信号与系统第二章
2.1引言
连续时间系统处理通常用微分方程描述的连续时间信号，即系统
的输入和输出通过其时间函数及其导数与时间t连接。
输入和输出仅通过一个高阶微分方程连接，并且未研究其他内部
信号的变化。这种描述系统的方法称为输入输出方法。
这里有很多分析方法，其中时域分析方法无需任何变换即可直接
求解微分方程。该方法直观，物理概念清晰，是学习各种变换域分析
方法的基础。系统时域分析方法包括两个方面：一是求解微分方程。
另一种方法是通过将脉冲响应与输入激励信号进行卷积来获得系统
的输出响应。第一种方法在高等数学中有详细的解释。在此主要说明
其物理含义并建立两个重要的基本概念：零输入响应和零状态响应。
尽管卷积只能用于系统的零状态响应，但其物理概念很清楚……主要
是卷积是时域和频域之间的链接，通过该链接变换域分析给出了明确
的物理概念。
2.2微分方程的建立与求解
激励信号为e（T），系统响应为R（T）。
该方程的完整解包括两部分：齐次解和特殊解。
均质溶液法：
插：
简化如下：
特征根如下
因此，微分方程的齐次解为：
常数a由初始条件确定。
如果存在多个根，则为：
A1的K项对应于重根部分
特殊解：特殊解RP（T）的函数形式与激励函数有关。可以通过
将激励e（T）代入方程并找到特殊解方程的待定系数来获得特殊解。
完整的解决方案：
通常，需要给出初始条件来求解系数
因此，可以得到常数a
A值矩阵称为Vandermonde矩阵
齐次解表示系统的自由响应，特征值表示系统的“固有频率”，
特殊解称为系统的强制响应。强制响应仅与激励函数的形式有关。
r（t）= rh（t）+ rp（t）
2.3起点从0-跳到0+
在系统分析中，响应间隔定义为添加激励信号e（T）后系统的
状态变化间隔。通常，激励e（T）从T = 0的时间开始加上，因此
系统的响应间隔设置为0 + <= T <无限
这组状态称为系统的初始状态（称为0状态）。它包含所有“过
去”信息以计算将来的响应。在添加激励信号e（T）后，由于激励的
影响，状态组可能会从0-变为0 +。 a的值由响应间隔中t = 0 +处
的一组状态确定
因此，这组状态称为初始状态（称为0 +状态，也称为“派生的
起始状态”）
可以看出，当采用经典时域方法求解系统响应时，为了确定自由
响应部分的常数α，必须根据系统的0状态和系统的0状态来计算0
+状态。激励信号。
解决方案流程图：
2.4零输入响应和零状态响应
经典的时域方法是将响应分为自由响应和强制响应。为了确定完
整响应中的常数，通常使用脉冲函数匹配方法将给定的0状态转换为
0 +状态进行求解。系统响应的分解只是一种形式，广泛使用的另一
重要分解是零输入响应和零状态响应。
注意（重要）：对于外部激励信号e（T）及其对应的响应Rzs（T）
= h [e（T）]之间的关系，如果系统的初始状态为零，则{Xi（0-） }
= 0，则具有恒定系数的线性微分方程所描述的系统是线性对和时间
不变。如果初始状态{X1（0-）}不为0，则由于响应中存在零输入分
量，系统响应不满足外部激励的叠加，均匀性和时间不变性，因此它
是非线性的时变系统。同时，由于存在零输入分量，响应的变化不仅
会在激励变化后发生，因此系统也是无因果的。可以说，只有当初始
状态为零时，具有常数系数的线性微分方程所描述的系统才是线性时
不变的和因果的。
零输入响应：没有外部激励信号，只有初始状态（开始时的能量
存储）生成的响应，如图h [{x（0-）}]所示，表示为rzi（T）
方程满足
有一个初始状态
可以看出，它是均质溶液的一部分
由于没有外部激励，因此系统状态不会改变，即R（k）（0 +）
= R（k）（0-），因此可以通过以下方式确定rzi（T）中的恒定方位角：
R（k）（0-）。
零状态响应：由系统的外部激励信号产生的响应，在初始时间（初
始状态等于0）时不考虑能量存储的影响，如H中的H [e（T）]项所
示。图，并表示为Rzs（T）。
初始状态R（k）（0-）= 0;
形式为：
总之，可以分析系统响应的表达
2.5脉冲响应和阶跃响应
脉冲响应H（T）的性质可以表示系统的因果性和稳定性，并且
H（T）的变换域表示形式是分析线性时不变系统的重要手段，因此分
析脉冲响应H（T）在系统分析中是一个非常重要的问题。
信号与系统课件：第二章 LTI系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统教案第2章
bm f
( m)
(t ) bm1 f
( m1)
ai 、 bj为常数。
2.1 LTI连续系统的响应
经典时域分析方法 y(t ) yh (t ) yp (t ) 卷积法
y(t) = yzi (t) + yzs (t)
一、经典时域分析方法(微分方程经典解)
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh(t)和特解yp(t)组成
信号与系统 电子教案
2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2
冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
h t T 0 , t
def
h t
t
信号与系统 电子教案
第二章 连续系统的时域分析
《信号与系统》
授课教师：吕晓丽
第2-1页
■
长春工程学院电子信息教研室
信号与系统 电子教案
第二节总结
总
结
1、LTI系统的判定方法 线性性质 时不变性质 2、 LTI系统的分类 因果系统 稳定系统 3、系统的描述 系统框图与系统方程
第2-2页
■
长春工程学院电子信息教研室
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et ε(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y (t ) yh (t ) yp (t ) C1e
信号与系统教案第2章
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
许多实际的系统可以用线性系统来模拟。一个线性系 统其激励与响应之间的关系可以用下列形式的微分方 程来描述：
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
第2-7页
2.1 LTI连续系统的响应
