时间序列平稳性及其检验
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4.误 差 项 的 方 差 相 等 ，Var( ut | X t ) 2
5.误 差 项 不 存 在 序 列 相 关， 即Cov( ui ,u j | X i , X j ) 0
• 这些假定比有限样本下的假定弱得多 28
大样本条件下的普通最小二乘估计
• 如果满足假定1-3，回归系数的OLS估计量是 一致的
1.回 归 模 型 对 于 参 数 而 言是 线 性 的 2.误 差 项 均 值 为0，E( ut | X ) 0 3.解 释 变 量 之 间 不 存 在 完全 的 线 性 关 系
4.误 差 项 的 方 差 相 等 ，Var( ut | X ) 2
5.误 差 项 不 存 在 序 列 相 关， 即Cov( ui ,uj | X ) 0 6.误 差 项 服 从 正 态 分 布
33
时间序列分析模型方法
• 时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 年提出，以通过揭示时间序列自身的变 化规律为主线而发展起来的全新的计量 经济学方法论。
• 它适用于各种领域的时间序列分析。 • 时间序列分析已组成现代计量经济学的
重要内容，并广泛应用于经济分析与预 测当中。
34
时间序列模型不同于经典计量模 型的两个特点
• ⑴ 这种建模方法不以经济理论为依据， 而是依据变量自身的变化规律，利用外 推机制描述时间序列的变化。
• ⑵ 明确考虑时间序列的非平稳性。如果 时间序列非平稳，建立模型之前应先通 过差分把它变换成平稳的时间序列，再 考虑建模问题。
35
平稳的概念
•假定某个时间序列是由某一随机过程生成的，即假定时 间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分 布中随机得到，如果满足下列条件： •1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； •2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； •3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时 间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的 （stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程 （stationary stochastic process）。
36
两种基本的随机过程
• 白噪声（white noise）过程 • 随机游走（random walk）过程
37
白噪声
• 一个具有均值为零和相同有限方差的独 立 no随is机e)变。量序列et称为白噪声(white
– 这种方法的优点在于精确地考虑到了各经济变量之 间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不 完备，经济模型和经济计量模型不可能真正准确地 反映了经济现实，因而得到的结果不可能是相当准 确。
• 二、利用要预测的经济变量的过去值来预测其 未来值，而不考虑变量值产生的经济背景。
– 这种方法假定数据是由随机过程产生的，根据单一 变量的观测值建立时间序列模型进行预测。这种方 法在短期预测方面是很成功的。
27
大样本条件下的普通最小二乘估计
假定
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut
1.模 型 对 于 参 数 是 线 性 的， 每 一 个 时 间 序 列 都 是弱 相 依 的 2.误 差 项 均 值 为0，E( ut | X t ) 0 3.解 释 变 量 之 间 不 存 在 完全 的 线 性 关 系
25
经典线性正态假定：进一步的说明
• 如果满足假定1-3，回归系数的OLS估计 量是无偏的
• 如果满足假定1-5，回归系数OLS估计量 的方差估计是无偏的，而且OLS估计量 是最优线性无偏估计量
• 如果满足假定1-6，模型的t检验和F检验 是有效的
26
经典线性正态假定：进一步的说明
• 在大多数情况下，时间序列很难满 足经典线性正态模型假定，特别是 误差项条件均值为0、无序列相关以 及正态性的假定。因此，就需要用 大样本来做渐进处理。
12
随机过程
连续型
平稳的
严（强） 平稳过程
离散型
宽平稳过程 非平稳的
13
时间序列分类
• 随机过程的一次实现称为时间序列， 也用{x t }或x t表示。
• 与随机过程相对应，时间序列分类 如下：
14
连续型（心电图，水位纪录仪，温度纪录仪）
时间序列 离散型
从相同的时间间隔点上取自连续变化的 序列（人口序列）
• 如果满足假定1-5，回归系数OLS估计量是渐 近正态分布的，模型的t检验和F检验是渐近 有效的
29
经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平 稳的。
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础—— “一致性”要求——被破坏。
• 如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则一致性条件不成立，回归估计量不满足“一 致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01 02 21
