2013高考数学(人教A文)多考点综合练：函数 导数及应用
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13节 导数的综合应用 第二课时练习 新人教A版-新
第二章 第13节 导数的综合应用 第二课时1．(导学号14577231)(文科)(2018·某某市一模)设f (x )＝x e x，g (x )＝12x 2＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的最小值；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)且x 1＞x 2有m [f (x 1)－f (x 2)]＞g (x 1)－g (x 2)恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x＋12x 2＋x ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x ＋1)，令F ′(x )＞0，解得x ＞－1；令F ′(x )＜0，解得x ＜－1， 故F (x )在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增， 故F (x )min ＝F (－1)＝－12－1e.(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)且x 1＞x 2有m [f (x 1)－f (x 2)]＞g (x 1)－g (x 2)恒成立， 则任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)且x 1＞x 2有mf (x 1)－g (x 1)＞mf (x 2)－g (x 2)＞0恒成立． 令h (x )＝mf (x )－g (x )＝mx e x－12x 2－x ，x ∈[－1，＋∞)，即只需h (x )在[－1，＋∞)递增即可，故h ′(x )＝(x ＋1)(m e x－1)≥0在[－1，＋∞)恒成立， 故m ≥1e x ，而1e x ≤e，故m ≥e.1．(导学号14577232)(理科)(2018·某某市一模)设f (x )＝ln x ，g (x )＝12x |x |.(1)求g (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)令F (x )＝x ·f (x )－g (x )，求F (x )的单调区间；(3)若任意x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1＞x 2，都有m [g (x 1)－g (x 2)]＞x 1f (x 1)－x 2f (x 2)恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)x ＜0时，g (x )＝－12x 2，g ′(x )＝－x ，故g (－1)＝－12，g ′(－1)＝1，故切线方程是y ＋12＝(x ＋1)，即x －y ＋12＝0.(2)F (x )＝x ln x －12x |x |＝x ln x －12x 2，(x ＞0)，F ′(x )＝ln x －x ＋1，F ″(x )＝1x－1.令F ″(x )＞0，解得0＜x ＜1；令F ″(x )＜0，解得x ＞1， 故F ′(x )在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减， 故F ′(x )≤F ′(1)＝0， 故F (x )在(0，＋∞)递减．(3)已知可转化为x 1＞x 2≥1时，mg (x 1)－x 1f (x 1)≥mg (x 2)－x 2f (x 2)恒成立． 令h (x )＝mg (x )－xf (x )＝m2x 2－x ln x ，则h (x )为单调递增的函数，故h ′(x )＝mx －ln x －1≥0恒成立，即m ≥ln x ＋1x恒成立．令m (x )＝ln x ＋1x ，则m ′(x )＝－ln x x2，∴当x ∈[1，＋∞)时，m ′(x )≤0，m (x )单调递减，m (x )≤m (1)＝1，故m ≥1.2．(导学号14577233)(理科)(2018·某某市、某某市、崇左市一模)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x (a ∈R )(1)若函数f (x )在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值X 围；(2)当a ＝1且k ∈Z 时，不等式k (x －1)＜f (x )在x ∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值．解：(1)∵f (x )＝ax ＋x ln x ，∴f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，又函数f (x )在区间[e ，＋∞)上为增函数， ∴当x ≥e 时，a ＋1＋ln x ≥0恒成立，∴a ≥(－1－ln x )max ＝－1－ln e ＝－2，即a 的取值X 围为[－2，＋∞)； (2)当x ＞1时，x －1＞0，故不等式k (x －1)＜f (x )⇔k ＜f xx －1， 即k <x ＋x ln xx －1对任意x ＞1恒成立． 令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2x －12， 令h (x )＝x －ln x －2(x ＞1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0⇒h (x )在(1，＋∞)上单增．∵h (3)＝1－ln 3＜0，h (4)＝2－ln 4＞0， ∴存在x 0∈(3,4)使h (x 0)＝0，即当1＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，∴g (x )在(1，x 0)上单减，在(x 0，＋∞)上单增． 令h (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，即ln x 0＝x 0－2，g (x )min ＝g (x 0)＝x 01＋ln x 0x 0－1＝x 01＋x 0－2x 0－1＝x 0∈(3,4)，∴k ＜g (x )min ＝x 0且k ∈Z ， 即k max ＝3.2．(导学号14577234)(文科)(2018·潍坊市一模)设f (x )＝ax 2－a ＋e e x ，g (x )＝12＋ln x .(1)设h (x )＝f (x )－g (x )＋e x－e xx e x，讨论y ＝h (x )的单调性；(2)证明：对任意a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，∃x ∈(1，＋∞)，使f (x )＜g (x )成立． 解析：(1)h (x )＝f (x )－g (x )＋e x －e xx e x ＝ax 2－ln x －a ，则h ′(x )＝2ax －1x ＝2a 2－1x.①a ≤0时，h (x )在(0，＋∞)递减； ②a ＞0时，令h ′(x )＞0，解得x ＞12a， 令h ′(x )＜0，解得0＜x ＜12a， 故h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 递减，在⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞递增． (2)证明：由题意得：ax 2－a ＋e e x ＜1x ＋ln x ，∃x ∈(1，＋∞)，ax 2－a －ln x ＜1x －e e x .设k (x )＝e x－e xx e x，若记k 1(x )＝e x－e x ，则k 1′(x )＝e x－e ，当x ＞1时，(x )＞0，k 1(x )在(1，＋∞)递增，k 1(x )＞k 1(1)＝0， 若a ≤0，由于x ＞1，故f (x )＜g (x )恒成立． 若0＜a ＜12，设h (x )＝a (x 2－1)－ln x ，由(1)x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，12a 时，h (x )递减，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，h (x )递增，故h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜h (1)＝0，而k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞0，即存在x ＝12a＞1，使得f (x )＜g (x )，故对任意a ∈(－∞，0)，∃x ∈(1，＋∞)，使得f (x )＜g (x )成立． 3．(导学号14577235)(理科)(2018·某某十三校第二次联考)设函数f (x )＝xln x－ax . (1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，某某数a 的最小值；(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，某某数a 的取值X 围． 解：(1) 由已知得x ＞0，x ≠1.因f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1ln x2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0. 又f ′(x )＝ln x －1ln x 2－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x 2＋1ln x－a＝－⎝⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a .所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(2)命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于 “当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”．由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＝14－a ，∴f ′(x )max ＋a ＝14.问题等价于：“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”．①当a ≥14时，由(1)，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e2.②当a <14时，由于f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a 在[e ，e 2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，14－a(ⅰ)－a ≥0，即a ≤0，f ′(x )≥0在[e ，e 2]恒成立，故f (x )在[e ，e 2]上为增函数， 于是，f (x )min ＝f (e)＝e －a e≥e>14，矛盾．(ⅱ)－a <0，即0<a <14，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x )＝0，且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以，f min (x )＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)所以，a ≥1ln x 0－14x 0>1ln e 2－14e >12－14＝14，与0<a <14矛盾． 综上得a ≥12－14e2.3．(导学号14577236)(文科)(2018·某某某某市一模)已知函数f (x )＝x 3－2f ′(1)x 2＋1，g (x )＝x 2－ax (a ∈R )(1)求f ′(1)的值和f (x )的单调区间； (2)若对任意x 1∈[－1,1]都存在x 2∈(0,2)， 使得f (x 1)≥g (x 2)，某某数a 的取值X 围． 