2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练

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专题10 解三角形(正弦定理与余弦定理)(理科)解析版

绝密★启用前|满分数学命制中心专题10 解三角形（正弦定理与余弦定理）

一、选择题（每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋

c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝3-14，则角C=（） A．C＝15°或C＝45° B．C＝15°或C＝30° C．C＝60°或C＝45° D．C＝30°或C＝60° 【答案】A 【解析】因为()()abcabcac，所以222acbac．

由余弦定理得，2221cos22acbBac，因此120B，所以60AC，所以cos()coscossinsinACACAC coscossinsin2sinsinACACAC cos()2sinsinACAC

13132242，故30AC或030AC，因此，15C或45C，故选A。

2．（2020届百校联考高考考前冲刺）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现

代式子表示即为：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则ABC的面积

2222

21()42abcSab









.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且2222abc，则

ABC的面积为（）

A．2 B．22 C．6 D．23 【答案】A 【解析】由cos3cos0aBbcA得sincoscossin3sincos0ABABCA，即sin3sincos0ABCA，即sin13cos0CA，因为sin0C，所以1cos3A，由余弦定理22222cos23abcbcAbc，所以3bc，由ABC的面积公式得222222211()312424cbaSbc，故选A。 3．（2018•新课标Ⅲ，理9文11）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为 2224abc

【精编版】2020年高考数学(理)重难点专练02 三角函数与解三角形(解析版)

重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2019·吉林高考模拟（理））已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B 【名师点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.2．（2020·云南高三月考（理））ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于（）A B ．C D 【答案】A 【解析】【分析】先通过已知求出sin ,cos ,cos B B C ，进而根据sin sin()A B C =+求出sin A ，再利用正弦定理求出b ，则利用面积公式可求出ABC ∆的面积．【详解】解：120B =︒Q ，1sin 22B B ∴==-，又sin 7C =，C 为锐角，cos C ∴=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+12⎛⎫=-=⎪⎝⎭由正弦定理得sin sin b cB C=，sins in 27c b B C ∴=⋅==11sin 222142ABC S bc A ∴==⨯=V ，故选：A ．【名师点睛】本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．3．（2019·山东高考模拟（理））函数sin 22y x x =+的图象可由2cos 2y x =的图象如何变换得到( ) A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】B 【解析】【分析】由题意化简得sin 222cos[2()]12y x x x π=+=-，然后再把函数2cos 2y x =的图象经过平移后可得到所求答案．【详解】由题意得sin 222sin(2)2cos[(2)]2cos(2)3236y x x x x x ππππ==+=-+=-+2cos(2)2cos[2()]612x x ππ=-=-，所以将函数2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位可得到函数2cos[2()]12y x π=-，即函数sin 22y x x =+的图象．故选B ．【名师点睛】在进行三角函数图象的变换时要注意以下几点：①变换的方向，即由谁变换到谁；②变换前后三角函数名是否相同；③变换量的大小．特别注意在横方向上的变换只是对变量x 而言的，当x 的系数不是1时要转化为系数为1的情况求解．4．（2019·辽宁高考模拟（理））已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．89-B ．89C ．79D ．79-【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【名师点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.5．（2019·辽宁高三月考（理））已知ABC V 的面积为1,cos23A AB ==,则BC = （）A BC D 【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及平方关系求得cos ,sin A A ，由面积公式求出6AC =，再由余弦定理求解即可【详解】因为21coscos 2cos 1223A A A =∴=-=-,sin A ABC ==Q V 的面积为1sin 2AB AC A =g g 又1AB =,所以6AC =,由余弦定理,得,2222cos 41BC AB AC AB AC A =+-=g g ,BC ∴=故选：C 【名师点睛】本题考查正余弦定理，考查面积公式，意在考查计算能力，是基础题. 二、填空题6．（2019·江西新余一中高考模拟（理））已知平面四边形ABCD 中，23ABC π∠=，AC =23AB BC =，2AD BD =，BCD ∆的面积为BD =______.【答案】【解析】【分析】由题意，根据余弦定理先求解出AB 的长度；设DBC θ∠=，则∠DBA ＝2θ3π-，利用余弦定理建立方程组即可求解BD 的长度．【详解】设DBC θ∠=，（20θ3π<<）,BD=x,则AD=2x ，在△ABC 中，由余弦定理可得：AC 2＝BC 2+AB 2﹣2BC•AB•cos ∠ABC=419⨯，又2233AB BC ABC ，π=∠=，∴AB=6,BC=4，又1sin θ2BCD S BD BC =V n =∴sin θx=；在△ABD 中，由余弦定理可得：AD 2＝BD 2+AB 2﹣2BD•AB•cos(2θ)3π-，计算得到262θ0x xcos --=，即26θ2x cos x -=，由2sin θ+2cos θ=1，即2262x x-（）+2=1，解得4x-162x +48=0，解得2x =12或4，又20θ3π<<，cos θ>-12,所以2x=12，x=故答案为【名师点睛】本题考查了正余弦定理的应用和计算能力．属于中档题．7．（2019·安徽高考模拟（理））在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是_______;【答案】⎭【解析】【分析】本道题运用向量方法，计算AD 的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc 的范围，即可. 【详解】设,AB c AC b ==，2BC a ==，对sin sin 2sin B C A +=运用正弦定理，得到24b c a +==，解得4c b =-，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组()()()22222222224444444b c b b c b b b c b ⎧+=+->⎪⎪+=-+>⎨⎪+>=-⎪⎩，解得3522b <<，故()244bc b b b b =-=-+，结合二次函数性质，得到1544bc <≤，运用向量得到()12AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，所以AD ==u u u v==bc 的范围，代入，得到AD u u u v的范围为⎭【名师点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难.8．（2019·浙江高考模拟）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2c =，3A π=，则sin a C =__________．a b +的取值范围是__________．1,4+【解析】【分析】由正弦定理可得sin a C 的值.由正弦定理可以把a b +表示为角C 的函数，由锐角三角形得出角C 的取值范围，进而可得a b +的取值范围. 【详解】由正弦定理，可得sin sin a c A C =，则πsin sin 2sin 3a C c A ===.由sin sin sin a b c A B C ==，可得sin sin c A a C ==，2π2sin sin 3sin sin C c B b CC⎛⎫- ⎪⎝⎭== ，所以)21cos 2111sin 2sin cos tan 222CC a b C C C ++==+=+=+. 由ABC △是锐角三角形，可得π02C <<，2ππ032C <-<，则ππ62C <<，所以ππ124C <<，2tan 12C<<.所以11a b ++<+【名师点睛】本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键. 三、解答题9．（2019·天津高考模拟（理））在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅰ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅰ）1114-【解析】【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅰ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果. 【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+. 由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =. （Ⅰ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sinB =b a <，故cos B =.因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=. 所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.10．（2019·广东高考模拟（理））在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、， 2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）b =【解析】【分析】(1)根据已有等式2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，利用正弦定理作角化边，可得22cos 2bc A a cb +=，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；最后，根据等式可化简出b c =，故可证ABC V 为等腰三角形.(2)由 2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠可得ACD DAC ∠=∠，然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.【详解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=Q ，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=,所以()20b c -=即b c =，故ABC V 为等腰三角形．（2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠Q ，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-∴=-⋅⋅，即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=，由（1）可知b c =，得b =解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥，由已知得31,1,22EC DC ED ===， 2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，AE ∴===b AC ∴====解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠，又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠Q ，CAB CDA ∴V V ∽，即CB CA CA CD =，即31b b =，b ∴=【名师点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.11．（2019·江西高三月考（理））已知向量()1cos ,1,,2a x b x ⎫=-=-⎪⎭r r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r ．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知函数()f x 的图像经过点1,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,b a c 成等差数列，且9AB AC ⋅=uu u r uuu r ，求a 的值．【答案】（1）π，(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）a = 【解析】【分析】（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简()f x 得()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，故可求其周期与单调性；（2）根据图像过1,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得到()12f A =，故可求得A 的大小，再根据数量积得到bc 的乘积，最后结合余弦定理和2b c a +=构建关于a 的方程即可．【详解】（1）()()2122cos 22sin 2226f x a b a a a b x x x π⎛⎫=+⋅-=+⋅-=+=+ ⎪⎝⎭r r r r r r ，最小正周期：22T ππ==，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()1sin 262f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得：()5222666A k k k Z πππππ+=++∈或，所以3A π=．又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+ 而1cos 9,182AB AC bc A bc bc ⋅===∴=u u u r u u u r ， ()22222214cos 11,223612b c a bc a a a A a bc +---∴===-=-∴=．12．（2017·四川高考模拟（理））若函数f （x ）=Asin （ϖx+φ）（A ＞0，0,)22ππωφ>-<< 的部分图象如图所示．（I ）设x ∈（0，3π ）且f （α）=65，求sin 2a 的值；（II ）若x ∈[5,1212ππ]且g （x ）=2λf （x ）+cos （4x ﹣3π）的最大值为32，求实数λ的值．【答案】（1（2）1 2【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的图象求出最值和周期，可得,Aω，进而求出ϕ值，可得函数的解析式，再利用和差公式进行求解；；（Ⅰ）分类讨论满足条件的实数λ的值，综合讨论结果，可得答案.试题解析：（Ⅰ）由图得，A=2．…，解得T=π，于是由T=，得ω=2．…∵，即，∴，即，k∈Z，又，故，∴．…由已知，即，因为，所以，∴．∴= ==． …（Ⅰ）由（Ⅰ）知，===，…∵x ∈，于是0≤≤，∴0≤≤1．…①当λ＜0时，当且仅当=0时，g （x ）取得最大值1，与已知不符． ②当0≤λ≤1时，当且仅当=λ时，g （x ）取得最大值2λ2+1，由已知得2λ2+1=，解得λ=．③当λ＞1时，当且仅当=1时，g （x ）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾．综上所述，λ=．…【名师点睛】：由三角函数的图象求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式的一般思路：先利用最高点和最低点的纵坐标列出关于,A k 的方程组求得值,A k ，利用相邻零点间的距离、相邻对称轴间的距离、零点和对称轴间的距离求出ω值，再代入最高点或最低点的坐标求出ϕ值. 13．（2019·山东高三期中）△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅰ）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小．【答案】(1)；(2). 【解析】【详解】（Ⅰ）由222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r已知2222cos 2bc A a b c bc =---，· 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π=．（Ⅰ）∵23A π=，∴3BC π=-，03C π<<.241cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3C π=+． ∵03C π<<，∴2333C πππ<+<，∴当32C ππ+=，24sin()23C B π--2+，解得6B C π==． 14．（2019·安徽高考模拟（理））在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅰ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；（Ⅰ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++= 2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q sin sin 0C B ∴≠ 1cos 2A ∴= ()0,A π∈Q 3A π∴=（Ⅰ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点可得：2AI =，AD AE == b c a ∴+-=(222b c b c bc ∴+-=+-，化简得()4b c =+≥b c =时取等号）12bc ∴≥或43bc ≤又b c +> 12bc ∴≥，即[)1cos 6,2AB AC bc A bc ⋅==∈+∞u u u v u u u v ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v的最小值为6此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 223bc S A π==⨯⨯=【名师点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到利用两角和差余弦公式化简求值、根据三角函数值求角、余弦定理的应用、三角形中最值问题的求解等知识；解题关键是能够灵活应用三角形内切圆的性质构造出三边之间的关系，代入余弦定理中，利用基本不等式求得两边之积的最值.。

