单位1工程问题
工程问题公式
工程问题公式（1）一般公式：工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。
工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。
特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。
）1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数总数÷总份数＝平均数2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数6、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数7、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数8、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数数学图形计算公式1、正方形：C-周长S-面积a-边长周长＝边长×4 C=4a面积=边长×边长S=a×a=a22、正方体：V-体积a-棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6=6a2体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a=a33、长方形: C-周长S-面积a-边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽S=ab4、长方体:V-体积S-面积a-长b-宽h-高表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)体积=长×宽×高V=abh5、三角形:S-面积a-底h-高面积=底×高÷2 S=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形：S-面积a-底h-高面积=底×高S=ah7、梯形：S-面积a-上底b-下底h-高面积=(上底+下底)×高÷28、圆形：S-面积C-周长∏-圆周率d-直径r-半径周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径C=∏d=2∏r面积=半径×半径×圆周率S=∏r29、圆柱体：V-体积h-高S-底面积r-底面半径C-底面周长侧面积=底面周长×高S侧=Ch表面积=侧面积+底面积×2 S表=S侧+2∏r2体积=底面积×高V=∏r2h体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体：V-体积h-高S-底面积r-底面半径体积=底面积×高÷3和差问题的公式（和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)差倍问题差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 植树问题1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数盈亏问题（盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数（大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)长度单位换算1千米（km）=1000米(m) 1米(m)=10分米(dm) 1分米(dm)=10厘米(cm) 1米(m)=100厘米(cm) 1厘米(cm)=10毫米(mm)面积单位换算1平方千米(km2)=100公顷(ha) 1公顷(ha)=10000平方米(m2) 1平方米(m2) =100平方分米(dm2)1平方分米(dm2)=100平方厘米(cm2) 1平方厘米(cm2)=100平方毫米(mm2)体(容)积单位换算1立方米(m3)=1000立方分米(dm3) 1立方分米(dm3)=1000立方厘米(cm3) 1立方分米(dm3)=1升(l)1立方厘米(cm3) =1毫升(ml) 1立方米(m3) =1000升(l)重量单位换算1吨(t)=1000 千克(kg) 1千克(kg)=1000克(g) 1千克(kg)=1公斤(kg)人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时（h）1小时（h）=60分（s）1分（min）=60秒（s）1小时（h）=3600秒（s）]追击问题公式相向而行）：追及路程/追及速度和=追及时间（同向而行）：追及路程/追及速度差=追及时间追及距离除以速度差等于追及时间.追及时间乘以速度差等于追及距离.追及距离除以追及时间等于速度差. 追及：速度差×追及时间=追及路程追及路程÷速度差=追及时间(同向追及)甲路程—乙路程=追及时相差的路程相遇：相遇路程÷速度和=相遇时间速度和×相遇时间=相遇路程速度差×追及时间=追及路程追及路程÷速度差=追及时间(同向追及) 甲路程—乙路程=追及时相差的路集合我所搜到的答案基本内容工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
七年级一元一次方程：工程问题应用题(答案)
《一元一次方程：工程问题》【基本知识】工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”．基本关系为：工作效率×工作时间=1（工作总量）等量关系：(图示法)工作总量=工作效率×工作时间全部工作量之和=各队工作量之和，各队合作工作效率=各队工作效率之和工作总量不清楚时看成“1”1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间=工作总量工作效率工作时间=工作总量工作时间工作效率2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．一、【求时间】1、一项工程甲做40天完成，乙做50天完成，现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成．问甲、乙各工作了多少天？【分析】由题意知，甲每天完成全部工作量的140，乙每天完成150，【解】设工程总量为1，设甲工作了x天，则乙工作了（46x-）天，根据题意，得4614050x x-+=．解得16x=，则461630-=（天）．故甲工作了16天，乙工作了30天．答：甲工作16天，乙工作30天．2、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？【分析】设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
【解】设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，5365331123)121151(===+⨯+x x 解之得 答：乙还需536天才能完成全部工程。
29、一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？【解】设还需x 天。
3101)3(151121310111511213151101==+++⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 解得或11、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？【解】设还需要x 天完成，依题意，得111()41101515x +⨯+= 解得x =5 答：还需要5天完成12、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?【解】设再用x 小时可全部完成任务1)121151(124151=+++x 解答：x = 4 答：再用4小时可全部完成任务18、某项工作甲单独做4天可完成，乙单独做8天可完成。
六年级奥数专题训练001-工程问题(带答案)
001－工程问题【工程问题公式】（1）一般公式：工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。
特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。
