2015年普通高等学校招生全国统一考试全国1卷数学试卷分析
2015-2019全国一卷数学高考真题知识点分析
知识点2015年（题）2016年（题）2017年（题）2018年（题）简单线性规划2121双曲线的性质2021交集及其运算0221利用导数研究函数的单调性0221正弦定理2020抛物线的性质0211程序框图1110由三视图求面积、体积1111二面角的平面角及求法1110椭圆的性质0111函数的图象与图象的变换0120复数的运算1110二项式定理1110函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换1110利用导数研究函数的极值1100简单曲线的极坐标方程1001棱柱、棱锥、棱台的体积1110数列递推式1002余弦定理0101数列的求和0120复数的模0101几何概型0111等差数列的前n项和0011利用导数研究曲线上某点切线方程0011直线与平面所成的角0003充分条件、必要条件、充要条件2000正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1010茎叶图2000函数的零点2000参数方程化成普通方程1010不等式的证明1000离散型随机变量的期望与方差1001直线与圆锥曲线的综合2000交、并、补集的混合运算1000直线与圆相交的性质1100相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式1000古典概型及其概率计算公式0100对数值大小的比较0100数量积判断两个平面向量的垂直关系0110两角和与差的三角函数0110等差数列的性质0100双曲线的标准方程0100不等式的基本性质0110平面向量数量积的性质及其运算0110数列与函数的综合0100轨迹方程0100命题的真假判断与应用0010绝对值不等式的解法0011球的体积和表面积0010平面与平面垂直0011直线与抛物线的综合0011分段函数的应用0002直线与圆的位置关系0001利用导数研究函数的最值0002等比数列的前n项和0000点、线、面间的距离计算0000奇偶性与单调性的综合1000两向量的和或差的模的最值1000定积分、微积分基本定理1000等差数列与等比数列的综合1000相似三角形的判定1000基本不等式及其应用1000简单空间图形的三视图1000正弦函数的图象1000函数恒成立问题1000异面直线及其所成的角0100根据实际问题选择函数类型0100圆的切线的判定定理的证明0100参数方程的概念0100带绝对值的函数0100正弦函数的奇偶性和对称性0100解三角形0100离散型随机变量及其分布列0100抽象函数及其应用0010圆锥曲线的综合0010极差、方差与标准差0010直线与平面平行0010相关系数0010概率的应用0001棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积0001平面向量的基本定理0001三角函数的周期性0001二倍角的三角函数0001函数的零点与方程根的关系0001频率分布直方图0001补集及其运算0001排列、组合及简单计数问题0001三角形中的几何计算0001直线与椭圆的综合0001进行简单的合情推理0000平面向量数量积的坐标表示、模、夹0000系统抽样方法0000运用诱导公式化简求值0000三角函数的恒等变换及化简求值0000独立性检验00002019年（题）总计次数061616161515140414141403030313130303130313031313030202020202120202120212121202021212020212121202120202021202。
数学全国I卷高考试题(理科)的分析一.考试大纲的说明2015年与
数学全国 I 卷高考试题（理科）的分析一．考试大纲的说明2015年与2016年的对比：2016年的考试说明与2015年的考试说明没有任何区别二．全国I卷近3年高考理科试题考查的知识点，2013 2014 20151 集合之间的关系集合(交集) 复数乘除、模2 复数的运算和虚部复数（除法运算）三角变换（和差角公式）3 抽样方法函数奇偶性命题的否定4 双曲线的渐近线双曲线概率（独立重复实验）5 程序框图古典概型双曲线（向量）6 球的组合体三角函数的定义与图象圆锥体积7 等差数列程序框图平面向量8 三视图三角恒等变换三角函数图像单调区间9 二项式求参数线性规划与命题程序框图10 椭圆方程抛物线二项式11 分段函数求参数范围零点求参数范围三视图12 递推数列研究单调性三视图函数不等式求参数范围13 向量运算求参数二项式函数奇偶性求参数14 数列求通项推理问题椭圆与圆15 三角函数最值问题向量的夹角线性规划16 四次函数对称性和最值解三角形解三角形17 解三角形递推数列数列求通项求和18 三棱柱(线线垂直,线面正态分布与期望面面垂直、异面直线成角8角)19 概率及数学期望三棱柱回归方程20 圆椭圆抛物线（存在性问题）21导数（求参数和范围）导数（切线求参数，证明不等式）函数导数（切线零点）22 选考内容选考内容选考内容（一）、高频考点分析命题规律：1.函数与导数：2—3个小题，1个大题，客观题主要以考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主，也有可能与不等式等知识综合考查；解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等的应用问题。
2.三角函数与平面向量：小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查（注意在实际问题中的考查）或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质.另外向量也可能与解析等知识结合考查.3.数列：2个小题或1个大题，小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题；解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推为主.4.解析几何：2小1大，小题一般主要以考查直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解，大题一般以直线与圆锥曲线位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识，考查求轨迹方程问题，探求有关曲线性质，求参数范围，求最值与定值，探求存在性等问题.另外要注意对二次曲线之间结合的考查，比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等.5.立体几何：2小1大，小题必考三视图，一般侧重于线与线、线与面、面与面的位置的关系以及空间几何体中的空间角、距离、面积、体积的计算的考查，另外特别注意对球的组合体的考查.解答题以平行、垂直、夹角、距离等为考查目标. 几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷1
