2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：3.2 平面与圆柱面的截线
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F2 叫椭圆的焦点； F1F2 叫椭圆 的焦距；AB叫椭圆的 长轴 ；CD叫椭圆 的 短轴 ．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 a2－b2 . 距2c＝
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、 F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2. 设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
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2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交； ，l与BA的延长线、AC都相交．
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(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)， 求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛 物线．(如图)
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2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
2016新课标创新人教A版数学选修4-1 3.2~3.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线
[核心必知]1．平面与圆柱面的截线(1)椭圆组成元素：F1，F2叫椭圆的焦点；F1F2叫椭圆的焦距；AB叫椭圆的长轴；CD叫椭圆的短轴．如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.①G 2F 1＋G 2F 2＝AD ；②G 1G 2＝AD ；③G 2F 1G 2E＝cos φ＝sin θ. (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形ABCD 看成是圆柱面的轴截面，将EB 、DF拓广为两个平面α、β，EF 拓广为平面γ，则平面γ与圆柱面的截线是椭圆．即得定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．平面与圆锥面的截线(1)如图，AD 是等腰三角形底边BC 上的高，∠BAD ＝α，直线l 与AD 相交于点P ，且与AD 的夹角为β⎝⎛⎭⎫0<β<π2，则：①β>α，l 与AB (或AB 的延长线)、AC 相交；②β＝α，l 与AB 不相交；③β<α，l 与BA 的延长线、AC 都相交．(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．[问题思考]用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么形状？提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线的形状是圆或椭圆．已知圆柱底面半径为3，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．[精讲详析]本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．过G1作G1H⊥BC于H.∵圆柱底面半径为3，∴AB＝2 3.∵四边形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2 3.在Rt△G1G2H中，G1G2＝G1Hsin∠G1G2H＝2332＝4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径23，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.——————————————————借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键．1．平面内两个定点的距离为8，动点M 到两个定点的距离的和为10，求动点M 的轨迹方程．解：以两点的连线段所在的直线为x 轴，线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵2a ＝10，2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4.则b 2＝9.故所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．[精讲详析] 本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2.在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．——————————————————由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与上节中定理1的证明相同的方法，即Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决.2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛物线．证明：如图，设平面π与圆锥内切球相切于点F1，球与圆锥的交线为圆S，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线m.在平面π与圆锥的截线上任取一点P，连接PF1.过点P 作P A⊥m，交m于点A，过点P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB⊥m，∴∠P AB 是π与π′所成二面角的平面角．连接点P与圆锥的顶点，与S相交于点Q1，连接BQ1，则∠BPQ 1＝α，∠APB ＝β.在Rt △APB 中，PB ＝P A cos β.在Rt △PBQ 1中，PB ＝PQ 1cos α.∴PQ 1P A ＝cos βcos α.又∵PQ 1＝PF 1，α＝β，∴PF 1P A＝1， 即PF 1＝P A ，动点P 到定点F 1的距离等于它到定直线m 的距离，故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．