）1. 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？2. 师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需天数相同.师傅与徒弟甲合作所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同.问：两徒弟单独完成这项工程各需多少天？3. 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？4. 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？5. 一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？6．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？7．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。
如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
1工程问题(已整理)
工程问题一、什么是工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作量=工作效率X时间•在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”二、工程问题存在的比例关系工作总量相同，工作效率和工作时间成反比；工作时间相同，工作效率和工作总量成正比；工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。
三、例子例：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成•问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是寺，乙的工作兹率是吉.我们想求两人合作所需时间・就要先求两人合作的工作数率存吉，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量十工作效率=6 （天）？两人合作需要天标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成•乙需要做几天可以完成全部工作？3 1 1 2解一：甲做了3天，完成的工作量是一=一，乙还需完成的工作量是1-一=-9 3 3 31 2 2 1乙每天能完成的工作量（工作效率）是—，完成余下—的工作量所需时间是—=4 （天）6 3 3 6答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份•甲每天完成2份，乙每天完成3份•乙完成余下工作所需时间是（18- 2 X 3 ）- 3= 4 （天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6 : 9= 2 : 3.甲做了3天，相当于乙做了2天•乙完成余下工作所需时间是6-2=4 （天）.例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40= （24+16 ）天.16 2这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替•因此甲的工作效率是乙的工作效率的=-24 3如果乙独做，所需时间是30+ 30X -= 50 （天）.3如果甲独做，所需时间是50^- = 75 （天）.答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成•现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15 （天），乙要多做48-28=20 （天），由此得出甲的工幽率是乙的工作效率的洛善（倍）甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21 （天），相当于乙要做21X y= 28 （天）.因此，乙还要做28+28= 56 （天）.答：乙还需要做56天.例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量110余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是⑴存&事=1 （天）-2+8+ 1= 11 （天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份•甲每天完成3份，乙每天完成1份•在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后, 还需两队合作（30- 3 X 8- 1 X 2）-（3+1 ）= 1 （天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8= 2 （天）工作量•相当于乙队要做2 X3=6 （天）•乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4 （天）工作量.4=3+1 ,其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成•现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天•从开始到完成共用了16天•问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是11-1 = 13 3乙队休息期间未做的工作量是320 60'乙队休息的天数是—丄〔天〉60 30 2答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份•甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是（3+2 ）X16- 60= 20 （份）.因此乙休息天数是（20- 3 X 3）- 2= 5.5 （天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5 （天）.例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天•如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4 X8 ）份.由张、李合作需要（60-4 X8）-（4+3 ）=4 （天）.8+4=12 （天）.答：这两项工作都完成最少需要12天.例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们的工作数率就要降低*甲貝能完成壕来的老乙只能完成原来的彩.现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作，共完成3 X 0.8 + 2 X 0.9= 4.2 （份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3 X8）-（4.2-3 ）=5 （天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高君，乙的工作效率比单独做时提高吉甲 ' 乙两人含作&小时，完成全2 13部工作的令第二天乙又单独做了回对还留下这件工作的莹尚未完成如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时?解：乙6小时单独工作完成的工作量是13 2 _ 13 5 6乙每小时完成的工作量是1 £ 16 36两人合作6小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是1 一看二33 （小时）一答：甲单独完成这件工作需要33小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理•但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便•例8就是如此•例8也可以整数化，当求出乙每小时完成的工作量是丄后，可设这项工作的工作量是1知，对后面计算会有一点方便，但好处不大•不必多此一举•我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多•例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成. 