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设复数z 满足＝i ，则|z |＝【A 】 (A )1 (B(C(D )2(2)sin20°cos 10°－con 160°sin10°＝【D 】 (A ) (B (C ) (D ) (3)设命题P ：n N ，>，则P 为【C 】(A )n N ， > (B ) n N ， ≤ (C )n N ， ≤ (D ) n N ， ＝(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为【A 】 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是【A 】1+z1z-12-12∃∈2n 2n⌝∀∈2n 2n ∃∈2n 2n∀∈2n 2n ∃∈2n 2n2212x y -=12MF MF ⋅(A )()(B )()(C )(，) (D )() (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有【B 】(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点，则【A 】(A ) (B )(C ) (D )(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为【D 】(A )()，k (b )()，k(C )()，k (D )()，k3-33BC CD =1433AD AB AC =-+1433AD AB AC=-4133AD AB AC =+4133AD AB AC =-(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝【C 】 (A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）的展开式中，的系数为【C 】(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20，则r ＝【B 】 (A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是【D 】25()x x y ++52x y π2rr正视图俯视图r2rA .[，1)B . [)C . [)D . [，1)第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f (x )＝xln (x)为偶函数，则a ＝ 1 .(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为.(15)若x ，y 满足约束条件，则的最大值为 3 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设，求数列}的前n 项和解：（I ）由，可知可得即由于可得又，解得32e -33,24e -33,24e 32e 22325()24x y ±+=10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩yx 2243n n n a a S +=+211124 3.n n n a a S ++++=+221112()4n n n n a a a a a +++-+-=2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-0n a >1 2.n n a a +-=2111243a a a +=+111()3a a =-=舍去，所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为（II ）由设数列的前n 项和为，则(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值解：（I ）连结BD ，设BDAC=G ，连结EG ，FG ，EF.在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由ABC=120°，可得AG=GC=.由 BE 平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE EC ，所以EG=，且EG AC.在Rt EBG 中，可得BE=故DF=.在Rt FDG 中，可得FG=. 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=，DF=，{}n a 2 1.n a n =+21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++{}n b n T 12n nT b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+∠3⊥⊥3⊥∆222∆62222ABCFED可得FE=.从而又因为所以平面（I ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I ）可得所以 故所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为.(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.2222,EG FG EF EG FG +=⊥所以,.ACFG G EG AFC =⊥可得平面EG AEC ⊂平面AEC AFC ⊥平面GB(0(10(10),(02A E F C --，，，(132),(1AE CF ==-，，cos ,3AE CF AE CF AE CF ⋅==-⋅3－)2－)2－)(y i))(y i －)46.6 56.3 6.8289.81469108.8表中w i ＝， ，＝(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：解： （I ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,含解析)
通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 bn 2n n ，故可采取分组求和法求其
前 10 项和．
试题解析：（I）设等差数列an 的公差为 d ．
由已知得
a1 d
a1 3d
4
a1
6d
15
，
解得
ad1
3 1
．
所以 an a1 n 1 d n 2 ．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分 12 分） 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合 指数进行分组统计，结果如表所示．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取
一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_______．
【答案】 25
【解析】
试题分析：由题意得抽样比例为 45 1 ，故应抽取的男生人数为 500 1 25．
考点：集合的运算． 3．下列函数为奇函数的是( )
A． y x B． y ex C． y cos x D． y ex ex
【答案】D 【解析】
试题分析：函数 y x 和 y ex 是非奇非偶函数； y cos x 是偶函数； y ex ex 是奇函数，故选 D．
考点：函数的奇偶性．
2
4
2
4
【答案】A
考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．
承古萌新饶有别致——2015年高考数学全国I卷试题评价与备考建议
分）
2015年新课程全国Ⅰ卷高考数学试题在重点考查 基础知识的前提下，对于数学知识体系中的主干知识， 如函数与导数、解析几何、立体几何、概率与统计、三角 函数、数列等重点知识在试卷中占主导地位.其中主干 知识文科分值达到115分，理科分值也达到110分（详见 表3），这集中体现了重要内容重点考查，主干知识反复 考查的原则.
