高二(下)第一次月考试题及答案
2022~2023年高二下半年第一次月考化学考题同步训练(湖南省株洲市第二中学)
选择题下列选项中不属于可再生能源的是（）A.太阳能B.化石燃料C.氢能D.风能【答案】B【解析】可再生能源是指在自然界中可以不断再生、永续利用的能源，主要包括太阳能、风能、水能、生物质能、氢能、潮汐能、地热能和海洋能等。
煤、石油、天然气等化石燃料属于不可再生能源，故选B。
选择题下列叙述中正确的是（）A.化学反应过程中，旧化学键断裂释放能量，新化学键形成吸收能量B.常温下，强酸、强碱之间发生反应，每生成1mol水时所释放的能量大小均相等C.放热反应在任何条件下都能自发进行D.同温同压下，H2(g)＋Cl2(g)=2HCl(g)在光照和点燃条件下的ΔH相同【答案】D【解析】A．化学反应过程中，旧化学键断裂吸收能量，新化学键形成释放能量，A不正确；B．常温下，强酸、强碱之间发生反应，每生成1mol水时所释放的能量大小不一定相等，若为浓溶液，或有沉淀生成，还有其它形式的能量转化，B不正确；C．放热反应常常也需要提供条件才能自发进行，C不正确；D．ΔH与反应的始态和终态有关，与反应条件无关，所以同温同压下，H2(g)＋Cl2(g)=2HCl(g)在光照和点燃条件下的ΔH相同，D正确；故选D。
选择题已知：25℃，101kPa时，乙醇的燃烧热是1366.8kJ/mol，当乙醇燃烧生成1mol液态水时，放出的热量是（）A.15.53kJB.25.3 kJC.455.6kJD.683.4kJ【答案】C【解析】乙醇燃烧的热化学方程式为CH3CH2OH(g)+3O2(g)==2CO2(g)+3H2O(l) ΔH= -1366.8kJ/mol，生成1mol液态水时，放出的热量是=455.6kJ，故选C。
选择题下列叙述中正确的是（）A.已知NaOH(aq)+HCl(aq)=NaCl(aq)+H2O(l) ΔH=-57.3kJ/mol，则稀氨水和稀盐酸反应生成1mol水时，放出的能量小于57.3kJB.已知25℃，101kPa时，氢气的燃烧热为285.8kJ/mol，则氢气燃烧的热化学方程式可表示为：H2(g)+O2(g)=H2O(g) ℃H=-285.8kJ/molC.已知25℃，101kPa时，石墨的燃烧热为393.5kJ/mol，则石墨燃烧的热化学方程式可表示为：C+O2=CO2 ℃H=-393.5kJ/molD.Mg在CO2中燃烧生成MgO和C，该反应中化学能全部转化为热能【答案】A【解析】A．稀氨水中的一水合氨电离出OH-时，需吸收能量，所以稀氨水和稀盐酸反应生成1mol水时，放出的能量小于57.3kJ，A正确；B．表示氢气燃烧热的化学方程式可表示为：H2(g)+O2(g)==H2O(l) ℃H=-285.8kJ/mol，B不正确；C．方程式C+O2=CO2 ℃H=-393.5kJ/mol，没有指明反应物和生成物的状态，C不正确；D．Mg在CO2中燃烧生成MgO和C，该反应中化学能部分转化为热能，还有一部分化学能转化为热能、光能等，D不正确；故选A。
2022-2023学年广东省深圳技术大学附属中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳技术大学附属中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设函数在处的导数为2，则（ ）()f x 1x =0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．B ．2C ．D ．62-23【答案】B【分析】根据导数的定义即可.【详解】;()0(1)(1)lim21x f x f f x ∆→'+∆-==∆故选：B.2．某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）A ．7种B ．12种C ．4种D ．3种【答案】A【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.【详解】解:由题知某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选:A3．抛物线的准线方程为24y x =A ．B ．C ．D ．1x =2x ==1x -2x =-【答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,=1，2p∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1．故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．4．函数的单调递增区间是（ ）()25ln 4f x x x =--A ．B ．和5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,3【答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数的定义域为 ，()25ln 4f x x x =--(0,)+∞，当时，解得，()5252,0x f x x x x -'=-=>()250x f x x -'=>52x >故函数的单调递增区间是，()25ln 4f x x x =--5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故选：A5．函数的零点个数为（ ）3()1216f x x x =--A ．B ．C ．D ．0123【答案】C【解析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解.【详解】由题得，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-令得或，令得，()0f x '>2x ><2x -()0f x '<22x -<<所以函数的单调递增区间为，减区间为.(,2),(2,)-∞-+∞(2,2)-所以函数的极大值为，极小值为，(2)0f -=(2)32f =-当时，当时，x →-∞0,y <x →+∞0,y >所以函数的零点个数为2.故选：C【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令重新构造函()=0f x 数，画出两个函数的图象得解）”()()g x h x =6．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（ ）{}n a 22nSn n =+11n n n b a a +={}n b n A ．B ．C ．D ．163n n -+2263n n -+69n n +263n n +【答案】C【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列n a n S ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩{}n a 的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.{}n b n 【详解】，当时，，22n S n n =+1n =113a S ==当时，，当时，也满足，2n ≥221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦1n =∴ 数列的通项公式为，{}n a 21n a n =+，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭12311111111123557792123n b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111.232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭故选：C7．已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）R ()f x ()13f =()2f x '<()21f x x <+A ．B ．C ．D ．(,1)-∞()3,+∞()1,+∞(2,)+∞【答案】C【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，()()21F x f x x =--()0F x '<从而可得当时，，从而得到不等式的解集．1x >()()10F x F <=()21f x x <+【详解】解：令，()()21F x f x x =--则，()()2F x f x ''=-又的导数在上恒有，()f x ()f x 'R ()2f x '<恒成立，()()20F x f x ''∴=-<是上的减函数，()()21F x f x x ∴=--R 又，()()11210F f =--= 当时，，即，∴1x >()()10F x F <=()210f x x --<即不等式的解集为；()21f x x <+(1,)+∞故选：C ．8．若是的切线，则的取值范围为（ ）y ax b =+()ln f x x x=ab A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)1,+∞(],1-∞[]1,0-【答案】A【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到(),ln t t t t ,a b ，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.ln 1a t b t +=-()()ln 10t g t t t +=->()g t 【详解】设切点坐标为，()(),ln 0t t t t >，，又，，()ln 1f x x '=+ ()ln 1a f t t '∴==+()ln f t t t =ln b t t at t∴=-=-，ln 1ln 1a t tb t t ++∴==--令，则，()()ln 10t g t t t +=->()2ln tg t t '=则当时，；当时，；()0,1t ∈()0g t '<()1,t ∈+∞()0g t '>在上单调递减，在上单调递增，()g t ∴()0,1()1,+∞，又当时，，，()()11g t g ∴≥=-0t →()g t ∞→+()[)1,g t ∴∈-+∞即的取值范围为.ab [)1,-+∞故选：A.二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）()f x ()f x 'A ．为函数的一个零点2x =-()f x B ．为函数的一个极大值点12x =()f x C ．函数在区间上单调递增()f x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．是函数的最大值()1f -()f x 【答案】BC【分析】利用导函数的图象分析函数的单调性，由此可判断各选项的正误.()f x 【详解】由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、()f x ()f x '(),2-∞-1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()2,+∞故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC 正确，AD 错误.2x =-2x =()f x 12x =()f x 故选：BC.10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（ ）A ．AB 与CD 平行B ．CD 与GH 是异面直线C ．EF 与GH 成角D ．CD 与EF 平行60︒【答案】CD【分析】根据正方体的平面展开图得到直观图，然后判断即可.【详解】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A 错；与相交，故B 错；因为该几何体为正方体，所以，AB CD CD GH EF CD 三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与所成角为，故CD 正GHD GH GD 60︒EF GH 60︒确.故选：CD.11．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一0R 个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再0R 0R 传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始R 04R =感染者为1人，则（ ）A ．第三轮被传染人数为16人B ．前三轮被传染人数累计为80人C ．每一轮被传染的人数组成一个等比数列D ．被传染人数累计达到1000人大约需要35天【答案】CD【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．n 【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故n n a {}n a 14a =4q =C 正确；所以，当时，，故A 错误；4nn a =3n =33464a ==前三轮被传染人数累计为，故B 错误；334(14)118514S ⨯-+=+=-当时，，当时，由，故D 正4n =444(14)1134114S ⨯-+=+=-3557n ==554(14)111365100014S ⨯-+=+=>-确.故选：CD 12．对于函数，下列说法正确的是（ ）()2ln xf x x =A ．在()f x x =12eB ．有两个不同的零点()f xC ．ff f <<D ．若在上恒成立，则()21f x k x <-()0,∞+2ek >【答案】ACD【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立()f x 问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A 选项，，定义域为，，令，解得()2ln xf x x =()0,∞+()312ln x f x x -'∴=()0f x '=x当时，，函数在上单调递增，0x <<()0f x ¢>∴()f x (当，函数在上单调递减，x >()0f x '<∴()f x )+∞函数在，故A 对，∴x 12fe =B 选项，时，，，当时，如下图01x << ()0f x <()10f =max 0(2)1fe f x ==>1x >()0f x >所示：函数有且只有唯一一个零点，故B 错，∴()f x C选项，当为单调递减函数，，x>()fx f f∴<，，故C对，ln 2(2)4ff f===<f f f ∴<<D 选项，，故，由于函数在上恒成立，()21f x k x <- ()221ln 1x k f x x x +>+=()0,∞+，设，定义域为，则，2max ln 1x k x +⎛⎫∴> ⎪⎝⎭()2ln 1x g x x +=()0,∞+()32ln1x g x x --'=设，解得，单调递增，单调()0g x '=x =()0,()x g x g x '∴∈>()),0,()x g x g x '∈+∞<递减，，故，故D 对.()max 22e e g x g e ∴==-=2e k >故选：ACD.三、填空题13．函数在处的切线与直线平行，则a ＝______．()af x x x =-1x =2y x =【答案】1【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.【详解】因为，所以，()af x x x =-()2a f x x =1+'所以函数在处的切线斜率为，()af x x x =-1x =()11'=+f a 因为该切线与直线平行，故，解得2y x =12a +=1a =故答案为：114．函数在区间上的最大值为______．()cos sin f x x x x=-[]π,0-【答案】π【分析】利用导数，判断函数的单调性，可得结果.()f x 【详解】由，所以，()cos sin f x x x x=-()cos sin cos sin f x x x x x x x'=--=-当时，，所以，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()sin 0f x x x =-≤则在单调递减，()f x []π,0-所以.()max ()ππf x f =-=故答案为：.π15．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点P 为C 的上顶点，且1F 2F ()2222:10x y C a b a b +=>>，C 的方程是______．123F PF π∠=12F PF S = 【答案】22143x y +=【分析】根据椭圆的性质，即可求解.【详解】解：123F PF π∠=⇒2,a c =12122F PF S c b =⨯⨯= b =又，即，解得：，故，222a b c =+22234c c c =+21c =224,3a b ==所以C 的方程是，22143x y +=故答案为：22143x y +=16．已知函数（且）的极大值和极小值分别为，，且，()22e xf x x a =-0a >1a ≠()1f x ()2f x 12x x <则的取值范围是______．a 【答案】21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由有两个根，转化为函数和的图象有两个不同的交点，结合切()0f x '=14e y x =2ln xy a a =线以及导数求得的取值范围.a 【详解】，所以方程的两个根为，，()4e ln x f x x a a '=-4e ln 0x x a a -=1x 2x 即函数和的图象有两个不同的交点，14e y x =2ln xy a a =因为的极大值和极小值分别为，，()f x 1()f x 2()f x 故当时，，的图象在的下方，12(,)x x x ∈()0f x '<1y 2y 当、时，，的图象在的上方；1(,)x x ∈-∞2(,)x +∞()0f x '>1y 2y 易知，设过原点且与图象相切的直线斜率为，则，01a <<2y l k 4e k <设与切于点，而，所以，l 2ln x y a a =()00,ln xx a a 22ln x y a a '=002ln ln x x a ak a a x ==解得，所以，01ln x a =12ln ln 4e a k a a =⨯<因为，即，又，所以，所以．