本课时考点在高考中很少考查．本考题以选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状，是高考命题的一个新动向．[考题印证]已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )A ．22B ．2C ．4D ．4 2[命题立意] 本题主要考查平面与圆柱面的截线问题，同时考查椭圆的相关性质．[解析]选C由题意知，椭圆的长半轴长a＝2sin 45°＝22，短半轴长b＝2，则半焦距c＝a2－b2＝8－4＝2.所以焦距2c＝4.一、选择题1．下列说法不．正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：选D显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．2．过球面上一点可以作球的()A．一条切线和一个切平面B．两条切线和一个切平面C．无数条切线和一个切平面D．无数条切线和无数个切平面解析：选C过球面上一点可以作球的无数条切线，并且这些切线在同一个平面内，过球面上一点可以作一个球的切平面．3．球的半径为3，球面外一点到球心的距离为6，则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．不确定解析：选C由平面内圆的切线垂直于过切点的半径，我们推广到空间中仍有球的切线垂直于过切点的球的半径，因为切线与过切点的半径仍相交，故可以转化为平面图形，因而可以利用平面图形的性质来解决．4．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两条相交直线解析：选C如图可知应为抛物线．二、填空题5．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，则截面与圆柱面母线的夹角的余弦值为________．解析：因为两焦球的球心距即为椭圆的长轴长，所以2a＝10，即a＝5.又椭圆短轴长2b＝6，即b＝3，∴c＝4.故e＝cos φ＝ca＝45.答案：456．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面的半径为________．解析：由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝22， 得b ＝c ＝ea ＝22×3＝322，即为圆柱面的半径． 答案：3227．设圆锥面V 是由直线l ′绕直线l 旋转而得，l ′与l 交点为V ，l ′与l 的夹角为α(0°<α<90°)，不经过圆锥顶点V 的平面π与圆锥面V 相交，设轴l 与平面π所成的角为β，则：当________时，平面π与圆锥面的交线为圆；当________时，平面π与圆锥面的交线为椭圆；当________时，平面π与圆锥面的交线为双曲线；当________时，平面π与圆锥面的交线为抛物线．答案：β＝90° α<β<90° β<α β＝α8．半径分别为1和2的两个球的球心距为12，则这两个球的外公切线的长为______，内公切线的长为______．解析：设两个球的球心为O1，O2，外公切线的切点为A、B，则有|AB|＝O1O22－（R1－R2）2＝122－（2－1）2＝143，设内公切线的切点分别为C、D，则|CD|＝O1O22－（R1＋R2）2＝122－（2＋1）2＝144－9＝135＝315.答案：143315三、解答题9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，求椭圆的离心率．解：如图所示为截面的轴面，则AB＝8，SB＝6，SA＝10，则∠SBA ＝π2，cos ∠ASB ＝35， cos ∠BSP ＝cos 12∠ASB ＝1＋cos ∠ASB 2＝255. ∴cos ∠SPB ＝sin ∠BSP ＝55，∴e ＝cos ∠SPB cos ∠BSP ＝12. 10．如图，上面一个Dandelin 球与圆锥面的交线为圆S ，记圆S 所在的平面为π′，设π与π′的交线为m .在椭圆上任取一点P ，连接PF 1，在π中过P 作m 的垂线，垂足为A ，过P 作π′的垂线，垂足为B ，连接AB 是P A 在平面π′上的射影．若Rt △ABP 中，∠APB ＝β.求平面π与π′所成二面角的大小．解：由已知PB ⊥π′，平面π′∩平面π＝m .∴m ⊥PB .又P A ⊥m ，∴m ⊥面P AB ，∴∠P AB 是π与π′所成二面角的平面角．又∠APB ＝β，∴∠P AB ＝π2－β.11．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上移动，设线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＝x 1＋14，BF ＝x 2＋14，若AB 过F ，则AF ＋BF ＝AB ， 此时点M 到y 轴距离为32－14＝54； 若AB 不过F ，则AF ＋BF >AB ，即x 1＋14＋x 2＋14>3，x 1＋x 2>52， 从而M 的横坐标x 1＋x 22>54， 显然弦AB 过焦点F 时，M 到y 轴距离最短．设过F 的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，则k 2x 2－⎝⎛⎭⎫k 22＋1x ＋k 216＝0. ∵x M ＝54，∴k ＝±22，即直线存在． ∴点M 到y 轴最短距离为54.。
人教A版高中数学选修4-1第三讲二平面与圆柱面的截线上课课件
1、定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
焦点 F1、F2
B1B2是F1F2的中垂线
长轴
2a
短轴 焦距
2b
2c a2 b2
课堂练习
1、如下图，指出圆柱被平面所截得图形是什么？ 解析
截面是一个椭圆
又∵O1A＝O2C， ∴ EA＝FC
于是可证得△FCG2≌△EAG1 ∴G1A＝G2C ∴G1G2＝G1D＋G1A＝AD 在Rt△G2EB中 cos G2B G2F1
G2E G2E
∴ G2F1=G2Ecos
又 ∵ =90- ∴ G2F1=G2Ecos=G2Esin 由此得到结论:
(1)G2F1+G2F2=AD (2)G1G2=AD
教学目标
知识与能力
探究定理1的证明并掌握其定理.
过程与方法
通过从平面图形向空间图形的过渡，探究定 理1的证明，提高空间的想象能力，培养学生 的发散思维和严谨的逻辑思维.
情感态度与价值观
提高学生学习数学的积极性，培养他们勤于思 考，敢于探索的思维习惯，使学生体会到数学的 逻辑严谨的特征.
教学重难点
重点
掌握并证明定理1.
难点
通过平行图形向空间图形的过渡，能 掌握其定理的证明.
