平面简谐波

.
y1 y´ uΔt
.
O
令 y 1= y ´
x
x´
x
得：x ´= x +uΔ t
这表示相应于位移y1的相位，向前传播了 uΔ t的距离。
例1、已知a点的振动方程为 ya A cos(t )，
它距波源为 x0，波的传播方向是沿x轴正方向传播 的。求波动方程。 u
.
.
o
解1：o点的相位比a超前：
x （3）知道a点的振动方程 任意点与a的坐标差 （由相位的落后领先） 波动方程 （4）波形图 , A, u
初位相φ是由t＝0时的波形决定的。
三、平面波的波动微分方程
我们已经得到了简谐波的波动方程为：
x y A cos[ (t ) )] u
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
讨论：
1.各向同性均匀媒质中波面与波线不变。 2.能够定性地解释波的衍射现象。 3.可以推导出波的反射定律和折射定律。
4.不足：只解决波的传播问题，没解决 这些子波对媒质各点的振动强度贡献问题
补充：惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯原理
惠更斯原理：波动所到达的媒质中各点， 都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻 这些子波的包迹便是新的波阵面。
o x
y ( x, t ) A cos[ t1
表示在 t 1 时刻的波形
2x

0 ]
3. t 与 x 都发生变化 x t = t1 y 1 = A cos ω ( t 1 u ) + x t = t 1+Δ t y ´= A cos ω ( t 1+Δ t u ) + y
平面波波面 障碍物
平面波
4、用惠更斯原理解释折射定律 C i u 1Δ t
2
n1 A u2Δ t n2
i
u 1Δ t B
sin i = sin r
CB AB AD AB
r
=
= =
r
D
=
u 1Δ t u 2Δ t u1 u2 n2 n1 n2 1
波 动 方 程
§平面简谐波
一、简谐波：
1. 定义：简谐波是简谐振动的传播。
如果波源的振动是简谐振动，介质也不
吸收波动的能量，那么介质中的质点也将作
简谐振动，这样的波称为简谐波。 行波：振动状态和能量都在传播的波 平面简谐波是最简单的行波
2. 波是相位的传播
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
u
dm
振动动能
+
形变势能 = 波的能量
dW= dWk +dW p = 2 dWk 2 2 2 (t x ) = dVρ Aω sinω u dW ρ A2 2sin2 ( t ω ω = 能量密度: w = dV 平均能量密度： w =T
1
x u )

T
w dt 0
2 2
=ρ Aω
x dt 0 sinω (t u ) T
波射线
(3) 波线：波的传播方向称为波线或波射线，它是 能量传输的方向。在各向同性的媒质中，波线总是 与波面垂直。
2. 惠更斯原理：
(1) 目的：只要知道某一时刻的波阵面，就可以用 几何方法决定下一时刻的波面。 (2) 原理：媒质中任一波阵面上的各点，都可以看 作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的 包络面就是新的波阵面。 (3) 应用：对任何波动过程都适用，不论是机械波 或是电磁波，不论这些波动经过的媒质是均匀的或 非均匀的。因而可以广泛地帮助我们研究波的传播。
d
x
已知: 参考点a 的振动表达式为
x
ya(t)=Acos( ta)
p: A, 均与a 点的相同, 但相位落后
振动表达式
2

(x d)
2 y ( x, t ) A cos[ t a ( x d )]
一维简谐波的波的表达式（右行）
下述几式等价：
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[ 2 (t ) 0 ] 2 y ( x, t ) A cos[ ( x ut ) 0 ]
（2） p点相位落后
x
2
x 或：这个形式传到P点需要的时间：t u x P点的振动：y P A cos[ (t ) 0 ] u
一维简谐波的波的表达式（右行）
y P A cos[ t
2

x

x 0 ]
波速ｕ 2、选: 任意点为参考点 参考点 a 任一点ｐ 初相为a， 则 o · ·
五、惠更斯原理
1. 波动的描述：（1）波函数 （2）几何描述 几个概念：
(1) 波面：振动相位相同的 点组成的面称波面。波面是 平面的波称为平面波，波面 是球面的波称为球面波。
(2) 波前(波阵面)：传播过 程中处在最前面的那个波面 称为波前或波阵面。
波射线
波面
波前
波射线
波面
波前
波面
波射线
波前
波面 波前
a ·
x
2
传播方向
b ·
x
图中b点比a点的相位落后


