信号与系统第二章

2.1引言

连续时间系统处理通常用微分方程描述的连续时间信号，即系统的输入和输出通过其时间函数及其导数与时间t连接。

输入和输出仅通过一个高阶微分方程连接，并且未研究其他内部信号的变化。这种描述系统的方法称为输入输出方法。

这里有很多分析方法，其中时域分析方法无需任何变换即可直接求解微分方程。该方法直观，物理概念清晰，是学习各种变换域分析方法的基础。系统时域分析方法包括两个方面：一是求解微分方程。另一种方法是通过将脉冲响应与输入激励信号进行卷积来获得系统的输出响应。第一种方法在高等数学中有详细的解释。在此主要说明其物理含义并建立两个重要的基本概念：零输入响应和零状态响应。尽管卷积只能用于系统的零状态响应，但其物理概念很清楚……主要是卷积是时域和频域之间的链接，通过该链接变换域分析给出了明确的物理概念。

2.2微分方程的建立与求解

激励信号为e（T），系统响应为R（T）。

该方程的完整解包括两部分：齐次解和特殊解。

均质溶液法：

插：

简化如下：

特征根如下

因此，微分方程的齐次解为：

常数a由初始条件确定。

如果存在多个根，则为：

A1的K项对应于重根部分

特殊解：特殊解RP（T）的函数形式与激励函数有关。可以通过将激励e（T）代入方程并找到特殊解方程的待定系数来获得特殊解。

完整的解决方案：

通常，需要给出初始条件来求解系数

因此，可以得到常数a

A值矩阵称为Vandermonde矩阵

齐次解表示系统的自由响应，特征值表示系统的“固有频率”，特殊解称为系统的强制响应。强制响应仅与激励函数的形式有关。

r（t）= rh（t）+ rp（t）

2.3起点从0-跳到0+

在系统分析中，响应间隔定义为添加激励信号e（T）后系统的状态变化间隔。通常，激励e（T）从T = 0的时间开始加上，因此系统的响应间隔设置为0 + <= T <无限

这组状态称为系统的初始状态（称为0状态）。它包含所有“过去”信息以计算将来的响应。在添加激励信号e（T）后，由于激励的影响，状态组可能会从0-变为0 +。a的值由响应间隔中t = 0 +处的一组状态确定

因此，这组状态称为初始状态（称为0 +状态，也称为“派生的起始状态”）

可以看出，当采用经典时域方法求解系统响应时，为了确定自由响应部分的常数α，必须根据系统的0状态和系统的0状态来计算0 +状态。激励信号。

解决方案流程图：

2.4零输入响应和零状态响应

经典的时域方法是将响应分为自由响应和强制响应。为了确定完整响应中的常数，通常使用脉冲函数匹配方法将给定的0状态转换为0 +状态进行求解。系统响应的分解只是一种形式，广泛使用的另一重要分解是零输入响应和零状态响应。

注意（重要）：对于外部激励信号e（T）及其对应的响应Rzs（T）= h [e（T）]之间的关系，如果系统的初始状态为零，则{Xi（0-）} = 0，则具有恒定系数的线性微分方程所描述的系统是线性对和时间不变。如果初始状态{X1（0-）}不为0，则由于响应中存在零输入分量，系统响应不满足外部激励的叠加，均匀性和时间不变性，因此它是非线性的时变系统。同时，由于存在零输入分量，响应的变化不仅会在激励变化后发生，因此系统也是无因果的。可以说，只有当初始状态为零时，具有常数系数的线性微分方程所描述的系统才是线性时不变的和因果的。

零输入响应：没有外部激励信号，只有初始状态（开始时的能量存储）生成的响应，如图h [{x（0-）}]所示，表示为rzi（T）方程满足

有一个初始状态

可以看出，它是均质溶液的一部分

由于没有外部激励，因此系统状态不会改变，即R（k）（0 +）= R（k）（0-），因此可以通过以下方式确定rzi（T）中的恒定方位角：R（k）（0-）。

零状态响应：由系统的外部激励信号产生的响应，在初始时间（初始状态等于0）时不考虑能量存储的影响，如H中的H [e（T）]项所示。图，并表示为Rzs（T）。

初始状态R（k）（0-）= 0;

形式为：

总之，可以分析系统响应的表达

2.5脉冲响应和阶跃响应

脉冲响应H（T）的性质可以表示系统的因果性和稳定性，并且H（T）的变换域表示形式是分析线性时不变系统的重要手段，因此分析脉冲响应H（T）在系统分析中是一个非常重要的问题。