0可得x=﹣1﹣．

故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2；﹣1﹣．

3.由题意可知几何体是底面为正方形边长为，一条侧棱垂直底面高为1的四棱锥，

所以四棱锥的表面积为：

=．

故答案为：．

4．（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，

根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，

该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，

由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8

（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．

5．（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，

可得S△ABC==．

因为PA⊥平面ABC，PA=1，

所以V P﹣ABC=•S△ABC•PA=；

（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，

因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．

因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．

在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，

从而NC=AC﹣AN=．

由MN∥PA得==．

6．（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为

；

（2）当AB斜率不存在时：，

当AB斜率存在时：设其方程为：，

由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）

=8，

即：， |AB|=，

O到直线AB的距离：d=，

∴S△AOB==，

∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，

∴此时，

综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为．