1ln e aa=2ln 4a <01a <<2ln 0a -<<21,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】求解与曲线的切线有关问题，易错点是没有分清已知点是曲线上的点还是曲线外的点.两种情况下，切线都可以通过导数求得，关注点有切点和斜率两个.极值点的导数为，反之却不成立.0四、解答题17．已知函数.()2ln f x x x =-（1）求函数的单调增区间；()f x （2）求函数在上的最大值.()f x (()0,0a a⎤>⎦【答案】（1）；（2）答案见解析.⎛ ⎝【分析】（1）利用导数，直接解得的单调递增区间；'()0f x >()f x （2）分类讨论：当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a aa ==-当在上单调递增，在上单调递减，可以求出最大值.a ≥()f x ⎛ ⎝a ⎫⎪⎪⎭【详解】（1）的定义域为，，()f x ()0,∞+2112'()2x f x x x x -=-=令，得，∵，∴'()0f x >2120x x ->0x >0x <<故的单调递增区间为.()fx ⎛ ⎝（2）由（1）知，在上是增函数，在上是减函数.()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭∴当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a a a ==-当在上单调递增，在上单调递减，此时a≥()f x ⎛⎝a ⎫⎪⎪⎭.max 111ln 2222()f f x ==--=综上所述，当的最大值为；当的最大值为0a <<()f x 2max ()ln f x a a =-a ≥()f x .11ln 222f =--18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．()f x 【答案】(1)800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；（2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，40()35C x x =+6x ．．()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍．()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面P ABCD -PAB 底面ABCD ，．PAB ⊥PM MD =(1)求证：平面ACM ；PB ∥(2)求平面MBC 与平面DBC 的夹角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）连接BD ，借助三角形中位线可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.【详解】（1）连接BD ，与AC 交于点O ，在中，因为O ，M 分别为BD ，PD 的中点，则，PBD △BP OM ∥又平面ACM ，平面ACM ，所以平面ACM .BP ⊄OM ⊂BP ∥（2）设E 是AB 的中点，连接PE ，因为为正三角形，则，PAB PE AB ⊥又因为平面底面ABCD ，平面平面，PAB ⊥PAB ⋂ABCD AB =则平面ABCD ，过点E 作EF 平行于CB ，与CD 交于点F ，PE ⊥以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，()0,0,0E ()1,0,0B (P ()1,2,0C ()1,2,0D -12M ⎛- ⎝所以，，3,2⎛=-- ⎝ CM ()0,2,0BC = 设平面CBM 的法向量为，则，(),,n x y z =30,220,n CM x y n BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅==⎩ 令，则，因为平面ABCD ，则平面ABCD 的一个法向量为，1x=(n = PE ⊥()0,0,1m = 所以||cos ,n m m n n m⋅== 所以平面MBC 与平面DBC 所成角的大小为30°．20．已知数列是等差数列，且，.{}n a 12312a a a ++=816a =(1)若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列{}n a 2n ，试求出数列的通项公式；{}n b {}n b (2)令，求数列的前项和.3n n n c b =⋅{}n c n n S 【答案】(1)，；4n b n =*n ∈N (2).()12133n n S n +=-⋅+【分析】(1)利用等差数列性质求出数列公差及通项公式，由求解作答.{}n a 2n n b a =(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算作答.n c 【详解】（1）等差数列中，，解得，公差，{}n a 2123312a a a a =++=24a =28282a d a -==-则，因此，，()()224222n a a n d n n=+-=+-⨯=2224n a n n =⨯=依题意，，24n n b a n ==所以数列的通项公式，.{}n b 4n b n =*n ∈N（2）由(1)知，，343n n n n c b n =⋅=⋅则，()21438344343n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅因此，，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143n n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-所以.()12133n n S n +=-+21．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为.P ()1,0F 4x =1:2(1)求点的轨迹方程.P (2)记点的轨迹为曲线,若过点的动直线与的另一个交点为,并且满足:原点到的距离为P C P l C Q O l ,弦长,求直线的方程.322PQ =l 【答案】(1).22143x y +=(2).32y =±【分析】(1)利用直译法即可求解轨迹方程；(2)先设出直线方程,利用弦长及点到直线的距离为两个条件即可解出直线方程.2PQ =l 32【详解】（1）设,点到定直线的距离为.由题意可得:,即(),P x y P 4x =d12PF d=,12=整理化简得:.即点的轨迹方程为.22143x y +=P 22143x y +=（2）设.当直线的斜率不存在时,由原点到的距离为,由对称性不妨设直线:()()1122,,,P x y Q x y l O l 32l .32x =所以满足,()()1122,,,P x y Q x y 2232143x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:,（舍去）.33,,22P Q ⎛⎛⎝⎝2≠当直线的斜率存在时,可设.l :l y kx m =+因为原点到的距离为,,即,O l 3232=()22491m k =+则满足,消去可得:,()()1122,,,P x y Q x y 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=,()()2222223442412644481914k m k m k m +-∆=-=++因为,所以恒成立.()22491m k =+22481921440m k ∆=-++>则.21122228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++==因为,()22491m k =+所以.2==化简得:,42560k k +=解得:,所以,直线的方程为:.0k =32m =±l 32y =±综上所述:直线的方程为:.l 32y =±【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．已知函数.()ln 2f x x ax =-(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求a 的取值范围；()0f x ≤(3)求证：.2021202020202021>【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)12ea ≥(3)证明见解析【分析】（1）求导数，根据导数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）利用常变量分离法，构造新函数，结合导数的性质、函数的最值进行求解即可；（3）利用分析法，结合（2）中函数的单调性进行证明即可.ln ()x g x x =【详解】（1）.()1122ax f x a x x -'=-=当时，，所以在上单调递增；0a ≤()120ax f x x -'=>()f x ()0,∞+当时，令，解得，0a >()120ax f x x '-==12x a =当时，；10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=>当时，；1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=<所以上单调递增，在上单调递减；()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）的定义域为，若恒成立，则恒成立，()f x (0,)+∞()0f x ≤ln 20x ax -≤即恒成立，ln 2xa x ≥令，只需，又，ln ()x g x x =max 2()a g x ≥22(ln )ln 1ln ()x x x x x g x x x '''⋅-⋅-==令得，()0g x '=e x =时，，则单调递增；(0,e)x ∈()0g x '>ln ()xg x x =时，，则单调递减；(e,)x ∈+∞()0g x '<ln ()xg x x =所以，解得：；max 12()(e)e a g x g ≥==12e a ≥（3）要证明，只需证明，即，2021202020202021>20212020ln 2020ln 2021>2021ln 20202020ln 2021>即只需证明，由（2）可知：在单调递减，所以ln 2020ln 202120202021>ln ()x g x x =(e,)x ∈+∞，(2020)(2021)g g >故得证. 从而得证.ln 2020ln 202120202021>2021202020202021>【点睛】关键点点睛：利用常变量分离法，结合构造函数法进行求解证明是解题的关键.。
2022-2023学年四川省内江市高二年级下册学期第一次月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ）20,10x x ∃>->A ．B ．20,10x x ∃≤->20,10x x ∃>-≤C ．D ．20,10x x ∀>-≤20,10x x ∀≤->【答案】C【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“”的否定是:.20,10x x ∃>->20,10x x ∀>-≤故选：C.2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=A B C D 【答案】A【分析】根据题意求，再求离心率即可.,,a b c【详解】由题意可得：y 轴上，则2,a b ==c ==故椭圆的离心率是22124x y +=c e a =故选：A.3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC A B >sin sin A B >【答案】A【分析】若为假命题，则p ，q 都是假命题，A 正确，“这棵树真高”不是命题，B 错误，否定是：p q ∨“，”，C 错误，充分必要条件，D 错误，得到答案.R x ∀∈2230x x ++≥【详解】对选项A ：若为假命题，则p ，q 都是假命题，正确；p q ∨对选项B ：“这棵树真高”不是命题，错误；对选项C ：命题“使得”的否定是：“，”，错误；R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++≥对选项D ：，则，，故，充分性；若，则A B >a b >22a b R R >sin sin A B >sin sin A B >，，则，必要性，故是充分必要条件，错误.2sin 2sin R A R B ⋅>⋅a b >A B >故选：A4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）1111ABCD A B C D -1A B 1B CA ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接，，如图，1A D DB因为正方体中，11//A D B C 所以就是与所成的角，1BA D ∠1A B 1B C 在中，.1BA D 11A D A B BD ==∴.160BA D ∠=︒故选：C5．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为()222210,0x y a b a b -=>>12（ ）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.b a =b 【详解】双曲线的渐近线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>b y x a =±由题意可知，可得，所以，，则1b ba a -⋅=-b a =6c ===b =因此，该双曲线的虚轴长为2b =故选：B.6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是（ ）2y mx =+2219x y n +=A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,∞⋃+【答案】C【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在()0,2轴上即可.x 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，2y mx =+()0,2则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，()0,241n ∴≤4n ≥0n <又表示焦点在轴上的椭圆，故，，2219x y n += x 09n <<[)4,9n ∴∈故选：C.7．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，1F 2F 22145x y -=M 12MF MF ⊥则的面积为（ ）12F MF △A ．B ．CD ．510【答案】A 【分析】由可以求得M 在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲12MF MF ⊥线的方程联立求得M 的坐标，进而得到所求面积.【详解】设双曲线的焦距为，则.2c 2459c =+=因为，所以为圆与双曲线的交点.12MF MF ⊥M 229x y +=联立，解得，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩53y =±所以的面积为.12F MF △156523⨯⨯=故选:A.【点睛】本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法.8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F E ,P Q 且，且，则椭圆的标准方程为（ ）22PF F Q⊥2224,6PF Q S PF F Q =+= E A ．B ．22143x y +=22154x y +=C ．D ．22194x y +=22195x y +=【答案】C【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.3a =c 【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，11,PF QF 12PFQF 所以，得.222126PF F Q PF PF a +=+==3a =又因为，所以四边形为矩形，设，22PF F Q ⊥12PFQF 22,==PF m QF n 则，所以得或；2142PF QS mn == 6,8,m n mn +=⎧⎨=⎩ 42m n =⎧⎨=⎩24m n =⎧⎨=⎩则，12F F =2224c b ac ==-=椭圆的标准方程为.E 22194x y +=故选:C.9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为222:1(20)26x y M m m m -=-≤<+（ ）A ．y ＝B ．y ＝xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x12【答案】C【解析】求得关于的函数表达式，并利用配方法和二次函数的性质得到取得最小值时的值，2c m m 进而得到双曲线的标准方程，根据标准方程即可得出渐近线方程【详解】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为，所以渐近线方程为y ＝±2x .2214y x -=故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属基础题，掌握双曲线的基本量的关系是,,a b c 关键.由双曲线的方程：的渐近线可以统一由得出.22(0,0)Ax By AB λλ+=<≠220Ax By +=10．已知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C ，则1F 2F 122PF PF =（ ）12F PF ∠=A ．B ．C ．D ．