信号与系统第7章(陈后金)2

由离散时间Fourier变换到z变换
单边z变换及其收敛域
常用单边序列的z变换
单边z变换的性质
单边z反变换
六、单边z反变换
1 k 1 x[k ] c X ( z ) z dz 2 πj
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。
计算方法： 幂级数展开和长除法 留数计算法 部分分式展开
2 z 2 0.5 z 例1 : X ( z ) 2 z 1, 求x[k ] z 0.5 z 0.5
y[k ] Z 1 Yzi ( z ) Yzs ( z )
Yzs (z)

例：某离散LTI系统满足 y[k]4y[k1]+4y[k2] = 4x[k] 已知y[1]=0 ，y[2]=2， x[k]=(3)k u[k]，由z域求 yzi [k]、yzs [k]、y[k]。
解：
1
z
2
源自文库
A=4/3, B=2/3, C= 1/3; π π 2 sin( k ) sin[ (k 1)] 4 3 3 x[k ] { (2) k }u[k ] 3 3sin( π / 3) 3sin( π / 3)
1) 双、单边z变换的定义与适用范围：
双边适用于离散系统综合设计
yzs[k]=Z1{Yzs(z)}=[1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(3)k]u[k] y[k]=yzi[k]+yzs[k] = 6.4k(2)k5.44(2)k+1.44(3)k k0
例： 已知一LTI离散系统满足差分方程
2 y[k 2] 3 y[k 1] y[k ] x[k 2] x[k 1] x[k ] k 0 y[1] 2, y[2] 1, x[k ] u[k ] 由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应
解：
3 y[1] y[1]z 1 y[2] 1 z 1 z 2 Y ( z) X ( z) 1 2 1 2 2 3z z 2 3z z
Yzi(z)
Yzs(z)
例：某离散LTI系统满足 y[k]4y[k1]+4y[k2] = 4x[k] 已知y[1]=0 ，y[2]=2， x[k]=(3)k u[k]，由z域求 yzi [k]、yzs [k]、y[k]。
4 y[1] 4 z 1 y[1] 4 y[2] 8 解： ( z ) Yzi 1 2 1 4z 4z (1 2 z 1 ) 2
解： 令k=k2
2 y[k ] 3 y[k 1] y[k 2] x[k ] x[k 1] x[k 2]
对差分方程两边做z变换
2Y ( z ) 3( z 1Y ( z) y[1]) ( z 2Y ( z ) y[1]z 1 y[2]) (1 z 1 z 2 ) X ( z )
2. m<n，分母多项式在z=u处有l阶重极点
X ( z)
i 1 n l l 1 ri qi 1 1 pi z (1 uz1 )l i i 0
1 di qi (1 uz 1 )l X ( z ) (u )i i! d( z 1 )i


