复变函数论文

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《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用

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《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用

摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；

当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项

虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为

''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+

系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。

解：由于输入激励()x t 的频谱函数为

1

()3

x j j ωω=

+， 根据微分方程可得到该系统的频率响应为

2

2()32()3

()()3()2(1)(2)

j j H j j j j j ωωωωωωω++=

=++++， 故该系统的零状态响应()zs y t 的频谱函数()zs Y j ω为

2()3

()()()(1)(2)(3)

zs j Y j X j H j j j j ωωωωωωω+==

+++，

将()zs Y j ω表达式用部分分式法展开，得

13

122()23

zs Y j j j j ωωωω-

=++

++， 由Fourier 反变换，可得系统()zs y t 的零状态响应为

2313

()()()22

t t t zs y t e e e u t ---=+-

例2：已知某连续时间LTI 系统的输入激励()()t x t e u t -=，零状态 响应2()()()t t zs y t e u t e u t --=+，求该系统的频率响应()H jw 和单位冲 激响应()h t 。

解：对()x t 和()zs y t 分别进行Fourier 变换，得

1

()1X jw jw

=

+， 1132()12(1)(2)zs jw

Y jw jw jw jw jw +=

+=

++++ 由于 ()

()()zs Y jw H jw X jw =

， 故 1

()22H jw jw

=-

+， 对()H jw 进行Fourier 反变换，即得系统的单位冲激响应h(t)，

2()2()()t h t t e u t δ-=-

分析：由上述例题可知，对连续时间LTI 系统零状态响应的时域求解，如果利用冲激响应与输入信号的卷积的方法，则较为复杂（过于复杂，上述例题未做解析），则在有限的时间内不能作出很好的作答，难于解出；而利用上述方法，对连续时间LTI 系统零状态响应的频域求解，将时域的卷积运算转换成频域的乘积运算，再通过Fourier 反变换求其时域的解比在其时域的直接求解较为清晰，简捷，因此使用Fourier 变换进行信号系统的频域分析比较方便，实用。

推广：Fourier 变换不仅在信号系统领域的运用比较广泛，而且在其他领域的运用也比较多，例如电路分析中的单位脉冲函数，，振动力学，电工学，无线电技术，自动控制理论，无源静电场内电势的边值问题等，Fourier 变换都占有很重要的地位。 2， 怎样利用留数定理对Laplace 反变换进行计算；

由于信号的时域表示和S 域表示是一一对应的，当由信号的的Laplace 变换X （s ）求解信号的时域表示x(t),即为Laplace 反变换，

在信号系统中计算Laplace 反变换的方法主要是留数法和部分分式展开法，前者根据Laplace 反变换的定义入手，利用复变函数中的留数定理得到时域信号，后者是将S 域表示式分解成许多简单的表示式之和，然后分别得到原时域信号。

（1）留数的定义：设Zo 为f(z)的孤立奇点，那么f(z)在Zo 的留数Res[f(z),Zo]=C-1=

1

()2c

f z dz i π⎰ ,其中C 为去心邻域

0Z Zo R <-<内的任意一条正向简单闭曲线。如果Z=∞ 为f(z)的孤

立奇点，那么f(z)在Z=∞ 的留数Res[f(z), ∞ ]= 1

()2C f z dz i π-

⎰ ,其中C 为R 内绕原点的任意一条正向简单闭曲线。

（2）留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点1z ，

2z ，…n z 外处处解析，C 为D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，

那么1

()2Re [(),]n

k k c

f z dz i s f z Z π==∑⎰ ，这个定理把求沿封闭曲线C 的积分，

转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数。

（3）根据留数的定义及留数定理对Laplace 反变换的计算可以直接从其定义，即1

()()()2j L

st j x t X s X s e ds j σσ

π+∞-∞

←−→=

⎰，上式为一复变积

分，积分路径是s 平面上平行于虚轴的直线0C σσ=>。为了应用留数定理，必须补上一个半径充分大的圆弧，使圆弧与直线构成闭合围线，用围线积分来代替线积分。由Jordan （约当）引理，若满足条件

lim

()0s R X s =−−→∞

=，则1

lim

()0,0R st R C X s e ds t →∞

=>⎰

，2

lim

()0,0R st R C X s e ds t →∞

=<⎰

，因