150︒120︒90︒60︒【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定11r PF =22r PF =122r r =122r r a +=143r a =223r a=理知，得.2221212122cos 4r r r r F PF c +-⋅∠=222122016cos 499a a F PF c -⋅∠=由，从而，∴.c e a ==2279c a =2212168cos 99a a F PF ⋅∠=-121cos 2F PF ∠=-∵，∴.120180F PF ︒<∠<︒12120F PF ∠=︒故选:B11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线22221y x a b +=0y ≥0a b >>()2220x y b y +=<如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，C C x A y G M 当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）M 12⎫-⎪⎪⎭AGM A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥【答案】D【分析】由点在半圆上，可求，然后求出G ，A ，根据已知的面积最大的条12M ⎫-⎪⎪⎭b AGM 件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-a 【详解】由点在半圆上，所以，12M ⎫-⎪⎪⎭b=(0,),(,0)G a A b -要使的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于时，M 到直线AG 的AGM 12M ⎫-⎪⎪⎭距离最大， 此时，即，OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-又,OM AG ak k b ===1,a a b =-∴==所以半椭圆的方程为()22421033x y y +=≥故选：D12．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为M 12π3F MF ∠=1e 2e 1C 2C 12e e （ ）ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩12MF F △，结合基本不等式得，即可解决.2221212122cos3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅222121243c a a a =+≥【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，M 123F MF π∠=1e 2e 1C 2C 假设，12MF MF >所以由椭圆，双曲线定义得，解得，12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩所以在中，，由余弦定理得12MF F △122F F c =，即222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-化简得，2221243=+c a a 因为，222121243c a a a =+≥所以，212c a a ≥=12≥e e 当且仅当时，取等号，12a =故选：A二、填空题13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2241x y +=1F 构成的的周长为__________2F 【答案】4【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求a 得.【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y 轴上，，22114x y +=1a =根据椭圆定义，121222AF AF a BF BF a+=+=，所以的周长为．2ABF 121244AF AF BF BF a +++==故答案为4．14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是______．x ∀∈R 210ax ax ++≥【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【分析】先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.【详解】当时，命题为“，”，该命题为真命题，不满足题意；0a =x ∀∈R 10≥当时，命题，可得到，解得，0a ≠R x ∀∈210ax ax ++≥2Δ400a a a ⎧=-≤⎨>⎩04a <≤故若命题“，”是假命题，则R x ∀∈210ax ax ++≥(,0)(4,)a ∈-∞+∞ 故答案为：(,0)(4,)-∞+∞ 15．已知椭圆C ：，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐2212516x y +=1F 2F 标为（2，1），则的范围为_____．1PA PF +【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即1210PF PF =-2,,A P F 可取得最值.1PA PF +【详解】由椭圆标准方程可知，5,3a c ==12(3,0),(3,0)F F -又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以12210PF PF a +==1210PF PF =-所以1210PA PF PA PF +=+-易知，当且仅当三点共线时等号成立；222AF PA PF AF -≤-≤2,,A P F=10+即的范围为.1PA PF +[10+故答案为：[1016．己知，是双曲线C 的两个焦点，P为C 上一点，且，，若1F 2F 1260F PF ∠=︒()121PF PF λλ=>C ，则的值为______．λ【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.12,PF PF 【详解】由及双曲线的定义可得，12(1)PF PF λλ=>122(1)2PF PF PF aλ-=-=所以，，因为，在中，221aPF λ=-121a PF λλ=-1260F PF ∠=︒12F PF △由余弦定理可得，222222442242cos 60(1)(1)11a a a ac λλλλλλ=+-⨯⋅⋅︒----即，所以，2222(1)(1)c a λλλ-=-+2222217(1)4c e a λλλ-+===-即，解得或（舍去）.231030λλ-+=3λ=13λ=故答案为：3三、解答题17．已知，，其中m ＞0．2:7100p x x -+<22430q :x mx m -+<(1)若m ＝4且为真，求x 的取值范围；p q ∧(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝【答案】(1)()4,5(2)5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出:25p x <<q :412x <<p q ∧的取值范围；x （2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实q ⌝p ⌝p q数m 的取值范围.【详解】（1），解得：，故，27100x x -+<25x <<:25p x <<当时，，解得：，故，4m =216480x x +<-412x <<q :412x <<因为为真，所以均为真，p q ∧,p q 所以与同时成立，:25p x <<q :412x <<故与求交集得：，25x <<412x <<45x <<故的取值范围时；x ()4,5（2）因为，，解得：，0m >22430x mx m -+<3m x m <<故，:3q m x m <<因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，q ⌝p ⌝p q即，但，:25:3p x q m x m <<⇒<<:3q m x m <<⇒:25p x <<故或，0235m m <≤⎧⎨>⎩0235m m <<⎧⎨≥⎩解得：，523m ≤≤故实数m 的取值范围是5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；(1)短轴长为的椭圆；23e =(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -【答案】(1)或22195x y+=22195y x +=(2)22168x y -=【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准a b c 方程；（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，()22043y x λλ-=≠M λ即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）解：由题意可知.23b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，x 22195x y +=若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.y 22195y x +=综上所述，所求椭圆的标准方程为或.22195x y +=22195y x +=（2）解：设所求双曲线方程为，()22043y x λλ-=≠将点代入所求双曲线方程得，()3,2-()2223243λ-=-=-所以双曲线方程为，即．22243y x -=-22168x y -=19．已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D-2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D (1)证明：平面；//AE 1BDC (2)求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AA C C 11//AC A C 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11A C 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC （2）在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB A C ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D A C ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂ 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，，ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即FAF ==1C E =所以．11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△20．已知椭圆E ：.()222210x y a b a b +=>>(P (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行.设直线l 与椭圆E 交()2,1M 于A ，B 两点，求AB 的长度.【答案】(1)221168x y +=【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意知，，，设椭圆E 的方程为.e =a=b c =222212x y b b +=将点的坐标代入得：，，所以椭圆E 的方程为.P 28b =216a=221168x y +=（2）由（1）知，椭圆E 的右焦点为，上顶点为，所以直线m 斜率为(0,，1k ==-由因为直线l 与直线m 平行，所以直线l 的斜率为，1-所以直线l 的方程为，即，()12y x -=--30x y +-=联立，可得，2211683x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩231220x x -+=，，，1200∆=>124x x +=1223x x =.==21．已知双曲线.221416x y -=(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，()1,1N S T N ST 求出其方程；如果不存在，说明理由；(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、l ()2y kx m k =+≠±M M l x 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.y ()0,0A x ()00,B y M 00(,)P x y 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)，.22100125x y -=0y ≠【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.ST （2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线l ()2244m k =-M M 垂直的直线方程，即可求解作答.l 【详解】（1）点不能是线段的中点，N ST 假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，()1,1N S T N ST 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+而双曲线渐近线的斜率为，即，221416x y -=2±2n ≠±由得，则有，解得，2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=2(1)14n n n --=-4n =此时，即方程组无解，22224(1)4(4)[(1)16]4169412250n n n n '∆=----+=⨯⨯-⨯⨯<所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.()1,1N S T N ST （2）依题意，由消去y 整理得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 则有，即，点M 的横坐标为，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-244km kkm =--点，，过点与直线垂直的直线为，416(,)k M m m --0km ≠M l 1614()k y x m k m +=-+因此，，，，020k x m =-020y m =-2222002224164(4)110025x y k k m m m --=-==00y ≠所以点的轨迹方程为，.00(,)P x y 22100125x y -=0y ≠22．已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.C ()222210x y a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F (1)求椭圆的方程.C (2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：C P Q AP AQ ()222322x y r ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()0r >直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.PQ 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为12【分析】（1）由椭圆的定义结合性质得出椭圆的方程.C （2）根据直线与圆的位置关系得出，将直线的方程代入椭圆的方程，由韦达定理得21k k =-AP C 出坐标，进而由斜率公式得出直线的斜率为定值.,P Q PQ 【详解】（1）由题可知，所以.24a =2a =将点的坐标代入方程，得A 31,2⎛⎫⎪⎝⎭22214x y b +=23b =所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）由题易知点在圆外，且直线与的斜率均存在.A ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭AP AQ 设直线的方程为，直线的方程是AP ()1312y k x -=-AQ ()2312y k x -=-由直线与圆相切，AP ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭r=r=.=21k k =-将直线的方程代入椭圆的方程，AP C 可得.()()222111113443241230k x k k x k k ++-+--=设，.因为点也是直线与椭圆的交点，(),P P P x y (),Q Q Q x y 31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭AP 所以，21121412334P k k x k --=+1132P P y k x k =+-因为，所以，21k k =-21121412334Q k k x k +-=+1132Q Q y k x k =-++所以直线的斜率PQ Q P PQ Q Py y k x x -=-()112Q P Q Pk x x k x x -++=-22111111221122111122114123412323434412341233434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+----++ ⎪++⎝⎭=+----++()()22111118623424k k k k k --++=12=。
2022-2023学年浙江省杭州重点大学附属中学高二下期第一次月考语文试卷(含答案)
2022-2023学年浙江省杭州重点大学附属中学高二下期第一次月考语文试卷1. 下列句中加点词的解释，不正确的一项是（）A. 方其系燕父子以组组：丝带、丝绳，这里泛指绳索。
B. 其意气之盛，可谓壮哉壮：雄壮。