解三角形解答题十大题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3+.【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3【例2】的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin 2B A C +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．【例3】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【详解】：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为5+【例4】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆，求b ，c .【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．sin sin 2A C c b C +=．(1)求角B 的大小；(2)若112,2tan tan tan b A C B+==，求ABC 的面积．，【题型专练】1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c .【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin(62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．2.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b =，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==（2）由（1）知22b ac=因为90B = ，由勾股定理得222a cb +=故222a c ac +=，得c a ==所以的面积为13.（2021新高考2卷）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则37sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B a B =+．(1)求角A 的大小；(2)若2sin a B C ==，求ABC 的面积．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan sin a b c B A C B ==.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积为196，求ABC 外接圆的半径.题型二解三角形与三角恒等变换结合【例1】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C∴=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【例2】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【例3】在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -+=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值.【详解】（1）∵221cos B sin B =-，221cos C sin C =-，∴222sin A cos B cos C -=-变形为22211sin A sin B sin C --+=--（）（），即222sin A sin B sin C ++=，利用正弦定理可得：222a b c ++=，由余弦定理可得cosC=22-，即C=34π.（2）由（1）可得cos （A+B ）=2，A+B=4π，又cosAcosB=cos()cos 3225A B A B ++-=（），可得72cos(A B)10-=，同时cos （αA +）cos （αB +）=72cos(2α)cos(2αA B)cos A B 41022π+++++-=（），∴22272272cos(2α)sin2αcos(αA)cos(αB)410210222cos cos cos πααα++-+++===222222722sinαcosα2102cos sin cos sin cos ααααα--++（）=222622552cos sin cos ααα+-=2510tan α+- 2tan α=5，∴2tan 5tan 62αα-+=，∴ 1tan α=或4.【题型专练】1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C +=.【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C-=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C+-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=，由正弦定理得：sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：62sin 4C =或624因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C +=.（2）法二：2b c += sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ=+=.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos B A B =+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B A A B-的取值范围.，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到3.在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222A CB +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A C B++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=C A B π++= A C B π∴+=-()sin sin A C B∴+=sin sin 2sin A C B∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b+=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．33B ．32CD．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33(,)82.【分析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)解法一：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+.又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S 的取值范围是33,82解法二：若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得b ==，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积1sin 23S a π==∈．【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acacac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCa c ac a c Sac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c c c c c cc A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故12BAC S bcsinA ∆=≤2.已知，，分别为△ABC 角，，的对边，cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，且=3，则下列结论中正确的是()A.=3B.=23C.△ABC D.△ABC 【答案】B【解答】解∵cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，∴(1−sin 2p −(1−sin 2p −(1−sin 2p =cosvos −cos(+p −(1−2sin 2p ，∴sinLin +sin 2+sin 2−sin 2=0，由正弦定理可得B +2+2−2=0，∴cos =2+2−22B=−12，又0<<，∴=23，即2=3=2+2−23=2+2+B⩾2B +B =3B ，当且仅当==1时取等号，∴B⩽1，∴=12Bsin 故选：B ．3.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B (2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ）．（1）若b +c =3a ，求A ；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【解析】（1）∵sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ），结合正、余弦定理，可得a •2+2−22B=b •（2−2+2−22B），化简得，c ＝2b ，代入b +c =3a ，得a =3b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =2+42−322δ2=12，∵A ∈（0，π），∴A =3．（2）由（1）知，c ＝2b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =52−442=5412，∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝b 21−c 22=b 2=16=当b 2=209时，S 取得最大值，为43．5.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和C D B ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =．把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABCab C S ∆=≤⨯=．即ABC ∆面积的最大值是5．故答案为5．6.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．(1)求B ；(2)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，若ABC 的面积为()2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]+【解析】因为ABC 的面积为()2224a b c +-，所以()2221sin 42a b c ab C +-=，所以222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，sin C C =，即tan C ，所以3Cπ=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以83832(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A BA A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+≤.故ABC 的周长的取值范围是4,12]+.【例2】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin cos sin B CC C A++=(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆的半径为1，求22b c +的取值范围.c【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sinsin ,2A Ca b A b +==(1)求角B 的大小；(2)求2a c -的取值范围.【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2B Ca A B c ++=．(1)求角A 的大小；(2)若角B 为钝角，求b的取值范围．【题型专练】1.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sincos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若c ，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭ ，2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(2+.2.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+.3.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos )a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．【详解】（1）由题意知()(cos )sin cos sin sin a C C b c A C C B C =+⇒+=+，所以()()sin cos sin sin A C C A C C +=++，即sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++sin cos sin sin A C A C C =+，因0sin ≠C cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又50,,666A A ππππ⎛⎫<<∴-∈- ⎪⎝⎭ ，所以66A ππ-=，所以3π=A （2）由余弦定理得：222222cos 25a b c b c A b c bc =+-⋅=+-=，即()2325b c b c +-⋅=.22b c b c +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当b c =时取等号），()()()22221253324b c b c b c b c b c +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：10b c +≤（当且仅当b c =时取等号），ABC ∴ 周长51015L a b c =++≤+=，ABC ∴ 周长的最大值为15.题型五：角平分线相关的定理【例1】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．【详解】由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即2c a =+，所以12a c =+，所以))12422224333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎫+++=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以3tan ,30.3B B ∠=∠= 【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．ABC ABD BCD S S S =+ ，12π1sin 232ac c ∴=⋅即333444ac c a =+，a c ac ∴+=，a ac +∴()11444552a c a c a c ac c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【题型专练】1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为．【详解】ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222222bc c ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，即bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b cb c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭2.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【详解】，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠，∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232x -=，解得1x =，即1AC =．题型六：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+，（1）求角B 的值；（2）若2c =，AC 边上的中线32BD =，求ABC ∆的面积.【详解】（1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++,()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++=2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形，在BEC ∆中，EC=2，,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠=，由余弦定理2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC上一点，且AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2B Cb a B +=.(1)求A ；(2)若a =，3BA AC ⋅=，AD 是ABC 的中线，求AD 的长.2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①()()()()sin sin sin a c A B a b A B -+=-+；②2S BC =⋅；③cos sin b C a c B =；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求角B 的大小；(2)AC 边上的中线2BD =，求ABC 的面积的最大值．题型七：有关内切圆问题（等面积法）【例1】在▵B中，sin2=B=1，B=5，则A.B=25B.▵B 的面积为32C.▵BD.