解：(1)函数f (x )＝x 3－2f ′(1)x 2＋1， ∴f ′(x )＝3x 2－4f ′(1)x ，f ′(1)＝3－4f ′(1)，即f ′(1)＝1， f ′(x )≥0，解得x ≤0或x ≥43；f ′(x )≤0，解得0≤x ≤43；即f (x )在(－∞，0]、⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43单调递减； (2)当x 1∈[－1,1]时，f (x )在[－1,0]单调递增，在[0,1]单调递减； 而f (－1)＝－2，f (1)＝0，可知f (x )max ＝f (－1)＝－2， 从而：－2≥g (x )＝x 2－ax 在x ∈(0,2)上有解，即a ≥x 2＋2x有解，a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2x min＝22，即a ≥2 2. 4．(导学号14577237)(2018·某某白山市三模)已知函数f (x )＝mx －m x，g (x )＝3ln x . (1)当m ＝4时，求曲线f (x )＝mx －m x在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若x ∈(1， e ](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)f (x )＝4x －4x 的导数为f ′(x )＝4＋4x2，可得在点(2，f (2))处的切线斜率为k ＝4＋1＝5， 切点为(2,6)，可得切线的方程为y －6＝5(x －2)，即为y ＝5x －4； (2)x ∈(1， e ]时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，即为m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＜3ln x ＋3在(1， e ]恒成立，由1＜x ≤e 时，3ln x ＋3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤3，92，x －1x 递增，可得值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e －1e ，即有m ＜3x ln x ＋xx 2－1的最小值，由h (x )＝3x ln x ＋x x 2－1的导数为h ′(x )＝3－2－ln x －x 2ln xx 2－12，可得1＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，h (x )递减， 可得x ＝e 时，h (x )取得最小值，且为9e2e －1. 可得m ＜9e 2e －1.则m 的X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －1.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(13)导数在研究函数中的应用A
课时作业(十三)A [第13讲 导数在研究函数中的应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x >0时，e x <1＋x ，当x <0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x <0时，e x <1＋x ，当x >0时，e x >1＋x2． 如图K13－1，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④3． 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．94． 已知a ≤1－x x＋ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3能力提升5． 函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－36．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7． 函数y ＝f ′(x )是函数y y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )＝f ′(x 0)·(x －x 0)＋f (x 0)图K13－2F (x )＝f (x )－g (x )，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象如图K13－2所示，且a <x 0<b ，那么( )A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点图K13－38．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图K13－3所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.459． 函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31610． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．11． 若x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x －x cos x 的单调递增区间是________．12．函数f (x )＝sin x 2＋cos x的单调递增区间是________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．14．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．15．(13分) 已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，a >1.(1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)对∀x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1恒成立，求a 的取值范围．难点突破16．(12分) 设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．课时作业(十三)A【基础热身】1．C [解析] 设y ＝e x －1－x ，∴y ′＝e x －1，∴x >0时，函数y ＝e x －1－x 是递增的，x <0时，函数y ＝e x －1－x 是递减的，∴x ＝0时，y 有最小值y ＝0.2．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变零点为函数的极值点，因此③④不正确．3．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.4．A [解析] 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在[1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.【能力提升】5．D [解析] f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 6．A [解析] f ′(x )＝3x 2－3，f (x )极大＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小＝f (1)＝－2＋a ，函数f (x )有3个不同零点，则2＋a >0，－2＋a <0，因此－2<a <2.7．B [解析] F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)，∴F ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，又当x <x 0时，从图象上看，x 越接近于x 0，函数f (x )的纵坐标与g (x )的纵坐标的差越小，此时函数F (x )＝f (x )－g (x )为减函数，同理，当x >x 0时，函数f (x )为增函数．8．C [解析] 从函数图象上可知x 1，x 2为函数f (x )的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b ，c ，d .根据函数图象得d ＝0，且f (－1)＝－1＋b －c ＝0，f (2)＝8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，故f ′(x )＝3x 2－2x －2.根据韦达定理x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 9．D [解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫163a ＋1⎝⎛⎭⎫56a ＋1<0，解得－65<a <－316. 10．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．11．[0，π] [解析] y ′＝x sin x ，令y ′>0，即x sin x >0，得0<x <π.又x ∈[0,2π]，所以所求的单调递增区间是[0，π]．12.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) [解析] f ′(x )＝(2＋cos x )cos x －sin x (－sin x )(2＋cos x )2＝2cos x ＋1(2＋cos x )2>0，即cos x >－12，结合三角函数图象知道，2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )． 13.12⎝⎛⎭⎫e ＋1e [解析] 设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，∴M (0，(1－x 0)e x 0)，过点P 作l 的垂线，y －e x 0＝－e －x 0(x －x 0)，∴N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，∴t ＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0) t ′＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以，t 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴x 0＝1，t max ＝12⎝⎛⎭⎫e ＋1e . 14．[解答] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y15．[解答] (1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a ，由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)可知，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(－∞，0)上单调递减．所以，f (x )在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}，f (－1)＝1a＋1＋ln a ，f (1)＝a ＋1－ln a ， f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a ， 记g (x )＝x －1x －2ln x ，g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x－12≥0， 所以g (x )＝x －1x －2ln x 递增，故f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a >0， 所以f (1)>f (－1)，于是f (x )max ＝f (1)＝a ＋1－ln a ，故对∀x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|f (1)－f (0)|＝a －ln a ，a －ln a ≤e －1，所以1<a ≤e.【难点突破】16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2， 令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42， 当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．(2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以 k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即 x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)(*)， 再由(1)知，函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .。
