高中幂函数图像及性质
幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第四章4.1 幂函数的性质与图像课件
0 k 1
y
k 1
y
非奇非偶
O
y
x
O
y
x
O
x
y
O
x
y
O
x
O
x
y
O
x
O
x
奇
y
偶
O
x例3．请找出①y来自2x53
②y x4
, 0
④y
0,
x3
0, ⑤y
x
1 2
,0 0, 0,
③y x6
R
⑴是奇函数，且在 0, 上单调递减的为_④__y___x_3
⑵是偶函数，且在 0, 上单调递增的为_③__y___x_6
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．
1
练习2：研究幂函数 y x2 、y x2
的定义域，奇偶性，单调区间，值域
函数
yx
y x1 y x2
2
y x3
1
y x2
y x2
图像
定义域
R
(, 0) (0, )
R
R
[0, ) (,0) (0,)
奇偶性 奇
奇
偶
偶
非奇 非偶
y x y x1 y x2
2
1
y x3 y x2
例1：判断下列函数是否为幂函数
3
⑴ y x2
⑶ y x1.5
⑵ y 2x2
1
⑷ y x2
⑸ y x0
练习1：
已知函数 y t 1 xt2t为幂函数，
求 t 的值及函数解析式．
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．
幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。
这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。
幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z =r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。
幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。
在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。
幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。
此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。
幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。
此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。
而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。
以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。
虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质是指关于某一变量x的多项式形式为y=ax^n（a≠0）的函数，其中a是实数，n∈Z，称为幂函数。
由于幂函数有着独特的形式，它的图像和性质也有许多独特之处。
一、图像1. 对于任意实常数a>0，n>0，y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线；2. 对于任意实常数a>0,n<0,y=ax^n的图像是一条以x轴上的无穷远点为极坐标的曲线；3. 对于任意实常数a<0,n>0,y=ax^n的图像是一条以y轴上的无穷远点为极坐标的曲线；4. 对于任意实常数a<0,n<0,y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线。
二、性质（1）当n>0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断增大，直至无穷大；（2）当n<0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断减小，直至无穷小；（3）当n=0时，y=ax^n即为常数函数y=a，其图像是一条水平线；（4）当n>0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向上；（5）当n<0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向下；（6）对于任意实数m，y=ax^n的图像关于y=m的对称轴是x=(m/a)^(1/n)；（7）当n>0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间[0, +∞]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而增大；（8）当n<0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间(-∞, 0]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而减小；三、总结幂函数的图像和性质是指函数形式为y=ax^n（a≠0）的函数的图像和性质，其中a是实数，n∈Z。
幂函数的性质有：对称轴、渐近线、函数值随x的变化而变化等，此外，图像表明幂函数的变化趋势，可以直观地看出函数值y 随x的变化趋势，从而有助于理解函数的特点。
北师大版高中数学课件第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象
限内的图象(类似于 y=x 或
-1
1
y= 2 ,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数在区间
(0,+∞)上都单调递减.
变式训练 2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的
断a,b,c的大小关系.
解析由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.
答案A
反思感悟 对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当
x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
设 g(x)=xb(b∈R).
1
∵点 -2, 4 在幂函数 g(x)的图象上,
1
∴4=(-2)b,解得 b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个
函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)
2 --2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;
高中数学人教A版必修一2.3幂函数定义及性质 课件
出它们的函数图像.
3
5
4
(1) y x 2 (2) y x 3 (3) y x 3
分析：(1)① x[0， )
y
②奇偶性： 非奇非偶函数
2.8
③ 单调性：
任取x 1 ， x 2 [0 ， )且 x 1 x 2
0x1x2x13x23x13 x23 1
即 f(x1)f(x2)
0.4
fx 在 [0 ， )上 单 调 递 增 . 0 0.5 1
③ 单调性：
任取 x 1 ， x 2 (0 ， )且 x 1 x 2
0x1x23 x13
x2
1 3 x1
1 3 x2
即 f(x1)f(x2)
f(x)在 (0， )上单调递减。
④ 列表取点 x 0.5 1 2
y 1.3 1 0.8
1
(8) y x 2
y
1.3 1 0.8
0 0.5 1
2 x
4
(7) y x 3
〔2〕当 >0时，
p q
奇数 偶数
时，f(x)为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如：
1
yx2
3
yx4