▵B【答案】B【解答】解：∵sin2=∴cos=1−2sin22=1−2×2=35，又B=1，B=5，∴由余弦定理，B2=B2+B2−2B⋅B⋅cos=52+12−2×5×1×(35)=20，∴B=25，故A正确；∵cos=35且为三角形内角，∴sin=1−cos2=45，所以△B的面积为=1=12×1×5×45=2，故B错误；根据正弦定理B sin=2o其中表示外接圆的半径)得：2=45=即△B C正确；如图，设△B内切圆圆心为，半径为，连接B，B，B，因为内切圆与边B ，B ，B 相切，故设切点分别为，，，连接B ，B ，B ，可知：B =B =B =，且B ⊥B ，B ⊥B ，，根据题意：△B =12B ⋅B ⋅sin =12×5×1×45=2，利用等面积可得：△B +△B +△B =△B ，即：12B ⋅+12B ⋅+12=2，∴=4B+B+B==D 正确．故选ACD ．【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在ABC 中，()254cos 4sin A B C ++=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的内切圆圆心为O ，ABC 的外接圆半径为4，求ABO 面积的最大值．【题型专练】1.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，则()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3D.【答案】B【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，A .由余弦定理得：三角形另一边长为82+52−2×8×5×cos60°=7，故A 错误；B .三角形的周长为8+5+7=20，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：12×8×5×sin60°=12×20×，解得=3，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到7sin60°=2，解得=，故D 错误．故选BC ．2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos a cC Cb-=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，记r 为ABC 的内切圆半径，求r 的最大值.题型八：与向量结合问题【例1】锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B = 平行．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：//m n，所以：sin cos 0a B A =，由正弦定理，得：sin sin cos 0A B B A -=，又因为：sin 0B ≠，从而可得：tan A =，由于：0A π<<，所以：3A π=．（2）因为：由正弦定理知sin sin sin 3b c aB C A====，可得：三角形周长sin )3l a b c B C =++=+，又因为：23C B π=-，所以：2sin sin sin sin()36B C B B B ππ+=+-=+，因为：ABC ∆为锐角三角形，所以：62B ππ<<，2(,)633B πππ+∈，3sin sin (2B C +∈，所以：l ∈．【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==．(1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．【题型专练】1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >．已知2BA BC = ，1cos 3B =，3b =．求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．【解析】解：（1）2BA BC= ，1cos 3B =，3b =，可得cos 2ca B =，即为6ac =；2222cos b a c ac B =+-，即为2213a c +=，解得2a =，3c =或3a =，2c =，由a c >，可得3a =，2c =；（2）由余弦定理可得2229947cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ==，sin B ==，则17224223cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯．2.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若1AB AC BA BC ==．解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积．【解析】证明：（1）因AB AC BA BC =，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =．由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为A B ππ-<-<，故0A B -=，故A B =．⋯（4分）（2）因1AB AC = ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-=，即2222b c a +-=；又由（1）得a b =，故22c =，故c =．⋯（10分）（3）由||AB AC += 22||||2||6AB AC AB AC ++=，即2226c b ++=，故224c b +=，因22c =，故b =，故ABC ∆是正三角形，故面积23342ABC S ∆=⨯=．⋯（16分）题型九：几何图形问题【例1】在ABC ∆中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求ABC ∆的面积．【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，可得153sin 26ADC ∠==，则11sin sin()sin cos cos sin 333226BAD ADC ADC ADC πππ∠=∠-=∠-∠=-⨯．（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠=，解得7BD =，所以718BC =+=，所以ABC ∆的面积11sin 158sin 223S AB BC ABD π=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【例2】如图，在ABC ∆中，6B π∠=，AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．【解析】解：（1）在ADC ∆中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin 7ADC ∠=，所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B=∠-∠433117272=-⨯1114=．（2）在ABD ∆中，由正弦定理得11sin 1411sin 437AB BADBD ADB⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 13213492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯．所以7AC =．【例3】如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BADCAD∠∠的值．【解析】解：（1）ABC ∆ 中，1cos 3B =，22sin 3B ∴=．34ADC π∠= ，4ADB π∴∠=．ABD ∆=，83AD ∴=；（2）设DC a =，则2BD a =，2BD DC = ，ACD ∆，1222323a ∴=⨯⨯⨯，2a ∴=AC ∴==由正弦定理可得42sin sin BAD ADB=∠∠，sin 2sin BAD ADB ∴∠=∠．242sin sin CAD ADC =∠∠，2sin 4CAD ADC ∴∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠ ，∴sin sin BADCAD∠=∠【例4】如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90ADC ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求sin ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解析】解：（1）ABD ∆中，45A ∠=︒，2AB =，5BD =，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，解得2sin 5ADB ∠=；（2）由90ADC ∠=︒，所以2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得：222222cos 52525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，解得5BC =．【例5】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5.【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠o，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<o ，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC =.【题型专练】1.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．【解析】解：1AD =，2CD =，AC =（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠= ．∴cos CAD ∠=；（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，cos 21sin 7321sin 143sin 2CAD BAD CAD BAD α∠=∠=-∴∠=∠=∴=，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：3BC =．即BC 的长为3．2.在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2．（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积．【解析】解：（1）由已知11sin 2sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯∠= ，所以sin ABD ∠=(0,2ABD π∠∈，所以cos ABD ∠=在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠= ，所以AD =．（2）由AB BC⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以5sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，()222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠．3.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接BD ，由余弦定理可得：222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-=+-⨯⨯⨯ ，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-=+-⨯⨯⨯ ，可得：2016cos 5248cos A C -=-，2⋯分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又A C π+=，所以：2016cos 5248cos()A A π-=--，化简可得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=，3C π=，4⋯分所以12124sin 46sin 2323ABD BCD S S S ππ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，6⋯分（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，可得：222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-=+- ，8⋯分可得：22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，可得：sin 3sin 423cos cos S A CC A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，平方后相加，可得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-，即：266cos()16S A C =-+，10⋯分又(0,2)A C π+∈，当A C π+=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，A C π=-，代入23cos cos C A =-，可得：1cos 2C =，又(0,)C π∈，可得：3C π=，12⋯分在BCD ∆中，可得：222222cos 46246cos 283BD BC CD BC CD C π=+-=+-⨯⨯⨯= ，可得BD =．14⋯分4.如图所示，已知圆内接四边形ABCD ，记tan tan tan tan 2222A B C D T =+++．（1）求证：22sin sin T A B=+；（2）若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求T 的值及四边形ABCD 的面积S．【解析】解：（1）sincos sin cos222222tan tan tan tan tan cot tan cot 22222222sin sin cos sin cos sin 2222A AB BA B A B A A B B T A A B B A Bππ--=+++=+++=+++=+．（2）由于：6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，由题知：cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，可得：22222222470227AB AD BD BC CD BD BD AB AD BC CD +-+-+=⇒= ，则3cos 7A =，sin A =则1()sin 2S AD AB CD BC A =+= ，则1610()sin sin 219S AB BC AD CD ABC ABC =+∠=∠=，22sin sin T A B =+==5.如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，6AB =，3BC =，4CD =．（1）若60B =︒，30DAC ∠=︒，求sin D ；（2）若180BAD BCD ∠+∠=︒，5AD =，求cos BAD ∠．【解析】解：（1）在ABC ∆中，222361cos 2362AC B +-==⨯⨯，222363627AC ∴=+-⨯=，AC ∴=ACD ∆中，由正弦定理sin sin DAC D CD AC∠=，sin sin sin 30AC D DAC CD ∴=⋅∠=︒=．（2）在ABD ∆中，22256cos 256BD BAD +-∠=⨯⨯，在BCD ∆中，22234cos 234BD BCD +-∠=⨯⨯，180BAD BCD ∠+∠=︒ ，cos cos 0BAD BCD ∴∠+∠=，∴22222256340256234BD BD +-+-+=⇒⨯⨯⨯⨯可得：222(2536)5(916)0120BD BD +-++-=，可得：22261252550BD BD ⨯-+⨯-=，可得27247BD =，则BD =22224725365637cos 256607BDBAD +-+-∴∠===⨯⨯．6.某市欲建一个圆形公园，规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定，2AB =，6BC =（单位：百米），记ABC θ∠=，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果4DC DA ==，求四边形ABCD 的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283π万平方米，求cos θ的值．【解析】解：（1）连结BD ，可得四边形ABCD 的面积为：11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，四边形ABCD 内接于圆，180A C ∴+=︒，可得sin sin A C =．11sin sin 22S AB AD A BC CD C =+ 1()sin 2AB AD BC CD A =+1(2464)sin 2A =⨯+⨯16sin A =．(*)⋯在ABD ∆中，由余弦定理可得：222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-=+-⨯⨯=- ，同理可得：在CDB ∆中，222222cos 64264cos 5248cos BD CB CD CB CD C C C =+-=+-⨯⨯=- ，2016cos 5248cos A C ∴-=-，结合cos cos(180)cos C A A =︒-=-，得64cos 32A =-，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒ ，120A ∴=︒，代入(*)式，可得四边形ABCD面积16sin120S =︒=．（2）设圆形公园的半径为R ，则面积为283π万平方米，可得：2283R ππ=，可得：2213R =，∴由正弦定理2sin AC R B ==sin θ==由余弦定理可得：AC ==sin θ∴==214sin 159cos θθ=-，22sin cos 1θθ+= ，∴2159cos cos 114θθ-+=，整理可得：2214cos 9cos 10θθ-+=，∴解得：1cos 7θ=，或12．7.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2）3.【解析】（1）sin 3cos 0,tan 3A A A +=∴=- ，20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+- ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯⨯，22cos ,72cos 77AC C CD C∴=∴===，12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，132ABD ABC S S ∆∆∴==.8.四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，7BD =；（2）23．【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC=+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②。