C. 抑本其成败之迹抑：或者。
D. 逸豫可以亡身身：身体。
2. 下列句子中加点词的用法与其他三项不相同的一项是（）A. 天下云集响应B. 席卷天下C. 履至尊而制六合D. 赢粮而景从3. 下列句子中对加点词的解释全都正确的一项是（)A. ①才能不及中人（平常的人）②流血漂橹（船桨）B. ①蹑足行伍之间（小心翼翼地行走）②不爱珍器重宝肥饶之地（吝惜）C. ①赢粮而景从（担负）②非抗于九国之师也（匹敌，相当）D. ①委命下吏（下达命令）②以致天下之士（招引，招致）4. 选出“举世混浊，何不随其流而扬其波”翻译正确一项是（）A. 整个世道都是混浊的，您为什么不随着流水去推波助澜呢？B. 整个世界都污浊不清，您为什么不随着流水去推波助澜呢？C. 整个世界都污浊不清，您为什么不随波逐流并推波助澜呢？D. 整个世界都是混浊的，您为什么不像流水那样推波助澜呢？阅读下面这首诗，完成小题。
书愤陆游早岁那知世事艰，中原北望气如山。
楼船夜雪瓜洲渡，铁马秋风大散关。
塞上长城[注]空自许，镜中衰鬓已先斑。
出师一表真名世，千载谁堪伯仲间。
【注】塞上长城：《南史》载，宋文帝要杀名将檀道济，檀大怒道：“乃坏汝万里长城。
”5. 下列对这首诗的理解和分析，不正确的一项是（）A. 首联，表现了诗题中的“愤”字，形成了全诗的感情基调。
B. 颔联将诗人的报国愿望渲染得更加鲜明，再次突出理想与现实的矛盾，与首联相比，悲愤之情更加强烈。
C. 颈联从现实到回忆，诗意转为悲凉，一“空”一“已”互为映衬，有着无限沉痛与悲愤。
D. 尾联诗人以诸葛亮自况，矢志北伐，死而后已，悲愤中蕴藉着豪壮之情。
6. 下列对这首诗的理解和分析，不正确的一项是（）A. 首句写诗人早年不懂世事之艰难，既表现年轻时的意气风发，又暗示今日的意志消沉。
2020-2021学年河北省石家庄市某校高二下学期第一次月考_(化学)试卷(有答案)
2020-2021学年河北省石家庄市某校高二下学期第一次月考 (化学)试卷一、选择题1. 提出“杂化轨道理论”的科学家是（）A.门捷列夫B.普鲁特C.玻尔D.鲍林2. 下列各组元素中不符合“对角线法则”的是（）A.Li、MgB.C、PC.B、SiD.Be、Al3. 下列基态原子或离子的相关电子排布图正确的是（）A.Fe3+的价电子：B.Cr原子的价电子：C.N原子的核外电子：D.S2−的L层电子：4. 短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，W、X同周期且基态原子均含有2个未成对电子。
Z的单质常温下为气体且价电子数和：W+X=Y+Z，下列有关说法正确的是（）A.简单离子半径：X<YB.最高正价：X>WC.Y与Z形成的化合物为非电解质D.W、Z形成的二元化合物中可能同时含有σ键和π键5. 下列关于卤族元素单质及其化合物的结构与性质说法错误的是（）A.相对分子质量：CH2Cl2>CH3Cl，因此熔沸点：CH2Cl2>CH3ClB.键长H−Br>H−Cl，因此稳定性：HCl>HBrC.单质氧化性F2>Cl2，因此F2可氧化水溶液中的Cl−D.非金属性：Cl>Br，因此含氧酸酸性：HClO4>HBrO46. 下列关于物质结构和性质的说法正确的是（）A.BF3中的键角大于BF4−的键角B.CH3CN中σ键和π键的数目之比为4:3C.含氧酸酸性：HClO>HClO2D.CH3OH易溶于水的原因仅仅是因为CH3OH和水分子都是极性分子7. 反应SiHCl3(g)+H2(g)===Si(s)+3HCl(g)可用于纯硅的制备，下列说法正确的是（）A.SiHCl3中Si原子的杂化方式为sp2杂化B.SiHCl3中Si元素的化合价为+2C.键长：Si−Si>C−C，故键能：Si−Si<C−CD.HCl易溶于水是因为HCl和水分子之间能形成氢键8. 已知X、Y元素同周期，且电负性X大于Y，下列说法一定错误的是（）A.第一电离能：Y大于XB.气态氢化物的稳定性：Y大于XC.最高价含氧酸的酸性：X强于YD.X和Y形成化合物时，X显负价，Y显正价9. 已知HF沸点为19.5∘C，BF3沸点为−100∘C，HF+BF3===HBF4，下列有关说法错误的是（）A.HBF4中B原子为sp3杂化B.BF3和HBF4分子中B最外层均为8e−稳定结构C.HBF4中存在配位键D.HF沸点高于BF3沸点的原因可能为HF分子之间存在氢键10. 根据价层电子对互斥理论，NCl3、SO2、SO3、BF3的气态分子中，中心原子价层电子对数不同于其他分子的是（）A.NCl3B.SO2C.SO3D.BF311. 元素的基态气态原子得到一个电子形成气态−1价离子时所放出的能量称作第一电子亲和能（E），−1价阴离子再获得一个电子的能量变化叫做第二电子亲和能，部分元素或离子的电子亲和能数据如表所示。
江苏省常州高级中学2023-2024学年第二学期阶段考试高二年级数学试题及答案
高二数学第二学期第一次月考参考答案一、单选题1．下列命题正确的有（ ） A ．='ππsin cos )(B ．已知函数=+f x x ln 21)()(，若='f x 10)(，则=x 00C ．已知函数f x )(在R 上可导，若='f 12)(，则=+−∆→xf x f x Δlim21Δ120)()(D ．设函数f x )(的导函数为'f x )(，且=++'f x x xf x 32ln 2)()(，则=−'f 429)(2．函数=−xf x x e 1)(的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．0f x，得x >(0,1)单调递减，在图象符合. 3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()f x x '<，且(2)1f =，则不等式21()12f x x <−的解集为（ ） A ．(2,)−+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞4．若()32112132f x x x x =−+++是区间()1,4m m −+上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5m ≤− B ．3m ≥ C ．5m ≤−或3m ≥ D ．53m −≤≤【答案】C【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m 的不等式0f x，解得所以在1,2上单调递减，在若函数()31132f x x =−+5．已知函数()1ln f x x x=−在点1,1处的切线与曲线()212y ax a x =+−−只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1,9 B ．{}0,1,9 C ．{}1,9−− D ．{}0,1,9−−6．已知函数()1ln 2x x f x a=++，()24x bx g x =−−−，52x =是函数()g x 的极值点，若对任意的11e ,1x −⎡⎤∈⎣⎦，总存在唯一的()2,3x ∈−∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0∞− B ．[)4,+∞C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1−∞−【答案】A0fx，得x >111(e )2e a −=−+112,2⎤−++⎥ 7．已知0.1sin0.1,ln1.1,e 1a b c ===−，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A【分析】分别构造函数()()()()=e 1,sin ,ln 1sin xf x xg x x xh x x x −−=−=+−，利用导数判断函数的单调性即可求解.【详解】依题意，令()=e 1x f x x −−，则()e 1xf x '=−，当()0,x ∈+∞时，0fx ，8．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，记()()g x f x '=.若函数(1)y f x x =+−与(2)y g x =+均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）A ．(1)1g =B ．函数(1)f x y x+=的图象关于点(0,1)对称C ．函数()g x 的周期为2D ．()()20241[(1)(11)]0k g k g k =−++=∑【答案】C()()()()()()2214120241g g g ⎡⎤=⨯−+−+⋅⋅⋅+−⎣⎦ ()()()()10122141g g ⎡⎤=⨯−+−⎣⎦()()()()10122421012000g g =⨯+−=⨯−=选项D 正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题CD 的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出()(2)2g x g x ++=，结合其周期进行求和从而判断D 选项.二、多选题9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()0f 为函数的极大值C ．()f x 有两个极小值D ．()1f −为()f x 的极小值【答案】BC【分析】根据()()g x xf x '=的图象，得到的单调性和极值情况，得出结论.【详解】根据()()g x xf x '=的图象，可得当<2x −时，()()0g x xf x '=>，可得()0f x '<，即单调递减，当20x −<<时，()()0g x xf x '=<，可得0fx，即单调递增， 当01x <<时，()()0g x xf x '=<，可得()0f x '<，即单调递减， 当1x >时，()()0g x xf x '=>，可得0f x，即单调递增，因此在2x =−和1x =处取得极小值，在0x =处取得极大值，共3个极值点，可得A 错误，C 正确；选项B ，()0f 为函数的极大值，即B 正确；()1f −不为函数的极小值，D 错误.故选：BC10．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．若()()120f x f x ⋅<，则有3个零点B ．过上任一点至少可作两条直线与相切C ．若()10af x <，则只有一个零点D ．()()1223b f x f x f a ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭0f x；(x ∈上单调递增，在()12,x x 上单调递减；x 趋近于+∞时，此时由图象可知有同理当a<0时，易知且当x 趋近于−∞时，利用三次函数性质可知，当此时由图象可知有3个零点；所以若()()120f x f x ⋅<，则有3个零点，即A 正确；所以B 错误；（即，过三次函数的对称中心，有且仅有一条切线） 若12x x <，结论成立，理由见下。
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（ ）A ．12种B ．17种C ．23种D ．60种【答案】A【分析】由排列､组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可．【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有种．34512++=故选：．A 2．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.3．已知，则（ ）00Δ0(Δ)(Δ)2limΔ3x f x x f x x x →+--=0()f x '=A ．B ．C ．D ．16132343【答案】B【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.【详解】根据题意，，()()()()()()000000Δ0Δ0ΔΔΔΔ2lim lim 3ΔΔx x f x x f x f x x f x f x x f x x x x →→⎡⎤+----+--⎣⎦==，()()()()()000000limlim2x x f x x f x f x x f x f x x x∆→-∆→+∆--∆-=+=∆-∆'则.()013f x '=故选：B.4．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时()m s ()min t ()2s t t t=+2min t =速度为（ ）A ．B ．C ．D ．2m/min 4m/min5m/min6m/min【答案】C【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.【详解】解：，当时，.()()21v t s t t '==+2t =()25v =故选：C.5．已知是函数的导函数，若，则（ ）()f x '()f x ()()23f x x x f '=-⋅()1f =A ．B ．C ．D ．1-2-23【答案】B【分析】求导后，代入可求得，从而求得，代入即可得到结果.3x =()3f '()f x 1x =【详解】，，解得：，()()23f x x f ''=- ()()363f f ''∴=-()33f '=，.()23f x x x ∴=-()1132f ∴=-=-故选：B.6．若曲线和曲线在交点处的切线相同，则的值为（ ）(0)xy me m =≠2y x =P m A ．B ．C ．D ．12142e 24e【答案】D【分析】设，根据题意可建立关于，的方程组，解出即可．(,)P t n t m 【详解】设，(,)P t n 由曲线，可得，e (0)xy m m =≠e x y m '=由曲线，可得，2y x =2y x '=则，解得（舍或．2e 2e tt m t m t ⎧=⎨=⎩00t m =⎧⎨=⎩)224e t m =⎧⎪⎨=⎪⎩故选：D ．7．下列各式中，不等于的是（ ）!(N*)n n ∈A ．B ．C ．D ．1A n n-1A nn +11A n n n --()!A mn n m -【答案】B【分析】根据排列数的运算，逐一化简选项即可．【详解】选项，，正确；A 1A (1)(2)...32!n nn n n n -=⋅-⋅-⋅=A 选项，，错误；B 1A (1)(1)(2)...32(1)!nn n n n n n +=+⋅⋅-⋅-⋅=+B 选项，，正确；C 11A (1)(2)...321!n n n n n n n --=⋅-⋅-⋅⋅=C 选项，，正确．D !()!A ()!!()!m n n n m n m n n m -=-=-D 故选：．B 8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）12023e a =20222023b =20221ln2023c =+a b c A ．B ．c b a >>b c a >>C ．D ．b a c >>a b c>>【答案】D【分析】可设，求导得出，从而判断出在上单调递减，从()(1ln )=-+f x x x ()1x f x x '-=()f x (0,1)而得出，进而得出，而根据指数函数的单调性得出，这样即可得出，2022()(1)02023f f >=b c >1a >a ，的大小关系．b c 【详解】设，，()(1ln )=-+f x x x ()111x f x x x '-=-=时，，单调递减，01x ∴<<()0f x '<()f x ，∴2022()(1)02023f f >=，即，∴20222022(1ln )020232023-+>1b c >>又，102023ee 1>=．a b c ∴>>故选：．D 二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．如图，已知直线与曲线相切于，两点，设，两点的横坐标分()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B 别为，，是的极小值点，设函数，则下列说法正确的有（ ）a b x c =()f x ()()()F x g x f x =-A ．是的极大值点B ．（a ）x a =()f x F '0=C ．（c ）D ．是的极小值点F '0=x b =()F x 【答案】BD【分析】由已知结合图形可得（a ），判断错误；求得（a ），知正确；求出f '0>A F '0=B （c ），可知错误；再由导数分析单调性判断正确．F '0k =>C D 【详解】直线与曲线相切于､两点，，两点的横坐标分别为，()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B a ，b 可得：（a ）（b ），k f ='f ='0>（a ），不是的极值点，故错误；f ' 0≠x a ∴=()f x A ，()()()F x g x f x =-，()()()()F x g x f x k f x '='-'=-'（a ），故正确；F ∴'0=B 是的极小值点，（c ），x c = ()f x f ∴'0=则（c ）（c ），故错误；F 'k f =-'00k k =-=>C 由图可知，存在，使，0(,)x a b ∈0()0F x '=当，时，，当时，，0(x x ∈)b ()0F x '<(,)x b ∈+∞()0F x '>在，上单调递减，在上单调递增，()F x ∴0(x )b (,)b +∞故是的极小值点，故正确．x b =()F x D 故选：．BD 11．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）1,2,3,4,5A ．组成的三位数的个数为30B ．在组成的三位数中，奇数的个数为36C ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24D ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20【答案】BD【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.【详解】A ：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A 错误；35A 60=B ：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B 正确；243A 36=C ：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；24A 12=23A 6=③十位数为3，则有个，所以共有个，故C 错误；22A 2=20D ：由选项C 的分析可知，D 正确；故选：BD.12．