教案 高教版(数学)第二册——7.7 线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式

线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式教学目标1、理解点P 分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；明确点P 的位置与λ的范围的关系；2、掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；3、向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律。

教学重点线段的定比分点和中点坐标公式的应用。

教学难点利用线段定比分点坐标公式解题时确定λ的值。

教学过程一、定比分点设P 1、P 2是直线l 上的两个点，P 是l 上不同于P 1，P 2的点，则存在一个实数λ，使得12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，点P 叫做定比分点。

注意：1、1212,,PP PP PP 均是有向线段，P 1为起点，P 2为终点，P 为分点，这三条有向线段的顺序不能颠倒，否则λ的值会改变.记忆规律：1PP ：起点到分点；2PP ：分点到终点。

2、当点P 在线段P 1P 2上时，λ>0，这时称P 为内分点；当点P 在线段P 1P 2或P 2P 1的延长线上时，λ<0(1λ=-)，此时称P 为外分点。

具体地说，当点P 在线段P 1P 2的延长线上时，1λ<-；当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，10λ-<<。

3、具体解题时，起点、分点、终点可根据情况灵活决定.这样计算过程稍有不同，但结果一样。

二、定比分点公式 1、坐标形式设点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，即12PP PP λ=，则12111OP OP OP λλλ=+++ (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)（1）2、特别地，当1λ=时，显然此时点P 为12PP 的中点，1212121212(1)12x x x x x x y y y y y y λλλλλ++⎧⎧==⎪⎪⎪⎪+≠⇒⎨⎨++⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩……….中点坐标公式（2）我们将（2）式称为有向线段12PP 的中点坐标公式。

3、向量形式如右图，在平面内任取一点O ，设12,OP a OP b ==， ∵ 11PP OP OP OP a =-=- 22PP OP OP b OP =-=-又12PP PP λ=，∴()OP a b OP λ-=- ∴11111a b OP a b λλλλ+==++++.......(3) 我们将(3)式称为定比分点的向量形式。

若在(3)式中取1λ=，得1211()()22OP OP OP a b =+=+。

这是线段中点的向量表示。

4、{}1,x x x R λ∈≠∈：λ与分点位置的讨论分点的位置 内容内分点外分点分点与一端点重合P 在P 1P 2的廷长P 在P 2P 1的廷长P 与P 1重合P 与P 2重合线上线上图示λ>0，当λ=0时，P 为中点λ<0λ=0λ不存在λ<-1-1<λ<0注意：①“内分为正，外分为负。

”②灵活掌握，熟练运用中点坐标公式。

③准确应用定比分点公式解题，注意“数形结合”提高解题能力和技巧。

④重心公式：若112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 则ABC 重心G 坐标为123123(,)33x x x y y y ++++ 三、例题分析例1：已知12(1,6),(3,0)P P --构成线段12P P 延长到P 使11213PP PP =，求P 点的坐标。

解法一：由已知，0λ<，P 分12P P ，则1122114PP PP P P PP PP +==- ∴3(4)(1)71(4)30(4)(6)81(4)x y +--⎧==-⎪+-⎪⎨+--⎪==-⎪+-⎩∴7(,8)3P --为所求 解法二：若P 分12P P ，则1214PP PP λ=-=-∴11()374131()416()04811()4x y ⎧-+-⨯⎪==-⎪⎪+-⎪⎨⎪-+-⨯⎪==-⎪+-⎪⎩∴7(,8)3P --解法三：设(,)P x y ，也可将1P 看作12P P 的内分点处理 则11121213PP PP PP PP λ=== ∴1113311712318036113x x x y y y ⎧+⨯⎪==-⎪⎪+⎧=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⨯⎩⎪==-⎪+⎪⎩∴7(,8)3P --为所求。

例2：设12(1,6),(3,0)P P --为AB 有向线段的两个三等分点，求A 、B 两点的坐标。

设11(,)A x y ，22(,)B x y 。

思路一：由题意1P 、2P 为三分点，则21,2P λ=分AB , '2λ=,由定比坐标公式得1212121212111212611223122012x x y y x x y y ⎧+⎪-=⎪⎪+⎪⎪+⎪⎪-=⎨+⎪⎪⎪+=⎪+⎪+⎪=⎪⎩+思路二：A ,B 是12P P 的外分点0λ<A 分12P P ，则112212P A P A AP AP λ==-=-1111()32511216()0212112x y ⎧-+-⨯⎪==-⎪⎪-⎪⎨⎪-+-•⎪==-⎪-⎪⎩∴(5,12)A --B 分12P P ，则122PB BP λ==- 221(2)371(2)661(2)x y -+-•⎧==⎪+-⎪⎨-⎪==⎪+-⎩∴(7,6)B∴(5,12)A --,(7,6)B 为所求 思路三：1P 为1AP 中点，2P 为1P B 的中点 ∴'1λλ==1111315212062x x y y +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪-=⎪⎩ 222213726662x x y y -+⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪-=⎪⎩ ∴(5,12)A --，(7,6)B 为所求。

例3：已知ΔABC 的三个顶点坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，求ΔABC 重心G 的坐标。

分析：重心G 为ΔABC 中线交点，由重心定理可知，重心G 到顶点距离为到对边中点距离的2倍，故可根据定比分点坐标公式求。

解：设BC 中点为D ，知2323(,)22x x y y D ++， ∵ G 分AD 的比2λ=，∴ 23112322123x x x x x x x ++⨯++==+ 23112322123y y y y y y y ++⨯++==+ 重心G 的坐标为123123(,)33x x x y y y ++++。

例4：已知A(1,3), B(-2,0), C(2,1)为三角形的三个顶点，L ，M ，N 分别是BC 、CA 、AB 上的点，满足:::1:3BL BC CM CA AN AB ===，求L 、M 、N 坐标。

分析:将B 、L 、C 分别作为起点、分点、终点由定义，易知L 分BC 的比是12，可由定比分点公式求L 点坐标，同理，可求M 、N 坐标。

另外，要求L ，M ，N 的坐标，即求,,OL OM ON 的坐标（O 为坐标原点），因此，可以利用定比分点公式的向量形式来做。

∵ A(1,3),B(-2,0),C(2,1),∴(1,3),(2,0),(2,1)OA OB OC ==-=,又BL ∶BC=CM ∶CA=AN ∶AB=1∶3，∴ L 分CB ，M 分AC ，N 分BA 所成的比2λ=，∴ 111221(2,1)(2,0)(,)113333OL OC OB λλ=+=+-=-++ 111255(1,3)(2,1)(,)113333OM OA OC λλ=+=+=++1112(2,0)(1,3)(0,2)1133ON OB OA λλ=+=-+=++∴ 21(,)33L -,55(,)33M ,(0,2)N 为所求。

例5：已知三点A(1,2),B(4,1),C(3,4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把ΔABC 分成两部分，且ΔAPQ 与四边形PBCQ 面积之比为4∶5，求点P 坐标。

分析:要求P 点坐标，需知点P 分AB 所成比。

由两部分面积比及三角形相似有关定理，可求λ。

解:∵ PQ//BC ，∴ ΔAPQ ∽ΔABC ， ∴244()459APQ ABCAP S SAB===+， ∴ P 分AB 所成的比是2。

设P(x,y),则12493123x +⨯===+，2214123y +⨯==+，∴ P 点坐标为4(3,)3。