探究
如图,AB、CD是两个等圆的 直径,AB//CD,AD、 BC与两圆相切.作两圆的公 切线EF,切点分别为F1,F2,交 BA、DC的延长线于E、F， 交AD于G1,交BC于G2，设 EF与BC、CD的交角分别为 、
PF1+PF2=PK1+PK2=AD
知识要 点
定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
椭圆中的参数定义：
焦点 F1、F2 B1B2是F1F2的中垂线
人教A版高中数学选修4-1-3.2 平面与圆柱面的截线-课件(共17张PPT)
图3 8
也是确定的。这样，我们
就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系。
我们还是从特殊情况
开始探究这种关系.由
前面对图 3 5 的探究 E l1 A
Q
可知，对于椭圆的长轴
G1
O1 K1
B
端点G 2，有
F1
G 2F1 G2E
cos
定值。
当点P在椭圆的任意位
置时，过P作l1的垂线，垂
P
下 面 我 们 探 究 椭 圆 的 性质 。
如图 3 8，设球O1、O2
与圆柱的交线圆所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的平面分别为、，椭
G1 F1
圆所在的斜截面与它 们的交线分别为l1、l2， 、与 所成的二面角
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
为，母线与平面的交
K2
角为。由于、、 都 是确定的，因此交线l1、l2
平面与圆柱面的截线
一 、引入
给定一个平面,从一点A作平面 的垂 线，垂足为点A’。称点A'为点A在平面 上的正射影。一个图形上各点在平面
上的正射影所组成的图形，称为这个图
形在平面上的正射影 。
L
A
设直线l与平面 相交图 3 1，
称直线l的方向为投影方向。过
A’
点A作平行于l的直线( 称为投
影线 )必交于一点A',称A’为沿 l的方向在平面上的平行射影。
如图 3 4。
图3 4
二、新知探究
探究 如图 3 5，AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ，
A E G1
O1
B
F1
推荐-高中数学人教A版选修4-1课件3.2 平面与圆柱面的截线
3 2
,
故选B.
错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法,
在利用公式e=cos φ时,φ必须是圆柱的母线与平面的夹角.
题型一 题型二 题型三
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
正解:A
解析:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型二
探讨椭圆的性质
【例2】 如图,已知球O1,O2分别切平面β于点F1,F2,P1P2为☉O1的 一条直径,点Q1,Q2分别为点P1,P2在平面β内的平行射 影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互相垂直平分.
D典例透析 IANLI TOUXI
反思探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质时,需考查Dandelin双 球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似 与全等、解直角三角形及平行射影的性质.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c.
故
e=
������ ������
=
������ =
������2+������2
������ 2������
=
22.
答案:B
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
高中数学人教A版选修4-1课件：3-2平面与圆柱面的截线
3.椭圆 (1)椭圆中的有关概念 如图,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫做 椭圆的长轴,B1B2叫做椭圆的短轴,F1F2叫做椭圆的焦距.如果长轴 长为2a,短轴长为2b,那么焦距2c=__________. 2 ������2 -������2
课前篇 自主预习
(2)椭圆的性质 ①椭圆的准线 椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值 cos φ,我们把直线l1叫做椭圆的一条准线. 椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定 值cos φ,所以l2是椭圆的另一条准线. ②椭圆的离心率 记e=cos φ,我们把e叫做椭圆的离心率(其中φ是截面β与圆柱母线 的交角).
课前篇 自主预习
【做一做 2】 已知一个平面截圆柱所得的截口是椭圆,其长轴长为 4.若圆柱底面半径为 3,则该椭圆的离心率等于 .
解析:依题意 2a=4,b= 3, 所以 c= ������2 -������2 =1,故 e=2.
答案:2
1
1
课前篇 自主预习
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)圆柱形物体的截口是椭圆. ( ) (2)椭圆的离心率越大,椭圆就越扁. ( ) (3)任何椭圆都有两条准线. ( ) (4)椭圆上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离之比为定值. ( ) (5)当圆柱形物体的斜截口是椭圆时,该椭圆的短轴长等于圆柱底 面圆的直径. ( ) 答案:(1)× (2) (3) (4)× (5)
1 2
2 3 . 3
BG2=O1Btan∠G2O1B=2tan 60° =2 3.
∴G2F1+G2F2=BC=G2C+BG2=
人A版数学选修4-1讲义：第3讲 1 平行射影 2 平面与圆柱面的截线 3 平面与圆锥面的截线
一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线1．了解平行射影的含义，体会平行射影．2．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)3．会用Dandelin双球证明定理1、定理2.(难点)[基础·初探]教材整理1射影阅读教材P43～P44，完成下列问题．1．正射影给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交(如图3-1-1)，称直线l的方向为投影方向．过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图3-1-1下列说法正确的是()A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一个图形的平行射影和正射影相同D．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，A不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故C不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，D不正确；只有B 正确．【答案】 B教材整理2两个定理阅读教材P44～P51，完成下列问题．1．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．2．两个定理定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交。
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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在 Rt△PBQ1 中，PB＝PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ ＝ . PA cos α PF1 又∵PQ1＝PF1，α＝β，∴ ＝1， PA 即 PF1＝PA， 动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距 离，故当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
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本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以
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[研一题]
[例1] 已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹
角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以 G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与
圆柱截口椭圆的方程．
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分析：本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根
据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．
解：过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3， ∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. G1H 2 3 在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝ ＝ ＝4. sin∠G1G2H 3 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状，是
高考模拟命题的一个新动向．
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[考题印证]
(2012· 梅州模拟)已知半径为 2 的圆柱面， 一平面与圆 柱面的轴线成 45° 角，则截线椭圆的焦距为 A．2 2 C．4 B．2 D．4 2 ( )
2016-2017学年高中数学选修4-1课件：第三讲3.2平面与圆柱面的截线
[知识提炼·梳理] 1．定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆． 温馨提示 (1)内切球：圆柱面与球面相切，该球叫 做圆柱的内切球．(2)焦球：设平面 m 截割圆柱面，与平 面 m 相切的圆柱面的内切球叫截割平面 m 的焦球．
第四页，编辑于星期五：十七点 三十分。
A.2 3 3
B.4 3 3
C.43
D.83
答案：B
第二十五页，编辑于星期五：十七点 三十分。
1．本节首先在平面内研究两个等圆的内公切线的性 质和切线长定理，并通过解三角形及三角形相似性推得 相关性质．把其性质和切线定理推广到空间之中去，通 过切线长定理的空间推广，从而推出定理 1.
