2010-2011线性代数试题 A
线性代数考试试卷及参考答案(A卷)
,,t α是AX t t c α++仍t c ++= .满足条件3.m n ⨯矩阵A ()12,,,n ααα=，方程组=AX B 有解的充要条件是（ ）.()A 12,,,n ααα线性无关； ()B 12,,,,n B ααα线性相关； ()C 12,,,,n B ααα线性无关； ()D 12,,,n ααα与12,,,,n αααB 等价.4. 设A 是n n ⨯矩阵，则下列结论错误的是（ ）.()A AX =B 无解时，0=A ； ()B AX =B 有无穷多个解时，0=A ；()C 若0=A ，则AX =B 无解； ()D AX =B 有惟一解时，0≠A .5.二次型2122213212x x x x )x ,x ,x (f -+=的矩阵是（ ）.（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021； （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111；（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000010021；（D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000011011.三.计算下列各题（本题满分为55分）1. 已知行列式512345222113124527,1112243150D == 求414243A A A ++和4445A A +. 其中4(1,2,3,4,5)j A j =为5D 中第4行第j 列元素的代数余子式.（本题满分为10分）；2.（本题满分为15分）已知矩阵1111222233334444⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,求100A ...3.（本题满分为15分）问a b 、取何值时123423423412340221(3)223231x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解..4.（本题满分为15分）已知20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似， （1）求x 与y ；（2）求一个满足1P AP B -=的可逆阵P .四.证明（本题满分为10分）设A 是n 阶矩阵，证明：对于任意的B ，=AX B 都有解的充分必要条件是0≠A .线性代数试题答案与评分标准一、填空题1、62、-1283、(),i j E4、15、0k > 二、选择题1、B2、B3、D4、C5、D 三、计算题1、由已知条件得 41424344454142434445(111)(22)27,(222)(11)0.A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎩ ………………(5分）解方程得41424344459;18.A A A A A ++=-+= ………………(10分）2.将A 写成两个矩阵的乘积，即()11111222221111,3333344444⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ……（5分） 故 ()()()100111222111111111111.333444⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ………………（10分） 由于()12111110,34⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 ()10099999911111222221011111010.3333344444⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ……（15分）………………（15分）3、11110111100122101221(/)012(3)2002(2)01323100210B A b a b a b a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥----+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦111101111001221012210021000210002(2)01000(1)(2)1a a a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-+---+⎣⎦⎣⎦（5分） 2,1a b =≠-且无解；2a ≠有唯一解；2,1a b ==-且有无穷多解。
线性代数试题A及答案
线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。
10-11(1)高数A(三)试卷
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 6 页 共 6 页
三、计算题（本大题 10 分）
11.计算 n 阶行列式
a1 − m a2 "
Dn =
a1 "
a2 − m " ""
a1
a2 "
an an 的值. " an − m
得分
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 2 页 共 6 页
答 题勿超装 订 线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
通过正交变换 X = QY 化成标准形 f ( y1, y2 , y3 ) = 3y12 + 3y22 + by32 . （1）求参数 a, b 的值; （2）求正交矩阵 Q .
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 3 页 共 6 页
14.（本小题 10 分）甲、乙二人之间经常用 e-mail 联系，他们约定在收到对方邮件的当天即 给回复（即回一个 e-mail），由于线路问题，每 n 份 e-mail 中会有1份不能在当天送达收件人. 甲在某日发了1份 e-mail 给乙， （1）试求甲在当天收到乙的回复的概率； （2）如果已知甲在当天未收到乙的回复，试求乙在当天收到甲发出的 e-mail 的概率.