2020届高考理数复习常考题型大通关(全国卷)：考点三解三角形

第8题考点三解三角形1、在ABC ∆中，2AB = ，3C π∠=，则AC BC +的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52、在锐角ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，若2sin b a B =，则角A 等于（） A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒3、已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，3a b c ++=，sin cos sin cos c A B a B C +=，则ABC △的面积为( )D4、ABC △中,1,30a b A ===︒,则B 等于( ) A ．60︒B ．120︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒5、在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin A =2a =，ABC S =△则b 的值为（）AB C ．D ．6、在△ABC 中，b =17，c =24，B =45°，则此三角形解的情况是（） A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解7、在ABC △中，30A ∠=︒，4a =，5b =，那么满足条件的ABC △（）A ．无解B ．有一个解C ．有两个解D ．不能确定8、ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知34,cos 4b c B ==，则ABC △的面积等于( )A ．BC ．9D ．929、在△ABC 中，已知2,1,AB AC A ==∠的平分线1AD =,则△ABC 的面积（）A.B.C.D.10、在ABC ∆中，a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边，4cos 5A =，2b =，ABC ∆面积3S =，则a 为（）A ．35B ．13C.21 D ．1711、在ABC △中, ,4πB =BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( )A.310B.10 C. 10-D. 310-12、在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3cos cos cos b A c A a C =+，则 tan A 的值是 ( )A ． 22-B ． 2-C ． 22D ． 2213、ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b =，4c =.且cos 3cos a B b A =，则ABC △的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．3214、如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为75,30︒︒,此时气球的高是60m ,则河流的宽度BC 等于( )A. ()3031mB. ()12031m C. ()18021m D. ()24031m15、泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为( ) A. 50m B. 100mC. 120mD. 150m答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：ABC ∆中，2,AB C =∠=则：2AB R sin C ==∠，所以：())243AC BC R sinA sinB sinA sinB sin A π+⎛=+=+=+⎫⎪⎝⎭，由于：0A <<3A ππ<+<，当A =2答案及解析：答案：A解析：把2sin b a B =利用正弦定理化简得：sin 2sin sin B A B =， ∵sin 0B ≠，A 为锐角 ∴1sin 2A =则30A ∠=︒3答案及解析：答案：D解析：在ABC △中，由正弦定理及sin cos sin cos c A B a B C +，得sin sin cos sin sin cos sin C A B A B C A +=.因为ABC △在中，0sinA ≠，所以sin cos sin cos sin C B B C A +==，所以π3A =或2π3A =，若2π3A =，则a b a c ＞，＞，所以2a b c +＞，与已知12a b c =+=，矛盾，所以π3A =，由余弦定理得22222cos 3431a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-=（），解得1bc =.所以11sin 122ABC S bc A ==⨯=△，故选D.4答案及解析：解析：由正弦定理可得sin sin a b A B =，1sin 12B =∴∵又0πB <<，∴π3B =或2π3，故选D.5答案及解析：答案：A解析：∵在锐角ABC △中,sin ABC A S ==△∴11sin 22bc A == ∴3bc =，① 又2a =，A 是锐角，∴1cos 3A =， ∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即()()2221cos b c a bc A +=++ 14613⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12=，∴b c +=由①②得：+3b c bc ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得b c ==故选A.6答案及解析：答案：B 解析：过点A 作AD BD ⊥．点D 在∠B 的一条边上，∵sin 17b c B b AC ====，因此此三角形两解．7答案及解析：答案：C解析：根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-的式子，代入题中数据化简得25390c c -+=，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ABC ∆有两个解．8答案及解析：答案：B解析：37,4,cos 4b c B ==∵，27sin 1cos 4B B -=∴， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：23716244a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：2690a a -+=，解得：3a =， 11737sin 3422ABC S a c B =⋅⋅=⨯⨯=V ∴。

2020年高考数学(理)热点专练05三角函数及解三角形(解析版).pdf

对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形。
解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面
积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，
但是在用基本不等式的时
候应注意不等式等号成立的条件。
【考查题型】选择题，填空，（解答题 21 题）（两小一大或者是三小）
3 b 2 a2 c 2 ，则 B 4
A ． 90
B． 60
C ． 45
D． 30
2
【答案】 D
【解析】
【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得三角形面积公式可求角 C，从而得到 B 的值．
sinA＝ 1，即 A＝ 900，由余弦定理、
【详解】
由正弦定理及 ccosB bcosC asinA, 得 sinCcosB sinBcosC sin2 A,
热点 05 三角函数与解三角形
【命题趋势】
新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对
应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出 , 三角试题每年都考 , 而且文理有别 , 或 " 一大
一小 ", 或 " 三小 ", 或 " 二小 "(" 小 " 指选择题或填空题 ," 大 " 指解答题 ), 解答题以简单题或中档
【限时检测】（建议用时： 90 分钟）
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1．（ 2019 ·安徽芜湖一中高三开学考试） ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a，b，c ，
asin Asin B
b cos2 A =
2a
b
，则

2020年高考数学解三角形函数求导解答题练习5.9(含答案解析)

2020年高考数学解三角形函数求导解答题练习5.91.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c，b=1，.（1）求B；（2）若B,A,C成等差数列，求△ABC的面积.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,.(1)求角 B 的大小；(2)D为边AB上一点，且满足CD=2,AC=4,锐角三角形△ACD的面积为，求BC的长。

