第七章 解析几何与微分几何 SECTION3
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
高等数学-第七章-微分方程ppt课件全篇
求它落到地面时的速度和所需时间
两端积分得
因此有
注意“－”号
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
内容小结
1. 一阶线性方程
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
思考与练习
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6
例7
作业
P309 2 (2); P315 1 (3), (6); 2 (5); P323 1 (5), (7); 2 (3); 4
运动,
在开始时刻
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
直到 t = T 时 F(T) = 0 .
如果开始时质点在原点,
解: 据题意有
t = 0 时
设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .
第七章 空间解析几何(习题课课件)
空间解析几何(习题课)题组一：向量及其运算1. 是非题（1）若0a b a c a ⋅=⋅≠ 且，.b c = 则（2）若0,a b a c a ⨯=⨯≠ 且.b c = 则（3）()().a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅b c⨯ （4）()().a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯ a b ca b ⨯ ()a b c ⨯⨯ ()a b c ⨯⨯（5）（6）()().a b c a b c ⨯⋅=⋅⨯ ()[()()]0.a b b c c a -⋅-⨯-= 解:因为()()()0a b b c c a -+-+-= 所以三向量,a b - ,b c - c a- 构成一三角形，因此三向量共面，故混合积为零。
2. 证明证明(1):（1）[()()].c b c a a c b ⊥⋅⋅-⋅⋅ [()()]c b c a a c b ⋅⋅⋅-⋅⋅ ()()()()c a b c c b a c =⋅⋅-⋅⋅ ()()()()c a b c c a b c =⋅⋅-⋅⋅ 0=[()()]c b c a a c b ∴⊥⋅⋅-⋅⋅(2)22()a b a b⋅+⨯ 2(||||cos )a b θ= 2(||||sin )a b θ+ 22.a b = 证明(2):2222().a b a b a b ⋅+⨯=(3)(2)()()()a b c a b c a b +⨯-++⨯+ 22a c a a b c b a=⨯-⨯+⨯-⨯ b a b b c a c b +⨯+⨯+⨯+⨯ a c=⨯ 证明(3):(2)()()().a b c a b c a b a c +⨯-++⨯+=⨯3. 设{1,3,2},a =- {2,3,4},b =-- {3,12,6}c =- （1）试证,,.a b c 共面（2）沿,.a b c 分解（3）求.a b c ⨯ 在上的投影解(1) :[,,]a b c = 1322343126----0=,,.a b c ∴ 共面解(2) :,c a b λμ=+ 设则{3,12,6}-={2,33,24}λμλμλμ-+--即233312246λμλμλμ-+=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解方程组得51λμ=⎧⎨=⎩5.c a b ∴=+解(3) :Pr b c j a ⨯= ||||cos(,)||a b c a b c b c ∧⨯⨯⨯ ()||a b c b c ⋅⨯=⨯ b c ⨯= 2343126i j k --- =234[]3126132bca --=--= =4. 设解:,,a b c 均为非零向量，且,a b c =⨯ ,b c a =⨯ ,c a b =⨯.a b c ++ 求由题设可知:三向量,,a b c两两垂直.所以||||||a b c =||||||b c a =2||||||a a c = ||0a ≠ ||1c = ||||||b c a = ||||||c a b =2||||||b b a = ||0b ≠ ||1a = ||||||c a b = ||||||a b c =2||||||cb c =||0c ≠ ||1b = ||||||3a b c ++=5. 设0a b c ++=3,25a b c === 且，，a b b c c a⋅+⋅+⋅ 求解:0a b c ++=()()0a b c a b c ++⋅++=2222()(||||||)a b b c c a a b c ⋅+⋅+⋅=-++(3425)a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-++32=-6. 设375,a b a b +⊥- 472a b a b-⊥- 求a b 与的夹角.(4)(72)0a b a b -⋅-= 解:(3)(75)0a b a b +⋅-= 227||1615||0a a b b +⋅-= 227||308||0a a b b -⋅+=21||2a b b ⋅= 227||1615||0a ab b +⋅-= ||||a b =212||a b b ⋅= 12||||a b a b ⋅= 1cos 2θ=7. 已知，，,OA a = ,OB b =2OBA π∠=(1)证明2(2).OAB a b a b b ∆=⋅⨯的面积解:a bO A B θ12||OAB S a b =⨯ 12||||sin a b θ= ||||cos b a θ=12||||cos sin OAB S a a θθ= ||||||cos ,a b a b θ⋅=||||||sin a b a b θ⨯= 2(2)a b a b b ⋅⨯= 12||||cos sin a a θθ结论成立(2) 当a b与的夹角为何值时,△OAB 的面积取最大值.解:12||||cos sin OABS a a θθ=由知，sin 21θ=当时，△OAB 的面积取最大值.4πθ=即时，△OAB 的面积取最大值.8. 用向量证明:三角形的三条高交于一点.证明:作三角形如图.AB C 其中两条高BE 和CF EFG要证过G 点的AD D 垂直于BC .BC BG GC=+ AG BC ⋅= AG GCAG BG ⋅+⋅ AG AC CG =+ AG AB BG=+ AG BC ⋅= ()AC C BG G ⋅+()G A BG C B +⋅+ ,AC BG ⊥ ,AB GC ⊥ GC CG=- 0AG BC ⋅=AD BC⊥交于点G ,题组二：空间平面与直线1. 设平面π过点P (2,3,-5) 且与已知平面x -y +z =1垂直,又与直线15(1)3(2)5(7)x y z +=-=-+平行,求平面π的方程.解:设平面π的法向量为,n则{1,1,1}n ⊥-{1,5,3}n ⊥-//{1,1,1}{1,5,3}n -⨯-111153i j kn =--=平面π的方程.2. 