(完整版)线性代数试卷及答案详解
《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：3的一组标准正交基，=___________《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）1、 256；2、 132465798⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭； 3、112211221122000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 4、； 5、 4； 6、 2 。
三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法：231211201012010*******121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭―――――（6分）所以1278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111431212011310113100000000000000000000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩12345{,,,,}ααααα＝2（8分）且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分） 五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭(分)(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭（分）故原方程组与下列方程组同解:132311x x x x -=-⎧⎨-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)Tξ=--;它对应的齐次线性方程组13230x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令31,x =可得1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421I A λλλλλλ----=-+-=+----故A 的特征值为13λ=-（二重特征值），36λ=。
线性代数A_复习题2011-1
4．0000000004321a a a a =（ ）(A) 4321a a a a (B ) －4321a a a a (C) 24321a a a a (D)－24321a a a a 6．设A 为n 阶行列式，则kA =（ ） (A)A k (B)Ak⋅ (C ) A kn(D) A kn⋅7．设A ，B 均为n (n>2) 阶行列式，则（ ）(A)B A B A +=+ (B) B A B A -=-(C ) B A AB ⋅= (D)B A OBA O ⋅=9．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，则232333132222321221123111352352352a a a a a a a a a a a a ---=（ ） (A) 18 (B ) －18 (C) －9 (D)2710．41332211000000a b a b b a b a =（ ）(A) 4321a a a a －4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C) (21a a －21b b )(43a a －43b b ) (D ) (41a a －41b b )(32a a －32b b )11．记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为f(x)，则方程f(x)=0根的个数为(A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D)4 12．设A 为n 阶方阵，则A =0的必要条件是 (A) A 的两行元素对应成比例(B ) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零(D) A 中任一行为其余行的线性组合13．是A 三阶矩阵，A =2，A 的伴随矩阵为*A ，则*A 2=（ ）(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D ) 3215．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0， 2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么1D =（ ） (A) 2M (B)－2M (C) 8M (D ) －8M16． 如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，1D = 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么1D =（ ） (A) 8 (B )－12 (C) 24 (D) －2417．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为（ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D ) 119．已知a ，b 为整数，且满足081100000=-a bb a，则（ ） (A) a=1，b=0 (B )a=0，b=0 (C)a=0，b=1 (D) a=1，b=1 20．设A 为三阶矩阵，A =a, 则其伴随矩阵*A 的行列式*A=（ ）(A) a (B ) 2a (C) 3a (D) 4a 21．设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=I ，则（ ）(A) ACB=I (B)CBA=I (C) BAC=I (D ) BCA=I 22．设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（ ） （A ）A A =* （B ）1-*=n AA （C ）nA A=*（D ）1-*=AA23．设A ，B 均为n ×n 阶矩阵，则必有（ ）（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA（C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A24．设A ，B 为n 阶方阵，且AB= O ，则必有（ ）（A ）若r(A)=n, 则B=O （B ）若A ≠O, 则B=O（C ）或者A= O , 或者B=O （D ）O B A =+25．设A 是n ×m 阶矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，r(A)=r ，B=AC ，r(B)= 1r ,则( ) （A ） r >1r （B ） r<1r（C ） r =1r （D ）1r 和r 的关系依而定 26．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ） （A ）112)2(--=A A （B ）O AA ≠*（C ）AAA 11)(--*=（D ）T T T A A ])[(])[(111---=27．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n28．设n 阶方阵A 经初等变化后所得方阵记为B ，则（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) B A ⋅>0 (D ) ，若0=A 则0=B 29．A ，B 均为n 阶矩阵，下列各式中成立的为（ ） (A) 2222)(B AB A B A ++=+ (B) T T T B A AB =)((C) O B O A O AB ===或则, (D ) ，若0=+AB A 则00=+=B I A ，或30．设A ，B ，B A +，11--+B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+BA等于（A ）11--+B A （B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A31．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r=n (B ) r<n (C) r ≥n (D) r>n 32．设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 伴随矩阵，则（ ）(A ) 1-*=n AA (B) A A =* (C) nA A =* (D) 1-*=A A33．设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2)，*A 是A 伴随矩阵，则（ ） (A ) ()A A A n 2-**= (B) ()A A A n 1+**= (C) ()A AAn 1-**= (D) ()A AAn 2+**=34．设n 维向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,0,21 α, 矩阵A=I －αα'，B=I+2αα'，其中I 为n 阶单位矩阵，则（A ）0 （B ）－Ｉ （C ）I （D ）I+αα'35．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则 (A) AB=BA(B) 存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C 使得B AC C =' (D) 存在可逆矩阵P 和Q 使得B PAQ = 36．下列命题中不正确的是( ) (A) 初等矩阵的逆也是初等矩阵 (B ) 初等矩阵的和也是初等矩阵 (C) 初等矩阵都是可逆的 (D) 初等矩阵的转置仍初等矩阵38．