2015-2016学年人教版必修二 第三章 第四章 圆与方程 单元测试1
(人教版,必修二)高中数学：第四章 圆与方程(配套讲义+
4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的() A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内答案 C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是() A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 A解析点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．3．(2014·长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是() A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2答案 D解析由题意得(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26解得x＝－2或x＝6.4．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．答案(4,0，－1)解析设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x0＝3＋52＝4，y0＝2－22＝0，z0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．5．在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1，－1)间的距离为________．答案 6解析|AB|＝(2－1)2＋(1－0)2＋(－1－1)2＝ 6.1．结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．。
(人教版,必修二)高中数学：第四章 圆与方程(配套讲义+
4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式一、基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称答案 B解析由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A．9 B.29C．5 D．2 6答案 B解析由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝29.3．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为()A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)答案 C解析点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A.2aB.22a C ．a D.12a答案 B解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a .5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )则|AB |的最小值是 ( )A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6答案 B解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54. ∴|AB |min ＝54＝3 6.6．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为________． 答案 (0,0,3)解析 设P (0,0，c )，由题意得 (0－1)2＋(0＋2)2＋(c －1)2 ＝(0－2)2＋(0－2)2＋(c －2)2解之得c ＝3，∴P 的坐标为(0,0,3)．7.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．解 根据已知条件可得 |A 1C 1|＝22， 由|MC 1|＝2|A 1M |，可得|A 1M |＝223，如图所示，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1的中点可得N (1,2,2)． ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋(2－4)2＝533.二、能力提升8．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3答案 C解析 BC 的中点坐标为M (1,1,0)， 又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋(－1)2＝ 3.9．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32D.63答案 A解析设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.10．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝________. 答案 10解析 点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.11.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE，EF 的长度．解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5， |EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.三、探究与创新12.如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)， 设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°，所以BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，2－y ＝3. 所以y ＝－1.所以D (0，－1，3) 又因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋(0－3)2＝ 6.13．已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)， 求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小． 解 (1)∵面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD . ∴AB 、BC 、BE 两两垂直． ∴以B 为坐标原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12(0<a <2)．(2)∵|MN |＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，故当a＝22时，|MN|min＝22.。
高一数学必修二第四章圆与方程基础练习题及答案
高一数学（必修2）第四章 圆与方程[基础训练]一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或11 5．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。
3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的值为________________。
第04章 圆与方程复习小结(课时测试)-2016-2017学年高二数学上册(必修2)(原卷版)
必修二第四章 圆与方程时间:50分钟，总分：70分 班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1)，2的圆的方程为 （ ）A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=2．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．3 3 B ．3 6 C ．2 3 D ．263．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( )A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0 D ．2x ＋6y －10＝04．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝05．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P(a ，b)的位置是( )．A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能6．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为（ ）A ．－1B ．2C ．3D ．0二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7. 已知圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相内切，则实数m 的值为 ．8．已知圆O ：522=+y x 和点)2,1(A ，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。
9.若圆014222=++-+y x y x 上恰有两点到直线02=++c y x （)0>c 的距离等于1，则c 的取值范围为 10.若P (x ，y )在圆(x －3)2＋(y －3)2＝6上运动，则x y的最大值为______．三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的方程.12．如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P.(1)求圆A 的方程；(2) 当|MN|=192时，求直线l 的方程。
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