求过直线2540:6330x y z L x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩与点P (2,0,-1)的平面方程.解:设所求平面方程为(254)(633)0x y z x y z λ-+-+-+-=将点P (2,0,-1) 代入上式得13λ=所以所求平面方程为13(254)(633)0x y z x y z -+-+-+-=即5990x y z -+-=3. 设有一平面,它与x o y 面的交线是220,0x y z +-=⎧⎨=⎩且与三个坐标面围成的四面体的体积等于2,求该平面方程.解:设平面方程为:1,x y za b c++=则其与xoy 面的10x y za b c z ⎧++=⎪⎨⎪=⎩10x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩2200x y z+-=⎧⎨=⎩1120x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩12a b =⎧⎨=⎩1||26abc =6c =±平面方程为:1126x y z ++=±交线为:4. 一直线过点P (-3,5,9) 且和两直线，135:,23y x L z x =+⎧⎨=-⎩247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交,求此直线方程.解:作图如右.Ls L 11sL 22s P 分别求出两已知直线上的点M 1、M 2 ,1M 2M 设所求直线方向向量为{,,}s m n p =则11[,,]0M P s s =22[,,]0M P s s =由此得直线的点向式方程为：------------L5. 过平面π:解:1x y z ++=和直线11:1y L z =⎧⎨=-⎩的交点,求在已知平面上,垂直于已知直线的直线方程.πL 1A只要求出过点A 且和L 1垂直的平面π1的方程即可.111y z x y z =⎧⎪=-⎨⎪++=⎩(1,1,1)A -11:1yL z =⎧⎨=-⎩1111:100x y z L --+==1{1,0,0}s ={1,0,0}n =(1,1,1)A -1:1x π=:1x y z π++=直线方程为11x y z x ++=⎧⎨=⎩6. 在一切过直线10:20x y z L x y z +++=⎧⎨++=⎩的平面中求一平面,使原点到它的距离为最大.解:设过L 的平面束方程为:(1)(2)0x y z x y z λ++++++=即(12)(1)(1)10x y z λλλ++++++=000222||Ax By Cz D d A B C +++=++2221(12)(1)(1)λλλ=+++++接6.221216()33d λ=++23λ∴=-时,距离最大.平面方程为:422(1)(1)(1)10333x y z -+-+-+=即30x y z +++=题组三：空间曲面与曲线解:1. 讨论平面220x y z m +-+=与曲面222826220x y z x y z ++-+-+=间相互位置关系.222826220x y z x y z ++-+-+=222(4)(1)(3)4x y z -+++-=球心为(4,-1,3)半径为2的球.220x y z m +-+=222|426|12(2)m d --+=++-|4|3m -=接1.|4|3m d -=2d >102m m ><-即或相离2d =102m m ==-即或相切2d <210m -<<即相交2. 设空间曲线解:2222244:,3812y z x zy z x z⎧++=Γ⎨+-=⎩试将曲线Γ的方程用母线平行于x轴和y 轴的两个投影柱面的方程表示.3. 求锥面22z x y =+与柱面21z x=-所围立体在三个坐标平面上的投影区域.解:锥面22zx y=+与柱面21z x=-所围立体如图所示.xyzo接3.两曲面所围立体如图.x yzo(1) 在xoy 面上的投影区域为两曲面交线2221z x y z x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在xoy 面上的投影22210x y z ⎧+=⎨=⎩所围区域.因此所围立体在xoy 面上的投影区域为:xy D 2221x y +≤xyo2221x y +=接3-2xyzo (2) 在xoz 面上,立体由母线垂直于xoz 面的柱面21z x=-与两个曲面22(0)y z x z =±-≥围成.两曲面的交线为22z x y ⎧-=⎨=⎩即,0z x y =⎧⎨=⎩.0z x y =-⎧⎨=⎩柱面与两曲面的交线在xoz 面上的投影是210z xy ⎧⎪=-⎨=⎪⎩故立体在xoz 面上的投影区域是xzo:xz D 21||z xz x ⎧⎪≤-⎨≥⎪⎩接3-3(3) 在yoz 面上,xy zo立体由四个曲面22(0),x z y z =±-≥21(0)x z z =±-≥围成.其交线在yoz 面上的投影为yoz 面上的曲线,z y =±1,z =2221(0)z y z -=>所围区域.yzo12yz D D D =+1D 2D 1:D 2112y z +≤≤2:D 21||2y y z +≤≤4. 求直线解:11:012x y z L --==绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程.x yz o L L 的参数方程为：1.21x y t z t =⎧⎪=⎨=+⎪⎩取L 上一点(1,,21),M t t +M 则点M 到z 轴的距离d 21d t=+点M 绕z 轴旋转得一空间圆周，所以{222121x y t z t +=+=+()t -∞<<+∞消去参数得曲面方程为2221()12z x y -++=5. 柱面的准线为2222221,222x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩母线的方向向量为{1,0,1},-求柱面方程.解:设{1,0,1},s =- s 0000(,,)M x y z 为准线上一点，0M (,,)M x y z 为母线上一点，M 则过M 0 的母线方程为：000101x x y y z z ---==-即000x x t y y z z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩(1)接5.又知M 0 在准线上，所以2220002220001222x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩(2)整理得22001x y +=(3)将(1)代入(3)得：22()1x t y ++=将(1)代入(2)得：t z =所以柱面方程为：22()1x z y ++=0M M s。
第七章空间解析几何与向量代数
x 2 11 ，
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例2、 设点P在x轴上， 且它到点P1 (0， 2， 3)的距离为 到点P2 (0， 1， 1)的距离的两倍， 求点P的坐标.