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 例1: 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
et[C cos( t) D sin( t)], 或 A cos( t )
其中Ae j C jD
第2-6页
2.1 LTI连续系统的响应
表2－ 不同激励所对应的特解
激励 f (t)
tm
e t
cos( t) 或 sin( t)
特解 yp (t) Pmt m Pm-1t m1 P1t P0 所有的特征根均不等于0；
第2-13页
2.1 LTI连续系统的响应
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样 为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法 求得y(j)(0+)。下列举例说明。
例2：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
信号与系统第第二章一节
齐次解和特解: 齐次解和特解
r (t ) = rh (t ) + rp (t )
的形式由齐次方程的特征根确定， 齐次解 rh (t) 的形式由齐次方程的特征根确定， 特解 rp (t) 的形式由方程右边激励信号的形式确定。
5
1、齐次解 rh (t) 、 齐次方程
d nr (t ) d n−1r (t ) dr(t ) C +C + L+ C + C r (t ) = 0 n 0 dt 1 dt n−1 n −1 dt n
17
*冲激函数匹配法 冲激函数匹配法: 冲激函数匹配法
根据微分方程确定所有r 根据微分方程确定所有 (k)(0+)值。 值 状态是否有跳变 看将e(t)代入方程后 方程右边 0-到0+状态是否有跳变,看将 代入方程后,方程右边 看将 代入方程后 有无冲激函数及其各阶导数项。 有无冲激函数及其各阶导数项。 由于我们定义了阶跃、 由于我们定义了阶跃、冲激以及冲激偶等函数的微 积分关系，如果由于激励的加入， 积分关系，如果由于激励的加入，微分方程右端出现 冲激函数项(包括导数形式 ， 冲激函数项 包括导数形式)，则方程左端也应该有对 包括导数形式 应相等的冲激函数项。 应相等的冲激函数项。 匹配就是使左端产生这样一些对应相等的冲激函数， 匹配就是使左端产生这样一些对应相等的冲激函数， 就是使左端产生这样一些对应相等的冲激函数 它们的产生，意味着r 中某些函数在t=0点有跳变。 它们的产生，意味着 (k)(t)中某些函数在 点有跳变。 中某些函数在 点有跳变
最后得全解
y(t) = 3e
−2t
− 2e
−3t
+e
−t
例、 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
信号与系统第二章例题
r (0 ) 2 r (0 ) 3 r (0 ) r (0 ) 2
代入r (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
A1 A2 3 2 得 3 A1 A2 6 3
r (t ) -4e3t 3et 3e2t
解：1）求自由响应的形式
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 0
特征方程为： 2 4 3 0 1 3, 2 1
rh (t ) Ae3t A2et 1
2）求强迫响应
利用筛选 特性
e(t ) e2t u(t ) e '(t ) 2e2t u(t ) e2t (t ) 2e2t u(t ) (t )
0 t 0
8
代入方程得
a 2 b 4a 1 c 4b 3a 0
a (t ) b 4a) (t ) (c 4b 3a)u (t ) （ 2 (t ) (t )
a 2 b 7 c 22
4 B 8B 3B 3
rp (t ) 4Be2t
B 3
rp (t ) 3e2t
3）求完全响应
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
利用冲激函数匹配法求初始条件r (0 )和r(0 )
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 2 (t ) 3u(t ) r (t ) a (t ) bu (t )
1 3t 5 t (e e )u (t ) 2
注意：1、积分上下限问题； 2、积分结果的始终点问题。
《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案
第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。
121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰，解：，2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰，解：，解：ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI （线性时不变）系统对输入()()t x t e u t =的响应。
第二章 信号与线性系统 吴大正 教材课件
对于t>0时
yf (t ) 3 yf (t ) 2 y f (t ) 6 (t )
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析
y f (t ) C f 1e t C f 2e 2t 3;
y f (t ) 4e t e 2t 3, t 0
y (t ) an 1 y
(n)
( n 1)
(t ) a0 y (t ) bm f
m j 0
( m)
(t ) b0 f (t )
（2.1-1)
可表示为：
ai y ( i ) (t ) b j f ( j ) (t )
i 0
n
式中an-1，…，a1，a0和bm,…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐 次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐 次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t) （2.1-2)