导数及应用综合练习(经典题目)
导数及应用综合练习（经典题目）一．选择题（共11小题）1．曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．12．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．D．﹣3．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能为（）A．B．C．D．4．设函数f（x）在x0处可导，则等于（）A．f′（x0）B．f′（﹣x0）C．﹣f′（x0）D．﹣f（﹣x0）5．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）6．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）7．函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜08．若函数f（x）＝x2+ax+在是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）9．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）10．函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣1911．已知函数f（x）＝﹣ax，x∈（0，+∞），当x2＞x1＞0时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，e）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，e]二．填空题（共8小题）12．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x3+f′（）x2﹣x，则f′（1）＝．13．已知函数f（x）＝，f'（x）是f（x）的导函数，则f'（1）＝．14．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．15．已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．16．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是．17．已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为．18．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为．19．设定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式e x﹣1f（x）＜f（2x﹣1）的解为．三．解答题（共7小题）20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．21．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．22．已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．23．已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．24．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．25．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）探究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≥m+1﹣x在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．26．已知函数．（1）若f（x）在x＝2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求证：当x＞1时，．。
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(14)导数与函数单调性
课时作业 (十四 ) [ 时间：[第14讲35 分钟导数与函数单一性分值： 80 分]]基础热身1． [2011 皖·南八校联考 ] 若函数 y ＝ f(x)的导函数在区间则函数 y ＝ f(x)在区间 [a ， b] 上的图象可能是 ()[a ， b]上是先增后减的函数，图 K14－1x2．函数 f(x)＝ (x － 3)e 的单一递加区间是 ( )C ．(1,4)D ． (2，＋∞ )3．设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 当 x ＜ 0 时，f ′ (x) ·g( x)＋ f(x) ·g ′ (x)＞0，且 f(－ 3) ·g( －3)＝ 0，则不等式 f(x) ·g(x)＜ 0 的解集是 ( )A ． (－ 3,0)∪ (3，＋∞ )B ．( －3,0)∪ (0,3)C ．( －∞，－ 3)∪ (3，＋∞ )D ． (－∞，－ 3)∪(0,3)4．若函数 f(x)＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 的单一递减区间为 [－ 1,2]，则 b ＝ ________，c ＝ ________. 能力提高5．[2011 东·北三校联考 ] 函数 f(x) 在定义域 R 内可导，若 f(x)＝ f(2－ x)，且当 x ∈ (－∞，11)时， (x － 1) ·f ′ (x)<0 ，设 a ＝ f(0) ， b ＝ f 2 ， c ＝ f(3) ，则()A ． a<b<cB ． c<a<bC ．c<b<aD ． b<c<aln3 ln5 ln76．若 a ＝ 3 ， b ＝ 5 ， c ＝ 7 ，则 ()A ． a<b<cB ． c<b<aC ．c<a<bD ． b<a<c7．若函数 f( x)的导函数 f ′ (x)＝ x 2－ 4x ＋ 3，则函数 f(x ＋ 1)的单一递减区间是 () A ． (2,4) B ． (－3，－ 1) C ．(1,3) D ． (0,2)8．若函数 y ＝ a(x 3－ x)的递减区间为 －3，3，则 a 的取值范围是 ()3 3A ． a ＞ 0B ．－ 1＜ a ＜ 0C ．a ＞ 1D ． 0＜a ＜ 19． [2011 郴·州二模 ] 若 x ∈ (0,2π)，则函数 y ＝ sinx － xcosx 的单一递加区间是 ________．10．已知 a>0，函数 f(x) ＝ x 3－ax 在 [1，＋∞ ) 上是单一增函数， 则 a 的最大值是 ________．4π 5π11． [2011 宁·波十校联考 ] 已知函数 f( x)＝ xsinx ， x ∈ R ， f(－ 4)， f 3 ， f － 4 的大小关系为 ________________( 用 “<”连结 )．3212． (13 分)设函数 f(x) ＝x ＋ax －9x － 1(a<0) ．若曲线 y ＝ f(x)的斜率最小的切线与直线(2)函数 f(x)的单一区间．难点打破13． (12 分)[2011 辽·宁卷 ]已知函数f(x)＝ lnx－ ax2＋ (2－ a)x.(1)议论 f(x)的单一性；111(2)设 a＞ 0，证明：当0＜ x＜a时， f a＋ x ＞ f a－ x ；(3)若函数 y＝ f(x)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为x0，证明 f′ (x0)＜0.课时作业 (十四 )【基础热身】1． C [ 分析 ] 依据题意 f ′ (x) 在 [a ，b] 上是先增后减的函数，则在函数 f(x)的图象上，各点的切线斜率是先随 x 的增大而增大， 而后随 x 的增大而减小， 由四个选项的图形对照能够看出，只有选项 C 知足题意．2． D [ 分析 ] f ′ (x)＝ (x － 3)′ e x ＋ (x － 3)(e x )′＝ (x － 2)e x ，令 f ′ (x)＞ 0，解得 x ＞ 2，故选 D.3． D [ 分析 ] f(x) 、g( x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，∴f(x) ·g( x)为奇函数， x＜ 0 时，f ′ (x) ·g(x)＋ f(x)g ′ (x)＞ 0，即 x ＜0 时，[f(x) ·g(x)] ′＞ 0，∴ f(x) ·g(x)为增函数， 且 f(－3) ·g(－ 3)＝ 0，依据奇函数性质可知， f( x) ·g(x)＜ 0 的解集为 (－∞，－ 3)∪ (0,3)．3 － 6 [分析 ] 由于 f ′(x)＝ 3x 2＋ 2bx ＋ c ，由题设知－ 1<x<2 是不等式3x 2＋ 2bx4．－ 232＋c<0 的解，所以－ 1,2 是方程 3x ＋2bx ＋ c ＝0 的两个根，由根与系数的关系得b ＝－ 2， c＝－ 6.【能力提高】5． B [ 分析 ] 由 f(x) ＝f(2－ x)得 f(3)＝ f(2－ 3)＝ f(－ 1)，又 x ∈ (－∞， 1)时， (x － 1)f ′(x)<0 ，可知 f ′ (x)>0，即 f(x)在 (－∞， 1)上单一递加， f(－1 ，即 c<a<b.1)< f(0)< f 2lnx 1－ lnx6． B [ 分析 ] 令 f(x) ＝ x ，∴ f ′ (x)＝ x 2 ，∴当 x>e 时， f ′ (x)<0 ，函数为减函数，又 e<3<5<7 ，所以 a>b>c.7． D [ 分析 ] 由 f ′(x)＝ x 2－ 4x ＋ 3＝ (x － 1)(x － 3)知，当 x ∈ (1,3)时， f ′ (x)<0.函数 f( x) 在(1,3) 上为减函数，函数 f(x ＋ 1)的图象是由函数 y ＝f(x)的图象向左平移 1 个单位长度获得的，所以 (0,2)为函数 y ＝ f(x ＋ 1)的单一减区间．8．A [分析 ] y ′＝ a(3x 2－1)，解 3x 2－1＜ 0 得－3＜ x ＜ 3，∴ f( x)＝ x 3－ x 在 － 3， 33 3 3 3 上为减函数，又 y ＝ a ·(x 3－ x)的递减区间为 － 3， 3，∴ a ＞ 0.3 39． (0， π) [分析 ] 由 y ＝sinx － xcosx 得 y ′＝ xsinx.令 y ′ >0，即 xsinx>0 ，得 0<x<π(因为 x ∈ (0,2π))，所以单一递加区间是 (0， π)．10． 3 [ 分析 ] f ′( x)＝ 3x 2－ a ，在 [1，＋∞ )上 f ′(x)≥ 0，则 a ≤ 3x 2 ，则 a ≤ 3.4π 5π5π 4π11．f 3 <f(－4)< f － 4[分析 ] f ′ (x) ＝sinx ＋ xcosx ，当 x ∈ 4 ， 3 时，sinx<0，cosx<0，5π 4π∴f ′ (x)＝ sinx ＋ xcosx<0，则 f(x)在 4 ，3 上为减函数，4π5π4π5π∴ f 3 <f(4)< f4 ，又函数 f(x)为偶函数，∴ f 3 <f(－ 4)< f－4.12． [解答 ] (1) 由于 f(x)＝ x 3＋ ax 2－ 9x － 1，所以 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax －9＝ 3 x ＋a32即当 x ＝－ a 时， f ′ (x)获得最小值－ 9－a.33由于斜率最小的切线与 12x ＋ y ＝ 6 平行，即该切线的斜率为－ 12，所以－ 9－a 2＝－ 12，即 a 2＝ 9.3解得 a ＝ ±3，由题设 a<0，所以 a ＝－ 3.(2)由 (1) 知 a ＝－ 3，所以 f(x)＝ x 3 －3x 2－ 9x － 1，f ′ (x)＝3x 2－6x － 9＝ 3(x －3)(x ＋ 1)， 令 f ′ (x)＝ 0，解得 x 1＝－ 1， x 2＝ 3.