高中数学人教B版选修21第一章 .2 量词
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词课件 b选修11b高二选修11数学课件
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用存在量词将下列语句写成存在性命题，并判断真假． (1)奇函数也可以是偶函数． (2)不是每一个四边形都有外接圆． 【解】 (1)存在函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)＝0，x∈ R，真命题； (2)存在一个四边形没有外接圆，真命题.
就是形如“对M中的 所有x
，p(x)”的命题．用符号简记为∀x
∈M，p(x).
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问题(wèntí)3：为什么说（5）（6）是假命题x 1是整数；
(2) x ＞3；
(3)如果任意两个(liǎnɡ ɡè)三角形全等，那么它们的对应边相等；
(4)平行于同一条直线的任意两条直线互相平行；
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内容 总结 (nèiróng)
No 在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：。(2)
＞3。(4)平行于同一条直线的任意两条直线互相平行。(6)对所
Image 有的 ，＞3。(6)对所有的 ，＞3。问题1：请同学们思考
(sīkǎo)一下，命题(3)～(7)有哪些共同特征。全称量词与全称命 题。问题3：为什么说（5）（6）是假命题。问题4：观察上面 得出的新命题1，2，它们有什么共同特征。∃x∈M，q(x)。存 在量词与特称（存在性）命题。存在性命题的构成与真假判定
【答案】 A
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2．下列命题中是存在性命题的是(
)
A．∀x∈R，x2≥0
B．∃x∈R，x2<0
C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
【解析】 A为全称命题，B中含有“∃”是存在性命题，而
高二数学(人教B版)选修2-1课件1-1-2量词 38张
存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假
命题． (3) 因为存在整数 2 只有两个因数 1 和 2 ，所以存在性命 题“有些整数只有两个正因数”是真命题．
[例 3]
若命题 p： 1－sin2x＝sinx－cosx 是真命题，求
实数 x 的取值范围．
[分析] 首先将三角方程进行化简，再结合三角函数 图像求出x的范围，最后写成全称命题．
[解析]
(1)p 是存在性命题，是假命题．
因为对于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0 恒成 立． (2)p 是存在性命题，是假命题． 对于任一等差数列{an}(首项 a1，公差 d)，其前 n 项 1 d 2 d 和为：Sn＝na1＋2n(n－1)d＝2n ＋(a1－2)n.因此不可能是 Sn＝n2＋2n－1 这种形式(含常数式)．
1．要注意结合例子用集合的观点去理解全称命题，与
“所有”等价的说法有：“一切”、“每一个”、“任一 个”等，由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不 同的表述方法．注意：有时省去全称量词，仍为全称命 题．例如：“正方形都是矩形”，省去了全称量词“所
有”．因此，要结合具体问题做正确的判断．
存在性命题中的存在量词有“存在一个”、“至少有 一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的” 等．
质，那么存在性命题就是形如“存在集合 M 中的元素 x ， q(x)”的命题，用符号简记为________． [答案] 1.所有 ∀ 全称 ∃ ∀x∈M，P(x) 存在性 ∃x∈M，q(x) 2．有些 至少有一个
[例1] 判断下列全称命题的真假： (1)p：所有的单位向量都相等； (2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0.