3.强化数学思想，加强数学思维能力的考查 全国卷历来重视数学思想与方法的考查，今年也不 例外.如考查数形结合思想的有理科卷第8、12、15、16、21 题，文科卷第8、12、15、21题；函数与方程思想则体现在 文理科第20题、第21题等题目中；转化与化归思想贯穿 整份试卷，如理科第15题、文科第16题等；而分类讨论思 想则在文理第21题体现；同时在文理试题中，突出了对 考生思维能力的考查， 如理科卷第5题将圆锥曲线和向 量及不等式有机结合，考查学生的综合能力；又如理科 卷第16题将正余弦定理和极限思想浑然天成，要求考生 思维灵活，考查了考生归纳推理的能力，再如文理卷第 19题考查考生的计算能力和应用意识.总之，无论是文 科还是理科都注重了对考生数学思维能力的考查.
表3 2015年文理科知识点分值分布表
知识 函数
概率 几何 不等 坐标系
解析 立体 三角点内Biblioteka 与导与统 证明 式选 与参数
几何 几何 函数
容数
计 选讲 讲 选讲
文科 27 22 22 17 17 10 10 10
理科 22 22 22 15 17 10 10 10
知识
程序 线性
简易
点内 数列 集合 复数
向量
/
框图 规划
2015年普通高等学校招生全国统一(新课标1卷)理科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试Ⅰ理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z 满足1i 1zz+=-，则z =（ ）.A 1 .B .C .D 22.sin 20cos10cos160sin10-=（ ）.A .B .C 12- .D 123. 设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）.A n ∀∈N ，22n n > .B n ∃∈N ，22n n … .C n ∀∈N ，22n n … .D n ∃∈N ，22n n =4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）.A 0.648 .B 0.432 .C 0.36 .D 0.3125. 已知()00,M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）.A 33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ .B ,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.C 33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.D 33⎛- ⎝⎭6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）.A 14斛 .B 22斛 .C 36斛 .D 66斛7. 设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =，则（ ）.A 1433AD AB AC =-+ .B 1433AD AB AC =-.C 4133AD AB AC =+ .D 4133AD AB AC =-8. 函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.A 13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z.B 132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z.C 13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z.D 132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z9. 执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 810. ()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 6011. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620+π，则r =（ ）.A 1 .B 2 .C 4 .D 812. 设函数()()e21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得输出n输入t开始结束()00f x <，则a 的取值范围是.A 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ .B 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ .C 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ .D 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 6 页，22 题，其中第 15、16 题为选考题。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位， i 607 的共轭复数为（ ） A ． i B ． -i 【答案】A 【解析】 C ．1 D ．-1 试题分析： i 607 = i 4⨯151⋅ i 3 = -i , -i 的共轭复数为 i 选 A .考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134 石 B ．169 石 C ．338 石 D ．1365 石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为考点：用样本估计总体.28254⨯1534 = 169石，选 B. 3.已知(1 + x )n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 （ ） A. 212 【答案】DB ． 211C ． 210D ． 29考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.