当 x ∈ (－∞，－ 1)时， f ′ (x)>0 ，故 f(x)在 (－∞，－ 1)上为增函数；当 x ∈ (－ 1,3)时， f ′ (x)<0，故 f(x)在 (－1,3)上为减函数；22－9－ a .3当 x ∈ (3，＋∞ )时， f ′ (x)>0 ，故 f(x)在 (3，＋∞ )上为增函数．因而可知， 函数 f(x)的单一递加区间为 (－∞，－ 1)和 (3，＋∞ )，单一递减区间为 (－ 1,3)． 【难点打破】13． [解答 ] (1) f(x)的定义域为 (0，＋∞ )， f ′ (x) ＝1－ 2ax ＋ (2－ a)＝－ 2x ＋ 1 ax － 1 .x x①若 a ≤ 0，则 f ′ (x)＞ 0，所以 f(x)在 (0，＋∞ )上单一递加．1 1 1 ，＋∞②若 a ＞ 0，则由 f ′ (x) ＝ 0 得 x ＝ a ，且当 x ∈ 0， a 时， f ′ (x)＞0，当 x ∈ a 时，1 1f ′ (x)＜ 0.所以 f(x)在 0， a 上单一递加，在a，＋∞ 上单一递减．1综上，当 a ≤0 时， f(x)在 (0，＋∞ )上单一递加；当a>0 时， f(x)在 0，a 上单一递加，1，＋∞上单一递减．在 a1＋ x1－x，则(2)证明：设函数 g(x)＝ f a－ f ag(x)＝ ln(1 ＋ ax)－ ln(1 －ax)－ 2ax ，3 2g ′ (x)＝ a ＋ a －2a ＝2a x1＋ ax 1－ ax1－ a 2x 2.当 0＜x ＜1时， g ′ (x)＞ 0，而 g(0)＝ 0，所以 g(x)＞ 0. a故当 0＜ x ＜1时， f 1＋x ＞ f 1－ x .aaa(3)由 (1) 可得，当a ≤ 0 时，函数 y ＝ f(x) 的图象与 x 轴至多有一个交点， 故 a>0 ，进而f( x)1 1的最大值为 f a ，且 f a >0.1不如设 A(x 1,0)， B(x 2,0)， 0<x 1<x 2，则 0<x 1<a <x 2. 由 (2)得 f2－ x 1 ＝ f 1＋ 1－ x 1 >f(x 1)＝ 0. a a a2x 1＋ x 2 1 进而 x 2>－ x 1，于是 x 0＝2 > .aa由 (1)知， f ′ (x 0)<0.。
【高考风向标】2013高考数学一轮课时知能训练 第4章 第2讲 导数在函数中的应用 文
第2讲 导数在函数中的应用1．(2011届河北唐山一中统测)若函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有极值，则导函数f ′(x )的图象不可能是( )2．(2011年海南海口调研测试)函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图K4－2－1所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )图K4－2－1A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3 3．已知f (x )＝x 3－6x ＋m (m 是常数)在[－1,1]上的最小值是2，则此函数在[－1,1]上的最大值是( )A ．10B ．11C ．12D ．134．(2011年福建)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．95．(2011年浙江)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )6．如图K4－2－2为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )＜0的解集为__________________________________________________．图K4－2－27．(2011年辽宁)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＝________，n ＝________.9．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．10．(2011年福建)已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求实数b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m <M )，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．第2讲 导数在函数中的应用1．D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.(－∞，－3)∪(0，3) 7．(－∞，2ln2－2] 8.2 99．(1)解法一：f ′(x )＝3x 2－x ＋b . 因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0.即3x 2－x ＋b ≥0，∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g (x )＝x －3x 2.当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.解法二：f ′(x )＝3x 2－x ＋b .∵f (x )在(－x ，＋x )上为增函数，∴f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0在R 上恒成立．∴Δ＝1－12b ≥0.即b ≤112.∴b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. (2)解：由题意知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0.∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c ＜c 2. 解得c ＞2或c ＜－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 10．解：(1)由f (e)＝－a e ＋b ＋a elne ＝2，得b ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x .其定义域为(0，＋∞)． 从而f ′(x )＝a ln x ，因为a ≠0，所以①当a >0时，由f ′(x )＝a ln x >0得x >1.由f ′(x )＝a ln x <0得0<x <1. ②当a <0时，由f ′(x )＝a ln x >0得0<x <1.由f ′(x )＝a ln x <0得x >1. 所以，当a >0时，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． 当a <0时，f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)． (3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x .则f ′(x )＝ln x . 令f ′(x )＝0，则x ＝1.当x 在区间⎢⎡⎥⎤1，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因为2－e <2，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤e ，e 内值域为[1,2]．由此可得，若⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，M ＝2，则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点．并且对每一个t ∈(－∞，t )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综合以上，当a ＝1时，存在实数m ＝1和M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点．。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(13)导数在研究函数中的应用B
课时作业(十三)B [第13讲 导数在研究函数中的应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图K13－4所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2． 设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )，g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )3．如图K13－5，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图象大致是( )K13－4． 满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)．|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的函数叫Ω函数，则下面四个函数中，属于Ω函数的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2 能力提升5．图K13－7中三条曲线给出了三个函数的图象，一条表示汽车位移函数s (t )，一条表示汽车速度函数v (t ))A ．曲线a 是s (t )的图象，b 是v (t )的图象，c 是a (t )的图象B ．曲线b 是s (t )的图象，a 是v (t )的图象，c 是a (t )的图象C ．曲线a 是s (t )的图象，c 是v (t )的图象，b 是a (t )的图象D ．曲线c 是s (t )的图象，b 是v (t )的图象，a 是a (t )的图象6．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C.ln22 D.－ln227．f (x )是定义在R 上的可导函数，且对任意x 满足xf ′(x )＋f (x )>0，则对任意的实数a ，b 有( )A ．a >b ⇔af (b )>bf (a )B ．a >b ⇔af (b )<bf (a )C ．a >b ⇔af (a )<bf (b )D ．a >b ⇔bf (b )<af (a )8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫94，＋∞B.⎝⎛⎦⎤0，94C.⎣⎡⎭⎫95，＋∞D.⎝⎛⎦⎤0，95 9．对函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2，下列说法正确的是( )A ．函数有极小值f (－2)＝－12，极大值f (1)＝1B ．函数有极大值f (－2)＝－12，极小值f (1)＝1C ．函数有极小值f (－2)＝－12，无极大值D ．函数有极大值f (1)＝1，无极小值10．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________．11． 已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f ⎝⎛⎭⎫4π3，f ⎝⎛⎭⎫－5π4的大小关系为____________(用“<”连接)．12．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)·e x，设t >－2，函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数时，t 的取值范围是________．13．已知函数f (x )的自变量取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[2，＋∞)，则m 的值为________．14．(10分)已知函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)． (1)求f (x )的最小值；(2)不等式f (x )>ax 的解集为P ，若M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2且M ∩P ≠∅，求实数a 的取值范围； (3)已知n ∈N ﹡，且S n ＝⎠⎛tn [f(x)＋x]d x(t 为常数，t ≥0)，是否存在等比数列{b n }，使得b 1＋b 2＋…＋b n ＝S n ？