已知函数 函数，则下列说法正确的是（ ）22e ()e 2xf x x =-，()()g x f x '=A ．的最小值为B ．有2个零点()g x 2e-()g x C ．有且只有1个极值D ．有3个零点()f x ()f x 【答案】ABD【分析】求出函数及其导函数，由值的正负探讨单调性判断AB ；由函数的单调()g x ()g x '()g x '()f x 性，结合零点存在性定理判断CD 作答.【详解】由 ，得，令，得，当22e ()e 2xf x x =-22()()e e ,()e e x x g x f x x g x ''==-=-()0g x '= 2x =时，(),2x ∈-∞单调递减，当时，单调递增，因此()0()g x g x '<，(2,)x ∈+∞()0()g x g x '>，2min ()(2)e 0g x g ==-<，A 正确；因为，则存在，使得，4222(0)10(4)e 4e e (e 4)0g g =>=-=->,12(0,2),(2,4)x x ∈∈12()()0g x g x ==因此有2个零点，B 正确；()g x 当时，单调递增，当时，单调递减，1(,)x x ∈-∞()()0,()f x g x f x =>'12(,)x x x ∈()()0,()f x g x f x '=<当时， 单调递增，因此有2个极值，C 错误；2(,)x x ∈+∞()()0,()f x g x f x =>'()f x 因为，221221(2)2e 0,()(0)10()(2)e 0e f f x f f x f -=-<>=><=-<,，因此在R 上有3个零点，D 正确.6224(6)e 18e e (e 18)0f =-=->()f x 故选：ABD三、填空题13．已知函数，其中，则函数的单调递减区间是___________．2()(2)ln f x x a x a x =-++2a >()f x 【答案】1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】对求导，令，即可求解函数的单调递减区间．()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题意可知：函数定义域为，，()f x {|0}x x >(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x --'=-++=令，可得或，()0f x '=2a x =1x =因为，则，2a >102a>>且，令，解得，0x >()0f x '<12ax <<所以函数的单调递减区间是．()f x 1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：．1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．函数的最小值为___________．24(),[2,2]1xf x x x =∈-+【答案】﹣2【分析】判断函数的奇偶性，结合x 的范围，利用基本不等式转化求解即可．【详解】函数，所以函数是奇函数，2244(),[2,2],()()11=∈--=-=-++x xf x x f x f x x x 当x ∈（0，2]时，，当且仅当x =1时取等号，所以x ∈（0，2]时，244()211==≤=++x f x x x x 函数的最大值为2．所以函数，x ∈[﹣2，2]的最小值为：﹣2．24()1xf x x =+故答案为：﹣2．15．若函数在上存在极值，则正整数的最小值为___________．32()63f x x ax x =++-R a 【答案】5【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于0求出R 实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．a a 【详解】，32()63f x x ax x =++- ，2()326f x x ax ∴'=++函数在上存在极值， 32()63f x x ax x =++-R 函数在上不是单调函数，∴32()63f x x ax x =++-R 可得有两个不等的根，2()326f x x ax '=++即，24720a ∆=->解得，a<-a >正整数的最小值为5．∴a 故答案为：5．16．长征五号B 运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组1：4，则该模型体积的最大值为______．【答案】26π3【分析】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，根据题意将该模型的体积表示为r的函数，再由基本不等式求最值得答案.【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，则圆柱的高为，∴r<该模型的体积∴22211326πππ333V r r r =⋅==，当且仅当，即2626π33≤=2232r r =-r =该模型的体积最大值为.∴26π3故答案为：.26π3四、解答题17．将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次．(1)一共出现多少种不同的抛掷情况？(2)3次都不出现奇数点朝上的情况共有多少种？(3)恰有一次出现奇数点朝上的情况共有多少种？【答案】(1)216(2)27(3)81【分析】（1）根据乘法原理求解即可；（2）根据乘法原理，3次都不出现奇数点朝上即3次都为偶数点，结合偶数有3个求解即可；（3）恰有一次出现奇数点朝上则抛的3次中有1次奇数朝上，2次偶数朝上，再根据乘法原理求解即可.【详解】（1）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，一共出现种不同的抛掷情况；666216⨯⨯=（2）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，3次都不出现奇数点朝上的情况共有种；33327⨯⨯=（3）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，恰有一次出现奇数点朝上的情况共有种．13C 33381⨯⨯⨯=18．已知函数.()3f x x =-(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，求的面积()y f x =()()3,3A f x y ,M N MON △（为坐标原点）；O (2)求与曲线相切，并过点的直线方程.()y f x =()0,1【答案】(1)6(2)12120x y -+=【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而结合切线方程求得，由此可得三()3f ',M N 角形面积；（2）设切点坐标，根据导数几何意义可求得在切点处的切线方程，代入点可得，由此3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,1t 可得切线方程.【详解】（1），，又，()23f x x '= ()133f '∴=()31f =-在处的切线方程为：，即，()f x \()()3,3f ()1133y x +=-360x y --=，，.()6,0M ∴()0,2N -1162622MON S OM ON ∴=⋅=⨯⨯= （2）设过点的直线与相切于点，()0,1()f x 3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，，切线方程为：，()23f x x '=()23f t t '∴=∴()233y x t t t +=-又切线过点，，解得：，()0,1331t t ∴+=-6t =-所求切线方程为：，即.∴()116212y x -=+12120x y -+=19．已知函数．321()313f x x x x =--+(1)求函数的单调区间与极值；()f x (2)求函数在区间上的最值．()f x [4,5]-【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，的极大值为，的极(,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-()f x 83()f x 小值为8-(2)最大值为，最小值为83733-【分析】（1）求得，分别令，，解得范围，即可得出的单调区间与()f x '()0f x '>()0f x '<x ()f x 极值；（2）求出区间端点的函数值与极值，比较即可得出函数在区间，上的最值．()f x [4-5]【详解】（1）（1）因为，2()23f x x x '=--令，可得或，()0f x '==1x -3x =和随的变化情况如下：()f x '()f x x x(,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数的单调增区间为，，单调减区间为，()f x (,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-的极大值为，的极小值为；()f x 8(1)3f -=()f x (3)8f =-（2）由（1）可知函数在，单调递增，在单调递减，()f x (4,1)--(3,5)(1,3)-，，，．8(1)3f -=(3)8f =-73(4)3f -=-8(5)3f =函数在区间，上的最大值为，最小值为．()f x [4-5]83733-20．已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围．()0f x =【答案】(1)；11a b =-⎧⎨=-⎩(2).5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即()10310f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝='⎭⎨'⎪⎩11a b =-⎧⎨=-⎩可得出答案；（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c 的取值范()10310f f ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩围．【详解】（1）由题意得，()232f x x ax b '=++函数在及处取得极值，()f x 13x =-1x =得，解得.()11203331320a f b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增；13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增.1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．()f x 13x =-1x =又有三个不同的实根，()0f x =由图象知，解得，()150327110f c f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<所以实数c 的取值范围是．5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭21．设函数，其中为自然对数的底数．求证：()e 1x f x =-e (1)当时，；0x >()f x x >(2)．e 2ln x x ->【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）令，转化为求的最小值即可证明结论；()()e 1x g x f x x x =-=--()g x （2）结合（1）的结论转化为证，构造新函数求解其最值即可证明结论．1ln 0x x -->【详解】（1）证明：令，()()e 1x g x f x x x =-=--则，()e 1x g x '=-当时，，在上单调递增，0x >()0g x '>()g x (0,)+∞故，()(0)0g x g >=即当时，成立.0x >()f x x >（2）由（1）可得：当时，，0x >e 1x x >+要证，即证，即证，e 2ln x x ->e 21ln x x x ->-≥1ln 0x x --≥令，()1ln h x x x =--则，11()1x h x x x -'=-=当时，，在区间上单调递增，1x >()0h x '>()h x ()1,+∞当时，，在区间单调递减，01x <<()0h x '<()h x ()0,1所以在处取得最小值，()h x 1x =所以，()()10h x h ≥=即恒成立，()1ln 0h x x x =--≥所以．e 2ln x x ->22．已知函数，，．()2ln 1f x ax x =--()()()2g x f x a x =+-a ∈R (1)求函数的单调区间；()f x (2)若对任意的，恒成立，求整数a 的最小值．()0,x ∈+∞()0g x >【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 间为，单调递增区间为⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭(2)2【分析】（1）求导，分类讨论求原函数单调性；（2）根据题意分析可得在上恒成立，构建新函数，利用2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+()2ln 21x x x x x ϕ++=+导数结合零点代换求的最大值.()x ϕ【详解】（1）由题意可得：函数的定义域为，且，()f x ()0,∞+()21212ax f x ax x x -'=-=当时，在定义域内恒成立，0a ≤()2210ax f x x -'=<则函数的单调递减区间为；()f x ()0,∞+当时，令，则或，0a >()2210ax f x x -'==x =x =当时，， 当时，，x ⎛∈ ⎝()0f x '<x +∞⎫∈⎪⎪⎭()0f x ¢>则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭综上所述，当时，函数的单调递减区间为；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．0a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭（2）对任意的，恒成立，即不等式恒成立，()0,x ∈+∞()0g x >()2ln 21a x x x x +>++因为，则，所以原问题等价于在上恒成立，0x >20x x +>2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+设，，则只需，()2ln 21x x x x x ϕ++=+()0,x ∈+∞()max a x ϕ>可得，()()()()()()()()222221221ln 2121ln x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫++-+++ ⎪+--⎝⎭'==++令在上单调递减，()ln h x x x =--()0,∞+因为，，()111ln 2ln 410222h ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭()110h =-<所以存在唯一的，使得，即，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000ln 0h x x x =--=00ln x x =-当时，，则，当时，，则，()00,x x ∈()0h x >()0x ϕ'>()0,x x ∈+∞()0h x <()0x ϕ'<则在上单调递增，在上单调递减，()x ϕ()00,x ()x ϕ()0,x +∞所以，()()000000222max 0000000ln 212111x x x x x x x x x x x x x x ϕϕ++-+++=====+++所以即可，01a x >又∵，所以，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()011,2x ∈故整数a 的最小值为2．【点睛】方法定睛：破解不等式的恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。
2022-2023学年贵州省凯里市第一中学高二下学期第一次月考地理试卷(解析版)
贵州省凯里市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考地理试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题组2023年春节档电影《流浪地球2》讲述了在太阳危机初期人类携手攻坚克难，聚焦地球开始流浪之前的经历：太空电梯直达9万公里的太空，横贯天地；强太阳风暴袭击月球和地球；某个时间段内因引力减小地球上一天由现在的24小时变为60小时……据此，完成下面小题。
1．太空电梯由地面到太空的过程中（）A．先后经过了平流层、对流层、高层大气B．气温随高度升高越来越低C．在离地面约55千米处为臭氧层D．大气密度随高度升高越来越小2．当太阳风暴袭击地球时（）A．地球上降水较常年增多B．无线电长波通信受到干扰C．磁针不能正确指示方向D．地球大部分地区能观赏到极光3．若地球上一天由24小时变为60小时则（）A．经度相差1°时间相差6分钟B．地球自转线速度变慢C．地球上平均气温升高D．地球自转角速度不变【答案】1．D 2．C 3．B【解析】1．据图文材料可知，太空电梯直达9万公里的太空，说明先后经过了对流层，平流层和高层大气，A错；对流层气温随高度升高越来越低，平流层气温随高度升高越来越高，B错；在离地面约22-27千米处为臭氧层，C错；高层大气的空气密度很小，所以大气密度随高度升高越来越小，D对；故选D。
2．据说学知识可知，太阳风是太阳活动的类型，当太阳活动增强时，地球上降水较常年可能增多也可能减少，A错；无线电短波通信受到干扰，B错；磁针不能正确指示方向，产生磁暴，C对；地球高纬度地区能观赏到极光，D错。
故选C。
3．若地球上一天由24小时变为60小时，说明地球自转周期变长，经度相差1°时间相差10分钟，A错；自转周期变长，地球自转线速度变慢，B对；地球自转周期变长，白天因为日照时间变长，地球上白天的气温升高，同理夜间低温也会降低不少，昼夜温差变大，C错；地球自转周期变长，自转角速度变小，D错。