⎨ ⎩4.设 X N (μ, σ2 ) ， Y N (μ, σ2 ) ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正1122确的是（ ）A ． P (Y ≥ μ2 ) ≥ P (Y ≥ μ1 )B ． P ( X ≤ σ2 ) ≤ P ( X ≤ σ1 )C ．对任意正数t ， P ( X ≤ t ) ≥ P (Y ≤ t )D ．对任意正数t ， P ( X ≥ t ) ≥ P (Y ≥ t )【答案】C考点：正态分布密度曲线.5．设 a 1 , a 2 , , a n ∈ R ， n ≥ 3.若 p ： a 1 , a 2 , , a n 成等比数列；q ： (a 2 + a 2 + + a 2 )(a 2 + a 2 + + a 2 ) = (a a + a a + + a a )2 ，则（）12n -123n1 22 3n -1 nA ．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B ．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C ．p 是 q 的充分必要条件D ．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：对命题 p ： a , a , , a 成等比数列，则公比 q =a n(n ≥ 3) 且 a ≠ 0 ；1 2na n -1对命题 q ，①当 a = 0 时，(a 2 + a 2 + + a 2 )(a 2 + a 2 + + a 2 ) = (a a + a a + + a a )2 成n12立；n -123n1 22 3n -1 n② 当 a n ≠ 0 时 ， 根 据 柯 西 不 等 式 ， 等 式(a 2 + a 2 + + a 2 )(a 2+ a 2 + + a 2 ) = (a a + a a + + a a )2 成立，1 2 n -1 2 3 n 1 2 2 3 n -1 n则 a 1 = a 2 = ⋅⋅⋅ = a n -1 ，所以 a , a , , a成等比数列，a 2 a 3 a n1 2 n所以 p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.⎧1, 6.已知符号函数 sgn x = ⎪0, ⎪-1, x > 0, x = 0, x < 0.f (x ) 是 R 上的增函数，g (x ) = f (x ) - f (ax ) (a > 1) ，则（ ）A ． sgn[g (x )] = sgn xB ． sgn[ g ( x )] = -sgnx n⎨ ⎩⎨ ⎩C ． sgn[g (x )] = sgn[ f (x )] 【答案】B 【解析】D ． sgn[g (x )] = -sgn[ f (x )] 试题分析：因为 f (x ) 是 R 上的增函数，令 f (x ) = x ，所以 g (x ) = (1- a )x ，因为 a > 1，所 以 g (x )是 R 上 的 减 函 数 ， 由 符 号 函 数⎧1, sgn x = ⎪0, ⎪-1, x > 0 x = 0 知 ，x < 0 ⎧-1, x > 0 sgn[g (x )] = ⎪0, x = 0 ⎪1, x < 0= - sgn x .考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0, 1] 上随机取两个数 x , y ，记 p 为事件“ x + y ≥ 1 ”的概率，p 为事件“ | x - y |≤ 1”1 2 22的概率， p 为事件“ xy ≤ 1”的概率，则 （ ）3A ． p 1 < p 2 < p 3 【答案】B2 B ． p 2 < p3 < p 1 C ． p 3 < p 1 < p 2D ． p 3 < p 2 < p 1（1） （2） （3）考点：几何概型.8．将离心率为e 1 的双曲线C 1 的实半轴长 a 和虚半轴长b (a ≠ b ) 同时增加 m (m > 0) 个单位长度，得到离心率为 e 2 的双曲线C 2 ，则（ ） A ．对任意的 a , b ， e 1 > e 2C ．对任意的 a , b ， e 1 < e 2【答案】DB ．当 a > b 时， e 1 > e 2 ；当 a < b 时， e 1 < e 2 D ．当 a > b 时， e 1 < e 2 ；当 a < b 时， e 1 > e 2考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合A = {(x, y) x2 +y2 ≤ 1, x, y ∈Z}，B = {(x, y) | x |≤ 2 , | y |≤ 2, x, y ∈Z}，定义集合A ⊕B = {(x1 +x2, y1+y2) (x1, y1) ∈A, (x2, y2) ∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】试题分析：因为集合A = {(x, y) x2 +y2 ≤1, x, y ∈Z}，所以集合A中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合B = {(x, y) | x |≤ 2 , | y |≤ 2, x, y ∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合A ⊕B = {(x1 +x2 , y1 +y2 ) (x1 , y1 ) ∈A, (x2 , y2 ) ∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1 中的整点（除去四个顶点），即7 ⨯7 - 4 = 45个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t ，使得[t]=1，[t2 ] = 2 ，…，[t n ] =n 同．时．成．立．，则正整数n 的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请将答案填在答．题．卡．对．应．题．号．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14 题）11.已知向量OA ⊥AB ，| OA |= 3 ，则OA •OB =.