解：由点P在x轴上可设点P的坐标为( x， 0， 0)，
2 x 11 ， 则 PP1 (0 x ) ( 2 0) ( 3 0) 2 2 2 2 PP2 (0 x ) (1 0) ( 1 0) x 2 . PP1 2 PP2 ，
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二、 空间两点的距离公式 如图， 设M1 ( x1， y1， z1 )、M 2 ( x2， y2， z2 )为空间两点， z 在直角三角形M1 NM 2中， 有
M 1 M 2 M 1 N NM 2 在直角三角形M1 PN中， 有
M 1 N M 1 P PN , 2 2 2 2 M 1 M 2 M 1 P PN NM 2
Ⅶ
Ⅷ
x
Ⅴ
Ⅵ
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设M为空间一点， 过点M作三个平面分别垂直于 x轴、 y轴和z轴， 交点依次为P、 Q、 R， 它们是点M在x轴、 y 轴和z轴上的投影， 且有向线段的值 OP、 OQ、 OR对应 的实数为x、 y、 z. 4、 空间点的坐标： 上述x、 y、 z称为点M的坐标， z 记为M ( x， y， z ). 6、 卦限中点的坐标的符号 5、 特殊点的坐标 Ⅰ:+ + ＋ R B Ⅱ:- + ＋ O(0， 0， 0) P ( x， 0， 0) Ⅲ:- - ＋ M C Q(0， y， 0) Ⅳ:+ - ＋ y Ⅴ:+ + o Q R(0， 0， z) Ⅵ:- + A A( x， y， 0) x P Ⅶ:- - B(0， y， z) Ⅷ:+ - C ( x， 0， z)
第七章 空间解析几何与向量代数(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第七章空间解析几何与向量代数1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.解答：（1）xOy面：()---，zOx面：()2,3,12,3,1-；2,3,1-，yOz面：()（2）x轴：()2,3,1，y轴：()2,3,1--；--，z轴：()2,3,1（3）()-2,3,1.所属章节：第七章第一节难度：一级2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为=点（4，－3，5）到x=点（4，－3，5）到y=点（4，－3，5）到z5=.所属章节：第七章第一节难度：一级3．把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标.解答：设分点坐标为(,,)x y z ，则由条件11121201x y z x y z ---===---，解得511,,33x y z ===，即所求分点坐标为511,,33⎛⎫⎪⎝⎭.所属章节：第七章第一节 难度：一级4．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a ，求各顶点的坐标. 解答：各顶点的坐标为：()()()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,,,,,,,0,,0,,0,,.a a a a a a a a a a a a所属章节：第七章第一节 难度：一级5．在yOz 平面上求一点，使它与点A （3，1，2），点B （4，－2，－2）和点C （0，5，1）的距离相等.解答：设所求点为(0,,)P y z ，则由条件有PA PB PC ==，故==，解得1,2y z ==-.即所求点为(0,1,2)-. 所属章节：第七章第一节 难度：一级6．在z 轴上求一点，使它到点A （－4，1，7）和点B （3，5，－2）的距离相等.解答：设所求点为(0,0,)P z ，则由条件有PA PB =，故=解得149z =.即所求点为14(0,0,)9. 所属章节：第七章第一节 难度：一级7．已知向量a 和b 的夹角为60°，且5,8,==a b 试求+a b 和.-a b 解答：由于222((2cos 129θ+=+⋅+++=a b a b)a b)=a b a b ，代入已知条件，即可得+=a b又由于222((2cos 49θ-=-⋅-+-=a b a b)a b)=a b a b ，故7-=a b .所属章节：第七章第三节 难度：二级8．设向量a 和b 的夹角为2π3，且3,4,==a b 试求： （1）⋅a b（2）()()322-⋅+a b a b解答：（1）2cos 34cos 63θπ⋅⋅⋅=⨯⨯=-a b =a b ；（2）22(32)(2)34461-⋅+=-+⋅-a b a b a b a b =. 所属章节：第七章第三节 难度：二级9．设23,3,=+=-A a b B a b 其中2,1,==a b 向量a 和b 的夹角为π3，试求⋅A B 及Pr oj B A . 解答：2222(23)(3)637637cos 28θ⋅=+⋅-=-+⋅=-+⋅⋅=A B a b a b a b a b a b a b ；由于22222(3)(3)9696cos 31θ=⋅-⋅-=+-⋅=+-⋅⋅=B B B =a b a b a b a b a b a b ，所以Pr oj31B ⋅===A B A B . 所属章节：第七章第三节 难度：二级10．设2,,1,2,k =+=+==A a b B a b a b 且,⊥a b 问： （1）k 为何值时，;⊥A B（2）k 为何值时，A 与B 为邻边的平行四边形面积为6.解答：(1) 要使⊥A B ，则⋅=A B ，即22(2)()2(2)0k k k +⋅+=+++⋅=a b a b a b a b ，代入条件即240k +=，解得2k =-；（2）要使以A 与B 为邻边的平行四边形面积为6，即6⨯=A B ，代入条件即23k -=，解得1k =-或 5.k = 所属章节：第七章第四节 难度：二级11．已知向量a +3b 垂直于向量7a －5b ,向量a －4b 垂直于向量7a －2b ,试求向量a 与b 的夹角.解答：因为a +3b ⊥7a -5b ，a -4b ⊥7a -2b ，所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0, (a -4b )⋅(7a -2b )=0，即 7|a |2+16a ⋅b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ⋅b +8|b |2 =0， 由以上两式可得 b a b a ⋅==2||||,于是21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a ，3) ,(^π=b a . 所属章节：第七章第三节 难度：二级12．设[],,2,=a b c 求：()()(),,.+++⎡⎤⎣⎦a b b c c a 解答：()()()[],,[()()]()()()2,,4+++=+⨯+⋅+=⨯+⨯⋅+==⎡⎤⎣⎦a b b c c a a b b c c a a b a c c a a b c .所属章节：第七章第四节 难度：二级13．