河北省唐山市开滦第二中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题(含答案解析)
河北省唐山市开滦第二中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A ．35种B ．53种C ．3种D ．15种2．已知二项式((0)na >的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中2x 项的系数为84，则a 为A ．2B ．1C ．15D ．3103．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种4．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下表关系：x24568y3040605070y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5y x =+，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）A ．10-B ．20-C ．20D ．105．将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有A ．240B ．480C ．720D ．9606．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种7．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为A ．20B ．18C ．16D ．118．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种二、双空题9．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X 012Px4x5x由此可以得到期望E (X )=___________，方差D (X )=___________.三、填空题10．设随机变量()~3,1X N ，若()4P X p >=，则()24P X <<=___________.11．若2019220190122019(12)()x a a x a x a x x R -=++++∈ ，则010********()()()()a a a a a a a a ++++++++ =_______．（用数字作答）12．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有___________种不同的种花方法.13．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.14．投掷3枚骰子，记事件A ：3枚骰子向上的点数各不相同，事件B ：3枚骰子向上的点数中至少有一个3点，则()P A B =___________.四、解答题15．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(1)求所选3人既有女生又有男生的概率；(2)设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望.16．考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：成绩性别合格不合格合计男性4510女性30合计105(1)完成此表；(2)根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.参考公式：①相关性检验的临界值表：()20P k x ≥0.400.250.150.100.050.0250.100x 0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635②卡方值计算公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++.其中n a b c d =+++.17．有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答）(1)没有空盒子的方法共有多少种？(2)可以有空盒子的方法共有多少种？(3)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？(4)恰有一个小球放入自己编号的盒中，有多少种不同的放法？18．已知在()*n n N ∈的展开式中，第6项为常数项．()I 求n 的值；()II 求展开式的所有项的系数之和；()III 求展开式中所有的有理项．19．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.（1）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望；（2）求乙至多击目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.20．某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为23；丙通过B组测试的概率为12；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.(1)求丁、戊都竞聘成功的概率；(2)记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，根据分步计数原理得到结果．【详解】：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，∴根据分步计数原理知共有35种结果，故选：B ．2．B【分析】如果n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n 是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n 的值，进而利用展开式，根据二次项的系数，即可求出a 的值．【详解】∵二项式(0)na ⎛> ⎝的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴9n =，又∵9⎛⎝的通项为：275999362199r r r r r r r r T C a x x a C x -----+==，令27526r-=，解得3r =，又∵展开式中2x 项的系数为84，即63984a C =，解得1a =或1a =-（舍去）故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，根据展开式中某项的系数求参数，属于中档题3．B【详解】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解：最左端排甲，共有55A =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有1444C A =96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B ．【分析】随机误差的效应（残差）为观测值减去预测值【详解】当广告支出5万元时，观测值为60，预测值为ˆ 6.5517.550y=⨯+=，则随机误差的效应（残差）为605010-=.故选：D.5．B【详解】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有24+43=20⨯⨯，所以不同坐法有4420480A =,选B.6．A【详解】人数分配上有两种方式即122，，与113，，若是113，，，则有311352132260C C C A A ⨯=种若是122，，，则有122354232290C C C A A ⨯=种则不同的分派方法共有150种故选A点睛：本题主要考查的知识点是排列，组合及简单计数问题．由题意知本题是一个分类问题，根据题意可知人数分配上两种方式即122，，与113，，，分别计算出两种情况下的情况数目，相加即可得到答案．7．C【分析】根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可.【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有232312A A =；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16，故选C ．【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题.【详解】首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有1222C A 4=种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46A 360=去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有24A 12=种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有43121248⨯=种不同的排法，选B ．9． 1.40.44【详解】根据分布列的性质可知：45101x x x x ++==，解得110x =.()042514 1.4E x x x x x =⨯++⨯==.()()()()2220 1.41 1.442 1.45 1.960.64 1.80.44D x x x x x x x =-⨯+-⨯+-⨯=++=.10．12p-【分析】由正态曲线的对称性直接求得.【详解】因为随机变量()~3,1X N ，()4P X p >=，所以由正态曲线的对称性可得：()2P X p <=，所以()()()2112442p P X P X P X <<=->=--<.故答案为：12p -.11．2017【分析】由题意，根据二项式的展开式，令0x =和1x =可得00120191,1a a a a =+++=- ，进而得01020201900122019()()()2018()a a a a a a a a a a a ++++++=+++++ ，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知201922018201901220182019(12)x a a x a x a x a x -=+++++ ，令0x =，可得01a =，令1x =，可得012320191a a a a a +++++=- ，所以01020302019001232019()()()()2018()a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++++++ 2018112017=⨯-=，故答案为2017.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．72【分析】根据题意，分4步进行分析：依次分析区域1、2、3、4和5的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分4步进行分析：①对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，③对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法，④对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选，若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选，所以区域4、5共有2+1=3种着色方法；综上，一共有4×3×2×(1+2)=72种着色方法；故答案为：7213．90【分析】一共有3个奇数，故只能是3个奇数加1个偶数，分类讨论该偶数是不是为0.【详解】一共有3个奇数，故只能是3个奇数加1个偶数.当该偶数不为0时，则有1434C A 72=种；当该偶数为0时，0不能作为首位，则有1333C A 18=种；故共有721890+=种.故答案为：90.14．6091【分析】分别求出事件B 和事件AB 所包含的基本事件的个数，再根据条件概率公式求解即可.【详解】解：投掷3枚骰子，3枚骰子向上的点数共有36216=种情况，其中3枚骰子向上的点数没有一个3点的有35125=种，则3枚骰子向上的点数中至少有一个3点有21612591-=种，即()91n B =，3枚骰子向上的点数中至少有一个3点且3枚骰子向上的点数各不相同有1235C A 60=种，即()60n AB =，所以()6091P A B =.故答案为：6091.15．(1)45(2)分布列见解析，1【分析】（1）根据对立事件的概率和为1得，之需求两人来自同一性别即可.(2)此分布为超几何分布，对应的概率为()32436C C C k kP k ξ-==.【详解】（1）3个人来自于两个不同专业的概率为3436C 41C 5-=（2）ξ可能取的值为0，1，2.()32436C C C k k P k ξ-==，0,1,2k =.∴ξ的分布列为ξ012P153515∴ξ的数学期望为1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=16．(1)答案见解析(2)可以，有97.5%的把握【分析】（1）直接根据题意即可完成表格；（2）计算得出2 6.109k ≈，根据独立性检验思想即可得结果.【详解】（1）成绩合格不合格合计性别男性451055女性302050合计7530105（2）假设0H ：性别与考试是否合格无关，()2210545203010 6.10975305550k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.若0H 成立，()25.2040.025P k ≥=，∵2 6.109 5.204k ≈≥，∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关.17．(1)24(2)256(3)144(4)8【分析】（1）4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列即可求得.（2）有4个球，每个球有4种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完.（3）恰有一个空盒，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球.(4)恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种.【详解】（1）没有空盒子的方法：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列共44A 24=种；（2）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共44256=种；（3）恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，先将四盒中选一个作为空盒，再将四球中选出两球绑在一起，再排列共123443C C A 144=种；（4）恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种，则共14C 28⋅=种.18．（I ）10n =；（II ）11024；（III ）有理项分别为23454T x =，6638T =-；2945256T x -=⋅.【分析】()1在二项展开式的第六项的通项公式1055361()2n n T C x -=⋅-⋅中，令x 的幂指数等于0，求出n 的值；()2在二项展开式中，令1x =，可得展开式的所有项的系数之和；()3二项式()*n n N ∈的展开式的通项公式为10231101()2r r r r T C x -+=⋅-⋅，令1023r -为整数，可求出r 的值，即可求得展开式中所有的有理项．【详解】()1在()*n n N ∈的展开式中，第6项为1055361(2n n T C x -=⋅-⋅为常数项，1003n -∴=，10n ∴=．()2在()*10)n n N ∈=的展开式中，令1x =，可得展开式的所有项的系数之和为1011(1)21024-=．()3二项式()*n n N ∈的展开式的通项公式为10231101()2r r r r T C x -+=⋅-⋅，令1023r -为整数，可得2r =，5，8，故有理项分别为22231014544T C x x =⋅⋅=，50610163328T C x ⎛⎫=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭；8822910145(2256T C x x --=⋅-⋅=⋅．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.19．（1）分布列见解析，1.5；（2）1927；（3）124.【分析】(1)ξ的可能取值为0,1,2,3，根据独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得ξ的数学期望；(2)根据独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(3)根据互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式求解即可.【详解】(1)ξ的概率分布列为ξ0123P()E ξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5或()E ξ＝3×＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C ()3＝.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝×＋×＝.20．(1)925(2)分布列见解析，116【分析】对于（1），因两人竞聘成功相互独立，算出一人竞聘成功概率即可.而一人竞聘成功概率，相当于从6道题中至少抽中3道会做题的概率；对于（2），由题意可知通过的总人数可能为3，2，1，0.又甲，乙，丙竞聘成功相互独立，结合题目条件可分别算得人数为3，2，1，0的概率，即可得答案.【详解】（1）设参加C 组测试的每个人竞聘成功为A 事件，则()43144246C C C 183C 155P A ++===又两人竞聘成功相互独立，故丁、戊都竞聘成功的概率等于3395525⨯=（2）由题意可知ξ可取0，1，2，3，又3人竞聘成功相互独立，则()21210112318P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221121512113323218P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22112182213323218P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221433218P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故ξ的分布列为：ξ0123P 118518818418所以()15843311 0123 181********E=⨯+⨯+⨯+⨯==ξ.。