3.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，C=.(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A，求△ABC的面积.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=sinAcosB．（1）求cosB的值；（2）若a+c=1，求b的取值范围．5.在中，分别是角的对边，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的面积6.在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c，且．（1）求角A的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.它的外接圆半径为6. ∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件：且（1）求；（2）求△ABC面积S的最大值.8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =，且a+c=2．（1）求角B；（2）求边长b的最小值．9.△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知3acosC﹣csinA=3b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=7，△ABC的周长为15，求△ABC的面积．10.在锐角中,设角，,所对边分别为，,，. （1）求证：;（2）若,，，求的值.11.设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m，n∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值-ln 2，求m＋n的最小值．12.已知函数f(x)=2x ＋2x＋alnx ，a∈R .(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)记函数g(x)=x 2[f′(x)＋2x －2]，若g(x)的最小值是－6，求函数f(x)的解析式．13.已知函数f(x)=ln x ＋ax，a ∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明f(x)≥2a －1a.答案解析1.解：2.解：3.解：4.解：5.6.7.8.9.10.11.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=1x -4mx=1－4mx2x，当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)>0，得0<x<m 2m ，令f′(x)<0，得x>m2m ，∴f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值．当m>0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在m 2m ，＋∞上单调递减．∴f(x)max =f ⎝⎛⎭⎪⎫m 2m =ln m 2m-2m·14m -n=-ln 2-12ln m-12-n=-ln 2， ∴n=-12ln m-12，∴m ＋n=m-12ln m-12.令h(x)=x-12ln x-12(x>0)，则h′(x)=1-12x =2x －12x，由h′(x)<0，得0<x<12；由h′(x)>0，得x>12，∴h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴h(x)min =h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=12ln 2，∴m ＋n 的最小值为12ln 2.12.解：(1)由题意知f′(x)=2－2x 2＋ax≥0在区间[1，＋∞)内恒成立，所以a≥2x －2x 在区间[1，＋∞)内恒成立．令h(x)=2x－2x ，x∈[1，＋∞)，因为h′(x)=－2x2－2<0恒成立，所以h(x)在区间[1，＋∞)内单调递减，所以h(x)max =h(1)=0，所以a≥0，即实数a 的取值范围为[0，＋∞)．第 11 页共 11 页 (2)g(x)=2x 3＋ax －2，x>0.因为g′(x)=6x 2＋a ，当a≥0时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在区间(0，＋∞)内单调递增，无最小值，不合题意，所以a<0.令g′(x)=0，则x=－a 6或x=－－a 6(舍去)，由此可得函数g(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 6内单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞内单调递增，则x=－a 6是函数g(x)的极小值点，也是最小值点，所以g(x)min =g(x)极小值=g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 6=－6，解得a=－6，所以f(x)=2x ＋2x －6lnx.13.解： (1)f′(x)=1x -a x 2=x －a x2(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>0时，若x>a ，则f′(x)>0，函数f(x)在(a ，＋∞)上单调递增；若0<x<a ，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，a)上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)min =f(a)=ln a ＋1. 要证f(x)≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a ，即证ln a ＋1a-1≥0. 令函数g(a)=ln a ＋1a -1，则g′(a)=1a -1a 2=a －1a2(a>0)，当0<a<1时，g′(a)<0，当a>1时，g′(a)>0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min =g(1)=0.所以ln a ＋1a-1≥0恒成立，所以f(x)≥2a －1a.。

2020年高考数学·高考真题-分类汇编-第12讲-解三角形精选全文完整版

精选全文完整版专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形2020年1.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =.2.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+3.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A4.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =（2）2tan 11DAC ∠=.5.（2020•新全国1山东）在①3ac =sin 3c A =，③3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析6.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c === （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）13sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦2016-2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.9．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．10．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 11．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 12.（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．413．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA B C ．1010 D ．3101014．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．15．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．16．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．17．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

2020年高考数学(理)高频核心考点专题：三角函数与解三角形10个专题 (全国版含解析)

综上所述，①④正确，故选 C．
本题也可画出函数 f x sin x sin x 的图象（如下图），由图象可得①④正确．
【答案】C
2.【2019 优选题】若点
sin
5π，cos 6
5π 6
在角α的终边上，则 sin α＝(
)
3
A. 3 2
B.1
C．－ 3 D．－1
2
2
2
【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱导公式，由题意可得 sin
2 ④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【解析】 f x sin x sin x sin x sin x f x , f x 为偶函数，故①正确．
当
π 2

x

π
时，
f
x

2 sin
x
，它在区间
第一象限角的集合为 P {x | 2k x 2k ， k Z} 2
第二象限角的集合为 P {x | 2k x 2k ， k Z} 2
第三象限角的集合为 P {x | 2k x 2k 3 ， k Z} 2
第四象限角的集合为 P {x | 2k 3 x 2k 2 ， k Z} 2
x 2）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3）三角函数线：
设角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知，点 P 的坐标为(cosα，sinα)，即 P(cosα，sinα)，其中 cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆在 A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan α＝AT. 我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.利用三角函数线可以判断角的三角函数值的符号或比较角的大小.

(新高考)2020高考数学二轮复习大题考法专训(一)解三角形(最新整理)

大题考法专训（一）解三角形A级——中档题保分练1．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A＋sin A sin B．(1）求角C的大小；（2）若A＝错误!,△ABC的面积为4错误!，M为BC的中点，求AM.解：（1)由cos2B－cos2C＝sin2A＋sin A sin B，得sin2C－sin2B＝sin2A＋sin A sin B．由正弦定理，得c2－b2＝a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝错误!＝错误!＝－错误!。

因为0＜C＜π，所以C＝错误!。

（2)因为A＝错误!，所以B＝错误!.所以△ABC为等腰三角形，且顶角C＝错误!.因为S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!a2＝4错误!，所以a＝4。

在△MAC中,AC＝4，CM＝2，C＝错误!，所以AM2＝AC2＋CM2－2AC·CM·cos C＝16＋4＋2×4×2×错误!＝28,所以AM＝2错误!。

2．(2019·长沙统考）已知△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c,且a sin(A＋B）＝c sin错误!.（1）求角A的大小；(2）若△ABC的面积为错误!，周长为8，求a.解：（1）由题设得a sin C＝c cos 错误!，由正弦定理得sin A sin C＝sin C cos 错误!，所以sin A＝cos A2，所以2sin 错误!cos 错误!＝cos 错误!,所以sin 错误!＝错误!，故A＝60°.（2）由题设得12bc sin A＝错误!，从而bc＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝（b＋c)2－12。

又a＋b＋c＝8，所以a2＝（8－a）2－12，解得a＝错误!。

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c＝7,sin C＝错误!.（1)若cos B＝错误!,求b的值；(2）若a＋b＝11，求△ABC的面积．解:（1）在△ABC中，因为cos B＝错误!,且B∈(0,π）,所以sin B＝错误!,根据正弦定理错误!＝错误!，及c＝7，sin C＝错误!，解得b＝5.（2）在△ABC中，因为sin C＝错误!，所以cos C＝±错误!。