z u
, i 0,l 1
多项式
按(1)(2) 情况展开
z 例： X ( z ) 2 , z a, 求x[k ] 2 z a
2
解：
X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用
sin 0 z 1 sin( 0 k )u[k ] Z 1 2 z 1 cos0 z 2
sin 0 sin[0 (k 1)]u[k ] 1 2z 1 cos0 z 2
5 2 z 1 2 3 z 1 z 2
3 0.5 1 1 z 1 0.5 z 1
yzi [k ] Z 1{Yzi ( z)} 3(1)k 1 (0.5)k 1
k0
例： 已知一LTI离散系统满足差分方程
2 y[k 2] 3 y[k 1] y[k ] x[k 2] x[k 1] x[k ] k 0 y[1] 2, y[2] 1, x[k ] u[k ] 由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应
k
1 X , z 0 求x[k]。 例： ( z ) 1 1 2 (1 2 z )(1 z z )
解：
A Bz 1 C X ( z) 1 1 2z 1 z 1 z 2
B, C用待定系数法求
1 z
1
z
2
1 2 cos(π / 3) z
解：
m=n，由多项式除法可得
2 X ( z) 1 (1 2 z 1 ) 2 (1 4 z 1 )
将G(z)用部分分式展开，如例2所示，所以
G(z)
2 4 8 X ( z) 1 1 2 1 (1 2 z ) 1 2 z 1 4 z 1
进行z反变换，得
Z
z 例： X ( z ) 2 , z a, 求x[k ] 2 z a
2
解：
1 X ( z) 1 ( z / a) 2
π x1[ k ] sin[ ( k 1)]u[ k ] 2
1 X1 ( z) 1 z 2
由指数加权性质
π x[k ] a cos( k )u[ k ] 2
解：
将X(z)化为z的负幂，可得
2 0.5 z 1 A B X ( z) 1 2 1 1 0.5 z 0.5 z 1 z 1 0.5z 1
2 0.5 z 1 A (1 z 1 ) X ( z ) z 1 1 0.5 z 1 B (1 0.5 z ) X ( z ) z 0.5
二阶系统响应的z域求解
b0 b1 z 1 a1 y[1] a2 y[2] a2 y[1]z 1 Y ( z) X ( z) 1 2 1 2 1 a1 z a2 z 1 a1 z a2 z
Yzi(z)
a1 y[1] a2 y[2] a2 y[1]z 1 Yzi ( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 b0 b1 z 1 Yzs ( z ) X ( z) 1 2 1 a1 z a2 z
X ( z)
i 1 n
ri 1 pi z 1
各部分分式的系数为
ri (1 pi z 1 ) X ( z ) z pi
六、单边z反变换
部分分式法
B ( z ) b0 b1 z 1 bm z m X ( z) A( z ) 1 a1 z 1 an z n
4
C (1 4 z 1 )G( z) z 4 8
进行z反变换，得
x[k ] [2(k 1)2k 4 2k 8 4k ]u[k ]
3 8z 1 20z 2 16z 3 例3 : X ( z) z 4, 求x[k ] 1 2 1 (1 2 z ) (1 4 z )
六、单边z反变换
部分分式法
3. mn
X ( z)
i 1 m n
B ( z ) b0 b1 z 1 bm z m X ( z) A( z ) 1 a1 z 1 an z n
B1 ( z 1 ) ki z i A( z 1 )
yzi [k ] Z 1{Yzi ( z)} 8k (2)k 8(2)k , k 0
1.6 0.96 1.44 4 1 Yzs ( z) 1 2 1 1 2 1 (1 2 z ) 1 2 z 1 3 z 1 1 4 z 4 z 1 3z
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做z变换，利用
Z{y[k 1]u[k ]} z 1Y ( z) y[1] Z{y[k 2]u[k ]} z 2Y ( z) y[1]z 1 y[2]
Y ( z) a1 z 1Y ( z) a1 y[1] a2 z 2Y ( z) a2 y[2] a2 y[1]z 1 b0 X ( z) b1 z 1 X ( z)
3 y[1] y[1]z 1 y[2] 1 z 1 z 2 Y ( z) X ( z) 1 2 1 2 2 3z z 2 3z z
例： 已知一LTI离散系统满足差分方程
2 y[k 2] 3 y[k 1] y[k ] x[k 2] x[k 1] x[k ] k 0 y[1] 2, y[2] 1, x[k ] u[k ] 由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应
1 z 1
1
z 0.5
2 0.5 z 1 1 z 1
1
将X(z)进行z反变换，可得
x[k ] Z 1{X ( z)} u[k ] (0.5)k u[k ]
2 例2 : X ( z ) z 4, 求x[k ] 1 2 1 (1 2 z ) (1 4 z )
解： X ( z )
A B C 1 2 1 (1 2 z ) 1 2 z 1 4 z 1
1 2
A (1 2 z ) G( z) z 2
2 2 1 1 4z
z 2
1 d[G( z)(1 2 z 1 )2 ] B (2) dz 1
1 d 2 z 2 2 dz 1 1 4 z 1
x[k ] [k ] [2(k 1)2k 4 2k 8 4k ]u[k ]
六、单边z反变换
部分分式法
B ( z ) b0 b1 z 1 bm z m X ( z) A( z ) 1 a1 z 1 an z n
1. m<n，分母多项式无重根
解：
3 y[1] y[1]z 1 y[2] 1 z 1 z 2 Y ( z) X ( z) 1 2 1 2 2 3z z 2 3z z 零输入响应为
3 y[1] y[1]z 1 y[2] Yzi ( z ) 2 3z 1 z 2
将差分方程两边进行单边z变换得
Y(z)4{z1Y(z)y[1]}+4{z2Y(z)+z1y[1]+y[2]}=4X(z)
求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式
4 y[1] 4 z 1 y[1] 4 y[2] 4 X ( z) Y ( z) 1 2 1 4z 4z 1 4 z 1 4 z 2
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
离散时间信号与系统的复频域分析
离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
离散时间信号的复频域分析
单边大多用于离散系统的分析
2) z域分析与其他域分析方法相同。
离散时间系统响应的z域分析
解差分方程
时域差分方程
z 变 换
时域响应y[k]
z 反 变 换
z域代数方程
解代数方程
z域响应Y(z)
二阶系统响应的z域求解
y[k ] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 x[k ] b1x[k 1] k 0