若存在，请求出数列{b n }的通项公式；若不存在，请说明理由．15．(13分) 设f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx.(1)如果g(x)＝f ′(x)－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m ＋n<10(m ，n ∈N ＋)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )难点突破16．(12分) 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．课时作业(十三)B【基础热身】1．A [解析] 函数在极小值点附近的图象应有先减后增的特点，因此应该在导函数的图象上找从x 轴下方变为x 轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数f (x )在开区间(a ，b )内只有1个极小值点，故选A.2．C [解析] ∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′<0，∴f (x )g (x )为减函数，又∵a <x <b ，∴f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )．3．D [解析] 选项A 表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B 表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．4．A [解析] ∵|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<1，即Ω函数是指对于区间(1,2)上，曲线上任意两点连线的斜率均在(－1,1)内，对于A ，f ′(x )＝－1x2的值域为⎝⎛⎭⎫－1，－14，对于曲线上任意两点的连线，一定存在曲线的切线与它平行，符合条件，故选A.【能力提升】5．D [解析] 由于v (t )＝s ′(t )，a (t )＝v ′(t )，注意到所给的三条曲线中，只有曲线a 上有部分点的纵坐标小于零，因此只有曲线a 才能作为a (t )的图象，曲线b 有升有降，因此其导函数图象有正有负，这与所给曲线a 的形状吻合，因此b 为v (t )的图象．6．A [解析] f ′(x )＝e x －a e －x ，这个函数是奇函数，因为函数f (x )在0处有定义，所以f ′(0)＝0，故只能是a ＝1.此时f ′(x )＝e x －e －x ，设切点的横坐标是x 0，则e x 0－e －x 0＝32，即2(e x 0)2－3e x 0－2＝0，即(e x 0－2)(2e x 0＋1)＝0，只能是e x 0＝2，解得x 0＝ln2.正确选项为A.7．D [解析] 构造函数g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0，故函数g (x )是R 上的单调递增函数，由增函数的定义，对任意实数a ，b 有a >b ⇔g (a )>g (b )，即a >b ⇔bf (b )<af (a )，选D.8．C [解析] 根据三次函数的特点，函数f (x )在(－1,0)上单调递减等价于函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 在区间(－1,0)小于或者等于零恒成立，即3－2a ＋b ≤0且b ≤0，把点(a ，b )看作点的坐标，则上述不等式表示的区域如图．根据a 2＋b 23－2a ＋b ＝0的距离的平方，即95. 9．A [解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2＋2′＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x <－2时f ′(x )<0，当－2<x <1时f ′(x )>0，当x >1时f ′(x )<0，故x ＝－2是函数的极小值点且f (－2)＝－12，x ＝1是函数的极大值点且f (1)＝1.10．3 [解析] f ′(x )＝3x 2－a 在[1，＋∞)上恒大于0，则f ′(1)＝3－a ≥0⇒a ≤3.11．f ⎝⎛⎭⎫4π3<f (－4)<f ⎝⎛⎭⎫－5π4 [解析] f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0， ∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤5π4，4π3上为减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫4π3<f (4)<f ⎝⎛⎭⎫5π4，又函数f (x )为偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫4π3<f (－4)<f ⎝⎛⎭⎫－5π4. 12．－2<t ≤0 [解析] 因为f ′(x )＝(x 2－3x ＋3)·e x ＋(2x －3)·e x ＝x (x －1)·e x ， 由f ′(x )>0⇒x >1或x <0，由f ′(x )<0⇒0<x <1，所以f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减， 要使f (x )在[－2，t ]上为单调函数，则－2<t ≤0.13．ln2 [解析] g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x ≥2时，函数g (x )为增函数，因此g (x )的值域为[2＋m －ln2，＋∞)，因此2＋m －ln2＝2，故m ＝ln2.14．[解答] (1)f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )＝0，得x ＝0，当x >0时，f ′(x )>0，当x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减， ∴f (x )min ＝f (0)＝1.(2)∵M ∩P ≠∅，∴f (x )>ax 在区间⎣⎡⎦⎤12，2有解， 由f (x )>ax ，得e x －x >ax ，即a <e xx－1在⎣⎡⎦⎤12，2上有解． 令g (x )＝e xx－1，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∵g ′(x )＝(x －1)e xx 2，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减，在[1,2]上递增．又g ⎝⎛⎭⎫12＝2e －1，g (2)＝e 22－1，且g (2)>g ⎝⎛⎭⎫12， ∴g (x )max ＝g (2)＝e 22－1，∴a <e22－1.(3)设存在等比数列{b n }，使b 1＋b 2＋…＋b n ＝S n ， ∵S n ＝⎠⎛tn [f(x)＋x]d x ＝e n －e t ，∴b 1＝e －e t ， n ≥2时b n ＝S n －S n －1＝(e －1)e n －1，当t ＝0时，b n ＝(e －1)e n －1，数列{b n }为等比数列，当t ≠0时，b 2b 1≠b 3b 2，则数列{b n }不是等比数列，∴当t ＝0时，存在满足条件的数列b n ＝(e －1)e n －1满足题意．15．[解答] (1)由题意得g(x)＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2， 已知g(x)在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2，(n －3)－(m －1)2＝－5，即m ＝3，n ＝2. 即得f(x)＝13x 3＋3x 2＋2x.(2)因为f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n ，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n>0，即m 2>n.不妨设两根为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数． 又m ＋n<10(m ，n ∈N ＋)，故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ， 当m ＝2时，只有n ＝3符合要求； 当m ＝3时，只有n ＝5符合要求；当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求． 【难点突破】16．[解答] (1)f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19， 所以，当a ＞－19时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)．又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)，所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.。
2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第一部分专题5函数的综合应用
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[典例2] (2012·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自 然数的底数，a∈R. (1)当a<0时，解不等式f(x)>0； (2)若f(x)在[－1,1]上是单调增函数，求a的取值范围； (3)当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k ＋1]上有解．
答案：[－1,1] 2．函数 f(x)＝x2－ax在[1，＋∞ )上的最小值是－4，则正实数 a
＝________. 解析：f′(x)＝2x＋xa2＞0，则 f(x)在[1，＋∞ )上单调递 增，f(x)min＝f(1)＝1－a＝－4，a＝5.
答案：5
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3．关于x的不等式x2＋9＋|x2－3x|≥kx在[1,5]上恒成立，则实 数k的范围为________． 解析： 两边同除以x，则k≤x＋9x＋|x－3|，x＋9x≥6，|x－ 3|≥0，当且仅当x＝3，两等式同时取得等号，所以x＝3 时，右边取最小值6.所以k≤6.
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解：(1)由 g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x.
由于 x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，
所以 ln x<x，x－ln x>0.
从而 a≤xx－2－ln2xx恒成立，a≤xx－2－ln2xxmin. 设 t(x)＝xx－2－ln2xx，x∈[1，e]．
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[典例1]
函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，对于任意的x∈[－2,2]总有f(x)≥0
2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(16)导数的应用-推荐下载
图 K16－4 选做题：
x＋1 16．(12 分)已知函数 f(x)＝lnx－1.
x＋1 (1)求函数的定义域，并证明 f(x)＝ln x－1在定义域上是奇函数；
m (2)若 x∈[2,6]时，f(x)>ln x－17－x恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)当 n∈N*时，试比较 f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)与 2n＋2n2 的大小关系．