【答案】9【解析】试题分析：因为OA ⊥AB，| OA |= 3 ，所以OA •OB =OA• (OA +AB) =| OA |2 +OA•OB =| OA |2 = 32 = 9.考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.12．函数f (x) = 4 cos2 xcos(π-x) - 2 s in x- | ln(x +1) | 的零点个数为．2 2【答案】22 6考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.【答案】100 【解析】试 题 分 析 ： 依 题 意 ，∠BAC = 30， ∠ABC = 105， 在 ∆ABC中 ， 由∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180 ，所以∠ACB = 45，因为 AB = 600，由正弦定理可得600sin 45 = BC sin 30，即 BC = 300 m ， 在 Rt ∆BCD 中，因为∠CBD = 30 ， BC =300 ，所以 tan 30 = CD = BC CD ，所以CD = 100 m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.6 2 300 2NANBMAMBMAMBMAMB22 - 214．如图，圆C与x 轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A, B （B在A的上方），且AB = 2 ．（Ⅰ）圆C 的标．准．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆O : x2 +y2 = 1相交于M , N 两点，下列三个结论：①=；②-= 2 ；③+= 2 2 ．其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）(x-1)2 +(y-2)2 =2；（Ⅱ）①②③+MA=+MB2=2 + 22 -1+ 2 + 1= 2 2 ，正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第 15 题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC = 3PB ，则AB=.AC所以-NB MANA MB=22 - 2 2 + 2-2= 2 + 1- ( 2 - 1) = 2 ，NBNANBNANBNA⎪t1 【答案】2考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似.16．（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的⎧x = t - 1 ,极坐标方程为ρ(sin θ- 3cos θ) = 0 ，曲线 C 的参数方程为 ⎨⎪ y = t + 1 ⎩ t( t 为参数) ，l与 C 相交于 A B 两点，则| AB |= . 考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
Removed_精编全国新课标高考数学试卷命题分析：2015年新课标(Ⅰ)高考理科数学试卷分析52
2015年新课标（Ⅰ）高考理科数学试卷分析一、试题总体特点2015年高考新课标理科数学试卷与近几年的高考试卷相比变化不大，试卷结构与往年保持不变，但在题目设置上有略微的不同：既注重考查考生对于基础知识、基本技能的考查，符合考试说明的各项要求，又在一定程度上进行了创新，注重考查学生对实际生活的具体应用。
从考查形式上看2015年新课标一理科数学依然是是选择题、填空题、解答题、选做题四大板块，分值是60、20、60，10的分布，题量也和2014年一样是12、4、5、3的分布，其中选做题是三选一，只是做一道题就可以了，不同的是2015年新课标一卷理科数学与实际生活联系了起来，比较注重学生对实际生活与数学的相结合的应用以及比较有创新性，其中选择题第九题是实际应用的具体体现，第21题是题目创新的具体体现。
从考查难度上看2015年新课标一卷，难度趋于常态，除了选择题12题和解答21题，没有太过难的题目，基本上都是对基础知识以及知识运用上的一些考查，适当加了一些拔高，不过基本题难度基于常态。
二、各题知识点与分值题号知识点分值1、复数的模的求解5分2、三角恒等变换5分3、简易逻辑5分4、概率与统计5分5、圆锥曲线纵坐标范围求解5分6、立体几何体积求解5分7、平面向量三角形法则以及运算5分8、三角函数的性质：增减性5分9、程序框图5分10、二项式定理5分11、空间几何三视图5分12、函数与导数5分13、函数的性质5分14、圆锥曲线与圆的综合5分15、简单的线性规划5分16、解三角形5分17、数列求通项和前n项和12分18、立体几何证垂直，求两直线的夹角余弦值12分19、统计概率12分20、圆锥曲线12分21、函数12分22、几何证明选讲10分23、坐标系于参数方程10分24、不等式选讲10分纵观2015年高考理科数学，基本题型没有发生太大变化，但是里面实质性的一些内容还是变化比较大的，现在高考的趋向是注重学生学以致用，注重学生对实际生活与理论知识的一个结合的运用和知识创新的运用，所以现在高考命题也越来越灵活。
2015年高考理科数学新课标全国1卷逐题解析
2
2
y01，所以MF1MF2=
(3x,y)(3x,y)=
0000
33
222
x0y033y010，解得y0，
33
故选A.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依
垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如
在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
BCBE
sinEsinC
，即
2BE
oo
sin30sin75
，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时
与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
BFBC
sinFCBsinBFC
则a的取值范围是（）