设{}{}3,2,6,2,1,0,=-=-a b 试求下列各向量的坐标： （1）;+a b （2）1;2-b （3）1.3+a b 解答：（1）{}{}{}3,2,62,1,01,1,6+---a b =+=； （2）{}1112,1,01,,0222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭b ==；（3）{}{}1113,2,62,1,01,,2333⎧⎫+-+-=-⎨⎬⎩⎭a b =. 所属章节：第七章第二节 难度：一级14．求向量=++a i k 的模以及它与坐标轴之间的夹角.解答：2==a ；与坐标轴的夹角余弦分别为1111cos ,cos 222αβγ======a a a ， 故与坐标轴的夹角分别为°°°60,45 ,60αβγ===.所属章节：第七章第二节 难度：一级15．已知一向量的起点是A (2,－2,5),终点是B (－1,6,7),试求： （1）向量AB 在各坐标轴上的投影； （2）向量AB 的模和方向余弦； （3）AB 的单位向量. 解答：由于向量{}3,8,2AB =-，所以（1）向量AB 在各坐标轴上的投影为382-，，；（2）向量AB 的模(3)-=，方向余弦为cosαβγ===；（3）AB 的单位向量AB AB ⎧=⎨⎩. 所属章节：第七章第二节 难度：一级16．已知向量{}3,1,2-的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标.解答：终点坐标为()()()3,1,22,0,55,1,3-+-=--. 所属章节：第七章第二节 难度：一级17． 已知向量的终点为B （2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A 的坐标. 解答：起点A 的坐标()()()2,1,74,4,72,3,0---=-. 所属章节：第七章第二节 难度：一级18．已知向量{}{}1,1,5,2,3,5,==-a b 求与3-a b 同向的单位向量. 解答：由于{}{}{}31,1,532,3,55,10,10-=--=--a b ，单位化，与3-a b 同向的单位向量为{}311225,10,10,,315333-⎧⎫=--=--⎨⎬-⎩⎭a b a b . 所属章节：第七章第二节 难度：一级19．设向量{}{},5,1,3,,,l l m =-=a b 且//a b ，试求l 与m 的值. （题目与解答不统一）如果题目中向量为{}{},5,1,3,1,l m =-=a b ，则答案为115,.5l m ==-即原参考答案，下面按原题解答. 参考答案：115,.5l m ==-解答：由于//a b ，所以513l l m-==，解得l m ==或5l m ==.所属章节：第七章第二节 难度：一级20．已知向量32,23,=++=--a i j k b i j k 试求⋅a b 与.⨯a b 解答：321(3)2(1)1⋅=⨯+⨯-+⨯-=a b ；{}3125,7,11231⨯==---ij ka b .所属章节：第七章第四节 难度：一级21．已知()()()1,2,34,4,32,4,3A B C ---、、和()8,6,6D ，试求向量AB 在向量CD 上的投影.解答：{}3,2,6AB =--，{}6,2,3CD =，4Pr oj 7CD AB CD AB CD⋅==-. 所属章节：第七章第四节 难度：一级22．设直线L 通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L 的距离.解答：设(2,1,3),(0,1,2),(10,5,10)A B P --，点P 到直线L 的距离为d ，则{}{}{}12,4,7,10,6,8,2,2,1PA PB AB =---=---=--利用12PAB S PA PB ∆=⨯，12PAB S AB d ∆=⨯，解得d =所属章节：第七章第四节 难度：二级23．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点. 解答：设(1,3,2),(1,2,1)A B --，所求点为(,,)C x y z ，由题意知AB BC →→=，即{}{}2,5,11,2,1x y z --=+--，解得(3,7,0)C -. 所属章节：第七章第四节 难度：一级24．求以向量25,33,25=+=+=-a i j b j k c j k 为相邻三棱的平行六面体的体积.解答：由于25[,,]03342025==--a b c ，所以所求六面体的体积为[,,]42V ==a b c .所属章节：第七章第四节 难度：三级25．试证()()()2,1,2,1,2,1,2,3,0A B C --和()5,0,6D -四点共面. 解答：由题意{}{}{}1,3,3,0,4,2,3,1,4AB AC AD =-==-，由于133[,,]0420314AB AC AD -==-，所以,,,A B C D 四点共面. 所属章节：第七章第四节 难度：三级26．确定球面22224470x y z x y z ++-+--=的球心和半径. 参考答案：球心()1,2,2, 4.R -=（本题参考答案有误） 解答：将原方程22224470x y z x y z ++-+--=配方，得222(1)(2)(2)9x y z -+++-=，故球心为(1,2,2)-，半径为3R =.所属章节：第七章第五节 难度：一级27．一球面过坐标原点和()()()2,0,01,1,01,0,1A B C -、、三点，试确定该球面的方程. 参考答案：()2221 1.x y z -++=解答：设球面的方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得0001,0,1x y z R ====，即球面方程为()22211x y z -++=. 所属章节：第七章第五节 难度：二级28．试求与()()122,1,34,1,2M M --、距离相等的点的轨迹方程. 参考答案：44107.x y z +-=解答：设动点坐标为(,,)P x y z ，则由条件有12PM PM =，故有222222(2)(1)(3)(4)(1)(2)x y z x y z -+++-=-+-++，化简得44107x y z +-=. 所属章节：第七章第五节 难度：一级29．指出下列方程所表示的曲面：（1）22111;222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）221;49x y -=（3）221;49y z += （4）22z y =+解答：（1）母线平行于z 轴的圆柱面； （2）母线平行于z 轴的双曲柱面； （3）母线平行于x 轴的椭圆柱面； （4）母线平行于x 轴的抛物柱面. 所属章节：第七章第五节 难度：一级30．说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称：（1）2221;4y x z +-=（2）224;x y z +=（3）2221;169z x y +-= （4）2224x y z +=解答：（1）旋转单叶双曲面，它是由双曲线221,40y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成；（2）旋转抛物面，它由抛物线24,0x z y ⎧=⎨=⎩或24,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成；（3）旋转双叶双曲面，它是由双曲线221,1690z x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,1690z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成；（4）圆锥面，它由相交的两条直线224,0x z y ⎧=⎨=⎩或224,y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成.