p q
偶数 奇数
时，f(x)为偶函数，图像在第一和第二象限；
2
如： yx3
p q
奇数 奇数
时，f(x)为奇函数，图像在第一和第三象限；
1
如： yx3
4
yx3
3
yx5
〔3〕当 <0时，f(x)呈双曲线型。
〔0，+∞〕上是减函数。
〔3〕在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
练习2、比较大小：
3
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。
幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握幂函数的图像及其性质是非常重要的。
首先，我们来看幂函数的图像特点。
当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。
当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。
而当0<k<1时，曲线则会下降，但下降的速率逐渐减慢。
特别地，当k=1时，幂函数成为一次函数，即f(x)=ax，其图像为一条直线。
此外，当k为负数时，幂函数的图像则出现在第二、第四象限，并且具有对称轴。
接下来，我们来讨论幂函数的性质。
首先，我们来看函数的定义域和值域。
由于幂函数的底数a不能为零，函数的定义域为除以0的集合，即R-{0}。
而幂函数的值域则依赖于指数k的正负情况。
当k为正数时，函数的值域为正实数集(0,+∞)。
当k为负数时，函数的值域为(0, +∞)的实数集。
由于底数a的正负情况也会影响函数的关系，故在具体分析时需要考虑a的取值范围。
其次，我们来讨论幂函数的奇偶性。
当指数k为偶数时，幂函数f(x)=ax^k是一个偶函数，即满足f(x)=f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=x^k，从而f(x)=ax^k=f(-x)。
相应地，当指数k为奇数时，幂函数f(x)=ax^k是一个奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=-x^k，从而f(x)=ax^k=-ax^k=-f(-x)。
进一步地，我们来讨论幂函数的增减性和极值点。
当指数k为正数时，幂函数在定义域上是递增的。
当a>1时，函数的增长速度更快；当0<a<1时，函数的增长速度更慢。
而当指数k为负数时，幂函数在定义域上是递减的。
在图像上，幂函数具有一个最小值或最大值，该点称为极值点。
当k为偶数时，函数的极值点出现在定义域的最小值点，当k为奇数时，函数的极值点出现在定义域的最大值点。
沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件
在（0，+∞)上是增函
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化(5) y Nhomakorabea x3 1
4
(7) y x3
(8) y
1
x2
o
x
5
1
(9) y x3
(I)
三、课堂小结：
1.学习了幂函数的概念；
2. 研究幂函数图像与性质的基本方法；
3.利用幂函数在第一象限内的图象特征， 根据奇偶性完成整个函数的图像。
四、课后作业：
（1）《一课一练》4、1（1）
p
(2)探究幂函数y x q ( p, q互质，p Z,q N ) 函数图像奇偶性与p、q奇偶性的关系
【例1】 如图所示，是幂函数 y x
在第一象限内的图象，已知分 别取 1 ,2, 2 ,1 四个值，
23
则相应图象依次为 C4,c1,c3,c2 ．
【例2】请指出相应的幂函数图像代号：
2
(1) y x3
y
1
(3) y x2
y
5
(9) y x3
y
(8) y
1
x2
(2) y x2
1
1
o
x
• 有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而放弃了现在的努力。有些痛苦也是自找的， 一直活在未来的憧憬里。决定一个人成就的，不是靠天，也不是靠运气，而是坚持和付 重复的做，用心去做，当你真的努力了付出了，你会发现自己潜力无限！再大的事，到 再深的痛，过去了就把它忘记，就算全世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行，因 最大的底气。埋怨只是一种懦弱的表现；努力，才是人生的态度。不安于现状，不甘于 勇于进取的奋斗中奏响人生壮美的乐间。原地徘徊一千步，抵不上向前迈出第一步；心 不如撸起袖子干一次。世界上从不缺少空想家，缺的往往是开拓的勇气和勤勉的实干。 疑和怯懦束缚，行动起来，你终将成为更好的自己。人生就要活得漂亮，走得铿锵。自 是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。不谈以前的 的坚持。人生就像舞台，不到谢幕，永远不要认输！努力是一种生活态度，和年龄无关 只要你有前进的方向和目标，什么时候开始都不晚，负能量的脑袋不会给你正能量的人 学最好的别人，做最好的自己。路是一步一步的走出来的 ，只有脚踏实地的往前走。不 风雨，坚持走下去，阳光灿烂的笑容，在风雨后等着你我。笑着走下去，一定会见到最 人都是通过自身的努力，去决定生活的样子，每一次付出，都会在以后的日子一点点回 活不会亏待努力的人，也不会同情假勒奋的人。别让未来的你怨恨今天的自己。耐心点 一天，你承受过的疼痛会有助于你。世界不会在意你的自尊，人们看的只是你的成就。 前，切勿过分强调自尊。喜欢一个人，就是两个人在一起很开心；而爱一个人，即使不 一起。身体最重要，上网不要熬通宵。时间没有等我，是你忘了带我走，我们就这样迷 里，从此天各一方，两两相忘。心有多大，舞台就有多大。思考的越多，得到的越多。 放能量。福报不够的人，就会常常听到是非；福报够的人，从来就没听到过是非。因为 到我想要的，所以就选择了放弃；不知道这样做是对还是错，那么就让时间来裁决吧。 是你忘了带我走，我左手是过目不忘的萤火，右手里是十年一个漫长的打坐。少年的时 的时候想成家，成年的时候想离家，老年的时候想回家。生命中，不断的有人离开或进 的看不见了，记住的遗忘了；生命中不断的有得到和失落，于是，看不见的看见了，遗 过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹许多人企求着生活的完美结局，殊不知美根本不在 求的过程。学会宽恕就是学会顺从自己的心，“恕”字拆开就是“如心”。人生的道路 在这漫长的人生道路之上，唯有不断地求索才能真正地感悟到人生的真谛。我爱你时， 么。我不爱你时，你说你是什么。人生是需要用苦难浸泡的，没有了伤痛，生命就少了 有汽车是郁闷的生活，有了汽车是闷气的生活；没有好车是羡慕的生活，有了好车是提 候不是不懂，只是不想懂；有时候不是不知道，只是不想说出来；有时候不是不明白， 知道该怎么做，于是就保持了沉默。真正的放弃是悄无声息的。别想一下造出大海，必 始。还记得你说世界美好事情真的特别多，只是很容易擦肩而过。善待自己，幸福无比 乐无比，善待生命，健康无比。承认自己的伟大，就是认同自己的愚疑。每个人都有自 个性，不要试图去改变他人，同样，也不要被他人所改变生活，匀速的是爱，不匀速则
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高中幂函数图像及性质
幂函数图像及性质总结：1.幂函数图像总结：α>0时，图像过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图像不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立。
1、幂函数的图像
2.幂函数性质总结：幂函数的图像一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。
（1）正值性质：当α>0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0
（2）负值性质：当α<0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。