x0∈[0，π]，所以 x0＝3，从而 y0＝ 2 .故选 B. 3．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正
确．
4．m<0 [解析] y′＝ex＋m，由条件知 ex＋m＝0 有实数解，∴m＝－ex<0.
5．D [解析] D 中两个函数图象有升有降，因此导函数图象应有正有负，而图中函数
1 3 3－π
2x＋ 6 ，则点 P 的坐标为( )
( ) ( ) ( ) ( ) π 1
π3
5π 1
2π 3
，
，
，
，
A. 6 2 B. 3 2 C. 6 2 D. 3 2
3．图 K16－1 都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号
是( )
图 K16－1 A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 4．若函数 y＝ex＋mx 有极值，则实数 m 的取值范围是________．
( ) π
1
1－cos2x sin2x
x ≠ ＋kπ，k ∈ N
2
，则 f′(x)＝cos2x－1＝ cos2x ＝cos2x≥0，因此 f(x)在(0，＋∞)上
2013高考数学(人教A文)多考点综合练：统计、统计案例与概率
多考点综合练(七)测试内容：统计、统计案例与概率(时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)则样本数据落在(10,40]上的频率为 ( ) A ．0.13 B ．0.39 C ．0.52 D ．0.64解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52. 答案：C2．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是 ( ) A ．50 B ．47 C ．48 D ．52解析：依题意得，前3个小组的频率总和是1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75，则第2小组的频率是0.75×21＋2＋3＝0.25，故报考飞行员的学生人数是12÷0.25＝48.答案：C3．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5 727 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 636 9 647 1 417 4 698 0 371 6 233 2 616 8 045 6 011 3 6619 597 7 424 6 710 4 281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( ) A ．0.85 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75解析：由随机数表可以看出，20次射击中至少击中3次的有15次，故所求概率为P ＝1520＝0.75. 答案：D4．(2012年山东)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 ( ) A ．众数 B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A 样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D. 答案：D5．(2012年哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 ( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：设等差数列{an}的公差为d(d ≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d －d2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，样本的平均数为4＋22×510＝13，中位数为12＋142＝13，故选B.答案：B6．(2012年辽宁大连四所重点中学联考)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则点(a ^，b ^)在直线x ＋45y －10＝0的 ( ) A ．左上方 B ．左下方 C ．右上方 D ．右下方解析：依题意得，x ＝18×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，y ＝18×(62＋68＋75＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.因为样本中心点(x ，y )在回归直线上，所以85＝45b ^＋a ^，所以a ＋45b ＝85>10，因此点(a ^，b ^)必位于直线x ＋45y －10＝0的右上方，选C.答案：C7．(2012年宝鸡模拟)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的人数是 ( )A ．32B ．27C ．24D ．33解析：位于(80,100)之间人数所占的比例为 5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120，∴共有人数1120×60＝33人．答案：D8．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14B.13C.23D.12解析：由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处． 记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P(D)＝S △PBC S △ABC ＝12.答案：D9．(2012年豫南九校联考)从x2m －y2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( ) A.12 B.47 C.23D.34解析：当m ＝－1，n ＝－1时，表示焦点在y 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝3，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝－1时，表示椭圆； 当m ＝3，n ＝－1时，表示椭圆．∴方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为P ＝47.答案：B10．(2012年汉中模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是 ( ) A.16 B.13 C.12D.34解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>bsinA ，b>a因为A ＝30°，所以⎩⎨⎧b<2ab>a，满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A 11．(2012年石家庄名校联考)下列命题：①若函数f(x)＝x2－2x ＋3，x ∈[－2,0]的最小值为2；②线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^对应的直线至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)中的一个点；③命题p ：∃x ∈R ，使得x2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x2＋x ＋1≥0；④若x1，x2，…，x10的平均数为a ，方差为b ，则x1＋5，x2＋5，…，x10＋5的平均数为a ＋5，方差为b ＋25.其中，错误命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：因为f(x)＝(x －1)2＋2，此函数在[－2,0]上为减函数，所以x ＝0时，f(x)最小为3，①错误；线性回归方程对应的直线不一定经过样本点，所以②错误；特称命题的否定为全称命题，③正确；若x1，x2，…，x10的平均数为a ，方差为b ，则x1＋5，x2＋5，…，x10＋5的平均数为a ＋5，方差为b ，所以④错误，综上所述，错误命题为①、②、④，故选D. 答案：D12．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；④一组数据的方差一定是正数；⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆．则这5种说法中错误的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：一组数中可以有两个众数，故①错；根据方差的计算可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2012年福建)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．解析：男女运动员人数比例为： 5698－56＝43，分层抽样中男女人数比例不变，则女运动员人数为28×37＝12.故应抽取女运动员人数为12. 答案：1214．(2013届宁夏银川月考)已知圆C ：x2＋y2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析：(1)圆心坐标为(0,0)，圆心到直线4x ＋3y ＝25的距离d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5.(2)如图l ′∥l ，且O 到l ′的距离为3，sin ∠ODE ＝323＝32，所以∠ODE ＝60°，从而∠BOD＝60°，点A 应在劣弧上，所以满足条件的概率为16.答案：5 1615．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是____． 解析：∵中位数为10.5， ∴a ＋b2＝10.5，a ＋b ＝21，∵x ＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010＝10， ∴s2＝110[(2－10)2＋(3－10)2＋(3－10)2＋(7－10)2＋(a －10)2＋(b －10)2＋(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]． 令y ＝(a －10)2＋(b －10)2 ＝2a2－42a ＋221 ＝2(a －21a )2＋12.当a ＝10.5时，y 取最小值，方差s2也取最小值．∴a ＝10.5，b ＝10.5. 答案：10.5、10.516．(2012年银川质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机取出n 名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁，根据调查结果得出司机的年龄情况的部分频率分布直方图如图所示，则由该图可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的________．解析：由频率分布直方图可知年龄在[25,30)岁的频率是1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，故可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的20%.答案：20%三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝3 20，P(A2)＝30100＝3 10，P(A3)＝25100＝1 4.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.18(1)请画出表中数据的散点图； (2)求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.