【成才之路】2015-2016学年高中数学圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条B．3条C．4条D．以上均错[答案] B[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数．[解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是( )A．－1 B．2C．3 D．0[答案] C[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.[答案] 外切[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．[解析] 方法1：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ)．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．(2015·某某天一中学模拟)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆C 过点(－5,0)， 故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2.当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d ，即r ＞52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个． 综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．能力提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[答案] D[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝0[答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16|，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}，且A ∩B ＝B ，则a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤5[答案] D[解析] A ∩B ＝B 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x2＋(y －2)2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0<a －1≤4，得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素(0,2)，满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，当a ≤5时符合题意．4．(2015·某某某某模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，322B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r ＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322， 所以－322<a <－22或22<a <322.二、填空题5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝_________. [答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 6．(2015·某某某某月考)已知两点M (1,0)，N (－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________.[答案] 3[解析] ∵已知M (1,0)，N (－3,0)，∴|MN |＝4，分别以M ，N 为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条．三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2， 即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③ ∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解． 如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点． ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值． ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小． 于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B (－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k －3－4|1＋k2， 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0， 即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程学业分层测评25含答案
学业分层测评（二十五）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( )A ．(－1,3，－5)B ．(1,3,5)C ．(1，－3,5)D ．(－1，－3,5)【解析】 P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标为(1,3,5)．【答案】 B2．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33，22到原点O 的距离是( ) A.306B ．1 C.336D.356 【解析】 |PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1. 【答案】 B3．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( )A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0B ．5x －y ＋5z －37＝0C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0【解析】 由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A.【答案】 A4．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( )A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6【解析】 |AB |＝ (2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB |min ＝54＝3 6.【答案】 B5．如图4-3-3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )图4-3-3A.2aB.22a C ．a D.12a 【解析】 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a . 【答案】 B二、填空题6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________.【导学号：09960148】【解析】 点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.【答案】 07．(2016·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】S△AOC ＝S△BOC＝S△AOB＝12×2×2 ＝2，S△ABC＝34×|AB|2＝34×8＝23，故三棱锥的表面积S＝6＋2 3.【答案】6＋2 3三、解答题8．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC 的形状．【解】|AB|＝(－4＋10)2＋(－1－1)2＋(－9＋6)2＝49，|BC|＝(－10＋2)2＋(1＋4)2＋(－6＋3)2＝98，|AC|＝(－4＋2)2＋(－1＋4)2＋(－9＋3)2＝49.因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图4-3-4所示的空间直角坐标系．图4-3-4(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．【解】(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．(2)|MD|＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14，|MN |＝(2－1)2＋(1－2)2＋(0－3)2＝11.(3)在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，y ∈[0,1]，则|MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝5y 2－8y ＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545. 因为y ∈[0,1]，所以当y ＝45时，|MP |取最小值545，即3305.[自我挑战]10．在平面直角坐标系Oxyz 中，M 与N 关于xOy 面对称，OM 与平面xOy 所成的角是60°，若|MN |＝4，则|OM |＝( )A ．4B ．1 C.433 D ．2【解析】 由题意知MN ⊥平面xOy ，设垂足为H ，则|MH |＝|NH |＝12|MN |＝2，又OM 与平面xOy 所成的角为60°，则|OM |sin 60°＝|MH |.∴|OM |＝232＝433. 【答案】 C11．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点．如图4-3-5所示，建立空间直角坐标系．图4-3-5(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．【解】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，由|P A|＝|AB|得(1－2)2＋(2－0)2＋(m－0)2＝20.所以m2＝15.因为m∈[0,4]，所以m＝15，故平面ABB1A1内的点P(1,2，15)，使得△ABP为等边三角形．(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF|＝12|AB|，又F(1,2,0)，则(0－1)2＋(2－2)2＋(n－0)2＝12(0－2)2＋(4－0)2＋(0－0)2，整理得n2＋1＝ 5.所以n2＝4.因为n∈[0,4]，所以n＝2.故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
2015-2016高中数学人教B版必修2同步测试：2.3.4《圆与圆的位置关系》(含答案)