设A 是任一阶方阵，*A 是A 伴随矩阵，又k 为常数，且k ≠0，±1，则必有()*kA =(A) *A k (B ) *-A kn 1(C) *A k n (D) *-A k139．设A ，B ，C 为n 阶方阵，若AB=BA ，AC=CA ，则ABC 等于（A ） BAC （B ）CBA （C ）BCA （D ）CAB40．622211211=a a a a 若，则12020221221112--a a a a 的值为（ ） (A) －12 (B )12 (C) 18 (D) 0 41．设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB ＝Ｏ，则下列一定成立的为（ ） （A ）A= O , 或者B=O （B ）A ，B 都不可逆 （C ）A ，B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=O42．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（ ） （A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O（C ）A+B=O （D ）O B A =+ 44．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵*)(AB = (A) **B A (B) 11--B A AB(C) 11--A B (D ) **A B46．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有（ ） （A ）A= B （B ）A=I （C ）AB=BA （D ）B=I 47．设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A=（ ）（A ）1-n a （B ）1+n a （C ）n a （D ）a48．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1302α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7033α与向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5122β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333x β等秩，则x=（ ）(A) －1 (B) －2 (C) 3 (D ) 1 49．设有向量组()4,2,1,11-=α，()2,1,3,02=α，()14,7,0,33=α，()0,2,2,14-=α，()10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组是( )(A) ;321,,ααα (B ) ;421,,ααα (C) ;521,,ααα (D) ;5421,,,αααα 50．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组4312ααα++，42αα-，43αα+，2αα+，3212ααα++的秩是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 51．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，AB=0则（ ）(A) B=0 (B ) 00==A B 或 (C) BA=0 (D) ()222B A B A +=-52．A ，B 为n 阶方阵，则（ ） (A) A 或B 可逆，必有AB 可逆 (B ) A 或B 不可逆，必有AB 不可逆 (C) A 且B 可逆，必有A+B 可逆(D) A 且B 不可逆，必有A+B 不可逆53．A 为n 阶方阵，则下列矩阵中是对称矩阵的有（ ） (A)A A '- (B)()阶矩阵为任意n C C CA ' (C )A A ' (D)A A '+254．设A 为三阶方阵，且2=A ，则*-+A A 14=（ ）(A) 214(B) 12 (C)6 (D ) 10855．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 56．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 57．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 58．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 59．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示60．向量组的秩就是向量组的 (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量 (C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 61．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关 (D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关62．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中 (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 63．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中 (A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合 64．设矩阵A=),,,,(54321ααααα经过初等行变换后变为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311012110231111A ，则A 的秩为3，i α为A 的第i 列向量, 且( )成立 (A ) s αααα++=214 (B) s αααα++=21423 (C) s αααα++-=2142 (D)列向量组线性无关 65．设n 元齐次线性方程组的一个基础解系为η1 ，η2 ，η3 ，η4则()也是该齐次线性方程组的基础解系 （A ）1443,3221,,ηηηηηηηη----（B ）1443,3221,,ηηηηηηηη++++（C ）4321321,211,,ηηηηηηηηηη++++++（D ）1443,3221,,ηηηηηηηη--++66．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关67．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 68．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) 133221,,αααααα-++(B) 3213221,,ααααααα++++(C ) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++69．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关70．设m ααα,,,21 均为n 维向量, 那么下列结论正确的是( ) (A) 若02211=+++m m k k k ααα , 则m ααα,,,21 线性相关(B )若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211≠+++m m k k k ααα ,则m ααα,,,21 线性无关(C)若m ααα,,,21 线性相关则对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211=+++m m k k k ααα(D) 若000021=+++m ααα , 则m ααα,,,21 线性无关 71．已知向量组4321,,,αααα线性无关则向量组 (A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关 (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关 (C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关 (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关72．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数(C )某些特定的不全为零的常数(D)唯一一组不全为零的常数 73．下列命题正确的是( )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关74．如果向量b 可由向量组s ααα,,,21 线性表示, 则下列结论中哪个正确 (A )存在一组数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立(B)存在一组不全为零的数使s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (C)存在一组全为零的数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (D)对b 的线性表达式唯一75．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关 76．