例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齐次解。 解:由特征方程
2 3 2 0 解得特征根λ1=-1,λ2=-2。
因此该方程的齐次解
yh(t)=c1e-t+c2e-2t
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析 例2-1 求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程 2 2 1 0 解得二重根λ1=λ2=-1，
y x (t ) 4e t 2e 2t , t 0
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析 2、零状态响应yf(t)
信号与系统第二章
（Exponential and Sinusoidal Signals ）
一. 连续时间复指数信号与正弦信号 连续时间正弦信号 (周期信号)
ω ω0 为频率，Φ为相位， 0=2π/T0
x(t)=Asin(ω0 t + Φ)
∃ T0 , s.t. x(t + T0 ) = x(t) Asin(ω0 (t + T0 ) + φ) = Asin(ω0t + φ) ∴ω0T0 =2π
离散时间信号的频率表示为 ω0 ，其量纲是弧度。
离散时间正弦信号不一定是周期的，因此，离散 时间虚指数信号也不一定是关于n的周期信号。
3. 一般复指数信号：
x[n] = Cα n
令 C = C e jθ α = α e jω0 则
x[n] = C α en j(ω0n+θ )
= C ⋅ α n ⋅[cos(ω0n +θ) + j sin(ω0n +θ)] 其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦 序列。
k =－∞
k =0
δ[n − k]
1
• • • •••• •• • k
n
δ [n]具有提取信号 x[n]中某一点的样值的作用。 x[n]δ [n] = x[0]δ [n] x[n]δ [n − n0 ] = x[n0 ]δ [n − n0 ]
5
二. 连续时间单位阶跃与单位冲激
1. 单位阶跃 u(t)
可见,只有当 2π/ Ω0为有理数时, sinΩ0n才是周期信号. 周期为？？
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
信号与系统(郑君里)第二版 讲义 第二章
第二章 连续时间系统的时域分析第一讲 微分方程的建立与求解一、微分方程的建立与求解对电路系统建立微分方程，其各支路的电流、电压将为两种约束所支配： 1.来自连接方式的约束：KVL 和KIL ，与元件的性质无关。
2.来自元件伏安关系的约束：与元件的连接方式无关。
例2-1 如图2-1所示电路，激励信号为，求输出信号。
电路起始电压为零。
图2－1解以输出电压为响应变量，列回路电压方程：所以齐次解为：。
因激励信号为，若，则，将其代入微分方程：所以，从而求得完全解：由于电路起始电压为零并且输入不是冲激信号，所以电容两端电压不会发生跳变，，从而若，则特解为，将其代入微分方程，并利用起始条件求出系数，从而得到：二、起始条件的跳变——从到1.系统的状态(起始与初始状态)(1)系统的状态：系统在某一时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，利用这组数据和系统的模型以及该时刻接入的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。
由于激励信号的接入，系统响应及其各阶导数可能在t=0时刻发生跳变，所以以表示激励接入之前的瞬时，而以表示激励接入以后的瞬时。
(2)起始状态：，它决定了零输入响应，在激励接入之前的瞬时t=系统的状态，它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息。
(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接入之后的瞬时系统的状态。
(4)初始条件：它决定了完全响应。
这三个量的关系是：。
2.初始条件的确定（换路定律）电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能发生突变，即是连续的。
时不变：时变：例电路如图2-2所示，t=0以前开关位于"1"已进入稳态，t=0时刻，开关自"1"转至"2"。
(1)试从物理概念判断、和、。
(2)写出t>0时间内描述系统的微分方程式,求的完全响应。
图2－2解(1)换路前电路处于稳态电感相当于短路，电感电流，电容相当于开路= 0，= = 0。
奥本海姆《信号与系统(第二版)》习题参考答案
2.23
解： x (t ) =
k = −∞
∑ δ (t − kT ) ， y(t ) = x(t ) * h(t ) = x(t ) *
+∞
k = −∞
∑ δ (t − kT ) =
+∞
k = −∞
∑ x(t − kT )
+∞
（根据： x (t ) * δ (t − t 0 ) = x (t − t 0 ) ） 故： (a) T=4，则 y(t)为 x(t)以周期 4 做周期拓延；
第二章作业解答
2.1
解： （a）由多项式相乘法： x[n] = {1,2,0,−1}n =0,1, 2,3
h[n] = {2,0,2}n = −1, 0,1
1 2 0 -1 2 0 2 2 4 0 -2 2 4 0 -2 2 4 2 2 0 -2
定义域为：[0-1：3+1]=[-1,4] 即： y[n] = {2,4,2,2,0,−2}n = −1, 0,1, 2,3, 4 （b）由性质： （若 x[n] * h[n] = y[n], 则：x[n] * h[n − n0 ] = y[n − n0 ] ）得：
1 τ
τ
t
（1） α ≠
β
0 t<0 ⎧ ⎪ y (t ) = x(t ) * h(t ) = ⎨ t − aτ − β ( t −τ ) e e dτ t>0 ⎪ ⎩∫0 t<0 ⎧0 = ⎨ − β t − (α − β ) t − 1] t > 0 ⎩e [e t<0 ⎧0 ⎪ −αt − βt = ⎨ e −e t>0 ⎪[ α − β ] ⎩ e −αt − e − βt =( )u (t ) β −α