03
时间序列模型的例子
居民消费价格指数（%）
125
124.1
120
118.8 118
115
114.7
117.1
109.3
110
106.5107.3
105
100
106.4 103.1103.4
108.3
102.8
100.4100.7 101.2
• 在一次指数平滑模型的基础上再进 行指数平滑计算，即构成二次指数 平滑模型。同样可以构成三次指数 平滑模型。
9
第二节、 随机时间序列概述
10
经济量预测的方法
• 一、根据一定的经济理论，建立各种相互影响 的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经 济数据估计出模型参数，利用模型来预测有关 变量的未来值。
平均数
yˆt
a0 yt
a1 yt 1 a2 yt 2 N
aN yt N 1 , t N
称为时间序列yt的加权移动平均数序列。
其中a0、a1、 、aN为加权因子：
N 1
( ai ) / N 1 i0
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权 因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确
6
(3) 二次滑动平均模型
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
yˆˆt
yˆt
yˆt1
yˆt 2 N
yˆtN 1 , t N
由此构成的序列程 为时间序列yt的二次移动平均数序列，
该式表达的模型称为二次移动平均模型。
7
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1)
11
随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
当取T为连续集，如T (, )或T [0, )
等, 则称 xt 为随机过程 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或T 1，2， 等，则称xt为随机序列或者离散型随机过程。
30
有趋势的时间序列
Байду номын сангаас
t 线性趋势
Yt 0 1t ut
t
指数趋势
lnYt 0 1t ut
或Yt e 0 1t ut
31
伪回归（spurious regression）
• 如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳 的，从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无 效的。
4
(1) 滑动平均模型
对于时间序列：
y1, y2 , yT
平均数
yˆt
yt
yt1
yt 2 N
ytN 1 , t N
称为时间序列yt的移动平均数序列。
该表达式的模型称为移动平均模型。
移动平均模型主要作用是消除干扰，
显示序列的趋势性变化，并用于趋势预测。
5
(2) 加权滑动平均模型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
20
时间序列模型的例子
GDP指数(1978=100)
1000.0
900.0
800.0
700.0
600.0
500.0
400.0
300.0
200.0
100.0
0.0
年份
79
80
81
82
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84
85
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87
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90
第九章 时间序列计量经济学模型
1
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列概述 • 时间序列的平稳性及其检验 • 随机时间序列分析模型 • 协整分析和误差修正模型
2
时间序列和时间序列模型
• 时间序列：
– 各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次 序排列起来的统计数据。
–一个时间序列数据可以视为它所对应的随机变量或 随机过程（stochastic process）的一个实现 （realization）
16
例1
• 某河流一年的水位值，{x1, x2, …, xT1, xT,}，可以看作一个随机过程。每 一年的水位纪录则是一个时间序列， {x11, x21, …, xT-11, xT1}。而在每年中 同一时刻（如t = 2时）的水位纪录是 不相同的。{ x21, x22, …, x2n,} 构成了 x2取值的样本空间。
一定时间间隔内的累集值（年粮食产 量，进出口额序列）
15
随机过程与时间序列的关系
• 随机过程: {x1, x2, …, xT-1, xT,} • 第1次观测：{x11, x21, …, xT-11, xT1} • 第2次观测：{x12, x22, …, xT-12, xT2} • • 第n次观测：{x1n, x2n, …, xT-1n, xTn}
18
说明
• 自然科学领域中的许多时间序列常常是 平稳的。如工业生产中对液面、压力、 温度的控制过程，某地的气温变化过程， 某地100年的水文资料，单位时间内路口 通过的车辆数过程等。
• 但经济领域中多数宏观经济时间序列却 都是非平稳的。如一个国家的年GDP序 列，年投资序列，年进出口序列等。