设向量组Ⅰ: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3121111a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3222122a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3323133a a a α 向量组Ⅱ: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=413121111a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=423222122a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=433323133a aa a β, 则( ) (A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关77．设向量组Ⅰ: ()1111,,c b a =α,()2222,,c b a =α,()3333,,c b a =α向量组Ⅱ:()11111,,,d c b a =β,()22222,,,d c b a =β,()33333,,,d c b a =β, 则( )(A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 78．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则 (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组79．设t ααα,,,21 和s βββ,,,21 为两个n 维向量组, 且秩(t ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 )=r, 则 (A)两向量组等价, 也即可相互线性表出 (B)秩(t ααα,,,21 ,s βββ,,,21 )=r(C )当t ααα,,,21 被s βββ,,,21 线性表出时,两向量组等价 (D)当s=t 时,两向量组等价80．设向量s αααα+++= 21(s>1), 而s s ααβααβααβ-=-=-=,,,221 则( )(A )秩(s ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 ) (B)秩(s ααα,,,21 )>秩(s βββ,,,21 ) (C)秩(s ααα,,,21 )<秩(s βββ,,,21 )(D)不能确定秩(s ααα,,,21 )与秩(s βββ,,,21 )间的关系 81．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A) s ααα,,,21 均为非零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例(C ) s ααα,,,21 中任意一个向量不能被其余向量线性表示 (D) s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关 82．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关 (C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 83．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 84．设s ααα,,,21 和t βββ,,,21 均为nR 中向量，且秩（s ααα,,,21 ）=秩（t βββ,,,21 ）=r ，则（ ） (A)两个向量组相等价(B)秩(s ααα,,,21 ,t βββ,,,21 )=r(C )当s ααα,,,21 能被t βββ,,,21 线性表示时两向量组等价 (D)当s=t 时两向量组等价 85．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,86．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ ）时321,,ααα线性相关。
高数必不挂-高等数学A(一)2010-2011(A)解答
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根 有 有三个不同的实根 有唯一实根 无实根 ）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++< 为正常数 恒为零 为负常数 不为常数 ）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装 订线第 2 页 共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令 ，541452-==-x t x t () 1分 原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知 0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴= 在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页 共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求： 斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim()sin lim ()sin cos x xx f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。
线性代数本A卷及答案
昆明理工大学高等教育试卷（ 2009 /2010 学年 上 学期）线性代数（A ）专业年级： 学号： 姓名：试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．行列式543432321的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-12．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有（ ） A ．ACB=E B ．CBA=E C ．BAC=ED ．BCA=E3．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值（ ） A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D ．不能确定4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-α=-α=-1x x 2x x x x 133221 有解的充分必要条件是α=（ ）A ．-1B ．-31C ．31 D ．15．设A 为m×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是（ ） A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关6．设A 为3阶矩阵，A 的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．下列二次型中为规范形的是（ ）A ．-2221y y - B ．-2221y y + C ．-2321y y -D ．232221y 5y 3y ++8．已知A 是n 阶实对称矩阵，A 2=A ，秩（A ）=n ，则x T Ax 是（ ） A ．正定二次型 B ．负定二次型 C ．半正定二次型D ．不定二次型二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
线性代数 考试试题(A)
2009 ~2010学年秋季学期 线性代数（B ）课程考试试题（2010.1）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．已知为阶方阵，且A 32A =−，则2A −= ；2．已知矩阵，则的秩A =101021000⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟A R A =() ； 3．设为阶方阵，满足，则A n 2A A E −=1A −= ；4．设12,ξξ是元非齐次线性方程组n Ax b =的两个解，且的秩，则 A ()R A 1=−n 的通解Ax b =x = ；5．设是阶方阵，A n 0A ≠，*A 是的伴随矩阵．若有特征值A A λ，则必有一个特()12*A −征值是 ．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．阶方阵3A =33()ij a ×，的行列式A A =3−，ij A 是A 中元素的代数余子式，则ij a 2111112121313()++a A a A a A 2112112221323()+++a A a A a A 2113112321333()+++a A a A a A =【 】 ； (A) -3； (B) 2； (C) 9； (D) 0．2． 已知线性方程组0,2352.+=⎧⎪−+=⎨⎪+=⎩x y x y ,x y a有解，则【 】；=a (A) ； (B) ； (C) ； (D) 0． 21−33．设是4阶方阵，且的行列式A A 0A =，则中【 】； A (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合．⎟⎟⎟⎜⎟⎝⎠4． 设相似于对角阵⎜122212221⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠A 15−⎛⎞⎜⎟=λ【 】； λ，则(A) ； (B) 2； (C) 3； (D) 0．1−5． 若二次型()2221231231223,,22f x x x x x x x x ax x =++++是正定二次型，则的取值范围是【 】．．a(A) 2−<<a (B)<<a 22； (C) 2−<<a ； (D) 22<<−a ．三、（本题满分14分）1．已知4阶行列式1111201212112101−−−=D ，求1121314122A A A A +++；2． 计算阶行列式1n +12112111231231111n n n nb a a a a b a a D a a a b a a a a −−+=""#####""．