扬州中学2021-2022学年高二(下)第一次月考数学试卷(后附答案解析)
扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=3.已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.754.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A.6B.12C.24D.486.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE = （）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.6C.33D.08.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为312.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．14.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a上的投影向量的坐标为__________．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ=== ，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学答案一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--【答案】B 【解析】【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.【详解】关于Oxy 平面对称的点的x ，y 坐标不变，只有z 坐标相反，所以点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为()2,1,3．2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=【答案】B 【解析】【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.3.已知向量()1,1,0a =r，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.75【答案】D 【解析】【分析】向量的垂直用坐标表示为1212120x x y y z z ++=，代入即可求出答案.【详解】=(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k ++--=--，2=a b -2(1,1,0)(1,0,2)---=(3,2,2)，因为ka b + 与2a b -互相垂直，所以(1,,2)k k --⋅(3,2,2)=0，所以57=0k -，所以7=5k .故选：D.4.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=【答案】C 【解析】【分析】求得()f x '后，代入2x π=即可求得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，从而得到()(),f x f x '；利用导数的几何意义即可求得结果.【详解】()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭ ，()sin 2f x x f π⎛⎫''∴=-- ⎪⎝⎭，sin 12222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''∴=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：122f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1cos 2f x x x ∴=+，()1sin 2f x x '=-+，()01f ∴=，()102f '=，()y f x ∴=在0x =处的切线方程为112y x -=，即220x y -+=.故选：C.5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】【分析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序即可．【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则232312A A =，故所求的坐法种数为12，故选：B ．6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE =（）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB=-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC =-+--=-+131222a b c -+= .故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.36C.33D.0【答案】A 【解析】【分析】以B 点为原点建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】由题意得，ABC 为直角三角形，且90ABC ∠=︒，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,2M ，()2,0,1P ，()0,2,0C ，()1,1,1Q ，则()1,1,1BQ =，()2,2,1CP =-.设异面直线BQ 与CP 所成角为θ，则()1212113cos cos ,93441BQ CP θ⨯+⨯-+⨯==⨯++ .故选：A.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c 的大小关系，利用指数函数的单调性可得出b 、c 的大小关系，构造函数()ln xf x x=，利用函数()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】因为 2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，构造函数()ln xf x x=，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，故函数()f x 在()0,e 上为增函数，因为0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即ln 2.1ln 2.22.1 2.2<，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即 2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减【答案】BC 【解析】【分析】根据导函数图象确定()f x 的单调性，由此确定正确选项.【详解】由()'fx 图象可知，()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,-+∞上递增，所以1-不是极值点，A 选项错误；4-是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误.故选：BC10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =【答案】AC 【解析】【分析】由条件可得,,AB AC BC的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ==-=--所以0033AB AC ⋅=++=uu u r uuu r，365cos ,65AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅，BC ==所以,AB AC不共线.故选：AC11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A 中，推导出111A C BD ⊥，11DC BD ⊥，从而直线1BD ⊥平面11AC D ；在选项B 中，由1//B C 平面11AC D ，得到P 到平面11AC D 的距离为定值，再由△11AC D 的面积是定值，从而三棱锥11P AC D -的体积为定值；在选项C 中，异面直线AP 与1A D 所成角转化为直线AP 与直线1B C 的夹角，可求取值范围；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．【详解】对于选项A ，正方体中1111A C B D ⊥ ，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且11B D ，1BB ⊂平面11BB D ，11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111A C BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂= ，且11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，A 选项正确；对于选项B ，正方体中11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ，点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又△11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，B 选项正确；对于选项C ，11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角．易知△1AB C 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为60 ．故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[60,90] ，C 选项错误；对于选项D ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 竖坐标为a ，01a ≤≤，则(,1,)P a a ，1(0,1,1)C ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，所以1(,0,1)C P a a =-，1(1,1,1)D B =- ．由选项A 正确：可知1(1,1,1)D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅==⋅ ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为3，D 选项正确．故选：ABD ．12.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D.【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF =对于A：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B：11||||||2PF PQ F Q r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C：121222||||Rt Rt ||22||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒=∽△△，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．【答案】6【解析】【分析】根据题意，可得所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合所给集合列举分析即可得答案【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点，所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，若横坐标为-2，则纵坐标可为5、6，即点为(2,5),(2,6)--，若横坐标为-4，则纵坐标可为1、3，即点为(4,1),(4,3)--，若横坐标为-7，则纵坐标可为1、3，即点为(7,1),(7,3)--，所以点的个数为6.故答案为：614.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知求得向量b 在向量a 上的投影，设向量b 在向量a上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m = ，由向量的模列式求解λ值，即可求解．【详解】∵(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，∴1(2)21212a b ⋅=⨯-+⨯+⨯=，∴向量b 在向量a上的投影为2||3a b a ⋅==，设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m =．∴(,2,2)m λλλ= ，则22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ=．∴244,,999m ⎛⎫=⎪⎝⎭．故答案为：244,,999⎛⎫⎪⎝⎭．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3【解析】【详解】【分析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可.详解：画出函数()f x的图象，如图：若函数 y=f （x ）﹣m 有 2 个零点，结合图象：m =2 或m ≥3 .故答案为m =2 或m ≥3 .点睛：对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数 y ＝f (x )的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,D Q QN B N AC ，容易证得⊥CP 平面11D QNB ，要使1⊥CP D M ，进而得1∈M B N ，进而得当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小，再根据几何关系求解即可.【详解】如图，取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,.D Q QN B N AC 由于CP 在面ABCD 内的射影为AC ，QN AC ⊥，故⊥QN CP 因为CP 在面11ADD A 内的射影为DP ，1⊥D Q DP ，所以1⊥D Q CP .故由⊥QN CP ，1⊥D Q CP ，因为1D Q QN Q ⋂=，所以⊥CP 平面11D QNB .要使1⊥CP D M ，必须点M 在平面11D QNB 内，又点M 在侧面11AA B B 内，所以点M 在平面11D QNB 与平面11AA B B 的交线上，即1∈M B N .因为CB ⊥平面11ABB A ，所以CB BM ⊥，所以12BCM S CB BM ⨯⨯=当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小.又14,2BB BN ==，故1B N =由1Rt B BN 的面积可得455BM ==，所以145854255BCM S =⨯⨯=.故答案为:5【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻求M 的轨迹，即1∈M B N ，进而根据几何关系求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．【答案】（1）96（2）8【解析】【分析】（1）由排列数计算公式即可求解；（2）由排列数计算公式即可求解方程.【小问1详解】解：()()3384487610432564069610f A A =⨯⨯-⨯⨯⨯=-⨯=-=；【小问2详解】解：由33210n n A A =，得()()()()221221012n n n n n n --=--，又3n ≥，*n ∈N ，所以()()22152n n -=-，即8n =，∴正整数n 为8．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c =．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．【答案】（1）111344OP a b c=++（2）①67||12OP ⇒=②58||12OP ⇒= ③5||12OP ⇒=【解析】【分析】（1）连接ON 由()121232⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦O OA OB P OC 可得答案；（2）选①，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；③对111344=++a b P c O 两边平代入已知再开方可得答案.【小问1详解】连接ON ，因为N 是棱BC 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，所以()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ OA OC OB a c b O a P b c .