所属章节：第七章第五节 难度：一级31．建立下列旋转曲面的方程：（1）曲线25:,0z xL y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面；（2）yOz 平面上的椭圆22149y z +=绕z 轴旋转一周所生成的曲面；（3）xOy 平面上的双曲线224936x y -=绕y 轴和x 轴旋转一周所生成的曲面； （4）直线2,0y xz =⎧⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的曲面.解答：（1）225;y z x +=（2）2221;449x y z ++=（3）绕y 轴：22249436,x y z -+= 绕x 轴：22249936;x y z --= （4）22240.x y z --= 所属章节：第七章第五节 难度：一级32．指出下列方程所表示的曲线：（1）22225.3;x y z x ⎧++=⎨=⎩（2）()()2221425,10;x y z y ⎧-+++=⎪⎨+=⎪⎩（3）221;9420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩（4）24;1x yz ⎧=⎨=⎩（5）2221;169420.x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩解答：（1）平面x =3上的圆； （2）平面y =－1上的圆；（3）平面x =2上的双曲线； （4）平面z =1上的抛物线； （5）平面x =2上的椭圆. 所属章节：第七章第五节 难度：一级33．求曲线22236,2x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 平面上的投影曲线.（原参考答案有误）解答：在所给方程中消去z ，得2212x y +=，加上0z =，即得22320x y z ⎧+=⎨=⎩. 所属章节：第七章第五节 难度：一级34．求曲线22,1z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩在xOy 平面上的投影曲线.解答：在所给方程中消去z ，得22113222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，加上0z =，即得221132220x y z ⎧⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=⎩. 所属章节：第七章第五节难度：一级35．求下列曲线在xOy 平面上的投影：（1）22222241,;x y z x y z ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩（2）222224, 1.x y x y z ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩解答：（1）在所给方程中消去z ，得22531x y -=，加上0z =，即得22531x y z ⎧-=⎨=⎩； （2）在所给方程中消去z ，得224x y +=，加上0z =，另外由2221x y z -+=-知2221y x z =++，故1y ≥，于是投影曲线为224x y z ⎧+=⎨=⎩ 且1y ≥.所属章节：第七章第五节 难度：二级36．求曲线()2222221,11x y z x y z ⎧++=⎪⎨++-=⎪⎩在各坐标面上的投影：? 解答：xOy面：223,,40x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩yOz 面：210,z x -=⎧⎨=⎩且y ≤xOz 面：210,0z y -=⎧⎨=⎩且2x ≤所属章节：第七章第五节 难度：二级37．求下列各平面的方程：（1）平行与（于）Oy轴，且通过点（1，－5，1）和（3，2，－2）；（2）通过Ox轴和点（4，－3，－1）；（3）平行于xOz平面，且通过点（3，2，－7）.解答：（1）由于所求平面平行于Oy轴，故可设方程为+-=；++=，将另外两点坐标代入即得3250x zAx Cz D（2）由于所求平面通过Ox轴，故可设方程为0+=，By Cz 将另一点坐标代入即得30-=；y z（3）由于所求平面平行于xOz平面，故可设方程为y=.-，故2By D+=，又通过点(3,2,7)所属章节：第七章第六节难度：一级38. 设点P（3，－6，2）为原点到一平面的垂足，求该平面的方程.解答：法向量为{}n OP→3,6,2==-，所求平面的方程为x y z--++-=，即3(3)6(6)2(2)0-+-=.x y z362490所属章节：第七章第六节难度：一级39．求通过两点（8，－3，1）和（4，7，2），且垂直于平面+--=的平面方程.35210x y z解答：由条件可设法向量为{}{}{}n=-⨯-=---，4,10,13,5,115,1,50由点法式方程得++-=.15501670x y z所属章节：第七章第六节难度：二级40．求通过点()1,2,1P且垂直于两平面0y z+=的平面方+=和50x y程.解答：由条件可设法向量为{}{}{}1,1,00,5,11,1,5n=⨯=-，由点法式方程得-+-=.x y z540所属章节：第七章第六节难度：二级41．求一个通过点()3,2,1-且平行y轴的平面方程.-和()1,5,1解答：由条件可设法向量为{}{}{}2,7,20,1,02,0,2n =-⨯=，由点法式方程得20x z +-=.所属章节：第七章第六节 难度：二级42．求a 和b 的值，使：（1）平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行； （2）平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直. 解答：（1）要使平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行，则两个法向量平行，故有2361a b ==--，解得218,3a b ==-； （2）要使平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直，必须两个法向量垂直，故有31(5)320a ⨯+-⨯+⨯=，解得6a =. 所属章节：第七章第六节 难度：一级43．求过点（2，－3，8）且平行于直线243325x y z --+==-的直线方程.解答：由于两直线平行，方向向量相同，故得所求直线方程238325x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级44．求过点（4，－2，3）且垂直于平面2310x y z +-+=的直线方程.解答：由于所求直线垂直于已知平面，它的方向向量与该平面的法向量相同，即{}1,2,3s =-，于是所求方程为423123x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级45．