19
随机时间序列模型
则称此预测模型为指数平滑模型，
其中 称为平滑常数，0 1。 该式也可写为yˆt yt1 （1 ）yˆt1
即预测只是前期实际值和预测值的加权和。
的选择：选择不同的 代入模型，
计算预测值序列。以实际值与预测值之差
的平方和最小为原则确定的值。
8
（5）二次指数平滑模型
1.9 1.8 2.0 2.0 2.0
1.0
0.0 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 01 02 03
年份
23
第三节、时间序列的平稳性及其 检验
一、基本概念
24
回忆：经典回归模型的假定
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化 规律和相互联系的数学表达式
– 确定性的时间序列模型 – 随机时间序列模型
3
第一节、确定性时间序列模型
• 事物变化的过程有一类是确定型过程，可以用
关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中
的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电 过程，行星的运动过程等。 • 滑动（移动）平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
• 两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系， 在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系 数
• 出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量， 另一种办法是把非平稳的序列平稳化
32
数据非平稳的问题
• 在现实经济生活中，实际的时间序 列数据往往是非平稳的，而且主要 的经济变量如消费、收入、价格往 往表现为一致的上升或下降。这样， 仍然通过经典的因果关系模型进行 分析，一般不会得到有意义的结果。
99.2 98.6
99.2
95
年份 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 22
时间序列模型的例子
城镇失业率（%）
6.0
5.0 5.3 5.4
4.9
4.0
4.3
3.8
3.0
4.0 3.6
3.2
2.0
2.3
2.6 2.5 2.3 2.3 2.6 2.8 2.9 3.0 3.1 3.1 3.1
17
例2
• 要记录某市日电力消耗量，则每日的电 力消耗量就是一个随机变量，于是得到 一个日电力消耗量关于天数t的函数。而 这些以年为单位的函数族构成了一个随 机 天过为程单位{x，t},是t =离1散, 2的, …，3所65以。这因个为随时机间过以 程是离散型随机过程。而一年的日电力 消耗量的实际观测值序列就是一个时间 序列。
5.误 差 项 不 存 在 序 列 相 关， 即Cov( ui ,u j | X i , X j ) 0
• 这些假定比有限样本下的假定弱得多 28
大样本条件下的普通最小二乘估计
• 如果满足假定1-3，回归系数的OLS估计量是 一致的
1.回 归 模 型 对 于 参 数 而 言是 线 性 的 2.误 差 项 均 值 为0，E( ut | X ) 0 3.解 释 变 量 之 间 不 存 在 完全 的 线 性 关 系
4.误 差 项 的 方 差 相 等 ，Var( ut | X ) 2
5.误 差 项 不 存 在 序 列 相 关， 即Cov( ui ,uj | X ) 0 6.误 差 项 服 从 正 态 分 布
33
时间序列分析模型方法
• 时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 年提出，以通过揭示时间序列自身的变 化规律为主线而发展起来的全新的计量 经济学方法论。
• 它适用于各种领域的时间序列分析。 • 时间序列分析已组成现代计量经济学的
重要内容，并广泛应用于经济分析与预 测当中。
34
时间序列模型不同于经典计量模 型的两个特点
• ⑴ 这种建模方法不以经济理论为依据， 而是依据变量自身的变化规律，利用外 推机制描述时间序列的变化。
• ⑵ 明确考虑时间序列的非平稳性。如果 时间序列非平稳，建立模型之前应先通 过差分把它变换成平稳的时间序列，再 考虑建模问题。
35
平稳的概念
•假定某个时间序列是由某一随机过程生成的，即假定时 间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分 布中随机得到，如果满足下列条件： •1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； •2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； •3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时 间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的 （stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程 （stationary stochastic process）。
36
两种基本的随机过程
• 白噪声（white noise）过程 • 随机游走（random walk）过程
37