2.3.4《圆与圆的位置关系》双基达标(限时20分钟)1．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()．A．外离B．外切C．相交D．内切解析圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1；圆x2＋y2＋4y＝0的圆心为(0，－2)，半径为2.因为圆心距为5，且2－1＜5＜1＋2，所以两圆相交．答案 C2．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有()．A．1条B．2条C．3条D．4条解析C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,5)，r2＝4，|C1C2|＝(－2－2)2＋(2－5)2＝5，r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2，圆C1与圆C2相交，故选B.答案 B3．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为()．A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定解析圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有(－2－m)2＋(m＋1)2＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.答案 C4．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．解析∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴|O1O2|＝a2＋b2＝2＝r1＋r2，两圆外切．答案外切5．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．解析如下图．设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.答案 16．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0，圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，则两圆有几条公切线？解两圆化为标准方程分别为：圆C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9，∴两圆圆心为C1(－1，－3)，C2(3，－1)．半径r1＝1，r2＝3.∵|C1C2|＝25＞1＋3，∴两圆相外离，∴两圆有四条公切线．综合提高(限时25分钟)7．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A，B 两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值为()．A．24 B．16C．8 D．4解析∵四边形P AOB的面积S＝2×12|P A|×|OA|＝2OP2－OA2＝2OP2－4，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．此时|OP|＝105＝25，S min＝8答案 C8．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为()．A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h解析如右图所示，在△OBC中，BC＝40×22＝202，而BE＝30.∴EC＝302－(202)2＝10.∴EF＝20(km)，∴B城市处于危险区域的时间为2020＝1(小时)．答案 B9．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．解析由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则3＋11－m＝－1，得m＝5，∴弦中点坐标为(3,1)，∴3－1＋c＝0，得c＝－2，∴m＋c＝3.答案 310．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短距离为________．解析A关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，A′与圆心的距离为32＋42＝5，最短距离为5－1＝4.答案 411．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B 两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程，并求其半径最小时的圆M的方程．解两圆方程相减，得公共弦AB所在的直线方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0，由于A，B两点平分圆N的圆周，所以A，B为圆N直径的两个端点，即直线AB过圆N的圆心N，而N(－1，－1)，所以－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，即m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)，由于圆M的圆心M(m，n)，从而可知圆心M的轨迹方程为(x＋1)2＝－2(y＋2)(y≤－2)，又圆M的半径r＝n2＋1≥5(n≤－2)，当且仅当n＝－2，m＝－1时半径取得最小值，∴圆M的方程为x2＋y2＋2x＋4y＝0.12．(创新拓展)已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2．5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？解以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y＞0)．将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y＞0)得：y＝16－2.72＝8.71 ＞2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y＞0)得，y＝16－a2，所以货车要驶入该隧道，最大高度为16－a2m.。
人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 小结》_3
高考后期专题复习思维导图（一）课本习题1. 第123页练习题1：222230x y ax a +--+=表示圆则圆心是 半径是习题2：222+20x y ax b +-=表示的图形是2. 第119页例2ABC ∆的三个顶点坐标为()A 51， ()B -37， ()C -2， 8 求它的外接圆的方程。
（一）高考真题1（2015年全国Ⅰ）14.一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上则该圆的标准方程为2.（2015年全国Ⅱ）过三点()A 1， 3()B 4， 2()C -1， 7的圆交y 轴于N M 、两点则MN =（ ）B 8 D 10一、直线与圆的位置关系（二）课本习题1.第127页例2 已知过点()M -3-， 3的直线l 被圆224210x y y ++-=截得的弦长为l 的方程2.第132页6.求圆心在直线30x y -=上与x 轴相切且被0x y -=截得的弦长为（二）高考真题1（2018年全国Ⅲ）6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴相交于A B、两点，点P 在圆()2222x y -+=上。
则ABP ∆的面积取值范围是（ ）[]A. 2,6 []B. 4,8C.D. ⎡⎣ 2（2018年全国Ⅱ）19设抛物线2C 4y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为()K K>0的直线l 与C 相交于A 、B 两点AB =8（1）求l 的方程（2）求过点A 、B 且与C 的准线相切的圆的方程。
3. （2016年全国Ⅰ）20.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()B 1， 0且与x 轴不重合，l 交于圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于E 。
（1）证明EA +EB 为定值，并写出E 点的轨迹方程（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M 、N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 的面积的取值范围。
(人教版,必修二)高中数学：第四章 圆与方程(配套讲义+课件+练习+单元检测,18份)训练 4.1.1
第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程一、基础达标1．(2014·周口高一检测)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是() A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案 D解析由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.2．(2014·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为() A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25答案 A解析由题意，圆的半径r＝(0－3)2＋(4－0)2＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25. 3．与圆(x－3)3＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为() A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4答案 A解析已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是()A．|a|<55B．|a|<1C．|a|≤55D．|a|≤1答案 D解析 由已知，得(4a )2＋(3a )2≤25. ∴a 2≤1，∴|a |≤1.5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 答案 x 2＋(y －2)2＝1解析 设圆心(0，b )，设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝1， 把(1,2)代入得12＋(2－b )2＝1，∴b ＝2. ∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 6．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为________． 答案 1＋ 2 解析(x －1)2＋(y －1)2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.7．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)． (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程． 解 (1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0， PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋b 2＝1a 2＋(1－b )2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.二、能力提升8．(2014·绍兴高一检测)已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案 B解析如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.9．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为() A．2 B．1 C. 3 D. 2答案 B解析由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.10．已知实数x，y满足y＝9－x2，则t＝y＋3x＋1的取值范围是________．答案t≤－32或t≥34解析y＝9－x2表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，则k AB＝34，k AC＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.11．求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的标准方程． 