求过点（－1，2，1）且平行于直线210,210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩的直线方程.解答：已知直线的方向向量为{}{}{}1,1,21,2,13,1,1s =-⨯-=-，所求直线方向向量与它相同，于是所求直线方程为121311x y z +--==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级46．试求下列直线的标准方程：（1）240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩（2）350;280.x z y z -+=⎧⎨-+=⎩解答：（1）令0x =，代入方程，求得直线上一点坐标为(0,1,4)，方向向量为{}{}{}2,4,13,1,29,7,10s =-⨯--=， 于是标准方程为14;9710x y z --== （2）令0z =，代入方程，求得直线上一点坐标为(5,8,0)--，方向向量为{}{}{}1,0,30,1,23,2,1s =-⨯-=，于是标准方程为58.321x y z++== 所属章节：第七章第七节 难度：二级47．确定下列直线与平面的位置关系： （1）34273x y z++==-与42230;x y z ---=（2）327x y z ==--与641490.x y z -+-= 解答：（1）直线的方向向量{}2,7,3s =-，平面的法向量{}4,2,2n =--，易证s n ⊥，故所给直线与平面平行；（2）直线的方向向量{}3,2,7s =--，平面的法向量{}6,4,14n =-，易证sn ，故所给直线与平面垂直.所属章节：第七章第七节 难度：一级48．确定下列直线间的平行或垂直关系：（1）27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩与3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩（2）21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩与1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩解答：（1）直线27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩的方向向量为{}11213,1,5211i j ks =-=-，直线3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩的方向向量为{}23639,3,15211i j ks =-=-----，由于它们平行，所以两条直线平行； （2）直线21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}11202,1,2021ij ks ==--，直线1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}21102,2,1102ijk s =-=-，由于它们垂直，所以两条直线垂直. 所属章节：第七章第七节 难度：二级49．求直线221312x y z +-+==与平面23380x y z ++-=的交点和交角. 参考答案：()1,1,1,arcsin 154（参考答案有误？）解答：将直线方程221312x y z +-+==改写成参数形式32221x t y t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，代入所给平面方程23380x y z ++-=，解得1t =，再代回直线方程，即得交点(1,1,1)；由于直线的方向向量为{}3,1,2s =，平面的法向量{}2,3,3n =，所以交角的正弦为sin 15414s n s nϕ⋅===⋅⋅，于是交角为arcsin154.所属章节：第七章第七节 难度：二级50．求点（3，－1，－1）在平面23300x y z ++-=上的投影. 解答：过已知点()3,1,1--向已知平面作垂线311123x y z -++==，参数形式为32131x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，代入已知平面解得参数167t =，于是交点也即所求投影点为372541,,777⎛⎫⎪⎝⎭. 所属章节：第七章第七节 难度：二级51．求点（2，3，1）在直线722123x y z +++==上的投影.解答：过已知点作垂直于已知直线的平面(2)2(1)3(1)0x y z -+-+-=，再将已知直线的参数方程72232x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩代入，即得参数2t =，两者交点即所求投影点为(5,2,4)-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级52．在平面1x y z ++=上求作一直线，使它与直线1,1y z ==-垂直相交.解答：由于所求直线与直线1,1y z ==-垂直，故可作平面平行与该已知直线，得平面方程0x x =，联立已知平面方程1x y z ++=，得一条直线01x x x y z =⎧⎨++=⎩，又由于所求直线与直线1,1y z ==-相交，将1,1y z ==-代入直线方程01x x x y z =⎧⎨++=⎩，可得01x =，于是所求直线方程为11x x y z =⎧⎨++=⎩，即111011x y z --+==-. 所属章节：第七章第七节 难度：三级53．通过点（－1，0，4）作一直线，使它平行于平面34100,x y z -+-=且与直线13312x y z +-== 相交.解答：过点（－1，0，4）作一平面，使它平行于平面34100x y z -+-=，得3410x y z -+-=， 由于所求直线与已知直线13312x y z+-== 相交，将已知直线方程化为参数方程3132x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩，代入平面方程3410x y z -+-=，得交点413732(,,)777，此为所求直线上另一点，过两点作出直线1448374x y z +-==，即为所求. 所属章节：第七章第七节 难度：三级54．求两异面直线11112x y z +-==和12134x y z +-==之间的距离. 解答：分别在两条已知直线上任取一点，如取(1,0,1),(0,1,2)P Q --，连接两点得向量{}1,1,1PQ →=-，作与两条已知直线都垂直的向量{}{}{}1,1,21,3,42,2,2s =⨯=--，则所求距离为Pr 312s PQ s d oj PQ s→→⋅====. 所属章节：第七章第七节 难度：三级55．一直线通过点（1，2，1）并与2xy z ==-相交，且垂直于直线11,321x y z -+==求它的方程. 解答：过已知点(1,2,1)P 作垂直于已知直线11321x y z -+==的平面，得:3280x y z π++-=，它与已知直线2x y z ==-交于点1688(,,)777Q -，连接,P Q ，即得所求直线121325x y z ---==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级56．