图上距离与实际距离
10.1图上距离与实际距离
A．4cmLeabharlann 6cm,8cm,10cmB．4cm,6cm,8cm, 12cm
C．11cm,22cm,33cm,66cmD．2cm,4cm,4cm,8cm
4．在比例尺为1：40000的工程示意图上，2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（）
章节与主题
10.1图上距离与实际距离
主备人
徐金秀
审核人
李淑梅
使用人
初二数学组
使用周次日期
3.28
本课时学习目标或学习任务
结合现实情境，了解线段的比和成比例的线段；
理解并掌握比例的性质及运算.
本课时重点难点或学习建议
重点：比例的性质及运算。
难点：比例的性质、运算及应用。
本课时教学资源的使用
自主备课
学习要求或学法指导
概念引入：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这四条线段成比例。
比例的基本性质①：如果a：b=c：d，那么=；
反过来，如果ad=bc（b≠0，d≠0），那么=，或=。
思考：由ad＝bc得到＝。还可以得到哪些不同的比例式？
例1：（1）填空（其中a、b、x都表示线段的长度）：
①若b：4=a：3，则a:b=.②若3：x=2：6，则x=。
A．0.2172kmB．2.172kmC．21.72kmD．217.2km
5．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是（）
A．20mB．16mC．18mD．15m
回顾旧知完成题目
学生通过计算完成4、5
值相等
10.1图上距离与实际距离
初中数学八年级下册10.1图上距离与实际距离教学目标：知识与技能：结合现实情境，了解线段的比和成比例的线段； 理解并掌握比例的性质及运算.过程与方法：学生在探究的过程中了解线段的比，能判断四条线段是否成比例。
情感态度与价值观：通过对实际问题的研究，学生提高从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强用数学的意识。
教学重点与难点：重点：比例的性质及运算。
难点：比例的性质、运算及应用。
教学过程：一、自主探究：在一幅江苏省的地图上，南京与徐州的距离是3.4cm ，而实际南京与徐州的距离是272km 。
根据上述条件你能回答下列问题吗？①图上距离与实际距离的比是多少？答： 。
②地图的比例尺是多少？答： 。
③你知道比例尺的含义吗？答： 。
④如果继续测得在这张地图上，徐州与连云港间的距离是1.2cm ，你知道徐州与连云港的实际距离吗？答： 。
⑤如果在另一张地图上测得南京与徐州的距离是1.7cm ，你知道在第二张地图上，徐州与连云港间的距离上测量的结果吗？答： 。
⑥如果在第一张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为a ，b ；在第二张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为c ，d ，请你分别求出a 与b 的比，即 a b （或a ：b ），以及c 与d 的比，即 c d （或c ：d ）,观察a b 与cd 的值，你发现了什么？答： 。
概念引入：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这四条线段成比例。
比例的基本性质①：如果a ：b=c ：d ，那么 = ；反过来，如果ad=bc （b ≠0，d ≠0），那么 = ，或 = 。
思考：由ad ＝bc 得到 a b ＝cd。
还可以得到哪些不同的比例式？推广：根据分式的性质，我们可以推导出下面两个结论 ∵a b =c d ， ∵a b =c d ， ∴a b + 1=cd+ 1 ∴a b - 1=cd- 1 而a b + 1 =a+b b ，c d + 1=c+d d 而a b - 1 =a-b b ，c d - 1=c-dd ∴a+b b = c+d d ∴a-b b = c-dd于是，我们得到比例的另外两个性质：比例的基本性质②：如果a b =c d ，那么a+b b =c+d d 比例的基本性质③：如果a b =c d ，a-b b =c-d d有时，在a b =c d 中，b=c ，即a b =bd ,我们则把b 叫做a 与c 的比例中项。
10.1图上距离与实际距离(1)
AD AE DB=25，AC=32， DB EC
求 EC。 B
A
D
E
C
B
A
课后一刻
如何测量A、B间 的距离?