2．利用平面内两圆的性质及椭圆的定义可以证明定 理 1，并确定该椭圆的焦点、长轴、短轴、焦距、准线和 离心率．
解析：不妨设点 A 在第一象限(如图)， 因为 AF2⊥x 轴，
第十三页，编辑于星期五：十七点 三十分。
所以 A(c，b2)(其中 c2＝1－b2，0<b<1，c>0)． 又因为|AF1|＝3|F1B|，
→→ 所以由AF1＝3F1B得 B－53c，－b32， 代入 x2＋by22＝1 得259c2＋9bb42＝1，
第十八页，编辑于星期五：十七点 三十分。
[变式训练] 已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆
柱母线的夹角为 30°，则它们截口椭圆的焦距是( )
A．2 3r
B．4 3r
C. 3r
D．3r
答案：A
第十九页，编辑于星期五：十七点 三十分。
类型 2 椭圆性质的应用 [典例 2] 如图所示，已知球 O1、O2 分 别切平面 β 于点 F1、F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b， G1G2 与 Q1Q2 与垂直平分， 求证：F1F2＝2 a2－b2. 证明：连接 AB，作 G1H⊥BG2，H 为垂足，则四边形 ABHG1 是矩形．
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二 平面与圆柱面的截线 题型一 题型二 题型三
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二 平面与圆柱面的截线
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
证明:如图,过点G1作G1H⊥BG2,H为垂足,
则四边形ABHG1是矩形.∴G1H=AB. ∵点Q1,Q2分别是点P1,P2的平行射影,∴P1Q1P2Q2. ∴四边形P1Q1Q2P2是平行四边形. ∴Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径. ∴G1H=AB=Q1Q2=2b.
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二 平面与圆柱面的截线
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D典例透析 IANLI TOUXI
Dandelin双球探求椭圆性质的过程 剖析:通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形,类比
为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形,从而得 到定理1及有关结论,因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内 公切的情形要注意研究,这有助于理解椭圆和下一节的知识.
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D典例透析 IANБайду номын сангаасI TOUXI
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面
所截,截口是一个椭圆 ,该 椭 圆 的长轴 长 ,短轴长 ,离心率为 .
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D典例透析 IANLI TOUXI
【例2】 如图,已知球O1,O2分别切平面β于点F1,F2,P1P2为 ☉O1 的一条直径,点Q1,Q2分别为 点P1,P2在平面β内的平行射影 ,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互相垂直平分.
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D典例透析 IANLI TOUXI
【例1】 已知平面α与一圆柱的母线成60°角,那么该平面与圆
柱截口图形的离心率是( )
答案:D 反思圆柱形物体的斜截口是椭圆,因此,椭圆的度量性质和底面半 径、截面与母线的夹角密切相关.
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二 平面与圆柱面的截线
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反思探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质时,需考查Dandelin双 球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与 全等、解直角三角形及平行射影的性质.
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答案:B
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易错点:概念不清而致错 【例3】 如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为 θ(0°<θ<90°)的平面所截,截面是一个椭圆 .当θ=30°时 ,这 个椭圆 的
离心率为( )
错解:由题易知,平面与圆柱的截口为椭圆,所以离心率
错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法, 在利用公式e=cos φ时,φ必须是圆柱的母线与平面的夹角.
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二 平面与圆柱面的截线 题型一 题型二 题型三
正解:A
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题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 设 平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°),现 放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切,若已知Dandelin双 球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则 截线椭 圆
的离心率为( )
解析:Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点,圆柱的底 面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c.
二 平面与圆柱面的截线
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二 平面与圆柱面的截线
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D典例透析 IANLI TOUXI
1.通过圆柱形水杯中水面的倾斜,感受平面截圆柱的形式,并能证 明定理1.
2.通过Dandelin双球探求椭圆的性质,体会这种证明问题的方法.
又由切线长定理,知G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,
∴G2F1-G2F2=G2B-G1A. 又G1A=BH,∴G2F1-G2F2=G2B-BH.∴F1F2=G2H.
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