线性变换练习题

线性变换练习题

一、填空题

1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是

33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基123,,εεε下的矩阵B ＝_________，而

可逆矩阵T ＝_________满足1,B T AT -=()σα在基123,,εεε下的坐标为_________ .

2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),

n

A P σξξξ=∈,则1

(0)σ

-＝_______，()1

dim (0)σ

-＝______，()dim ()n

P σ＝

_____ .

3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .

4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为________变换 .

5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.

6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为________ .

7．设线性变换A

在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10

11

，线性变换B 在基12,εε下的矩阵

为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-11

01，那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 .

8．设矩阵A 的特征为1，2，3，那么A -1的特征值为 。 9．设

A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡x 1

100

001

与矩阵B=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-10

00

001

y 相似，那么y x ,的值分别是 。

10．设A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡21

1

121

112，σ（X ）=AX 是P 3

上的线性变换，那么σ的零度= 。

11．在P[x]3中,定义(())()f x f x σ'=，那么σ的特征值为 。

二、判断题

1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈ 线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα 也线性无关. （ ）

2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有

1

()(0).

V V σσ

-=⊕ （ ） 3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2R 的一个线性变换. （ ）

4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1

(0)σ-＝｛0｝.

（ ）

5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （ ）

6．设α是V 中固定非零向量，V ∈∀ξ，A αξξ+=)(，那么A 是V 上的线性变换。（ ） 7．设V=P 22⨯，L (V)是V 上的全体线性变换组成的空间，那么L （V ）的维数=4。 （ ） 8．两个矩阵A ，B 有相同的特征值，则A B ≅。（ ）

9．设线性变换σ在给定基下的矩阵为A ，那么A 的值域的维数等于A 的秩。（ ） 10.线性变换σ的核与值域的交是A 的不变子空间。（ ）

三、计算与证明

1)3][x P 表示次数小于3的多项式连同零组成的线性空间，定义A )()())((x f x f x x f -'= 1.证明A 是3][x p 上的线性变换。 2．求A 在基1，1,12

--x x 下的矩阵。

3．说明A 是否可以对角化？若可以对角化，找出一组基，使A 在该基下的矩阵为对角形。

2)判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使成对角形.

1

333

1333

1A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

3) 在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ= 1.证明：σ是n

P 的线性变换.

2.求()n P σ与1

(0).σ

-

4)在P 2x2

上定义线性变换 11()1

1X X σ-⎡⎤

=⎢

⎥-⎣⎦

（1）求σ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵； （2）求σ的核和它的零度。 （3）求σ的值域和A 的秩。

5) 若A 是一个n 阶矩阵，且2A A =，则A 的特征值只能是0和1. 6) 设σ是n 维线性空间V 上的线性变换，2σ为单位变换。证明：

（1）σ的特征值只能是1±

（2）11-⊕=V V V 其中=1V {α∈V|().σαα=}=-1V {α∈V|()σαα=-}