解：(1)由图中所给数据，画散点图如图所示． (2)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5， ∑i ＝15x2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90， ∑i ＝15xiyi ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，∴b ^＝∑i ＝15xiyi －5x y∑i ＝15x2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08， ∴线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.19．(2012年江西)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种； y 轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种； z 轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种． 所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种． (1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B1C1，A2B2C2，共2种．因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P2＝1220＝35.20．(2012年山东)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D)，(A ，E)，(B ，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D)，(A ，E)，(B ，D)，(A ，F)，(B ，F)，(C ，F)，(D ，F)，(E ，F)，共8种． 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.21．(2012年石家庄质检)某工科院校对A ，B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：(1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？ (2)从专业B 的女生中随机抽取2名，代表该专业参加文艺汇演，求女生甲和女生乙至少一人参加的概率．注：K2＝n a d －bc 2a＋b c ＋d a ＋c b ＋d2.70解：(1)K2＝100×12×46－4×38216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．(2)设4名女生分别为甲、乙、丙、丁，从4名女生中选取2名的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，女生甲和女生乙至少一人参加的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共5个，所以女生甲和女生乙至少一人参加的概率P ＝56.22．(2012年北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，)：(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a>0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．(注：s2＝1n [(x1－x )2＋(x2－x )2＋…＋(xn －x )2]，其中x 为数据x1，x2，…，xn 的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.。
高考数学导数的综合应用问题解答题专题练习
高考数学导数的综合应用问题解答题专题练习一、归类解析题型一：证明不等式【解题指导】(1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1)<f (x 2)＋g (x 2)对x 1<x 2恒成立，即等价于函数h (x )＝f (x )＋g (x )为增函数．【例】 已知函数f (x )＝1－x －1e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1；(2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 【变式训练】已知函数f (x )＝x ln x －e x ＋1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立．题型二：不等式恒成立或有解问题【解题指导】利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．【例 】已知函数f (x )＝1＋ln x x. (1)若函数f (x )在区间)21,( a a 上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围． 【变式训练】已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 题型三：求函数零点个数【解题指导】(1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．【例】已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)．【变式训练】设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3的零点的个数． 题型四：根据函数零点情况求参数范围【解题指导】函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想．【例】 已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1－f x 2x 1－x 2<a －2. 【变式训练】【例】已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3(a 为实数)，若方程g (x )＝2f (x )在区间],1[e e上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 二、专题突破训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，g (x )＝x ·e x －1，求证f (x )≤g (x )．2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋x ln x 的图象在(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)设g (x )＝x 2－x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )－g (x )对任意的x >2恒成立，求k 的最大值．3．已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln x x. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围．4．设函数f (x )＝ax 2－x ln x －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．5．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．设g (x )＝x 2－2bx ＋4，当a ＝14时，若∀x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．6．已知函数f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2e x ，若存在实数m ，对任意的x ∈[1，k ](k >1)，都有f (x ＋m )≤2e x ，求整数k 的最小值．7．已知函数f (x )＝a ＋x ·ln x (a ∈R )，试求f (x )的零点个数．8．已知f (x )＝1x ＋e x e －3，F (x )＝ln x ＋e x e－3x ＋2. (1)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F (x )在(0，＋∞)上零点的个数．9．已知函数f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x ，且方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．11．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点．(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.12．已知函数f (x )＝(3－a )x －2ln x ＋a －3在)41,0(上无零点，求实数a 的取值范围．。
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多考点综合练(二) 测试内容：函数 导数及应用 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域是 ( ) A．R B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：由3x－1>0得x>0，故定义域是(0，＋∞)，选C. 答案：C 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝ ( )
A．log2x B.12x
C．log12x D．2x－2 解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1， 所以a＝2，故f(x)＝log2x. 答案：A 3．(2012年北京市丰台区高三第一学期期末)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测年内增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1( ) A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变 解析：由于－1答案：B
4．若函数f(x)满足f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为 ( ) A．0 B．2 C．1 D．－1
解析：∵f(x)＝13x3－f′(1)x2－x， ∴f′(x)＝x2－2f′(1)x－1. 令x＝1得f′(1)＝1－2f′(1)－1， 所以f′(1)＝0，故选A. 答案：A 5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为 ( ) A．3 B．0 C．2 D．－1 解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1， 又其定义域需关于原点对称， 即4a＋2＋a2＋1＝0必有a＝－1. 这时f(x)＝－x2＋3， 其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1. 故选D. 答案：D 6．(2012年河北石家庄质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为指数型函数y＝kax，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃下的保鲜时间是 ( ) A．49 h B．56 h C．64 h D．76 h
解析：由题意知，指数型函数为y＝kax，于是 100＝ka080＝ka5，
所以k＝100，a5＝45， 则当x＝10时，y＝100×a10＝100×(45)2＝64.故选C. 答案：C 7．(2012年山西四校联考)已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0足 ( ) A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0 C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不能确定
解析：∵0log12a.