π 5π p ： ∀ x∈ 2kπ＋4，2kπ＋ 4 (k∈Z) ，
高中数学人教B版选修2-1学案：1.1.2 量 词
1.1.2量词学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．梳理(1)概念短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做____________．(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词、存在性命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)梳理(1)概念短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有存在量词的命题，叫做______________．(2)表示存在性命题“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为______________，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．(3)存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．类型一全称命题与存在性命题的判断命题角度1全称命题与存在性命题的不同表述例1设p (x )：2x 是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：(1)全称命题：∀x ∈N ，p (x )；(2)存在性命题：∃x 0∈N ，p (x 0)．反思与感悟全称命题或存在性命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解．跟踪训练1“有些整数是自然数”这一命题为________命题．(填“全称”或“存在性”) 命题角度2全称命题与存在性命题的识别例2判断下列命题是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.反思与感悟判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 跟踪训练2判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.类型二全称命题与存在性命题的真假判断例3判断下列命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x0，使得等式x20＋x0＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x0∈R，x20－3x0＋2＝0.反思与感悟要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判断存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练3判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x0∈R，2x20＋x0＋1<0；(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤ 2.类型三利用全称命题和存在性命题求参数的值或取值范围例4已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．(1)命题p(x)：x＋1>x；(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；(3)命题p(x)：sin x>cos x.反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．跟踪训练4若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．1．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数2．命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2，0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是()A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>14．存在性命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是__________命题．(填“真”或“假”)5．若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假．提醒：完成作业第一章1.1.2答案精析问题导学知识点一思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P 是命题Q 中的一部分．(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等． 梳理(1)所有的任意一个全称∀全称命题(2)∀x ∈M ，p (x )知识点二思考(1)语句P 无法判断真假，不是命题；语句Q 在语句P 的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P 是命题Q 中的一部分．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．梳理(1)存在一个至少有一个存在∃存在性命题(2)∃x 0∈M ，p (x 0)题型探究例1解(1)全称命题：①对所有的自然数x ，2x 是偶数；②对一切的自然数x ，2x 是偶数；③对每一个自然数x ，2x 是偶数；④任选一个自然数x ，2x 是偶数；⑤凡自然数x ，都有2x 是偶数．(2)存在性命题：①存在一个自然数x 0，使得2x 0是偶数；②至少有一个自然数x 0，使得2x 0是偶数；③对有些自然数x 0，使得2x 0是偶数；④对某个自然数x 0，使得2x 0是偶数；⑤有一个自然数x 0，使得2x 0是偶数．跟踪训练1存在性例2解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．跟踪训练2解(1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是存在性命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2＝1. (3)是存在性命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n 0∈N ＋，0000|1|0.01.1n n n a a n <+－，其中＝例3解(1)真命题．(2)真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x 2＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有x ＝2或x ＝1时，等式x 2－3x ＋2＝0才成立．(6)真命题，x 0＝2或x 0＝1，都能使等式x 20－3x 0＋2＝0成立．跟踪训练3解(1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78≥78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．例4解(1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4(k ∈Z )． 跟踪训练4解由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，可知a 2－4<0，即a 2<4，即－2<a <2，由方程x 2＋2ax ＋2＝0无实根，可知a 2－2<0，即a 2<2，即－2<a <2，由方程x 2－ax ＋4＝0无实根，可知a 2－16<0，即a 2<16，即－4<a <4，∴当a 2<2，即－2<a <2时，三个方程均无实根．∴当a ≤－2或a ≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根．故a 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．当堂训练1．D2.A3.B4.假5.[2，6]。
新教材人教B版必修第一册 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课件(33张)
【补偿训练】 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假: (1)p:被8整除的数能被4整除. (2)q:所有二次函数的图像关于y轴对称. (3)r:实数都能写成小数形式. (4)s:方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.
【解题策略】 1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明 一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.
2.命题“∀x∈[2,+∞),x2≥4”的否定是 ( )
A.∀x∈[2,+∞),x2<4
B.∀x∈(-∞,2),x2≥4
C.∃x∈[2,+∞),x2<4
D.∃x∈[2,+∞),x2≥4
【解析】选C.∃x∈［2,+∞),x2<4.
3.(教材二次开发:例题改编)写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
类型二 全称量词命题的否定(逻辑推理)
【典例】1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则
()
A.﹁p:∀x∈A,2x∉B
B.﹁p:∀x∉A,2x∉B
C.﹁p:∃x∉A,2x∈B
D.﹁p:∃x∈A,2x∉B
2.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假: (1)p:对所有正数x, x >x+1. (2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数. (3)r:所有被5整除的整数都是奇数. (4)s:任意两个等边三角形都相似.
【思路导引】1.量词和结论都改变. 2.依据原命题和其否定一真一假解答. 3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.
高一数学人教B版必修第一册.2全称量词命题与存在量词命题的否定-PPT全文课件
高一数学人教B版必修第一册.2全称量 词命题 与存在 量词命 题的否 定-PPT 全文课 件【完 美课件 】
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如果一个命题是真命题， 那么这个命题的否定就是一个假命题； 反之亦然.
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全称量词命题与存在量词命题的否定
高一年级 数学
知识概要
一、复习命题与量词； 二、命题的否定； 三、全称量词命题与存在量词命题的否定.