C
D
两条线段长度的比叫线段的比 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于 c与d的比，即 a : b c : d ,那么这四条线段 a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。
比例的基本性质为： 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式 子表示就是：
a c 如果a:b=c:d或 ＝ （b,d都不为0），那么ad=bc. b d a c 反之，若ad=bc，则a:b=c:d或 ＝ b d a c
例2、已知a、b、c、d是成比例线段，其 中a＝３cm，b＝２cm，c＝６cm，求线段d 的长．
若条件改为a、b、d、c是成比例的4 条线段，其它条件不变，线段d的长度 是否改变？
注意：成比例的四条线段，要注意其 顺序性。
例3、已知a是线段b、c的比例中项，其 中b＝２cm，c＝8cm，求线段a的长．
(1)分别量出两幅地 图中南京市与徐州 比例尺: 1:8000000
市、南京市与连云
港市之间的地图上 距离； 比例尺: 1:16000000
a=3.4cm
c=3.4cm
b=1.7cm
Байду номын сангаас
d=1.7cm
比例尺:
1:8000000
比例尺: a=3.4cm
c=3.4cm
1:16000000
b=1.7cm d=1.7cm
（2）在这两幅地图中，南京市与徐州市的图上距离的比 是多少？南京市与连云港市的图上距离的比是多少？这两 个比值之间有什么关系？
图上距离与实际距离说课稿
6.1 图上距离与实际距离说课稿一．教材地位和作用本节课是苏科版九下第六章图形的相似第一课时，其探究的主要内容是“从现实情境中理解成比例线段”，以及“应用成比例线段的基本性质解决实际问题”这两方面的内容。
它是在小学阶段学习了线段的比和比例尺的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。
“承上”，首先，在探究成比例线段时，都用到了线段比的相关知识；其次，解决实际问题都需要用到比例尺知识，本节课在引入新课时就是从回忆比例尺的概念开始。
“启下”，首先，成比例线段、比例的基本性质是研究相似图形的基础；其次，应用比例的基本性质是解决实际问题的有效工具。
并且，本节课内容还是学生运用归纳思想、从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的良好素材，增强了学生用数学的意识。
二．教学目标知识与技能目标：1.结合现实情境了解线段的比和成比例的线段；2.理解并掌握比例的基本性质，并能够解决实际的问题。
过程与方法目标：1.通过实际问题的研究，学会提出问题、分析问题和解决问题的能力；2.通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和方法。
情感与态度目标：1.通过自主探究等活动，体验数学知识的自我生成性，体会数学的应用价值；2.在合作学习的过程中培养学生的实践意识，体会合作学习的乐趣和力量。
三．教学的重点、难点1．教学重点：理解并掌握比例的基本性质。
2．教学难点：应用所有知识解决实际问题。
四．教法、学法分析根据课堂学习的内容特点，本节课主要采用以下教学方法：1．引导启发：本节课的教学中，教师所起的作用不再是一味“传授”，而是巧妙地创设问题情境，以问题的形式启发学生发现、解决问题，在学生思维受阻时给予适当引导。
2．激趣教学：学习本应是件快乐的事，为了让学生“乐”学，教师通过学生所熟悉的现实情境巧妙设计学习资源，提高学习的效率。
在合理选择教法的同时，注重对学生学法的指导。
本节课主要指导学生以下两种学法：1．自主探究：“书上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
第十章图上距离与实际距离(1)
a＋b (__＋__) a c 4、比例的重要性质： （1）若b ＝d ，则 b ＝ ； d (__－__) c－d a c （2）若b ＝d ，则 ＝ d b a b 5、在比例b ＝ c 中，我们把 b 叫做 a 和 c 的__________。 二、新课 (一)、情境创设： 生活中常常可见形状相同的图形，如课本 P80 两幅不同比例尺的长城照片， 探索相似图形的特征，更好地认识图形世界。 （二）探索与实践操作 1、两条线段的比的概念 大家如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB、CD 的长度分别是 m、n 那 认识图形世 界激发学生 学习本章的 兴趣。 先回忆什么 叫两个数的 比？再思考 AB m 么就说这两条线段的比 AB∶CD=m∶n，或写成CD ＝ n ，其中，线段 AB、 怎样度量线 段的长度？ m AB CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项. 如果 n 把表示成比值 k， CD k 则= 怎样比较两 或 AB=k·CD. 线 段 的 大 2、求比时应注意的问题： 小？ （1）比如：线段 a 的长度为 3 厘米，线段 b 的长度为 6 米，所以两线段 a,b 讨论：1：2 的比为 3∶6=1∶2,对吗？(不对,因为 a、 的长度单位不一致) 因此在量线段 对吗？ b 时两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化 成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 2、成比例线段 线段的比有