【小问2详解】选①,,,3π=== a b c a ，因为1a b c === ，111344=++ a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b111111116798626282144=++⨯+⨯+⨯=，所以6712= OP ；选②,,,,32ππ=== a b c a b c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b1111112998626272=++⨯+⨯=，所以5812= OP ；③2,,,,23ππ=== a b c a c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ O a b c a b c a b a c Pc b1111259882144=+-⨯=，所以512= OP .19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233（2）1【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解.(2)设PE PB λ=，根据位置关系，解出λ即可.【小问1详解】以D 为原点，DA 为x 轴,DC 为y 轴,DP 为z 轴，建立空间直角坐标系,则()()()0,0,2,2,0,00,2,0,P A C .设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =，00n PA x z n PC y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =，(2,0,0)DA =点D 到平面PAC 的距离||||3DA n d n ⋅===.【小问2详解】假设在PB 上存在E 点，使PC ⊥平面ADE ，则PE PB λ=，因为()2,2,2PB =- ,所以()2,2,2PE λλλ=-,所以()2,2,22E λλλ-,所以()22,2,22AE λλλ=-- ,若PC ⊥平面ADE ,则PC ⊥AE ,即840PC AE λ⋅=-=,故12λ=,此时E 为PB 的中点时,1PE EB =.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）2a =（2）3【解析】【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面 PAC ，即可求得平面PAC 的法向量，再求得平面EAC 的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可得答案.（2）由（1）可得平面EAC 的法向量n ，求得PA，根据线面角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】以点C 为原点，作CD 的垂线为x 轴，以CD ，CP分别为y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()2,2,0A ，()2,2,0B -，设()()0,0,20P a a >，则()1,1,E a -，所以()2,2,0CA = ，()0,0,2CP a = ，()1,1,CE a =- ，(2,2,0)CB =-，在直角梯形ABCD中，==AC，BC =所以222AC BC AB +=，即ACBC ⊥，又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，即CB即为平面PAC 的一个法向量，设(),,n x y z =为平面EAC 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，2z =-，则(),,2n a a =--，依题意，cos ,3CB n CB n CB n⋅<>==，解得2a =．【小问2详解】由（1）可得()2,2,2n =-- ，()2,2,4PA =-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=<>====⋅，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【解析】【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =，1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴=+.H 为AB 的中点，02334my m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++.当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4AB FG=.综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量；④化简所得式子，消元可得定值.22.已知函数121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增.（2）1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论分别得出()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调增区间，()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调减区间．（2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于a 的不等式后，需要构造新的函数分析求解.【详解】解：（1）因为121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->.令()0f x ¢=，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x ¢<，得01x <<.则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>，得0x a <<或1x >；由()0f x ¢<，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增.③当1a =时，()0f x ¢³恒成立，则()f x 在()0,+¥上单调递增.④当1a >时，由()0f x ¢>，得01x <<或x a >；由()0f x ¢<，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意.②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112e a -<<；③当1a =时，由（1）可知()f x 在()0,+¥上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<.设()()1211122x x g x ex x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤设()()()1112x h x g x e x x e-'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立.故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增.因为()()1110,220g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=.故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e-=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立，即1211<02a a ea e-+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意.综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于 0 或者小于 0 讨论函数单调性，分类时一般利用 f ¢(x )有无解对参数进行分类．常见注意点如下：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.。
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龙结中学高二(下)三月月考数学试题
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( C )
(A) 2(,0)2- (B) 5(,0)2- (C) 6(,0)2- (D) (,0)-3
2.已知点P在y=x2上,且点P到直线y=x的距离为22,这样的点P的个数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.已知△ABC中,A、B的坐标分别为(2,0)和(-2,0),若三角形的周长为10,则顶
点C的轨迹方程是( A )
(A)22195xy+= (y≠0) (B)22159xy+= (x≠0)
(C) 2213620xy+= (y≠0) (D) 2213236xy+= (x≠0)
4.设P是双曲线2211620xy-=上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,
则|PF2|等于( C )
(A)1 (B)1或17 (C)17 (D)以上答案均不对
5. 设A、B为双曲线2222xy-ab=λ(λ≠0)的同一渐近线上的不同两点,
已知ar=(1,0),|ABuuur|=6,且ABuuur·ar=3|ar|,则双曲线离心率为( B )
(A)2 (B) 233或2 (C)2或3 (D)233
6. 已知椭圆2222xyab+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥
x轴,直线AB交y轴于点P,若APuuur=2PBuuur,则椭圆的离心率是( A )
(A) 12 (B)22 (C)13 (D) 32
7.动点P到A(8,0)的距离是到B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为
(C )
(A)x2+y2=32 (B)(x-1)2+y2=16 (C)x2+y2=16 (D)x2+(y-1)2=16
8.已知椭圆24x+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,点M在该椭圆上,且1MFuuuur·2MFuuuur=0,
则点M到y轴的距离为( B )
(A) 233(B) 263 (C)33 (D)3
9.已知椭圆E: 2xm+ 24y=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与
l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是( A )
(A)kx+y-2=0 (B)kx-y-1=0(C)kx+y-k=0 (D)kx+y+k=0
10.中心在原点,焦点坐标为(0,±52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点
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的横坐标为12,则椭圆方程为( C )
(A) 222212575xy+= (B) 222217525xy+=(C)2212575xy+= (D)2217525xy+=
二、填空题(每小题5分,共25分)
11.已知椭圆C:2222xyab+ =1(a>b>0)的离心率e=21,且它的一个顶点到较近焦点
的距离为1,则椭圆C的方程为22x143y.
12.设F1、F2分别是椭圆2212516xy+=的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中
点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为 4 .
13.已知双曲线C:2222xyab-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦
点的距离为1,则双曲线C的方程为22x13y.
14. 若点O和点F分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点,点P为椭圆上任意一点,
则OPuuur·FPuuur的最大值为 6 .
15.椭圆2222xyab+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2作倾斜角为120°的直
线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为23.
三、解答题(共75分)
16.(本小题满分12分)已知点P(x,y）与定点F（1，0）的距离和它到定直线l：
x=2的距离的比是常数22，求点P的轨迹方程
答案：《天府数学》136页右下角5题
17.(本小题满分12分)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点
P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程.
答案：《天府数学》140页左下角5题
18..(本小题满分12分)设椭圆C: 2222xyab+ =1(a>b>0)的离心率e=22,点A是
椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取
值范围.
解:(1)依题意知,2a=4,∴a=2.∵e==,∴c=,b==.
∴所求椭圆C的方程为+=1.
(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),
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∴解得,x1=,y1=.∴3x1-4y1=-5x0.
∵点P(x0,y0)在椭圆C:+=1上,∴-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.
∴3x1-4y1的取值范围为[-10,10].
19.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率
为2,且过点P(4,-10).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: 1MFuuuur·2MFuuuur=0;
(3)求△F1MF2的面积.
(1)解:∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.∵过点(4,-),
∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,
∴F1(-2,0),F2(2,0),
法一 ：=,=,·==-.
∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故·=-1,
∴MF1⊥MF2,∴·=0.
法二： ∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.∵M点在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.
(3)解:△F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=±.
∴△F1MF2的高h=|m|=,∴=×4×=6.
20. (本小题满分13分)设椭圆C: 2222xyab+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直
线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°, 2AFFBuuuruuur＝.
(1)求椭圆C的离心率; (2)如果|AB|=154,求椭圆C的方程.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0.
(1)直线l的方程为y=(x-c),其中c=.
联立得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0,
解得y1=,y2=,因为=2,所以-y1=2y2.
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即=2·,得离心率e==.
(2)因为|AB|=|y2-y1|,所以·=.由=得b=a.
所以a=,得a=3,b=.故椭圆C的方程为+=1.
21.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABCABC
中,ABAC⊥,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
(1)求证：平面1ADC⊥平面BB1C1C.
(2)(理)求平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值.
(文)求三棱锥A1-ADC1的体积.
解:(1) 只需证AD⊥平面BB1C1C.
(2)(理) 以1,,AAACAB为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyzA,
则)0,0,0(A)0,0,2(B,)0,2,0(C,)4,0,0(1A,)0,1,1(D,)4,2,0(1C
)0,2,0(AC
是平面1ABA的的一个法向量
设平面1ADC的法向量为),,(zyxm,∵)0,1,1(AD,)4,2,0(1AC
由1,ACmADm 得0420zyyx 取1z,得2,2xy,
∴平面1ADC的法向量为)1,2,2(m
设平面1ADC与1ABA所成二面角为
∴32324,coscos•mACmACmAC, 得35sin.
(文)VA1-ADC1=VD-AA1C1=114××2×4×1=323.