线性变换练习题

线性变换练习题

一、（浙江大学2006）设矩阵322232223A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，010101001P ⎡⎤⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1*2B P A P E -=+，求B 的特征值与

特征向量.

二、（东南大学2002）设线性变换A 在线性空间V 的基123,,ααα下矩阵为101210,113⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

1、求值域V A ，核1

(0)-A 的基。 2、问1

(0)V V -=A +A 吗？为什么？

三、（复旦大学1998）设矩阵21000a b A c ωω⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭，c b a ,,为实数,231-+-=ω.求100A .

四、（华东师大2007）设200201A a b c ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

是复矩阵. 1、求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2、给

出A 可对角化的一个充要条件.

五、（苏州大学2006）设5[]V x =F 是数域F 上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间，

()f x V ∀∈，定义映射(())()f x r x δ=，其中2()(1)()()f x x q x r x =-+，()r x =0或deg(())2r x <.

1、证明映射δ是V 的一个线性变换；

2、求δ在基2

3

4

{1,,,,}x x x x 下的矩阵。

六、1、（清华大学2001）设方阵A 满足2A A =(幂等方阵)，则存在可逆方阵P 使1

000R

E P AP -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

； 2、（清华大学2001）设方阵A 满足2

A E = (对合方阵)，则可取可逆方阵P 使1P AP -为何种最简形式？证明之；

3、（清华大学2001）设方阵A 满足20A =（幂零方阵），则可取可逆方阵P 使1

P AP -为何种最简形式？证明之。

4、（苏州大学2006）设A 为4阶矩阵，且存在正整数k ，使0k A =，又A 的秩为3，分别求A 与2

A 的若当（Jordan)标准形。

七、（浙江大学2000）证明：n 阶幂零指数1n -的矩阵都相似（若1

200n n A A --=≠而，称A 的幂零

指数为1n -）。

八、（浙江大学2006）设3阶矩阵,,,A B C D 具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似。 九、（复旦大学2000）设A 为一个n 阶方阵且A 的秩等于2

A 的秩，证明A 的秩等于3

A 的秩。

十、（苏州大学2006）（1）设V 是有理数域 上的线性空间，E 是V 的恒等变换。又设δ是V 的一个线性变换，证明：如果32

5δδδ=++E ，则δ没有特征值。

十一、（苏州大学2006）设n 阶矩阵,A B ，且A B B A =。证明：若,A B 都相似于对角矩阵，则A B +也相似于对角矩阵。 十二、（浙江大学2000）设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B 与A 可交换的充要条件为B 是2

1

,,,,n -E A A A

的线性组合，其中E 为恒等变换。

十四、（华东师大1998）设()f x 为数域F 上多项式，且有12()()()f x f x f x =，12((),())1f x f x =，又设V 为F 上维线性空间，A 为的一个线性变换，W 为()f A 的核，1W 为1()f A 的核，2W 为2()f A 的核，证明：12W W W =⊕.

十五、（华东师大2008）设,A B 是两个特征值都是正数的n 阶实矩阵，且22A B =，则A B =。 十六（华东师大2011）设A 是数域F 上有限维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A-不变子空间. (1) 在V 上定义一个二元关系:u v u v W ⇔-∈ ,证明： 是一个等价关系； (2) 设[]{}/V W u u V =

∈是由（1）中的等价关系所确定的所有的等价类组成的集合，在此集合上

定义加法和乘法运算如下：

[][][][][],,,u v u v k u ku k u V +=+=∈∈F

证明：/V W 按照这样定义的运算构成数域上F 的线性空间（称为由确定的的商空间）. （3）证明：dim /dim dim V W V W =-；

（4）定义/V W 上的变换[]()

():,u u u V B B =A ∈⎡⎤⎣⎦，证明：B 是商空间/V W 上的线性变换； （5）证明：()()()W

χλχλχλA B A =，其中()χλA 表示线性变换A 的特征多项式，而W A 表示A

在W 上的限制变换.