2020年高考解三角形试题的解法及启示

（2）由（1）得b n=-3（-2）n[（-2）n+1][（-2）n+1+1]=（-2）n+1-（-2）n [（-2）n+1][（-2）n+1+1]=1（-2）n+1-1（-2）n+1+1∴T n=1（-2）1+1-1（-2）2+11 +1（-2）2+1-1（-2）3+11 +…+1（-2）n+1-1（-2）n+1+11 =-1-1（-2）n+1+1=-（-2）n+1+2（-2）n+1+1.4.错位相减法例题7.设数列{a n}满足a1=3，a n+1=3a n-4n.（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n.【解答】（1）由题意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，由数列{a n}的前三项可猜想数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n=2n+1，证明如下：当n=1时，a1=3成立；假设n=k时，a k=2k+1成立.那么n=k+1时，a k+1=3a k-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1也成立.则对任意的n∈N鄢，都有a n=2n+1成立；（2）由（1）可知，a n·2n=（2n+1）·2nS n=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）·2n-1+（2n+1）·2n……①2S n=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）·2n+（2n+1）·2n+1……②由①-②得：-S n=6+2×（22+23+…+2n）-（2n+1）·2n+1=6+2×22×（1-2n-1）1-２-（2n+1）·2n+1=（1-2n）·2n+1-2，即S n=（2n-1）·2n+1+2.【点评】利用递推公式得出a2，a3，猜想得出{a n}的通项公式，利用数学归纳法证明即可，第二问由错位相减法求解即可.该题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查了考生的计算能力，属于中档题.变式.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足b1=b2=１２，b3=38，a n+1b n+1=2n b n+1.（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和.【解析】（1）由a n+1b n+1=2n b n+1，取n=1，得a2b2=2b1+1，解得a2=4；取n=2，得a3b3=2b2+1，解得a2=8.∵{a n}是等比数列，则q=a3a2=2，a1=a2q=2，∴{a n}的通项公式为a n=a1q n-1=2n.（2）∵2n+1b n+1=2n b n+1，∴数列{2n b n}是公差为1的等差数列.2n b n=2b1+（n-1）×1=n，则b n=n2n.设{b n}的前n项和为S n，则S n=１２+2２2+3２3+…+n2n，S n２= 1２2+2２3+3２4+…+n2n+1.则S n２=１２+1２2+1２3+…+12n-n2n+1=１２[1-（１２）n]1-１２-n2n+1=1-n+２2n+1，∴S n=2-n+２2n.其实，高考涉及到数列问题并不是十分复杂，考生可以通过分类练习，寻找解题规律，弄懂数列的特点，掌握求数列通项公式和前项和的方法，从中选择有效的方法去灵活解题.在不断的练习中总结实践经验，不断提升解题能力和计算能力.同时分析高考命题规律，把握高考命题趋势，关注高考热点问题，提炼解题的通性通法，进一步提高分析问题和解决问题的能力.责任编辑徐国坚2020年高考解三角形试题的解法及启示■辽宁省大连市开发区大治学校张治中解三角形的高考题目，是对三角函数知识的综合运用，是培养数学能力的好题材.对几年来的试题题材、背景、知识点及解题技术，对解三角形及相关问题的备考，通过个案解题，把捕捉到的解题感觉，撮要一记.尝试主动思考.题目1.（2020年高考全国域卷文科第17题）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.（1）已知cos2（仔２+A）+cos A＝54.（1）求A.（2）若b-c＝3姨3a，证明：△ABC是直角三角形.1.1思路分析.对（1），由诱导公式，C转S，再由平方关系，S转成C的同角同名函数，由C函数值确定角.对（2），若题设结论正确，其中，b＞c，A＝仔3，决定a是中间的量，b 最大.一种方法，把边转化为角，B 是直角或C 为仔6；另一种，预设由变成平方关系，从余弦定理推到勾股定理.1.2解题.解（1）sin 2A +cos A ＝54圯1-cos 2A +cos A ＝54.（cos A -12）2＝0圯cos A ＝12圯A ＝仔3.解（2）：方法一，用和角公式转化.sin B -sin C ＝3姨3sin A ，sin B -sin （2仔3-B ）＝12，3姨2cos B -12sin B ＝-12.cos （B +仔6）＝-12，B +仔6＝2仔3，B ＝仔2.（2）方法二，用和差化积公式转化.sin B -sin C ＝3姨3sin A ，sin B -sin （2仔3-B ）＝12，2sin （2B -2仔32）·cos 仔3＝12，sin （B -仔3）＝12，B -仔3＝仔6，B ＝仔2.△ABC 是直角三角形.（2）方法三，用边的关系，构造（b +c ）因式，向勾股定理转化.由题设b -c ＝3姨3a ……鄢b 2+c 2-2bc ＝13a 2，（b +c ）2＝13a 2+4bc ……①.b 2+c 2＝13a 2+2bc ……②.由余弦定理，A ＝仔3，a 2＝b 2+c 2-bc ，b 2+c 2＝a 2+bc ……③.由②③得，13a 2+2bc ＝a 2+bc ，bc ＝23a 2……④.由①④得，（b+c ）2＝3a 2，b+c ＝3姨a ……⑤.由⑤*得（b-c ）（b+c ）＝3姨a ·3姨3a ，b 2＝a 2+c 2.△ABC是直角三角形.（2）方法四，直接构造三边的平方关系，由题设b 2+c 2-2bc ＝13a 2……①.由余弦定理及A ＝仔3，a 2＝b 2+c 2-bc ，bc ＝b 2+c 2-a 2……②.②代入①得，-b 2-c 2+2a 2＝13a 2，b 2＝53a 2-c 2，b 2＝a 2+23a 2-c 2.又∵a ＝3姨c 圯23a 2-c 2＝c 2……＆∴b 2＝a 2+c 2.△ABC 是直角三角形.1.3评析.试题的视野，（1）用三角形三内角之和等于仔，可完成同角之间的转化，由余弦单角函数值，直接得到角.在解三角形的六个要素中，只有一个角确定，是动三角形.到（2），特有的题设，用三边的线性关系限定，得到一组相似的三角形的递进关系.由于所求的角为直角.有几种明显等价条件，解题的入口宽.解三角形，有两种基本方向的转化，都可以独立地完成解题.在（2）方法一中，向同角方向转化，求出和角函数值，进而得角；在方法二中，是两角函数差的形式，得到和角函数值及角.这两种选择都是幸运的.用哪种方法解题，标志着不同功力.有人说“和差化积”公式是C 级公式.从功能上看，它可直接对两种函数合成.从结构层面看，“和差化积”相当于分解因式，是数学最重要的恒等变形之一.其中，对y ＝sin x 求导课程中，用“和差化积”是必需的.用“和差化积”公式，缩短解题过程.若感受到它的珍贵，感受到它管用，就不让级别误导.记忆力，来源于理解与应用，更源于求实的态度.方法三，对因式（b +c ）构思，值得欣赏.反复从题设中吸取营养，在使用条件方面，体现了数学转化的功力.方法四，以题设条件和余弦定理为入口，消去b ·c 项，在各边的平方共存的方程中，期待勾股定理成为出口.不幸未果.在考场上，若没有时间机会，加上＆步骤，在解题的尽头，顶上正确的结论.题目2.（2020年高考全国域卷理科第17题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c .（1）已知sin 2A -sin 2B ＝sin B sin C.（1）求A .（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值.2.1思路分析.（1）题设给出的是角的关系，从式子结构上观察，没有变形消项的可能，但是，转化成边后，在整体上，又同余弦定理结构相近.再结合余弦定理，得出A 的路径可看穿.（2）若A 求得为定值，又已知A 所对的边，角的顶点A ，是以弦BC ＝3的定圆上的动点，结合题设要求，点A 由动到定，可以实现题设所求.2.2解（1）设A ，B ，C 的对边a ，b ，c .由正弦定理，a 2-b 2-c 2＝bc ，a 2＝b 2+c 2+bc ……①.由余弦定理，a 2＝b 2+c 2-2bc ·cos A ……②.由①②，cos A ＝-12，A ＝2仔3.（2）解法一，用和差化积公式.b sin B =c sin C ＝23姨＝2R ，b ＝23姨sin B ，c ＝23姨sin C ，b+c ＝23姨（sin B +sin C ）b+c ＝23姨·2sin B+C 2·cos B-C 2＝23姨·2sin （仔2-A 2）·cos B-C 2＝23姨·2cos A 2cos B-C 2＝23姨cos B-C 2.当cos B-C2＝1时，B-C 2＝0，即B ＝C 时，（b+c ）max ＝23姨.△ABC 周长的最大值为3+23姨.（2）：解法二，用和角公式.b sin B =c sin C＝23姨＝2R ，b ＝23姨sin B ，c ＝23姨sin C ，b+c ＝23姨（sin B +sin C ）＝23姨[sin B+sin （仔3-B ）]＝23姨[12sin B +3姨2cos B ]＝23姨sin （B +仔3）.当sin （B +仔3）＝1时，即B +仔3＝仔2，B ＝仔6时，（b+c ）max ＝23姨.周长的最大值为3+23姨.2.3评析.试题的背景，（1）只一个角确定，三角形是动三角形，通过（2）的限定，在半径为3姨的圆中，点A ，是弦BC 所对劣弧上的动点.得到了点A 在圆中的动态画面.在所求的设定下，点A 位置由动到定.再由对称性及直觉，在特殊的等腰三角形中，可先验性的获得正确的结论，当周长最大时，所求的对象，存在于特殊的菱形之中.如果，图形能伴随数据出现，则结论不再只从推论过程中获得，按推论形式展开，按上正确的结果.若求周长的取值范围.本质上，都是圆中的动点到一种临界点的变化的数量表现.这种动三角形的题型，最初的数量是，A ＝仔3，BC ＝3姨在半径是1圆中，点A 在弦BC 所对的优弧上的动点，拟定所求.本题在这个基本的题目上，把半径，按图形相似的原则放大，并把点A 拟定在弦BC 所对的劣弧上的动点，来编制命题.解这个题目，使我们的数形结合意识增强.其中，以圆为背景，由动到静，统领近几年的解三角形的高考试题.题目3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c .（1）已知B ＝5仔6.（1）若a ＝3姨c ，b ＝27姨，求△ABC 的面积.（2）求sin A +3姨sin C ＝2姨2，求C .3.1分析.（1）b 和B 确定，决定点B 是圆弧上的动点，再限定a ＝3姨c 条件，成为定三角形，可解得一切量.当然包括三角形的面积.（2）根据同名不同角的三角函数与常数在一个等式中，可用和角公式，转化到包含所求角的三角函数值，可得到所求角.3.2解：（1）由余弦定理，b 2＝a 2+c 2-2ac ·cos B ，（27姨）2＝（3姨c ）2+c 2-2·3姨c ·c ·cos 5仔6，7c 2＝28，c ＝2，a ＝23姨.S △ABC ＝12·2·23姨·12＝3姨.