（A）[-
3
2e
，1）（B）[-错误！未找到引用源。，
3
4
错误！未找到引用源。）（C）
[错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）（D）[错误！未找到引用源。，1）
【答案】D
x
【解析】设g(x)=e(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在
直线yaxa的下方.
5．已知M（
x0,y0）是双曲线C：
2
x
2
21
y上的一点，F1,F2是C上的两个焦点，若
MF1MF20，则y0的取值范围是（）
（A）（-
3
3
，
3
3
）（B）（-
3
6
，
2015全国高考卷一数学真题
2015全国卷一数学满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共12小题）1．已知集合则集合中元素的个数为（）B．4C．3D．2A．52．已知点，，向量，则向量=（）B．A．C．D．（1,4）3．已知复数Z满足，则Z=（）A．B．C．D．4．如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数。
从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则（）B．6C．9D．12A．36．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）B．22斛C．36斛D．66斛A．14斛7．已知是公差为1的等差数列，为的前项和.若，则（）B．C．D．A．8．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（）B．A．C．D．9．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（）B．6C．7D．8 A．510．已知函数，且，则=（）A．B．C．D．11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（）B．2C．4D．8A．112．设函数的图像与图像关于直线对称，且，则（）A．-1B．1C．2D．4二、填空题（共4小题）13.已知数列中，为的前n项和。
若=126，则n=_______．14.已知函数的图像在点处的切线过点（2,7），则=_______．15.若满足约束条件，则的最大值为__________．16.已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，．当△周长最小时，该三角形的面积为__________．三、解答题（共8小题）17.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，。
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1 2015年普通高等学校招生全国统一考试全国1卷数学试卷分析2015.6.8 一．整体解读
试卷紧扣考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，宽角度、多视点、有层次地考查了学生的数学理性思维能力、对数学本质的理解能力及数学素养和潜能的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1、回归教材，注重基础 2015年新课标卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理（理科）、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型。同时，在立体几何、导数等题目上进行了一些微创新，与我国古代《九章算术》中的著名题目相联系，这些题目的设计回归教材和中学教学实际。 2、适当设置题目难度与区分度 与往年新课标卷相对比，今年的选填难度仍然设置在选择题和填空题的最后两道。尤其以选择题第12题和填空题第16道为代表。有的同学平时此类型的题目见的较少，需要在考场紧张的状态下独自解决，这考查了同学在压力状态下分析问题，解决问题的能力。对此，我们之前给出的建议是，不要在这类型的题目花费过多的时间，从而压缩了后面解答题部分的答题时间，同时也影响考试情绪。 3、布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在解答题部分，文、理两科试卷均对高中数学中的重点内容时行了考查。包括数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数五大版块和三选一问题。以知识为载体，立意于能力，让数方法和数学思统方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 4、命题考察的沿续性 2015年新课标卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。例如2015年新课标1卷理科选择题第7题与2014年新课标1卷文科第6题的命题方式基本完全一致。 2
二．考点分布 1.理科
2.文科 集合 5 复数 5 线性规划 5 向量 5 简易逻辑 5 程序框图 5
集合 0 复数 5 函数 5 向量 5 简易逻辑 5 程序框图 5 线性规划 5 二项式定理 5 解三角形 10 几何证明选讲 10 坐标系与参数方程 10 不等式选讲 10 数列 12 概率与统计 17 导数 17 立体几何 22 解析几何 22 3
函数 10 数列 10 几何证明选讲 10 坐标系与参数方程 10 不等式选讲 10 解三角形 17 概率与统计 17 导数 17 立体几何 22 解析几何 22
0510152025
集合复数线性规划向量简易逻辑程序框图函数数列几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲解三角形概率与统计导数立体几何解析几何
2015文科试卷分析分值
三．试题及详解 文科试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合,则集合中元素的个数为 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2