即－log12x0<－log12a，∴2x0－log12x0<2a－log12a 又a是f(x)＝2x－log12x的零点， ∴2a－log12a＝0，∴f(x0)＝2x0－log12x0<0，选C. 答案：C 8．(2012年重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的 ( ) A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 解析：∵x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数， ∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数． 当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2， ∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立． 反之：x∈[3,4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1,0]，∵T＝2， ∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数． ∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性成立，故选D. 答案：D 9．(2012年福州市高三期末质量检查)已知g(x)为三次函数f(x)＝a3x3＋a2x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是 ( )
解析：由已知得g(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)， ∴g(x)的图象与x轴的交点坐标为(－2,0)，(1,0)，且－2和1是函数f(x)的极值点，故选D. 答案：D
10．(2012年正定中学第一次月考)已知函数 f(x)＝lna＋lnxx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 ( ) A．0C．a≤e D．a≥e
解析：f ′(x)＝1x·x－lna＋lnxx2＝1－lna＋lnxx2，因为 f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e. 答案：D 11．(2013届河北省重点中学联合考试)定义在(1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－(x－3)2，若函数f(x)的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于 ( ) A．1 B．2 C．2或4 D．1或2
解析：由已知可得，当1≤x≤2时，f(x)＝1cf(2x)＝1c[1－(2x－3)2]； 当2≤x≤4时，f(x)＝1－(x－3)2， 当4≤x≤8时，f(x)＝cf(x2)＝c[1－(x2－3)2]
由题意可知三点(32，1c)，(3,1)，(6，c)共线，则1－1c32＝c－13，解得c＝1或c＝2. 答案：D 12．(2012年孝感统考)已知f(x)＝aln x＋12x2(a>0)，若对任意两个不等的正实数x1、x2都有fx1－fx2x1－x2>2恒成立，则a的取值范围是 ( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(0,1]
解析：由于fx1－fx2x1－x2＝k>2恒成立，所以f′(x)≥2恒成立．又f′(x)＝ax＋x，故ax＋x≥2，即a≥－x2＋2x，而g(x)＝－x2＋2x在(0，＋∞)上的最大值为1，所以a≥1.故选A. 答案：A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13． f(x)＝ (n∈Z)是偶函数，且y＝ f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________. 解析：因为 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n2－3n<0，即0所以n2－3n是偶数，只有n＝1或2满足条件． 答案：1或2
14．(2012年河北唐山模拟)形如y＝b|x|－a(a>0，b>0)的函数，因其图象类似于汉字中的“冏”字，故我们把它称为“冏函数”．若当a＝1，b＝1时的“冏函数”与函数y＝lg |x|图象的交点个数为n，则n＝__________.
解析：由题易知，当a＝1，b＝1时，y＝1|x|－1＝ 1x－1x≥0且x≠1，－1x＋1x<0且x≠－1，在同一坐标系中画出“冏函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
答案：4 15．(2013届河北普通高中质检)已知函数f(x＋12)为奇函数，设g(x)＝f(x)＋1，则g(12 013)＋
g(22 013)＋g(32 013)＋g(42 013)＋…＋g(2 0122 013)＝________. 解析：由题意f(－x＋12)＝－f(x＋12)，即f(－x＋12)＋f(x＋12)＝0，故可得结论： 若m＋n＝1，则f(m)＋f(n)＝0，g(m)＋g(n)＝2.∴原式＝1 006×2＝2 012. 答案：2 012
16．(2012年大同市高三学情调研)给出定义：若m－12离x最近的整数，记作{x}＝m.在此基础上给出下列关系函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：①函 数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，12]；②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝k2(k∈Z)对称；③函数y＝f(x)是周期函数，且最小正周期为1；④函数y＝f(x)在[－12，12]上是增函数．其中正确的命题是________． 解析：由条件知－12答案：①②③ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．已知f(x－3)＝logax6－x(a>0，且a≠1)，试判断f(x)的奇偶性．
解：∵f(x－3)＝logax6－x，∴f(x)＝loga3＋x3－x. 3＋x3－x>0⇒－3
∴定义域关于原点对称． 又f(－x)＋f(x)＝loga3－x3＋x·3＋x3－x＝loga1＝0，∴f(x)为奇函数．
18．已知函数f(x)＝13x3＋12ax2－x在点A(1，f(1))处的切线为l，若此切线在点A处穿过y＝f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y＝f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式． 解：由已知得f′(x)＝x2＋ax－1， 由f′(1)＝a知f(x)在点A(1，f(1))处的切线l的方程是 y－f(1)＝f′(1)(x－1)，
即y＝ax－23－12a. 因为切线l在点A处穿过y＝f(x)的图象， 所以g(x)＝f(x)－(ax－23－12a)在x＝1两边附近的函数值异号， 则x＝1不是g(x)的极值点． 而g(x)＝13x3＋12ax2－(1＋a)x＋23＋12a， 则g′(x)＝x2＋ax－a－1＝(x－1)(x＋1＋a)． 令g′(x)＝0得x＝1或x＝－1－a， 若1≠－1－a，则x＝1和x＝－1－a都是g(x)的极值点， 所以1＝－1－a，即a＝－2，
故f(x)＝13x3－x2－x. 19．已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；
(2)若12