（2）sin （B+C ）+3姨sin C ＝2姨2，sin （5仔6+C ）+3姨sin C ＝2姨2，12cos C+3姨2sin C ＝2姨2，sin （仔6+C ）＝2姨2，∵C ∈（0，仔6），C +仔6＝仔4，C ＝仔12.3.3启示，I 卷与域卷比较，在解三角形的取材上看，都是从圆中的周角与对边（弦）的比入手，是定值.都是顶点在圆弧上，由动到静.从解题技术层面看立意，是用边角之间转化及角与角之间，用和角转化.I 卷与域卷，对解三角形的试题，在背景、立意及解题技术等质的方面，是相通的.若两个函数的振幅相同，仍可用和差化积公式转化，使解题更简单.顶层设计，不公开说明试题多方面的内含，是一种数学教育模式的试验.却给了我们研究与发现的空间.题目4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c .已知a sin A+C 2=b sin A .（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求面积取值范围.4.1解题分析.（1），由结构决定，存在三个转化步骤.把边化为角；把A+C 2化成B 2；整角与半角之间的转化.（2）结合（1）与已知，把三角形的面积，表示成a 的函数，由角的范围决定a 的范围，进而确定临界值.4.2解题.解：（1）由正弦定理与内角关系，sin A cos B2＝sin B sin A ，cos B 2＝2sin B 2cos B 2，sin B 2＝１２，B 2＝仔6，B ＝仔3.（2）方法一，S △ABC ＝１２ac sin B ＝3姨4a ，a sin A ＝c sin C ，a ＝sin A sin C ＝sin （仔3-C ）sin C ＝3姨2tan C +１２.记a ＝f （C ）又仔6＜C ＜仔2，f （C ）为减函数，f （C ）的临界值为：f （C ）max ＝f （仔6）＝2，f （C ）min ＝f （仔2）＝１２.记3姨4·１２＜S △ABC ＜3姨4·2，∴3姨8＜S △ABC ＜3姨2.（2）方法二，建立直角坐标系，设B 与坐标原点重合，C 在x 正向上，A 在第一象限，如图1.作AC 1⊥x 轴，交x 轴于C 1，作AC 1⊥AB ，交x 轴于C 2.△ABC 1，△ABC 2，是满足条件临界的三角形.S △ABC 1＜S △ABC ＜S △ABC 2.y ＝3姨xyA （１２，3姨2）y ＝-3姨3x +23姨3xC 1C 2O （B ）图1仔5棕仔5棕3仔10棕4仔5棕13仔10棕9仔5棕23仔10棕14仔5棕33仔10棕19仔5棕43仔10棕24仔5棕53仔10棕29仔5棕yx-1-0.50.51图2A （１２，3姨2），S △ABC ＝１２·１２·3姨2＝3姨8.k AC 2＝-3姨3，AC 2∶y-3姨2＝-3姨3（x-１２）.令y ＝0，x ＝2，C 2（2，0）.S △ABC 2＝１２·2·3姨2＝3姨2.∴3姨8＜S △ABC ＜3姨2.4.3启示，解三角形试题样式，一般是通过一个边、角的命题，先得到一个角要素，然后，进一步限定条件，使三角形逐步定型；解题所涉及的知识点，是诱导公式，和角公式及正余弦定理，体现了对三角函数知识的系统性考察.标准答案表面，是余弦定理的活用.它的创新方面，是潜在的简单解法含而不现，本题三角形几何特征量，也是含现不现，如，除本题解法二（坐标解法）外，用平面几何知识解题就更简单.命题的逻辑与情态方面，体现三角函数的继承性，也是不忘初心.题目5.设f （x ）＝sin （棕x+仔5）（棕＞0），已知，f （x ）在[0，2仔]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f （x ）在（0，2仔）有且仅有3个极大值点；②f （x ）在（0，2仔）有且仅有2个极小值点；③f （x ）在（0，仔10）单调递增；④棕取值范围是[125，2910].其中所有正确的结论的编号是A.①④. B.②③. C.①②③. D.①②④.5.1解题分析.棕越大，各个特征量之间顺次排列就越密.仅凭这种感觉，不能完成函数四个方面数量表达，必须在三角函数的图像上，对关键的数量节点做出准确的标识.图像的相邻的两个对称轴，是函数单调性的节点；相邻零点，是正负的节点；周期内部各个节点对应的特征数量，是明确的.找到满足条件的初始节点与终结节点的特征数量，就可以个个击破.其中，在[0，2仔]有且仅有5个零点，同棕范围，构成一一对应关系.棕范围一旦确定，则零点、极值点、单调性等就相应确定.由周期性，第一个零点和终结零点，标识数量是关键.5.2解题.解：f （x ）如图2.在f （x ）的第一个周期中，因为棕＞0，准＝仔5，令棕x+仔5＝0，所以，x ＝-仔5棕是f （x ）距离原点最近的零增起点，不满足[0，2仔]有且仅有5个零点.顺次向后数，x ＝4仔5棕，是满足在[0，2仔]有且仅有5个零点中的第一个零点（在零点处，处于f （x ）减区间中，叫，零减起点）.顺次，向x 轴正向数（零点减与零点增相隔），数到第5个零点，是处有减区间零点x ＝24仔5棕，满足[0，2仔]有且仅有5个零点.即：24仔5棕≤2仔.同时，第6个零点x ＝29仔5棕＞2仔，是f （x ）在[0，2仔]有且仅有5个零点的等价条件.即：解之，125≤棕＜2910.∴④正确.由对称性与周期性，x ＝12（-仔5棕+4仔5棕）＝3仔10棕，是第一个极大值点，x ＝23仔10棕是第二个极大值点，x ＝43仔10棕是第三个极大值点，且x ＝43仔10棕＜48仔10棕≤2仔（第5个零点）.①正确.在f （x ）中，从第一个零增起点（不在题设的范围内），x ＝-仔5棕，到第一个极大值点，x ＝-仔5棕+T 4＝3仔10棕，f （x ）是增区间，f （x ）在x ∈（0，3仔10棕）是增区间.当棕＝125时，x ∈（0，仔8），f （x ）是增区间.所以，x ∈（0，仔10）时，f （x ）也是增区间.当棕＝2910时，x ∈（0，3仔29），f （x ）是增区间.又∵3仔29-仔10＝仔290＞0，∴仔10在极大值点3仔29的左侧，所以，x ∈（0，仔10）时，f （x ）也是增区间.③正确.第一个极大值点，加半个周期，得到第一个极小值点；本题第5个零点与第6个零点的中点，得第三个极小值点，x ＝12（24仔5棕+29仔5棕）＝53仔10棕.当x ＝53仔10棕≤2仔时，棕≥5320.有三个极小值点，即5320≤棕＜2910＝5820时，有三个极小值点.当x ＝53仔10棕＞2仔时，棕＜5320.有两个极小值点，即4820＝125＜棕＜5320时，有两个极小值点.这才是标准答案中（“但f （x ）在（0，2仔]可能有2或3个极小值点”）的具体内含.②不正确.综合上述，所有正确结论的编号是D.5.3启示.本题的立意，是全面考察y ＝sin （棕x +渍）作图能力及正弦函数内部特征数量之间的关系.把经验的数字静态函数图像，提升到字母的动态函数图像.这种严格的数学推理得到正确结论，考场难于完成.其中主要环节，是明确第5个零点与第6个零点与2仔数量关系，由等价关系解得棕范围.在数学理性的数量的规范下，可根据题型，进行考场直觉猜想.但后续的学习与研究，数字形态的图像，应该以y＝A sin （棕x+渍）字母图像为极终目标，同时，对周期，角速度，初相，零点，对称轴，单调性之间的关系，数量标识，应该明确.命题深层立意，是劝导我们，对照目标找差距.其中，三角函数的单调区间，零点，对称轴，角速度，初相及导数的数量特征，有成为未来命题的新动向.题目6.△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，△ABC周长.6.1分析.（1）利用三角形面积公式，结合条件，建立等量关系，再由用正弦定理，把边转化为角，向题设所求方向探索.（2），（1）一旦成功，再配上相应的系数，与积形式的题设结合，可得到cos（B±C）是定值，其中，从cos（B+C）为定值中，直接得到角A，点A限定在定圆的弧中，为进一步探索，打开了窗口.6.2解题.解（1）12ac sin B＝a23sin A，12sin C sin B=sin A3sin A，∴sin B sin C＝23.（2）由题设及（1）得，cos B cos C-sin B sin C＝-12，cos（B+C）＝-12，B+C＝2仔3，∴A＝仔3·12bc sin A=a23sin A，a＝3，∴bc＝8.由余弦定理，9＝b2+c2-bc，即（b+c）2-3bc＝9，（b+c）2＝33，∴b+c＝33姨，∴△ABC周长3+33姨.6.3启示，解题思路，是解题前的预设准备，只是个方向引领.真正的解题方法，是具体逻辑推动认知过程.探索连带发现调整表达的过程.本题由于得到bc＝8.所以，启动活用余弦定理的结构的注意指向.感受到了：运用余弦定理的部分结构，构造（b+c）2，已经成为时尚.题目7.△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.已知sin（A+C）＝8sin2B2.（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b.7.1分析.（1）左端，由和角公式可得B三角函数；右端，可通过降幂，由半角得整角B的三角函数式.解方程，通向所求.（2）结合（1）的结论，有活用余弦定理的可能.7.2解题.解（1）：sin（A+C）＝cos B，4cos B＝4（1-2sin2B2）.cos B＝4（1-2sin2B2）.平方，整理得17cos2-32cos B+15＝0.cos B＝1（舍），cos B＝1517.（2）sin B＝1-cos2B姨＝817，S△ABC＝１２ac sin B＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝172.又∵a+c＝6.由余弦定理：b２＝a２+c２-2ac cos B＝（a+c）2-4ac-2ac cos B.b２＝36-4·172-2·172·1517＝4，∴b＝2.7.3启示.解题技术，总是有精益求精的空间.如解方程17cos2-32cos B+15＝0.若cos B＝1，是由观察法得出，用韦达定理，得cos B＝1517.节约些时间.事实上，对一元n次方程，如ax2+bx+c=0（a≠0），若a+b+c＝0，则x＝1是一个解；若a-b+c＝0，则x＝-1是一个解.不同的板块知识技术，应有主动的联结意识.也感受到了命题数据配置精妙.题目8.△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c.（1）求C；（2）若c＝7姨，△ABC的面积为33姨2，求△ABC的周长.8.1分析.（1）直接由教材·必修5（人教B版）19页，芋巩固与提高，第10题：“在△ABC中，求证：c＝a cos B+b cos A”.可得C.（2）结合（1）的结论.已知角及角的对边，则顶点C是定圆弧的动点.又由面积确定，C成了定圆弧两个定点，得常量ab，构造a+b.8.2解题.解（1）：∵c＝a cos B+b cos A.∴cos C＝１２，∴C＝仔3.（2）１２ab sin C＝33姨2，ab＝6.c2＝a2+b2-2ab cos C，a2+b2＝c2+2ab cos C.（a+b）2＝25，a+b＝5.∴△ABC的周长5+7姨.8.3启示.教材仍不失为认知的基础材料，知识实，思路正，解题精.抛掉教材的教学与学习很可惜的.a cos B，是在c边的投影，b cos A，也是在c边的投影，两段投影的和，正好c边.在解三角形时，若三角式子，直接用几何线段代替，缩短了解题过程.几何学是三角学的逻辑生长点.是培养数形结合意识的好题材.通过对近几年的解三角形高考题解题的探索，对试题的背景，内容，及解题技术，稳定的继承因素有了些感觉.同时，对试题的立意与未来创新趋向，也是尝试性的猜想，得到了点散点式感觉，是个案启示，不成一论.期待与学子一起感悟、分享.责任编辑徐国坚。