（2）已知点，向量，则向量 （A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1,4） 4
（3）已知复数满足，则 （A） （B） （C） （D） （4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为
（A） （B）15 （C）110 （D）120
（5）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与的两个交点，则 （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( A ) 14斛 ( B ) 22斛 ( C ) 36斛 ( D ) 66斛
（7）已知}是公差为1的等差数列,为}的前项和，则，则 （A） （B） （C）10 （D）12 （8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
（A） （B） 5
（C） （D） （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（10）已知函数，且，则 （A）-74 （B）-54 （C）-34 （D）-14 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则
（A） 1 ( B ) 2 ( C ) 4 ( D ) 8 （12）设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则 （A）-1 （B）1 （C）2 （D）4 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 6
（13）在数列中，为的前项和。若，则 （14）已知函数的图像在点处的切线过点（2,7），则 . （15）满足约束条件，则的最大值为 .
（16）已知是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点当周长最小时，该三角形的面积为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本小题满分12分） 已知分别为内角的对边， （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）设，且，求的面积. （18）（本小题满分12分） 如图，四边形为菱形，为与的交点⊥平面 （Ⅰ）证明：平面⊥平面； （Ⅱ）若，三棱锥的体积为36，求该三棱锥的侧面积
（19）（本小题满分12分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售 7
量（单位：）和年利润单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
x y
w
81i（x1-x）2 81i（w1-w）2 81i（x1-x）(y-y) 8
1i
（w1-w）(y-y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中 =xi, ，w =1881iwi （Ⅰ）根据散点图判断，与x哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）以知这种产品的年利率与的关系为。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i） 年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii） 年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 ，v1）,（u2 ， v2）„„， （un ， vn）,其回归线=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 8
121niiiniiuuvvuu
，vu
（20）（本小题满分12分） 已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.
（1）求的取值范围；
（2）若OM·ON =12，其中为坐标原点，求. （21）.（本小题满分12分） 设函数. （Ⅰ）讨论()fx的导函数'()fx零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a时，2()2lnfxaaa。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 (22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点。
（Ⅰ）若为的中点，证明是⊙O的切线； （Ⅱ）若，求的大小。
（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线1C:圆2C：22(1)(2)1xy，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 9
（1）求1C,2C的极坐标方程。 （2）若直线C3的极坐标为=4（）,设与的交点为,求的面积.
（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知函数，则 （1） 当时，求不等式的解集； （2） 若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.
文科详解 1.D【解析】：考察集合的基本运算，因为集合A=,集合B= ,共同元素只有8，14两个。所以答案选 D. 2．A【解析】：考察向量的坐标运算，设C ，x=-4+0=-4; y=-3+1=2,所以得C ，
得 = = 选A
3．C【解析】：考察考察复数的乘除运算，原式的=.选C 4．C【解析】：考察古典概型，用列举法，5个数选3个数组合在一起总共有10种可能，能作为一组勾股数只能是3、4、5，所以概率为. 所以答案选C
5．B【解析】：考察椭圆的标准方程，以及通径，椭圆的焦点坐标为（2,0），所以C=2,a=4,过焦点且垂直于X轴的弦AB为通径，由 得 .答案选B 6．B【解析】：考察圆锥的体积，这题较新颖，活学活用，由弧长=8尺，再根据弧长公式,