问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是1.甲、乙两人合作每天完成壬； 乙丙两人合作每天完成丄；4 了 甲、両两人合作每天完成丄；甲、乙、丙三人合作每天完成丄丄―亠36 45 6（/180减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成61 ■' =1 180 45 90甲独做需要1+/=90（天）.答：甲一人独做需要 90天完成. 例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成 5份，乙、丙合作每天完成 4份，甲、丙合作每天完成3份•请试一试，计算是否会方便些？例10 一件工作，甲独做要 12天，乙独做要18天，丙独做要24天•这件工作由甲先做了若干天，然后由 乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2倍，终于做完了这件工作•问总共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3X 2=6 （天）.甲做1天.完成工作量的4-「乙就宪成工作量的穆心丙就完成工作12lo量的_ 6-共完成—-+ — X 3 j —* X 6 12 18 -— = 222天，乙做了 2 X 3=6 （天），丙做2 X6=12（天），三人一共做了答：完成这项工作用了 20天. 本题整数化会带来计算上的方便.12 ,18 , 24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为 72.甲每天完成6,乙每天完成 4，丙每天完成3.总共用了说明甲做了 2+6+12=20（天）.例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13天完成•如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两 人合作1天•问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙2天的工作量，相当乙 4天的工作量•丙的工作效率是乙的工作效率的 4 +2=2 （倍），甲、乙合作 1天，与乙做4天一样•也就是甲做1天，相当于乙做 3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍•乙做门天，甲只要£天孑丙做门天.乙要朋天，面甲只寒£天.JJ他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要13 +导爭=26 （天）答：甲独做需要26天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 3 ：2 : 1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作 1天•三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成•例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组 4人7天也能完成工作•问甲组2人和乙组7人合作多少 时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是1.甲组每人每天能完成8 24’乙组每人每天能完成甲组2人和乙组7人每天能完成11 1X 2* — X7 =24 28 =3'他们合作需要片卜珂天）•答：合作3天能完成这项工作•解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成• 现在已不需顾及人数，问题转化为：72 x ------ 1 + 宀 -- = 20 （天）4■1 -7甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？甲、乙工作效率之比是4 : 12= 1 ： 3合作时，甲承担工作量是吕-:合作所霜吋间是412 X 1=3〔天）.小学算术要充分利用给出数据的特殊性•解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成•乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成•现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天完咸乙每天完威卜存右,丙每天完成.令=击三个车间做，完成这批零件的制作，需蔓甲每天比乙多完成1 1 1W 15 30因此这批零件的总数是40 12400 ~ ~ — 16200〔个）丙车间制作的零件数目是7 4016200 X —X —= 4200 （个）一答：丙车间制作了4200个零件•解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份•甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成•乙完成8 X2=16 （份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是16 : 14=8 ：7.已知甲、乙工作效率之比是 3 : 2= 12 ：8・综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 : 8 : 7.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400 -（12- 8 ） X 7= 4200（个）.例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时•有同样的仓库 A 和B ，甲在A 仓库、乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运 •最后两个仓库货物同时搬完•问丙帮助甲、乙各多少时间? 解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量 2，所需时间是O甲汕时能気成春 肯需要丙帮助搬运Q1（1- 一） +—二 3〔小时） 乙&^时能完成寻「尚需要丙帮助搬运g]（1-—— =5（小时）答：丙帮助甲搬运 3小时，帮助乙搬运 5小时. 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间 •本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，需要60 X 2 -（ 6+ 5+ 4 ） = 8 （小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6 X 8）- 4= 3 （小时）. 乙需丙帮助搬运（60- 5 X 8 ）-4= 5 （小时）. 三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的 =8〔小吋）.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就 .至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同例15甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池•现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过满了水池•已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？解’设水池容量划甲、乙两管共同注水珊弗注入木量是| = |-甲每分钟注入水量是（1 却10 = £乙每分钟注入水量是1 _ 1 =2_9因此水池容积是0-6 -（存存=27（立方检答：水池容积是27立方米.例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定时间的刍再把打开的水管增加1倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池打开了几根水管？