求通过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩且平行于直线x y z ==的平面方程.解答：过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩的平面束为(2)0x y x y z λ++-+-=，即(1)(1)20x y z λλλλ++-+-=，由于它与直线x y z ==平行，故(1)(1)0λλλ++-+=，解得2λ=-，于是所求平面方程为3240x y z -+-=.所属章节：第七章第七节 难度：二级57．求通过直线240,3290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩且垂直于平面41x y z -+=的平面方程.解答：过直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束为24(329)0x y z x y z λ-++---=，即(23)(4)(12)90x y z λλλλ++--+--=，由于它垂直于平面41x y z -+=，故两者的法向量平行，解得1311λ=-，代回平面束方程，即得所求平面方程1731371170x y z +--=. 所属章节：第七章第七节 难度：二级58．过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线，作两个互相垂直的平面，且使其中一个平面通过点A （0，1，－1）.解答：过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线的平面束方程为(2)0x y z x y z λ+-+++=，即(1)(12)(1)0x y z λλλ++++-+=，由于其中一个平面经过点(0,1,1)A -，将此点坐标代入平面束方程，得2λ=-，得到一个平面330x y z ++=，由于平面束中的另一个平面与上面平面垂直，利用法向量垂直，解得98110x y z +-=. 所属章节：第七章第七节 难度：三级。
丘维声解析几何第七章答案
������′3
������31 ������32 ������33
������3
由已知条件得：
⎛ ������11 ������12 ������13 ⎞ ⎛ 1 2 0 0 ⎞ ⎛ ������1 0 0 ������4 ⎞
⎝ ������21 ������22 ������23 ⎠ ⎝ 0 0 1 2 ⎠ = ⎝ 0 ������2 0 ������4 ⎠
2������1 − ������2 + 3������3 = 0
⎩ 5������12������2 + 3������3 = 0
而其系数矩阵的行列式为零，于是结论成立。
3 7.1.4
点A即为：(1, −1, 1)，点B即为：(3, −5, 1)
于是直线AB的方程即为：
⃒ ⃒
������1
������2
������2������������ 则
(������, ������; ������, ������) = 5 = ������2 / ������1 ������2 ������1
������1 = 1, ������1 = −2
2
可得， 则可取D点为(3,1,19).
������2 = −5/2 ������2
������3
⃒ ⃒
⃒ ⃒
1
−1
1
⃒ ⃒
⃒ ⃒
3
−5
1
⃒ ⃒
1
4 7.1.5.
取定截面的大圆圆心为O，取把O,把O里的每一条直线l与半球面有一个或两个交点， 而且仅当直线l 在大圆上时才有两个交点，为大圆的两个对径点，若是半球面上的 点，则考虑他的投影点，若是对径点，则由题设，将他们看作是一个点；把O里的没 给个平面与半球面交于一条线，考虑这条线在截面上的投影，则可知把O里的每个 平面与半球面上的大半圆的投影点组成的半椭圆或直线一一对应，并且若l在������上， 则l对应的点在������对应的直线上，即这个对应保持关联性。因此，这样的圆盘是一个 实射影平面。
高考数学复习第7章立体几何第3节空间图形的基本关系与公理
3．空间直线与
直线 相交
与平 面
平行
在平面内
a_∩__α_＝__A___
___a_∥__α___ __a____α___
公共点 _____1____个
_____0____个 ___无__数____个
平面 与平
面
平行 相交
a 与 c( )
A．一定平行
B．一定相交
C．一定是异面直线
D．一定垂直
答案：D
3．(易错点：异面直线所成角的概念)如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( )
A．30° C．60° 答案：C
B．45° D．90°
[答案] A
[破题技法] 1.证明点共线，(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直 线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定的直线上． 2．证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
考点二 空间直线的位置关系 挖掘 1 异面直线的判定/ 自主练透 [例 1] 如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH 在原 正方体中互为异面直线的有________对．
挖掘 2 共点、共线问题/ 互动探究 [例 2] 如图所示，ABCD－A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交 平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是( ) A．A，M，O 三点共线 B．A，M，O，A1 不共面 C．A，M，C，O 不共面 D．B，B1，O，M 共面
A．直线 AC C．直线 CD
B．直线 AB D．直线 BC
[解析] 由题意知，D∈l，l β，所以 D∈β，
第七章 解析几何与微分几何 SECTION11
ρ = r + ρ n + ρ tan b 渐屈线 空间曲线 r(s)对它的渐开 线而言就是渐屈线,也就是渐开线的 式中为曲率半径,为渐屈线的切线与主法线的交 一族法线包络. 角 渐屈线 C1 的一点 M1 落在 C 的对应 点 M 的曲率轴上.(上页下图) 如果这族法线组成可展曲面时,则 在法面上旋转一个定角,所得到的法 线仍然组成一个可展曲面(右图)
§11
[单参数曲面族的包络面] 定 义
可展曲面
方
F ( x, y , z , λ ) = 0 F ( x, y, z , λ ) =0 λ F ( x, y , z , λ ) = 0 F ( x, y, z , λ ) =0 2 λ F ( x, y , z , λ ) = 0 λ2
式中 ρ 为曲线 C 的曲率半径, τ 为曲线 C 的挠率半径, ρ ′ = [空间曲线的渐开线与渐屈线] 定义与性质 渐开线 在一条空间曲线 r(s)的可 展曲面上与曲线 r(s)正交的曲线称为 r(s)的渐开线. 沿 r(s)的切线上两条渐开线之间的 距离保持不变(右图)
dρ ds
方程与图形
ρ = r + (c s )t (c 为常数)
程
包络面 与曲面族 Sλ的所有曲面 相切的曲面称为 Sλ的包络面.
