工程数学试题B及参考答案

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工程数学试题B

一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）

1.设为阶矩阵，则下列等式成立的是（）．nBA,TTT B?A(AB) (B)

(A) BAAB?TTTT (D) AB?A(?BAB(A?B))?(C)

1234????4312???A，则（）．?)r(A设 2.??4132??2341?? (A) (B) 01 (C) (D) 34?既是又是的特征值，既是又

是3.设为阶矩阵，的特征向nxB,A BBAA量，则结论（）成立．

??是的特征值 (B) (A) 是的特征值BBA?A??是的特征值 (D) (C) 是的特征向量x AB?BA4.设为随机事件，下列等式成立的是（）．BA, (A)

(B) )(BA)?P(A?B)?P((A?B)?PA)?P(B)(PP P(A?B)?P(A)?P(B) (D)

(C) )(AB)?PB)?P(AP(A? 5.随机事件相互独立的充分必要条件是（）．B,A

P(AB)?P(A) (A) (B) )P(?BP(A)(PAB) (C)

(D) )(ABB)?P(B)?P(A)??P(AB)0PP(A?6.设和分别是随机变量的分布密度函数和

分布函数，则对任意))xF(f(x X，有（）．?)XP(a??b b?a bb?? (B)

xdf(x)F(xdx)(A) aa (C)

(D) )b?F((a))F(af(fb)?2，,,???),NX~(未知）的一个样本（7. 对来自正态总体

XXX32131?XX?，则下列各式中（）不是统计量．i3i?1.

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3?X (B) (A) X ii?13311??22?)X(X?

(D) )?(X(C) ii331?ii?1

二、填空题（每小题3分，共15分）

T?1．BA3，则阶矩阵，， 1.设均为33?BA2?B,A?? 2.线性无关的向量组的部分组一定．

3.已知，则．?)BP(A,?0.3P(B?A)?0.5?P(A)

4.设连续型

随机变量的密度函数是，则．?X)E(f(x)X????，则

称(E?????的的估计量满足 5.若参数为估计．?)三、计算题（每小题10分，共60分）

12??，求的特征值与特征向量．A?A．设矩阵 1??03??2.线性方程组的增广矩

阵为

1?121????3?211????1?6?13??求此线性方程组的全部解．

222?3xx,xx)?7f6?5x?xx(x,化为标准型，并求用配方法将二次型3. 22313231出所作的满秩变换．

4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．

5. 袋中有10个球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一个，共取4次求：⑴取到白球不少于3次的概率；⑵没有全部取到白球的概率．

?，今从这批滚珠中随机某厂生产一种型号的滚珠，其直径 6. ).(09,0NX~?的，求滚珠直径）的样本平均值为4.35mm地抽取了16个，测得直径（单位：??1.96双侧临界值()．的置信区间置信度为0.95

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四、证明题（本题4分）

为正交矩阵，试证：等于或．设AA1?1.

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参考答案

一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）

1.C

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.C

二、填空题（每小题3分，共15分）

??? 5.无偏．x)dxf(x 4.3.2.线性无关 1. 80?18.??三、计算题（每小题10

分，共60分）

1. 解：解特征方程

??1?2???得?E?A????,3)(01)(?3?0??。??特征值：31,21??，系

数矩阵时，解方程组当0X?E?A()1?0?201????，?A?E?

????0?200????1??。?X解得对应的特征向量为：??10????，系数矩阵时，

解方程组当0?A)X(E?3?2?21?1????，??E?A3????0000????1??。

?X解得对应的特征向量为：??21??1??????。与1对应的全部特征值为；

0k?kX?k,3,1特征值因此，??2110??1??。?kkX?k对应的全部特征值为3 与0,??21??2.解：增广矩阵

1?1211?1211?121????????????1?23011??402?22?1，

????????????000202?4011?3?6??????x?x?2x?1?312x?得对应齐次方程的基础1取自由未

知量方程组等价于：。?3x?2x?1?32.

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02??????????1?2X，得特解：；令0?x解系：。????013????01????????TT为任意常数）

（其中10?k?X2210k3.解：配方如下：

222?3x?5x7x?6xx,f(x,xx)?31312232222x5x)?x?3(?2x?7x32312

2222x5x)?3x??7x?3(x?32313222.?)2x?7x?3(x?x3213y?xx?y??1111??y?x?xx?y?y，此时可将原二次型，

即所求满秩线性变换为令??322322??x?xyy???3333222?3yy?2y7化为标准型：。

213x100y??????11??????222x01??1yy23yx)?7y??,f(xx,，??????32121322??????yx010??????334.

解：设A={取出的是第i台机床生产的零件}，i=1，2；i B={取出的合

格品}。