三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：递推数列与数列求和

递推数列与数列求和

1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.

（1）已知等比数列{a n }*

()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；

（2）已知数列{b n }*

()n ∈N 满足：11

1221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*

()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有

1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．

2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =1

2

时，a 10＞10 B ．当b =14

时，a 10＞10

C ．当b =-2时，a 10＞10

D ．当b =-4时，a 10＞10

3.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满

足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *

++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2

）记,n c n *=

∈N

证明：12+.n c c c n *++<∈N L 4．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比

大于0，其前n 项和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，

5462b a a =+．

(1)求n S 和n T ；

(2)若12()4n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值． 5．设（2017新课标Ⅲ）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．

(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}21

n

a n +的前n 项和．

答案

1.解析（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.

由，得，解得．

因此数列为“M —数列”. （2）①因为

，所以． 由，得，则.

由，得，

当时，由，得，

整理得．

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n .

②由①知，b k =k ，.

因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.

因为c k ≤b k ≤c k +1，所以，其中k =1，2，3，…，m .

当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有

． 245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111

440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩11

2a q =⎧⎨=⎩{}n a 1

122

n n n S b b +=-0n b ≠1111,b S b ==2122

11b =-22b =1

122

n n n S b b +=-112()n n n n n b b S b b ++=-2n ≥1n n n b S S -=-()()

111122n n n n

n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---112n n n b b b +-+=(

)*

n ∈N *k ∈N 1k k

q k q -≤≤ln ln ln 1

k k

q k k ≤≤-

设f （x ）=

，则． 令，得x =e.列表如下：

因为

，所以．

取

k =1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立．

因此所求m 的最大值不小于5．

若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 2.解析：对于B ，令，得，

取，所以， 所以当时，，故B 错误； 对于C ，令，得或，

取，所以， 所以当时，，故C 错误；

对于D ，令，得， 取

，…，， ln (1)x x x

>2

1ln ()x

f 'x x

-=()0f 'x =ln 2ln8ln 9ln 32663

=<=max ln 3()(3)3f k f ==q =ln ln k

q k

…k k q ≤1

k q

k -≤2

104

x λ-+

=12λ=112a =

211

,,1022n a a ==

4

b =

1010a <2

20x λ--=2λ=1λ=-12a =22,,210n a a ==

40x λ--=λ=

112

a +=

212a +=1102n a +=

<