白噪声
• 一个具有均值为零和相同有限方差的独 立 no随is机e)变。量序列et称为白噪声(white
– 这种方法的优点在于精确地考虑到了各经济变量之 间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不 完备，经济模型和经济计量模型不可能真正准确地 反映了经济现实，因而得到的结果不可能是相当准 确。
• 二、利用要预测的经济变量的过去值来预测其 未来值，而不考虑变量值产生的经济背景。
– 这种方法假定数据是由随机过程产生的，根据单一 变量的观测值建立时间序列模型进行预测。这种方 法在短期预测方面是很成功的。
27
大样本条件下的普通最小二乘估计
假定
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut
1.模 型 对 于 参 数 是 线 性 的， 每 一 个 时 间 序 列 都 是弱 相 依 的 2.误 差 项 均 值 为0，E( ut | X t ) 0 3.解 释 变 量 之 间 不 存 在 完全 的 线 性 关 系
25
经典线性正态假定：进一步的说明
• 如果满足假定1-3，回归系数的OLS估计 量是无偏的
• 如果满足假定1-5，回归系数OLS估计量 的方差估计是无偏的，而且OLS估计量 是最优线性无偏估计量
• 如果满足假定1-6，模型的t检验和F检验 是有效的
26
经典线性正态假定：进一步的说明
• 在大多数情况下，时间序列很难满 足经典线性正态模型假定，特别是 误差项条件均值为0、无序列相关以 及正态性的假定。因此，就需要用 大样本来做渐进处理。
12
随机过程
连续型
平稳的
严（强） 平稳过程
离散型
宽平稳过程 非平稳的
13
时间序列分类
• 随机过程的一次实现称为时间序列， 也用{x t }或x t表示。
• 与随机过程相对应，时间序列分类 如下：
14
连续型（心电图，水位纪录仪，温度纪录仪）
时间序列 离散型
从相同的时间间隔点上取自连续变化的 序列（人口序列）
• 如果满足假定1-5，回归系数OLS估计量是渐 近正态分布的，模型的t检验和F检验是渐近 有效的
29
经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平 稳的。
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础—— “一致性”要求——被破坏。
• 如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则一致性条件不成立，回归估计量不满足“一 致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01 02 21
03
时间序列模型的例子
居民消费价格指数（%）
125
124.1
120
118.8 118
115
114.7
117.1
109.3
110
106.5107.3
105
100
106.4 103.1103.4
108.3
102.8
100.4100.7 101.2
• 在一次指数平滑模型的基础上再进 行指数平滑计算，即构成二次指数 平滑模型。同样可以构成三次指数 平滑模型。
9
第二节、 随机时间序列概述
10
经济量预测的方法
• 一、根据一定的经济理论，建立各种相互影响 的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经 济数据估计出模型参数，利用模型来预测有关 变量的未来值。
平均数
yˆt
a0 yt
a1 yt 1 a2 yt 2 N
aN yt N 1 , t N
称为时间序列yt的加权移动平均数序列。
其中a0、a1、 、aN为加权因子：
N 1
( ai ) / N 1 i0
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权 因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确
6
(3) 二次滑动平均模型
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
yˆˆt
yˆt
yˆt1
yˆt 2 N
yˆtN 1 , t N
由此构成的序列程 为时间序列yt的二次移动平均数序列，
该式表达的模型称为二次移动平均模型。
7
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1)
11
随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
当取T为连续集，如T (, )或T [0, )
等, 则称 xt 为随机过程 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或T 1，2， 等，则称xt为随机序列或者离散型随机过程。
30
有趋势的时间序列
Байду номын сангаас
t 线性趋势
Yt 0 1t ut
t
指数趋势
lnYt 0 1t ut
或Yt e 0 1t ut
31
伪回归（spurious regression）
• 如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳 的，从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无 效的。
4
(1) 滑动平均模型
对于时间序列：
y1, y2 , yT
平均数
yˆt