全称量词命题 存在量词命题
真命题 对每个元素进行
验证其成立 举例
假命题 举反例
对每个元素进行 验证其不成立
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高一数学人教B版必修第一册.2全称量 词命题 与存在 量词命 题的否 定-PPT 全文课 件【完 美课件 】 高一数学人教B版必修第一册.2全称量 词命题 与存在 量词命 题的否 定-PPT 全文课 件【完 美课件 】
(新)高中数学第一章常用逻辑用语1_1_2量词学案新人教B版选修2-1
1.1.2 量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．梳理(1)概念短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做____________．(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词、存在性命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)梳理(1)概念短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有存在量词的命题，叫做______________．(2)表示存在性命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为______________，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．(3)存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．类型一全称命题与存在性命题的判断命题角度1 全称命题与存在性命题的不同表述例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：(1)全称命题：∀x∈N，p(x)；(2)存在性命题：∃x0∈N，p(x0)．反思与感悟全称命题或存在性命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解．跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题．(填“全称”或“存在性”)命题角度2 全称命题与存在性命题的识别例2 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.反思与感悟判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.类型二 全称命题与存在性命题的真假判断例3 判断下列命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x 0，使得等式x 20＋x 0＋8＝0成立；(5)∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0；(6)∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2＝0.反思与感悟 要判断全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判断存在性命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练3 判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x 0∈R ，2x 20＋x 0＋1<0；(3)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.类型三 利用全称命题和存在性命题求参数的值或取值范围例4 已知下列命题p (x )为真命题，求x 的取值范围．(1)命题p (x )：x ＋1>x ；(2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0；(3)命题p (x )：sin x >cos x .反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．跟踪训练4 若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．1．下列命题中，不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数2．命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2，0)，则( )A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>14．存在性命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是__________命题．(填“真”或“假”)5．若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假．提醒：完成作业第一章 1.1.2答案精析问题导学知识点一思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理(1)所有的任意一个全称∀全称命题(2)∀x∈M，p(x)知识点二思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．梳理(1)存在一个至少有一个存在∃存在性命题(2)∃x0∈M，p(x0)题型探究例1 解(1)全称命题：①对所有的自然数x，2x是偶数；②对一切的自然数x，2x是偶数；③对每一个自然数x，2x是偶数；④任选一个自然数x，2x是偶数；⑤凡自然数x，都有2x是偶数．(2)存在性命题：①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数．跟踪训练1 存在性例2 解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．跟踪训练2 解 (1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是存在性命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2＝1. (3)是存在性命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n 0∈N ＋，0000|1|0.01.1n n n a a n <+－，其中＝ 例3 解 (1)真命题．(2)真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x 2＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有x ＝2或x ＝1时，等式x 2－3x ＋2＝0才成立．(6)真命题，x 0＝2或x 0＝1，都能使等式x 20－3x 0＋2＝0成立．跟踪训练3 解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78≥78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．例4 解 (1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4(k ∈Z )． 跟踪训练4 解 由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，可知a 2－4<0，即a 2<4，即－2<a <2，由方程x 2＋2ax ＋2＝0无实根，可知a 2－2<0，即a 2<2，即－2<a <2，由方程x 2－ax ＋4＝0无实根，可知a 2－16<0，即a 2<16，即－4<a <4，∴当a 2<2，即－2<a <2时，三个方程均无实根．∴当a ≤－2或a ≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根．故a 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．当堂训练1．D 2.A 3.B 4.假 5.[2，6]。
高中数学人教B版选修2-1练习课件：1-1-2 量词
3. 掌握判断全称命题和特称 3. 全称命题和特称命题的否定也是学习 命题的真假的基本原则和方 中的一个难点，特别要注意否定词应添 法. 加在适当位置.
01课前自主学习
1．全称量词和全称命题
2.存在量词和特称命题
3．对全称量词和全称命题的理解 (1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全 称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成 立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题． (2)有些全称命题在文学叙述上省略了全称量词，在判断时 要注意．
3．全称命题(存在性命题)的不同表述
同时还要注意一个全称命题中，可以包含多个变 量.