解’増开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的,彳是紳緒因此增开水管后的这段时间的注水量.是前一段时间注水1量師4倍.设水池容量是1,顶定时间的二（前一段时间）的注水量是1 4 11 + 4 5'10根朮管同时打开，能按预定时间注满水池每根朮管的注水量是寺预定吋间的-,每根水管注水量是—x - ■ —■J 1U J JU要注满木池的$需要水管答：开始时打开6根水管.3分钟就注.问开始时例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管•要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要3卜时.单开丁管需要列、时.现在池内有3池水如杲按甲、乙丙、丁、甲、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？解’甲、乙、丙、丁容管各开1小时后，水池中的水就曽加7=—60我们注意到"每次四个水管轮流打开后.水池中的水不能超过池的|，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出因为歹护矿吟所以甲、乙、両、丁这样循环4次后，水池中的水还不到彳循环效以后（20小时），池中的水已有1 了「6 60 町2 1 7这样,再开甲管（丐）冷时后，水就开始溢岀了簷：20时后木池开始溢水一此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺•问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时只往上爬3- 2= 1 （尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口•因此，答案是28小时，而不是30小时•例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水•如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空•现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？解：先计算1个水龙头每分钟放出水量•2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 X 60= 240 （立方米）•时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是文案大全240 - （5X 150- 8 X 90 ）= 8 （立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 X 8 X 90 ,其中90分钟内流入水量是4 X 90 ,因此原来水池中存有水8 X 8 X 90-4 X 90= 5400 （立方米）• 打开13个水龙头每分钟可以放出水8 X13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400 ,需^<5400 -（8 X 13- 4 ）=54 （分钟）•答：打开13个龙头，放空水池要54分钟•水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水这在题目中却是隐含着的•例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的•打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空•如果打开A, B两管，4小时可将水排空•问打开B, C两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为1.A管每小时排出；+讣时渗入爪量，OA管4小时排出£ + 4小时渗入水量因为丄B合开时，4小时将满池水排完，所以^管4小时的排水：S为!每水时排朮量为！+ 4 = |. C管每小时丼爪量是卜讣时的渗水量JI因此，B, C两管齐开，每小时排水量是尹巨彳1小吋的渗水昱B, C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是1 1 41+ （石=4—（小时）=4力、时48井.答：B, C两管齐开要4小时48分才将满池水排完.本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量•由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样•这里把两种水量分别设成“ 1 ” •但这两种量要避免混淆•事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数24.17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题•从本质上讲，与例18和例19是类同的•题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的例20有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快它们的面积分别是詁亩、10亩和朗亩卫头牛4星期吃完第一片牧场的草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草•问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量=一头牛每星期吃草量x牛头数x星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量” 作为草的计量单位•「为了计算简便，不妨假定牧场面积用亩作“单位詹来计算一注*10 =£><3, 21 = 7X3因此题目中第二今条件.可臥改变为卩头牛9星期吃完31亩]草地上原有革和新长岀来的革.对3善亩草地来说，原有草+4星期新长的草=12 X4.原有草+9星期新长的草=7 X9.由此可得出，每星期新长的草是（7 X9-12 X4） -（9-4 ）=3.那么原有草是7 X9-3 X9=36 （或者12 X4-3 X4）.对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是（36 + 3X ]g）X（24+3】）=90X7 2这些草能让90 X7.2 +18=36 （头）文案大全牛吃18个星期.答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.例20与例19的解法稍有一点不一样•例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算•事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空• ”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系•但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件•好好想一想，你能明白其中的道理吗？“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现•限于篇幅，我们只再举一个例子•例21画展9点开门，但早有人排队等候入场•从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多•如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队•问第一个观众到达时间是8 点几分？解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位•从9点至9点9分进入观众是3 X9 ,从9点至9点5分进入观众是5 X5.因为观众多来了9-5=4 (分钟)，所以每分钟来的观众是(3 X9-5 X5)-(9-5 ) =0.5.9点前来的观众是5 X5-0.5 X5=22.5.这些观众来到需要22.5 +0.5=45 (分钟).答：第一个观众到达时间是8点15分.。
工程问题的方程(详解)