姓名 课题 教学目标 重 点 难 点 学习过程
学号
班级 课型 新授
教者 时间 第十章第 1～2 课时
10、1 图上距离与实际距离
1、了解线段比和成比例的线段. 2、掌握比例的基本性质。 掌握比例的性质。 理解比例的性质及其应用。 旁注与纠错 实际距离＝ 图上距离× 比例尺。
图上距离与实际距离教学设计
说出比例的基 本性质及其重 要性质。 理解比例中项 的概念。 讨论交流 1、 两条线段的 比，成比例线 段的概念 2、 表
（2）已知线段 c 是 a、b 的比例中项，且 a＝4，b＝9，求 c. 例 3、已知⊿ABC 和⊿A′B′C′中，
示法：线段 a、 AB BC CA 1 ＝ ＝ ＝ ， A′B′ B′C′ C′A′ 2 b 的长度分别 为 m、 n,则 a∶ b=m ∶ n.3 、求 法：先用同一 长度单位量出 线段的长度， 再求出它们的 比.4、 注意点：
再思考怎样度 量线段：2 对 吗？
（1）比如：线段 a 的长度为 3 厘米， 线段 b 的长度为 6 米， 所以两线段 a,b
的比为 3∶6=1∶2,对吗？(不对,因为 a、 b 的长度单位不一致) 因此在量线 段时两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先 化成同一单位，再求它们的比；
组成比例的四个数 a,b,c,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两 项叫做内项.即 a、d 为外项，c、b 为内项.。 a c 在比例中， 两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是： 如果 ＝ 或 b d a a∶b=c∶d,（b,d 都不为 0） ，那么 ad=bc.反之，若 ad=bc，则 a:b=c:d 或 ＝ b c a c 。在 ＝ 中，若 b=c,那么 b2=ad.，这时我们把 b 叫做 a 和 d 的比例中项. d b d 比例还有其它一些重要的性质 a c a＋b c＋d （1）如果 ＝ ，那么 ＝ 成立吗？为什么？ b d b d a－b c－d a c （2）如果 ＝ ，那么 ＝ 成立吗？为什么？ b b d d a±b c±d a c （3）如果 ＝ ,那么 ＝ 成立吗？为什么.? b d b d a＋c＋e a a c e （4）如果 ＝ ＝ ,那么 ＝ 成立吗？为什么？ b＋d＋f b b d f a＋c＋…＋m a a c m (5)如果 ＝ =…= （b+d+…+n≠0）,那么 ＝ 成立吗？为 b d n b b＋d＋…＋n 什么？ 5、实践：见 p102 页的两幅不同比例尺的江苏省地图 （1）分别量出两幅地图中南京市与徐州市、南京市与连云港市之间的地图 上距离； （2）在这两幅地图中，南京市与徐州市的图上距离的比是多少？南京市与 连云港市的图上距离的比是多少？这两个比值之间有什么关系？
10.1图上距离与实际距离(2)
3）等比性质: a c m (b d n 0) b d n
a c m a b d n b
a b c 1）已知: ,并且 a+b+c=18, 2 3 4
1 两条线段的比
四条线段成比例
图上距离 2 比例尺＝ 实际距离
3 比例性质
a c 1）基本性质: = b d 2） 合比性质： a c = b d
ad=bc
ab cd = b d
例1 在某城市的地图上（比例尺1:9000）上， 南京路的图上距离与北京路的图上距离分别是 16㎝、10㎝， 1）南京路与北京路的实际长度是多少米？
a 2 已知： b = 3 , b 求： a-b
a+b a-b
例4 AD AE 如图， = ,AD=15,AB=40,AC=28. DB EC 求AE的长 A
D B
E C
ab bc ac 2）已知 , 求a : b : c 5 4 3
பைடு நூலகம்
2）南京路与北京路的图上长度之比是 多少?它们的实际长度之比呢？
例2、 已知a、c、b、d是成比例线段， a=2㎝,b=3㎝,d=6㎝,求线段c的长度？
、 例3 已知3个数1、2 3 ，请你再添 上一个数，使它们成为一个比例式， 这个比例式为________
3x 4 y 1 x ,求 的值. (1)已知 2x y 2 y
求a,b,c的值.