No.1 例1
全称命题与特称命题的判断 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360° ； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有些素数的和仍是素数； (5)若一个四边形是菱形Байду номын сангаас则这个四边形的对角线互相垂 直． [思路分析] 先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，
4．对存在量词和特称命题的理解 (1)特称命题中，x0相对于x有特指的意思，有时x0也写成x： “∃x∈M，p(x)”． (2)存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着特称 命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x) 成立，则特称命题为真命题．若不存在，则为假命题．
1. 全称命题中一定含有全称量词吗？ 提示：不一定，有些全称命题在文字叙述上省略了全称量 词，如“三角形的内角和等于180° .” 2. 同一个全称命题或者特称命题的表达形式唯一吗？ 提示：不唯一，对于同一个全称命题或者特称命题，由于 采用的自然语言不同，其表现形式也可以不同，因而同一个全 称命题或者特称命题的表达形式可以不唯一．
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数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。
2020版数学人教B版选修2-1学案：第一章 1.1.2 量词 Word版含解析
1.1.2 量 词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一 全称量词、全称命题1．概念短语“所有的”“任意一个”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．3．全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．知识点二 存在量词、存在性命题1．概念短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．2．表示存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M 中的元素x，使p(x)成立”．3．存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )2．全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( × )3．存在性命题中的量词一定不能省略．( √ )4．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )题型一 全称命题与存在性命题的辨析例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面．考点 全称命题与存在性命题的综合问题题点 全称命题与存在性命题的辨析解 命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．命题(2)为存在性命题．命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．反思感悟 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1 下列命题中，是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．考点 全称命题与存在性命题的综合问题题点 全称命题与存在性命题的辨析答案 ①②③ ④题型二 全称命题与存在性命题的真假判断例2 判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.解 (1)真命题．(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．22(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．反思感悟 要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判断存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2 判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x ∈R,2x 2＋x ＋1<0.解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x 2＋x ＋1＝22＋≥>0，(x ＋14)7878∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题．题型三 由含量词的命题求参数例3 对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立．求实数m 的取值范围．解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ≥－，2(x ＋π4)2又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－即可．2∴所求m 的取值范围是(－∞，－)．2引申探究若将本例条件改为：存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ∈[－，]．2(x ＋π4)22又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <即可，2∴所求m 的取值范围是(－∞，)．2反思感悟 (1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．跟踪训练3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ：＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围．1－sin 2x 解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥，∴实数a 的取值范围为.74[74，＋∞)(2)由＝sin x －cos x ，1－sin 2x 得＝sin x －cos x ，sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ∴＝sin x －cos x ，(sin x －cos x )2即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，∴sin x ≥cos x .结合三角函数图象，得2k π＋≤x ≤2k π＋(k ∈Z )，π45π4∴实数x 的取值范围是(k ∈Z )．[2k π＋π4，2k π＋5π4]全称命题与存在性命题的应用典例 f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x ∈[－1,2]，使f (x 1)＝g (x )，则a 的取值范围是( )A. B.(0，12][12，3)C ．[3，＋∞)D ．(0,3)答案 C解析 由于函数f (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x ∈[－1,2]，使得f (x 1)＝g (x )，因此问题等价于函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有Error!即a ≥3.[素养评析] (1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系．(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养．1．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析 D 选项是存在性命题．2．命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C．p假q假D．p真q真答案 A解析 ∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，故选A.3．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析 ①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．4．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．