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. Word资料 2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用

例1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin()8sin2BAC

．

(1)求cosB (2)若6ac，ABC面积为2，求b．

【答案】（1）15cos17B（2）2b．

【解析】由题设及ABC得2sin8sin2BB

，故sin4(1cos)BB．

上式两边平方，整理得217cos32cos150BB

，

解得cos1B（舍去），15cos17B.

（2）由15cos17B得8sin17B，故14sin217ABCSacBac．

又2ABCS

，则172ac．

由余弦定理及6ac得22222cos()2(1cos)bacacBacacB

1715362(1)4217．

所以2b．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出

例2 ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc,若2coscoscosbBaCcA,则B . 【答案】π3 【解析】1π2sincossincossincossin()sincos23BBACCAACBBB. 2

【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝3，C＝23π，则S△ABC

＝________.

【答案】34 【解析】因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得bsin B＝csin C，即1sin B＝3sin2π3＝2，即sin B＝12，所以B

＝π6，所以A＝π－π6－2π3＝π6.所以S△ABC＝12bc sin A＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例1在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且,,ABC成等差数列 (1)若23,2bc，求ABC的面积 (2)若sin,sin,sinABC成等比数列，试判断ABC的形状【答案】(1)32 (2)等边三角形【解析】(1)由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C(1) 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π．(2)

得B＝3，b2＝a2＋c2－2accosB(3)

所以3

cos44)32(22aa 解得4a或2a(舍去)

所以323sin2421sin21BacsABC (2)由a，b，c成等比数列，有b2＝ac(4) 由余弦定理及(3)，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac 再由(4)，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0。因此a＝c从而A＝C(5) . Word资料由(2)(3)(5)，得A＝B＝C＝3 所以△ABC为等边三角形．【易错点】等差数列，等比数列容易混淆

【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例2在△ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断△ABC的形状。【答案】等边三角形【解析】2sinsinsinABC2abc，又2abc，所以224()abc，所以24()bcbc，即

2()0bc，因而bc；由

2abc

得ab。所以abc，△ABC为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理题型三与三角形中有关的不等式问题

例1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sinaA.

（1）求CBsinsin; （2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.

【答案】（1）3

2sinsinCB ；（2）333ABCC

【解析】

.32sinsin.sin3sinsinsin21.sin3sin21,sin3sin21)1(2BCAABCAaBcAaBac由正弦定理得

即由题设得 4

.333.33,93)(,9.8,sin3sin21.3,32.21)cos(,21sinsincoscos)1()2(2222ABCCcbbccbbccbbcAaAbcACBCBCBCB即由余弦定理得即又即得由题设及 【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()yAxb，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 例2已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,cos3sin0aCaCbc. (1)求A的大小； (2)若a＝7,求△ABC的周长的取值范围．

【答案】(1) 3 (2)(14,21] 【解析】(1)由正弦定理得： cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin()sinACACACC 13sincos1sin()62AAA663AA；

(2)由已知：0b,0c,7bca, 由余弦定理22222231492cos()3()()()344bcbcbcbcbcbcbc

当且仅当b＝c＝7时等号成立,∴2()449bc,又∵b＋c＞7,∴7＜b＋c≤14, . Word资料从而△ABC的周长的取值范围是(14,21]．【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题. 【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 例3△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcos A. (1)求角B的大小;

(2)若b=2,求a+c的最大值. 【答案】(1)B=3（2）4 【解析】:(1)∵2c-a=2bcos A, ∴根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.①∵A+B=π-C,∴sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,

代入①式,得2sin Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A,化简得(2cos B-1)sin A=0.

∵A是三角形的内角,∴sin A>0,∴2cos B-1=0,解得cos B=,

∵B∈(0,π),∴B=3. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac.

∴(a+c)2-3ac=12,∴12≥(a+c)2-(a+c)2,当且仅当a=c=2时取等号,

∴a+c≤4

【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. (1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A>0得到cos B,从而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值. 【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素; (2) 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;