x
二. 一维简谐波的表达式(波函数)
讨论: 沿+x方向传播的一维简谐波(u , ) 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A)
1、选: 原点o为参考点。 初相为0 ，则
y
u
x
o
B
x
y
（1）o点的振动：
u x
P
o y0 A cos(t 0 )
1
T
2
2
1 ρ A2 ω w= 2
二、波的强度
能流P :单位时间通
u
S u
过某一面积的波能。
P=Swu P = S wu
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。
波的强度 I（能流密度）:通过垂直于波的传
播方向的单位面积的平均能流。
1ρ 2 2 I = wu = Aω u 2
(1) 任一时刻，媒质中质元动能和势能相等，同时到 达最大值，同时达到最小值（即零）。 (2) 质元的总能量不是一个常量，而是随时间作周期 性的变化。这表明在波动中，每个质元都在不断吸 收和放出能量，将能量不断传播出去。 (3) 波动传播能量的特点是：能量随着波动传播过去 了，但那些携带能量的质元并没有跑过去，每个质 元都只是在各自的平衡位置附近振动，传过去的只 是能量。
20m
(m)
x


2
x y A cos[ (t ) ] u
（1）知道a点的振动方程 求a点与o点的相位差 o点的振动表达式 任意点x 波动方程
（2）知道任意点a的振动方程以a点为原点 波动表达式 在a点的坐标系中x x0 o点的振动表达式 波动方程
将其对t，x分别求二阶偏导数，得： 2 y x 2 A cos[ (t ) )] 2 t u 2 y 2 x A 2 cos[ (t ) )] 2 x u u
2 y 1 2 y 比较上两式，得： 2 2 2 x u t
（波动微分方程）
2 T 2 k u T
y ( x, t ) A cos[ t
2x
0 ]
y( x, t ) A cos[k ( x ut) 0 ]
k 角波数
2 / T u /T
角波数在数值上等于2π长度上的完整波数目
注：若u沿x轴负向，P点的振动领先： 2x y ( x, t ) A cos[ t 0 ] x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[ 2 (t ) 0 ] 2 y ( x, t ) A cos[ ( x ut ) 0 ]
y( x, t ) A cos[k ( x ut) 0 ] y u x x o B
（4）波动方程的物理意义 1. x = x 1 (常数)
y ( x, t ) A cos[ t 0 ] y 2x1
o
t
表示 x1 处质点的振动方程
2. t = t 1 (常数) y
y p A cos[ t
2

( x x0 ) ]
例2、波形图如下，求波的表达式。
解：由波形图：
u
t 2s t 0
A
160m

注：此时间内没有超过一个周期
20 160m u t 10m / s 2 2u 20 T 160 8
x0
a
2 xo ] o点的振动方程：yo A cos[ t
以o为坐标原点的 2 2 y A cos[ t x ( x0 )] 波动方程：
.
o
x0
Байду номын сангаас
u
.
a
2
x
p
x 2
解2：p点的相位比a落后：


( x x0 )
a点的振动方程：ya A cos[t )] 即得波动方程：
用惠更斯原理确定 下一时刻球面波的波前 t +Δ t 时刻 的波面
uΔ t t 时刻 的波面
子波波源
.
. .. . .
. .. .
. . .
. . .
波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象。
3、用惠更斯原理解释衍射现象
障碍物后的 阴影部分
障碍后 的波面
障碍后 的波线
. . . . . . . . .
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
对于任一沿x方向传播的平面波，如果不是简谐 波，可以认为是由许多不同频率的平面简谐波合成， 将其对x和t求二阶导数后，所得结果仍然是上式， 所以上式反映的是一切平面波都必须满足的微分方 程。
四、波的能量 波的强度
形变最小
一、能量密度 取体积元dV， dV 体元内质量为 dm =ρ dV x ) 形变最大，速度最大 y = A cosω ( t u y = Aω sinω ( t x ) v= u t dWk = 1 dm v 2 2 1 ρ dV A2 2sin2 ( t x ) ω ω = 2 u 可以证明：dWk = dW p