(填序号)答案 ①②④解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．5．若命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则实数m的取值范围是________．答案 [2,6]解析 由已知“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，得Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m ＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x ，使p (x )为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，否则命题为假．一、选择题1．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x ∈R ，x 2＋1<0B ．∃x ∈Z,3x ＋1是整数C ．∀x ∈R ，|x |>3D ．∀x ∈Q ，x 2∈Z答案 B2．下列存在性命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案 B 解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝2＋>0恒成立．(x ＋12)343．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数答案 D解析 A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A 是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等；C是存在性命题，故选D.4．已知命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为真命题，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－16)∪(0，＋∞) B．(－16,0)C．[－4,0] D．(－4,0)答案 A解析 ∵“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a>0，解得a<－16或a>0，故选A.5．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为( )A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④答案 C解析 ①所有无理数都是实数，为真命题；②显然为真命题；③显然不成立，为假命题；④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．6．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )A ．a ≥0B ．a <0C ．b ≤0D ．b >1答案 B解析 函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示：由图可知f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.7．给出下列命题，其中为真命题的是( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2＋3<0B ．对任意x ∈N ，都有x 2≥1C ．存在x ∈Z ，使x 5<1D ．存在x ∈Q ，使x 2＝3答案 C解析 由于对任意x ∈R ，都有x 2≥0，即有x 2＋3≥3，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2＋3<0”为假命题；由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以命题“对任意x ∈N ，都有x 2≥1”是假命题；由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1，所以命题“存在x ∈Z ，使x 5<1”为真命题；由于使x 2＝3成立的实数只有±，而它们都不是有理数，所以命题“存在x ∈Q ，使x 2＝3”3是假命题．故选C.8．下列命题为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使得tan x ＝2B ．对任意x ∈(0，＋∞)，都有x 2>2x ＋1C ．存在x ∈R ，使得x 2＋x ＝1D ．对任意x ∈，都有tan x <sin x (π2，π)答案 B解析 对于A ，∵tan x ∈R ，∴∃x ∈R ，使得tan x ＝2，∴此命题为真命题；对于B ，当x ＝1∈(0，＋∞)时，x 2－2x －1＝－2<0，∴此命题为假命题；对于C ，易知方程x 2＋x －1＝0有实数根，∴此命题为真命题；对于D ，当x ∈时，tan x <0<sin x ，∴此命题为真命题．故选B.(π2，π)二、填空题9．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)答案 ①②③ ④⑤解析 ①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即任意一个正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；⑤是存在性命题，是真命题；⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.10．给出下列命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵对于方程f(x)＝x2－3x＋2，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；2当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；不存在x∈R，x2＋1＝0，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．已知函数f (x )＝x |x |＋px ＋q (x ∈R )，给出下列命题：①当f (x )为奇函数时，q ＝0；②函数f (x )的图象关于点(0，q )对称；③当p ＝0时，方程f (x )＝0一定有解；④方程f (x )＝0的解的个数可能超过两个．其中所有真命题的序号是________．答案 ①②③④解析 若函数f (x )＝x |x |＋px ＋q (x ∈R )是奇函数，则f (0)＝0，∴q ＝0，故①为真命题；设(x 1，y 1)是函数f (x )图象上的点，它关于点(0，q )的对称点为P (x ，y )，则x 1＝－x ，y 1＝2q －y ，∴2q －y ＝－x |－x |－px ＋q ，即y ＝x |x |＋px ＋q ，∴点P 在函数f (x )的图象上，∴函数f (x )的图象关于点(0，q )对称，故②为真命题；作出函数y ＝x |x |的图象和直线y ＝－q (图略)，知它们恒有公共点，故③为真命题；当q ＝0，p ＝－1时，利用函数f (x )的图象，知④为真命题．三、解答题12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x ，使得＝2.1x 2－x ＋1解 (1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题．(3)是存在性命题，用符号表示为“∃x ∈R ，＝2”，是假命题．1x 2－x ＋113．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p 和q 都是真命题，求实数a 的取值范围．解 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 都为真，∴Error!∴a ≤－2或a ＝1.14．若命题“关于x 的不等式x ＋－1－a 2＋2a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立”为真命题，4x则实数a 的取值范围为________．答案 (－1,3)解析 设f (x )＝x ＋，因为x >0，所以f (x )＝x ＋≥2 ＝4，当且仅当x ＝2时，等号成4x 4x x ·4x立．又关于x 的不等式x ＋－1－a 2＋2a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1<4，4x解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围为(－1,3)．15．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值．(2)在(0,4)上存在实数x ，使得f (x )＋6＝ax 成立，求实数a 的取值范围．解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2，又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2.(2)令y ＝0，则f (x ＋y )－f (y )＝f (x )－f (0)＝f (x )＋2＝(x ＋2×0＋1)x ＝x 2＋x ，所以f (x )＋6＝x 2＋x＋4.所以要使在(0,4)上存在x 使f (x )＋6＝ax 成立，只需在(0,4)内存在x 使a ＝x ＋＋1.而x ＋＋4x 4x1≥4＋1＝5，等号当且仅当x ＝2时成立．故所求的取值范围为a ≥5.。