yt
yt1
yt 2 N
ytN 1 , t N
称为时间序列yt的移动平均数序列。
该表达式的模型称为移动平均模型。
移动平均模型主要作用是消除干扰，
显示序列的趋势性变化，并用于趋势预测。
5
(2) 加权滑动平均模型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
20
时间序列模型的例子
GDP指数(1978=100)
1000.0
900.0
800.0
700.0
600.0
500.0
400.0
300.0
200.0
100.0
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年份
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90
第九章 时间序列计量经济学模型
1
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列概述 • 时间序列的平稳性及其检验 • 随机时间序列分析模型 • 协整分析和误差修正模型
2
时间序列和时间序列模型
• 时间序列：
– 各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次 序排列起来的统计数据。
–一个时间序列数据可以视为它所对应的随机变量或 随机过程（stochastic process）的一个实现 （realization）
16
例1
• 某河流一年的水位值，{x1, x2, …, xT1, xT,}，可以看作一个随机过程。每 一年的水位纪录则是一个时间序列， {x11, x21, …, xT-11, xT1}。而在每年中 同一时刻（如t = 2时）的水位纪录是 不相同的。{ x21, x22, …, x2n,} 构成了 x2取值的样本空间。
一定时间间隔内的累集值（年粮食产 量，进出口额序列）
15
随机过程与时间序列的关系
• 随机过程: {x1, x2, …, xT-1, xT,} • 第1次观测：{x11, x21, …, xT-11, xT1} • 第2次观测：{x12, x22, …, xT-12, xT2} • • 第n次观测：{x1n, x2n, …, xT-1n, xTn}
18
说明
• 自然科学领域中的许多时间序列常常是 平稳的。如工业生产中对液面、压力、 温度的控制过程，某地的气温变化过程， 某地100年的水文资料，单位时间内路口 通过的车辆数过程等。
• 但经济领域中多数宏观经济时间序列却 都是非平稳的。如一个国家的年GDP序 列，年投资序列，年进出口序列等。
19
随机时间序列模型
则称此预测模型为指数平滑模型，
其中 称为平滑常数，0 1。 该式也可写为yˆt yt1 （1 ）yˆt1
即预测只是前期实际值和预测值的加权和。
的选择：选择不同的 代入模型，
计算预测值序列。以实际值与预测值之差
的平方和最小为原则确定的值。
8
（5）二次指数平滑模型
1.9 1.8 2.0 2.0 2.0
1.0
0.0 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 01 02 03
年份
23
第三节、时间序列的平稳性及其 检验
一、基本概念
24
回忆：经典回归模型的假定
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化 规律和相互联系的数学表达式
– 确定性的时间序列模型 – 随机时间序列模型
3
第一节、确定性时间序列模型
• 事物变化的过程有一类是确定型过程，可以用
关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中
的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电 过程，行星的运动过程等。 • 滑动（移动）平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
• 两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系， 在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系 数
• 出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量， 另一种办法是把非平稳的序列平稳化
32
数据非平稳的问题
• 在现实经济生活中，实际的时间序 列数据往往是非平稳的，而且主要 的经济变量如消费、收入、价格往 往表现为一致的上升或下降。这样， 仍然通过经典的因果关系模型进行 分析，一般不会得到有意义的结果。
99.2 98.6
99.2
95
年份 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 22
时间序列模型的例子
城镇失业率（%）
6.0
5.0 5.3 5.4
4.9
4.0
4.3
3.8
3.0
4.0 3.6
3.2
2.0
2.3
2.6 2.5 2.3 2.3 2.6 2.8 2.9 3.0 3.1 3.1 3.1
17
例2
• 要记录某市日电力消耗量，则每日的电 力消耗量就是一个随机变量，于是得到 一个日电力消耗量关于天数t的函数。而 这些以年为单位的函数族构成了一个随 机 天过为程单位{x，t},是t =离1散, 2的, …，3所65以。这因个为随时机间过以 程是离散型随机过程。而一年的日电力 消耗量的实际观测值序列就是一个时间 序列。