四、 (本题满分14分)设阶方阵和n A B 满足条件：A B AB +=．(1) 证明：是可逆矩阵，其中A E −E 是阶单位矩阵；n (2) 已知矩阵，求矩阵． 130210002B −⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟,.A 五、(本题满分14分) 当a 、b 为何值时，线性方程组()123423423412340,221,32321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩ 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．六、(本题满分10分) 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，123,,ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：Ax =0(1) 0123,,,ηξξξ线性无关；(2) 0102030,,,ηξηξηξη+++线性无关．七、（本题满分12分） 二次型22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++经正交变换x Py =变为标准形，求出该正交变换． 23222y y +八、(本题满分6分) 设,ξξ12是元非齐次线性方程组n Ax b =的两个解，为阶方阵，证明：A n (1) 存在一个非零向量与的每一个行向量都正交； A (2) 0A =．。
全国2010年1月自学考试线性代数试题答案(附详细解题过程)
全国2010年1月自学考试线性代数试题答案说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，R （A ）表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式( A )A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=( B ) A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4），如果|A |=2，则|-2A |=(D ) A.-32 B.-4 C.4D.324.设方阵A 满足A 5=E ，则必有(C ) A.A=E B.A=-E C.|A|=1D.|A|=-1 5.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则( C ) A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关6.设A 是4×6矩阵，R （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是( D )A.1B.2C.3D.47.设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是( A)A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = (B )A.4B.5C.6D.79.三元二次型f (x 1，x 2，x 3)=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为(A ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡912304232110.设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 321是正定矩阵，则a 满足( A ) A.a <2 B.a =2 C.a =6D.a >6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2011.4线性代数试题及答案
全国2011年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：04184说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列等式中，正确的是（ ） A.2001002001021⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1233693456456⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1051002⎛⎫= ⎪⎝⎭D.120120035035--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2.下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ） A.111010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.200020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.108010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.108018001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C =⎛⎫ ⎪⎝⎭0B A 0，则C -1是（ ）A.11B 00A --⎛⎫ ⎪⎝⎭B.110B A 0--⎛⎫⎪⎝⎭ C.110A B0--⎛⎫⎪⎝⎭D.11A 00B --⎛⎫ ⎪⎝⎭4.设A 为3阶矩阵，A 的秩r(A )=3，则矩阵A *的秩r(A *)=（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.设向量1α=（-1，4），2α=（1，-2），3α=（3，-8），若有常数a,b 使a 1α-b 2α-3α=0,则（ ）A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=26.向量组1α=（1，2，0），2α=（2，4，0），3α=（3，6，0），4α=（4，9，0）的极大线性无关组为（ ） A.1α，4α B.1α，3α C.1α，2αD.2α，3α7.设矩阵A =100220340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ）A.3B.2C.1D.08.设λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵114-⎛⎫⎪⎝⎭A 有一个特征值等于（ ）A.43-B.34-C.34 D.439.设矩阵A =100212312-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 的对应于特征值λ=0的特征向量为（ ）A.（0，0，0）TB.（0，2，-1）TC.（1，0，-1）TD.（0，1，1）T 10.二次型f(x 1,x 2,x 3)=2x 1²-x 1x 2 +x 2²的矩阵为（ ） A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 B. ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--121212C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00001210212 D. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011012二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
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山东科技大学2010—2011学年第一学期
《线性代数》考试试卷（A卷）
班级 姓名 学号
一、填空题（每小题5分，共15分）
1、设4阶矩阵的A秩为2，则其伴随矩阵*A的秩是 。
2、设2是方阵A的一个特征值，4A，则EA2)(3*必有特征值 。
3、二次型321,,xxxf=23222111xxx在满足_________条件时是正定二
次型。
二、选择题（每小题5分，共15分）
1、设A为n阶可逆矩阵，则下列不正确．．．的是（ ）
(A) 0A； (B) 存在n阶矩阵B，使EAB；
(C) ()RArn； (D) A必是非奇异矩阵．
2、设A为n阶矩阵，1)(nAR，12, 是非齐次线性方程组Axb的两个不同的
解，则0xA的通解为（ ）
(A) 1k； (B) 12()k； (C) 2k； (D) 12()k．
3、设向量组 r,,,21 可由向量组 s,,,21 线性表示，则（ ）．
(A)sr； (B) ),,,(),,,(2121srRR；
(C) sr； (D) ),,,(),,,(2121srRR．
题号 一 二 三 四 总得分 评卷人 审核人
得分
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三、解答题（共64分）
1、（12分）计算下列行列式的值：
（1）6416412793184211111D； （2）333naaaaDaa 3n．
2、（8分）求矩阵X，使BXAX2，其中410110003A，322154B．
3、（16分）当取何值时，非齐次线性方程组1231231230,3,1,xxxxxxxxx有唯一解、无解或
有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解．
4、（10分）求向量组11234，22341，32583，4526912，
5
3
412
的秩及其一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示．
5、（18分）已知二次型222123121323255448fxxxxxxxxx.
(1) 写出二次型f的矩阵表达式；
(2) 求一个正交变换 Pxy，把f化为标准形, 并写出标准形．
四、证明题（6分）
若A为n阶方阵，E为n阶单位阵，且OA3，证明：EA为可逆矩阵
．