脊 线 族 Sλ中两个临近曲面的 交线的极限位置称为 Sλ的特征线, 特征线的包络(如果存在)称为族 S λ的脊线
[单参数平面族的包络面] 定 义 与 性 质 方 程 与 图 形 可展曲面 单参数平面族的包络 单参数平面族方程为 面称为族的可展曲面.包络面是空间 ra(λ)+p(λ)=0(λ为参数) 曲线的切线所构成的曲面,锥面或 其包络面满足方程组 柱面(图(a),(b),(c)) ra (λ ) + p (λ ) = 0 ra ′(λ ) + p ′(λ ) = 0 式中 a (λ ) 为平面族的法矢量
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
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7.2.4 向量线性运算的坐标表示
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
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习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
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7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
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7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
1
7.1 向量及其运算
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（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
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§3 平面上的直线
一、 平面上直线的方程与图形
方 程 与 图 形 说 明
[斜截式]
bkxy
k为斜率.若直线与x轴的交角为，则
tank
，这里0.
b为纵截距
[截距式]
)0,(1ba
bya
x
a,b分别为x轴，y轴上的截距.
该直线通过A(a, 0)和B(0, b)两点.
与x轴的交角 abarctan
或 )arctan(ab
[点斜式] )(-00xxkyy
k为斜率
该直线通过点M(x0, y0)，与x轴的交角
karctan
方 程 与 图 形 说 明
[两点式]
12112
1
yyyyxxxx
或01112211yxyxyx
该直线通过M1(x1, y1)与M2(x2, y2)两点，
与x轴的交角
12
12
arctanxxyy
[一般式]
0CByAx
(A, B, C为常数，
A, B不同时为零)
斜率 BAk
纵截距 BCb
[注]一般方程可根据需要化成上面四种形式
[参数式] sincos00tyytxx 或 mtyyltxx00 (-∞< t <∞)
斜率tanlmk
该直线通过点M(x0, y0)与x轴的交角为
[极坐标式]
)cos(
O为极点，Ox为极轴，p为极点到该直线
的距离.为极轴与从极点引到直线的垂线之
间的夹角(逆时针方向为正)，为该直线上任
一点M的极角，为M点的矢径
[法线式]
)0(0sincosppyx
p为法线长(原点O到直线的垂线长)，为
法线与x轴的交角，p, 称为直线的位置参数.
[注]直线一般式可化为法线式
022
BA
CByAx
式中221BA称为直线的法化因子，当C
0 (或C=0而B0)时，取正号；当C0(或C=0
而B 0)时，取负号
[矢量式] )(-0ttarr
该直线通过矢径r0的终点，且与已知矢
量a平行
方 程 与 图 形 说 明
[复数式]
(a) i0tezz (b)) - ( 121zztzz )(t (a) 直线通过点z0，并与x轴的交角为
(b) 直线通过z1，z2两点(t为实参数)
二、 平面上点与直线的相互关系
方 程 与 图 形 计 算 公 式 与 说 明
[点线的距离]
法线式 0sincospyx
一般式 0CByAx
d法=pyxsincos00
22
00
BACByAxd
式中d为点M(x0, y0)到直线L的距离
[二直线的夹角]
L1 A1x + B1y + C1 = 0
斜率为k
1
L2 A2x + B2y + C2= 0
斜率为k2
为二直线的夹角（从L1到L
2
为逆时针时为正），00,yxG为二
直线的交点
21122121
1221
1tankkkkBBAABABA
2221212222212
1
2121
111coskkkkBABABBAA
2221122222212
1
1221
11sinkkkkBABABABA
122112210BABACBCBx；1221
1221
0
BABAACACy
特别， 当212121CCBBAA(或21kk)时，L1//L2;
当212121CCBBAA时，L1与L2重合；
当A1A2+B1B2 = 0 (或1 + k1k2 = 0)时，L1⊥L2
方 程 与 图 形 计 算 公 式 与 说 明
[直线束三直线共点的条件] L (A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0, (为参数，- ) 对的一个确定值，L表示一条通过二直线(L1和L2)
的交点G的直线，当取一切值时，L所表示的通过G
的直线的全体称为直线束，G称为直线束的顶点(或中
心).
设L3为A3x + B3y + C3 = 0，则三条直线L1, L2, L
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共点的条件为行列式
0333222111CBACBA
CBA
如果二直线方程以法线式给定，则||为直线L上
任一点到二给定直线之间的距离之比，对应与 = 1
和 = -1的直线为给定二直线夹角的平分线