AD AE 2 AB AE 例5 如图， = = ,求 , 的值 DB EC 3 DB AC
A D B E C
如图，在△ABC中，AB=12,AE=6,EC=4,
比例尺换算公式
比例尺换算公式
比例尺换算公式是：
实际距离 = 比例尺 * 图上距离
其中，实际距离是真实地理空间的距离，比例尺是表示图上距离与实际距离之间的比例关系的数值，图上距离是图上显示的距离。
比例尺可以是一个比率，例如1:10000，表示图上的1厘米距离对应于实际地理空间的10000厘米（或10米）的距离。
如果比例尺是一个分数，例如1/10000，表示图上的1厘米距离对应于实际地理空间的0.0001厘米（或0.1毫米）的距离。
同样，如果已知实际距离和比例尺，可以使用以下公式计算图上距离：
图上距离 = 实际距离 / 比例尺。
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图上距离与实际距离
西夏墅中学 薛菊华
教学目标：
知识目标：1、通过实际情境了解线段的比和成比例的线段；
2、理解并掌握比例线段。
能力目标：通过实际问题的研究，发展从数学的角度提出问题、分析问题和解快问题的能
力，增强用数学的意识。
情感目标：通过对图形世界的认识，激发学习的兴趣。
教学过程：
情境创设：
观察下列几组图，你有何发现？
第一组：
第二组：
过渡句：这两组图片，虽然大小不同，但形状是一模一样的。
探索活动一：
你能从第一组的两幅图中，选取相应的两朵花，并分别最出它们之间的图上距离，求
出图上距离之比吗？这两个比值之间有什么关系？
或
你能分别从第二组的两幅地图中量出茶山与永红、白家村与湖溏镇之间的图上距离
吗？在这两幅地图中，茶山与永红、白家村与湖溏镇之间的图上距离比是多少？这两个比
值之间有什么关系？
（学生汇报量出的数据，及图上距离的比值）
过渡句：研究相似图形与研究全等图形一样，是现实生活和生产实际的需要。我们研究形
状相同的图形时，首先从研究比例线段入手。
归纳：我们把第一幅图中茶山与永红之间的图上距离分别记为a、b，它们的比为a:b或ba，
白家村与湖溏镇之间的图上距离分别记为c、d，它们的比为c:d或dc，于是a:b = c:d
或)0,0(dbdcba
在4条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这4条线段成比例。
探索活动二：
你见过a:b = c:d这样的式子吗？（小学里已学过）由这个式子，你想起了些什么？
比例的基本性质：
如果a:b = c:d，那么ad = bc；反过来，如果ad = bc)0,0(db，那么a:b = c:d
过渡句：一个比例可以写成8种不同的形式，当“a、b 、c、d四条线段成比例”时，a、b 、
c、d四条线段是有顺序的，不能随便颠倒
填空：1、已知a、b 、c、d是成比例线段，其中a =3cm，b =2cm，c =6cm。则线段d
的长为
2、如果
dbb
a
，那么________ _
小结：在dbba中，我们把b叫做a和c的比例中项。
过渡句：我见到这样二句话：“如果dcba那么ddcbba”和“如果dcba，那么ddcbba”
你们认为对吗？
（学生讨论并板书说理的过程）
这就是我们今天要学习的比例的又一个重要性质：
如果dcba，那么ddcbba；
如果dcba，那么
ddcb
ba
．
信息反馈：
1、在比例尺为1:8000000的地图上，量得两地之间的距离是7.5cm，那么这两地的实
际距离是_____km.
2、已知线段a =1，b =2，c =4，线段b是线段a、c的比例中项吗？
3、如图，ECAEDBAD，AD=15，AB=40，AC=28，求AE的长。
（老师规范书写）
归纳小结：
由学生回顾本节课的主要内容。
问：通过这节课的学习你了解了哪些新的知识？
拓展延伸：
要测量不能到达的两个目标A、B间的距离，一种测量方法如下：（课本第83页的图）
⑴ 选择两个观测点C、D，测出它们之间的距离，并按一定的比例尺将它们画在纸上；
A
B C
D E
⑵ 在点C测出∠ACD和∠BCD的度数，在点D测出∠ADC和∠BDC的度数，在纸上画出
点A、B。
这样，量出A、B两点间的图上距离，就可以根据比例尺求出A、B两点间的实际距
离。
（学生讨论这样测量的理由是什么？不强调其理论根据）
课后巩固：
课本第84页习题10.1/1、2、3、4