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， ∴可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又∵该圆经过A 、B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2.∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二 设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2，r 2＝10故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 三、探究与创新12．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．13．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求yx 的最大值和最小值．(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求(x －2)2＋(y －3)2的取值范围． 解 (1)法一 如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时yx 最大，过圆心A (2,0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt △ABO 中，OA ＝2，AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60°，∴yx 的最大值为 3. 类似地容易求得yx 的最小值为－ 3.法二 令yx ＝n ，则y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3， 联立消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0 Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3，∴－3≤n ≤ 3即yx 的最大值、最小值分别为3、－ 3. (2)(x －2)2＋(y －3)2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为 d ＝(0－2)2＋(1－3)2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12.所以(x －2)2＋(y －3)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12.。
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2015-2016学年人教版必修二 第三章 第四章 圆与方程 单元测试 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( ) A．k>2 B．－3C．k<－3或k>2 D．以上都不对 2．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( ) A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
C．32，－12，12 D．(6，－5,11) 3．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )
A．4 B．2 C．85 D．125 4．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( ) A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0 C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0 5．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( )
6．若圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b应满足的关系式是( ) A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 7．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( ) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x 8．设直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为( ) A．73或37 B．74或47
C．75或57 D．76或67 9．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( ) A．5－5 B．5－5 C．30－105 D．无法确定 10．过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、n满足的关系式是( ) A．(m－2)2＋n2＝4 B．(m＋2)2＋n2＝4 C．(m－2)2＋n2＝8 D．(m＋2)2＋n2＝8 11．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0 12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个公共点，则b的取值范围是( ) A．|b|＝2 B．－1C．－1D．－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________． 14．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________． 15．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________． 16．已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．
18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径． 20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9． (1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交． (2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．
21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程．
22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0． (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程． (2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标． 2015-2016学年人教版必修二 第三章 第四章 圆与方程 单元测试 答案
1．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．] 2．A [设点A关于点(0,1，－3)的对称点为A′(x，y，z)，则(0,1，－3)为线段AA′的
中点，即x＋32＝0，y－22＝1，4＋z2＝－3， ∴x＝－3，y＝4，z＝－10．∴A′(－3,4，－10)．] 3．A [根据题意，知点P在圆上，
∴切线l的斜率k＝－1kOP＝－11－42＋2＝43．
∴直线l的方程为y－4＝43(x＋2)． 即4x－3y＋20＝0． 又直线m与l平行， ∴直线m的方程为4x－3y＝0．
故直线l与m间的距离为d＝|0－20|42＋32＝4．] 4．A [设两切线切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两切线方程为x1x＋y1y＝4， x2x＋y2y＝4． 又M(4，－1)在两切线上，∴4x1－y1＝4,4x2－y2＝4． ∴两切点的坐标满足方程4x－y＝4．] 5．B [由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B符合．] 6．B [圆C1与C2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C2的圆心在公共弦上时，圆C1
始终平分圆C2的周长，所以选B．]
7．B [由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为2，所以点P在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，故选B．] 8．A [由题意知P(0，－3)．P到圆心(－1,0)的距离为2， ∴P分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7． 选A．] 9．C [配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－105．] 10．C [由勾股定理，得(m－2)2＋n2＝8．] 11．D [l为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，kl＝1， ∴y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．] 12．D [
如图，由数形结合知，选D．] 13．(－1，－2,3) 14．－2 解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2． 15．x＋y－3＝0，x－y－3＝0 解析 点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长． 16．(x＋2)2＋y2＝2
解析 设圆心坐标为(a,0)(a<0)，则由圆心到直线的距离为2知|a|2＝2，故a＝－2，因此圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2． 17．解
l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．
解方程组 x－2y＝0，y＋1＝0得 x＝－2，y＝－1. 所以点A的坐标是(－2，－1)． 解方程组 2x＋y－1＝0，y＋1＝0得 x＝1，y＝－1. 所以点B的坐标是(1，－1)． 线段AB的中点坐标是－12，－1，又|AB|＝－2－12＋－1＋12＝3．
所求圆的标准方程是x＋122＋(y＋1)2＝94． 18．解
如图所示， 以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)． 由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)， ∴|EC|＝0－12＋2－02＋z－12 ＝z－12＋5． 故当z＝1时，|EC|取得最小值为5． 此时E(0,2,1)为线段BB′的中点． 19．解 ∵点O、M、N分别为AB、BC、CA的中点且A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)， ∴O(1,4)，M(－2,2)，N(0,3)． ∵所求圆经过点O、M、N， ∴设△OMN外接圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 把点O、M、N的坐标分别代入圆的方程得
12＋42＋D＋4E＋F＝0－22＋22－2D＋2E＋F＝002＋32＋3E＋F＝0，