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 学案(1)-人教B版高中数学必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 导学案（1）理解命题的否定的含义，会写给定命题的否定并判断命题的真假； （2）正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;（3）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假.重点：全称量词命题与存在量词命题的否定以及真假的判断. 难点：正确的对全称量词命题与存在量词命题进行否定.一、复习回顾 1.命题1） 称为命题. 2）判断为 的语句称为真命题. 3）判断为 的语句称为假命题.2.全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.全程量词命题：3.存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
存在量词命题： 二、感受新知 1.命题的否定命题的否定： ，记作： ，读作：“非p ”或“p 的否定”。
全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题的否定2. 全称量词命题的否定3.存在量词命题的否定命题p命题p⌝归纳小结真假教材P29 练习A 12.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）下面我们来探究如何对全称量词命题与存在量词命题的否定进行否定.根据要求，认真思考回答问题：1）命题:s命题s s⌝自然语言存在整数是自然数。
符号语言命题形式真假判断2）命题:r命题r r⌝自然语言存在实数的平方小于0. 每一个实数的平方都不小于0。
符号语言命题形式真假判断3）命题:q命题q q⌝自然语言每一个有理数都是实数。
符号语言命题形式真假判断（2）尝试与发现记r ：“每一个素数都是奇数。
”用类似的方法研究r 和r ⌝ 的关系、符号表示以及真假性。
（ ）命 题 rr ⌝自然语言 每一个素数都是奇数。
存在一个素数不是奇数。
符号语言 命题形式 真假判断(3)想一想全称量词命题,().x M p x ∀∈的否定为： 存在量词命题,s().x M x ∃∈的否定为：3.经典例题例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）2:,1;p x R x ∀∈≥- （2）1:{1,2,3,4,5},;q x x x∀∈< （3）:s 至少有一个直角三角形不是等腰三角形。
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存在性命题：含有存在量词的命题
符号语言： x M , qx
探究一
量词 短语
符号 命题 格式
全称量词 所有，全体，每一个，一切， 凡是
全称命题
x M , p(x)
存在量词
存在，有一个，有些，至 少有一个
存在性命题
x M , q(x)
典例剖析
例 1：判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用数学符号表示。 （1）对所有整数 x，x2－1＝0； （2）存在实数 x，5x－1 是整数； （3）所有三角形的内角和是 1800、
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3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
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4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
思考探究二：
如何判断全称命题和存在性命题的真假？
典例剖析
例 2：请同学们判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) x R, x2 2 0 ;
(2) x N, x4 1;
(3) x Z, x3 1;
(4) x Q, x2 3 ;
小组活动：
根据所学知识，结合生活实际，每名同学 请举出：全称命题与存在性命题的各一例，并 小组内展示交流。
课堂总结：
•会判 、会说、会做！
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1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
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2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.通过实例经历全称命题、存在性命题概 念的形成过程 及其表述方法，体验由特殊到
一般的思维方法．
学习重难点：
重点：理解全称量词与存在量词的含义 ； 难点：判断全称命题和存在性命题的真假.
观察下列语句：
① ②所有无理数都是实数 ③函数y=2x+1是单调增函数 ④
• 命题：能判断真假的语句
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注：一个命题要么为真，要么为假，但不能既真又 假，也不能模棱两可，无法判断其真假
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5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
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6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
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9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
小试牛刀：判断下列语句是否为命题？
①方程 2x=5只有一个解； ②20000是个大数 ③非典型肺炎是怎样传染的？ ④好人一生平安！
命题：能判断真假的语句
• 说明： • 1 、一般的，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题; • 2、随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定 真假的猜想也是命题 • 3、一个命题可以用一个小写英文字母表示，如 p,q,r
用符号 表示
• 全称命题：含有全称量词的命题
符号语言： x M , px
练习：用符号表示下列命题
1、任何一个实数除以1，仍等于这个实数。 2、所有函数都是周期函数 3、每一个向量都有方向
思考探究：
①有一些整数x， ②对 整数x,
5x-1是整数;
②对 整数x, ③存在一些整数x，
x2-1=0;
存在量词：表示所述事物的个体或部分的短语，
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7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
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8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
1.1 命题与量词
1
趣味数学问题
常用逻辑用语
“数学是 少的工具.
的科学”， 是
.
是我们必不可
通过学习,体会运用常用逻辑用语表述内 容的准确性、简捷性.
1.1 命题与量词
4
学习目标 ：
1.了解命题的概念，会判断命题的真假； 2.理解全称量词与存在量词的含义，会用 符号语言表示全称命题和存在性命题，并能 判断其真假
练习：1、判断下列语句是不是命题: （1） 能被2整除的数是偶数； （2）正弦曲线真漂亮！ （3）正方形是平行四边形吗？ （4） 在2020年，将有人登上
火星。 （5）请勿在学校内吸烟！
思考探究一：
①有一些整数x， ②对 整数x,
5x-1是整数;
③对事物的全体的短语，