五、工程问题：一般情况下把工作总量看成单位1，公式：工作时间×工作效率=工作总量（单位1）如：一项工程甲队需30天完成任务，则甲每天完成工作量的1/30130，则工作效率为1/30130；如果乙队需要20天完成任务，则甲每天完成工作量的1/20120，则工作效率为1/20120，两人一起可以完成（1/20+1/30）——工作效率之和1、某件文件需要打印，小李独立完成需要6个小时，小王独立完成需要8个小时，如果两人合作的话，需要多少时间可以完成。
设需要x小时两人合作可以完成，（牢记公式：工作效率（包括工作效率之和）×工作时间＝工作总量）则可列方程：（1/6 + 1/8）x＝12、一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。
现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？.（分析：甲乙队合作之前，由甲队单独已完成的工作量为5×1/30；甲乙合作之后的工作效率之和为1/30 + 1/20；则可设他们需要合作x天。
）解：设甲、乙两队需要合作x天，可完成剩下的所有工作，根据题意，得：5×1/30 +（1/30 + 1/20）x＝15/30 + 5/60x＝15/60x＝1-5/305/60x＝25/30x＝25/30÷5/60x＝25/30×60/5x＝10（检验：5×1/30 + 10×1/30 + 10×1/20＝1，符合题意。
）答：甲、乙两队需要合作10天，可完成剩下的所有工作.3、一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？（分析：甲、乙合作4天所完成的工作量为(1/10 + 1/15)×4，若设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，则合作之后乙单独完成的工作量为1/15x）答：设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，根据题意，得：（1/10 + 1/15）×4 + 1/15x＝15/30×4 + 1/15x＝120/30 + 1/15x＝11/15x＝1-20/301/15x＝10/30x＝10/30÷1/15x＝10/30×15x＝5(检验：1/10×4 + 1/15×4 + 1/15×5＝1符合题意。
认识抽象“1”, 工程问题轻松解
认识抽象“1”，工程问题轻松解
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来源：《科普童话·学霸日记》2019年第09期
說到数字1，你会想到什么？
1的伟大我们说也说不完，但请同学们先暂停下大脑中关于“1”的头脑风暴。
因为，今天我们专门将“1”请来为我们讲讲数学界的难题：工程问题。
据说，这位“1”在工程问题中的作用相当大呢！
工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
解决工程问题的关键就是：把问题中的未知条件“工作总量”看成单位“1”，然后再求出要解答的工作效率或工作时间。
工作总量：一般抽象成单位“1”
基本公式：工作总量=工作效率×工作时间。
讲义(二)工程问题、单位“1”的分数应用题、浓度、折扣利率、比例
For personal use only in study and research; not for commercial use讲义工程问题、浓度、折扣利率、比例一、基本公式：①工作总量=工作效率×工作时间②工作效率=工作总量÷工作时间③工作时间=工作总量÷工作效率基本思路：①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.一、两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？答：乙需要做4天可完成全部工作.例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是如果甲独做，所需时间是答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 56 （天）.答：乙还需要做 56天.例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了11天.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例5一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是 1.甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要90天完成.例6一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了20天.例7 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为 1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200个零件.三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.例8甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？甲每分钟注入水量是乙每分钟注入水量是因此水池容积是答：水池容积是27立方米.例9一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷（ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为 1.A管每小时排出A管4小时排出因此，B，C两管齐开，每小时排水量是B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
工程问题的应用题
工程问题的应用题一、工程问题基本概念与公式1. 基本概念- 工程问题中，通常把工作总量看作单位“1”。
例如，修一条路、盖一栋楼等工作任务的总量都可以设为1。
2. 基本公式- 工作效率×工作时间 = 工作总量。
- 工作效率 = 工作总量÷工作时间。
- 工作时间 = 工作总量÷工作效率。
- 例如，如果甲3天完成一项工作，那么甲的工作效率就是1÷3 = 1/3（把工作总量看作1）。
二、工程问题应用题及解析1. 题目- 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。
两队合作需要多少天完成？- 解析- 根据公式，甲队的工作效率为1÷10 = 1/10，乙队的工作效率为1÷15 = 1/15。
- 两队合作时，工作效率为两队工作效率之和，即1/10+1/15。
- 先通分，1/10 + 1/15=3/30+2/30 = 5/30 = 1/6。
- 再根据工作时间 = 工作总量÷工作效率，工作总量为1，工作效率为1/6，所以两队合作需要的时间为1÷1/6 = 6天。
2. 题目- 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
甲先做4小时，然后乙加入一起做，还需要多少小时完成？- 解析- 甲的工作效率为1÷20 = 1/20，乙的工作效率为1÷12 = 1/12。
- 甲先做4小时，根据工作总量 = 工作效率×工作时间，甲先做的工作量为1/20×4 = 1/5。
- 那么剩下的工作量为1 - 1/5 = 4/5。
- 甲乙合作的工作效率为1/20+1/12，通分得到3/60 + 5/60 = 8/60 =2/15。
- 根据工作时间 = 工作总量÷工作效率，剩下工作量为4/5，工作效率为2/15，所以还需要的时间为4/5÷2/15 = 4/5×15/2 = 6小时。
最新1工程问题(已整理)
工程问题一、什么是工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作量=工作效率×时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”二、工程问题存在的比例关系工作总量相同，工作效率和工作时间成反比；工作时间相同，工作效率和工作总量成正比；工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。
三、例子例：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）?两人合作需要6天.一、两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解一：甲做了3天，完成的工作量是39 =13 ,乙还需完成的工作量是1-13 =23乙每天能完成的工作量（工作效率）是16 ，完成余下23 的工作量所需时间是23 ÷16 =4（天）答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解三：甲与乙的工作效率之比是 6∶ 9= 2∶ 3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解：共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的1624 =23如果乙独做，所需时间是如果甲独做，所需时间是答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 解：先对比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 56 （天）.答：乙还需要做 56天.例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）.因此乙休息天数是（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少需要12天.例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作，共完成3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？解：乙6小时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作6小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要33小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要90天完成.例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了20天.本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要26天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是1.甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组2人和乙组7人每天能完成答：合作3天能完成这项工作.解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400÷（12- 8）× 7= 4200（个）.例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，需要60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？甲每分钟注入水量是乙每分钟注入水量是因此水池容积是答：水池容积是27立方米.例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？答：开始时打开6根水管.例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.以后（20小时），池中的水已有此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.因此，答案是28小时，而不是30小时.例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷（ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为1.A管每小时排出A管4小时排出因此，B，C两管齐开，每小时排水量是B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24.17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.例20有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.原有草+4星期新长的草=12×4.原有草+9星期新长的草=7×9.由此可得出，每星期新长的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃18个星期.答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.例21画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.从9点至9点9分进入观众是3×9，从9点至9点5分进入观众是5×5.因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.9点前来的观众是5×5-0.5×5=22.5.这些观众来到需要22.5÷0.5=45（分钟）.答：第一个观众到达时间是8点15分.。
总量可用单位1表示即工程问题精品名师资料
讨论：通过这三题的题目和解法，你发 现了什么？你可以提出一个假设吗？如 果公路的长度没有告诉，能不能解？
一段公路，甲队单独修10天完成，乙队 单独修15天完成，两队合修几天完成？ 1 1 1 1÷（ 10 + 15 ）=1÷ = 6（天） 6 “1”表示什么？ 工作总量 1 甲队的工作效率 10 表示什么？ 1 乙队的工作效率 表示什么？ 15 1 1 甲乙两队的工作效率和 + 表示什么？ 10 15
③ 如果把这条路的长度看做是“1”，应该怎样解答？
（二）分析与解答
1 1 1÷（ ＋ ） 12 18 5 ＝ 1÷ 36 36 ＝ （天） 5 问题： ① 这样列式的依据是什么？
“1”
1 12
“ 1”
（工作总量÷工作效率＝工作时间）1 18 1 1 ② 求的是什么？ 呢？ 18 12 （一队1天修完这条路的几分之几； 二队1天修完这条路的几分之几。） 1 1 1 1 ＋ ③“ ＋ ”求的是什么？ 12 18 12 18
工程问题
一、口答下面各题，想一想前三题有什么特 点，关系式是什么？ 1、粮仓有一批大米，用卡车10小时可全部运 完，平均每小时运这批大米的几分之几？ 2、服装厂加工一批成衣，3个月完工，平均 每个月完成总量的几分之几？
3、一项工程，5天完成，平均每天完成几分 之几？ 4、一项工程，每天完成 1 ，几天可以完成？ 4
（二）分析与解答
如果两队合修，多少天能修完？ 问题： ① 我们需要的这两个信息题目中都没有给，怎么办？ ② 我们能不能先假设出这条路的长度，再计算呢？可以怎样假设？ （假设这条路的长度是18km；假设这条路的长度是30km。） （结合学生的假设，可以随机使用数据。） ③ 根据你假设的这条路的长度，请你列式计算。
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1、有一篇文章，甲打字员打字要24分钟完成，乙打字员要36分钟完成。
现在两人合
打，几分钟完成？
2、一项工程，甲单独做8小时完成，乙单独做6小时完成，甲、乙合作几小时完成全部
工程的4分之3？
3、修一条水渠，甲队修要20天，乙队要25天，乙队先修5天后，甲、乙合作还需要几
天？
4、一份文件，甲、乙合打8小时完成，甲单独打要12小时完成。
乙单独打要几小时完
成？
5、有一项工程，甲、乙合作10天完成，甲单独做14天完成，问两人合作4天后，所余
工程由乙单独做，需要几天完成？
6、加工一批零件，如果单独加工，师傅2小时可以完成全部零件的3分之1，徒弟3小时
可以完成全部零件的6分之5，现在师徒二人合作，完成全部任务需几小时？
7、快车从甲城到乙城，需要20小时，慢车从乙城到甲城需要30小时，两车同时从两城
相对开出，相遇时慢车距甲城还有1080千米。
甲、乙两城相距多少千米？
8、张明和李华同时从甲、乙两地相对出发，张明步行到乙地需要5小时，李华骑车到甲
地要用2小时，几小时后两人之间的距离正好等于全程的？
9、打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的2分之1，乙接着又打2小时，打了这
份稿件的4分之1，剩余的甲、乙共同打，还需要几小时？
10、一项工程，甲队单独做要21天完成，乙队的工作效率是甲队的7分之4，两队合
作多少天完成工程的一半？。