2016-2017北京海淀初三第一学期期中数学试题及答案亲手整理
2016-2017学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜3}2．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向3．（5分）函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．44．（5分）已知命题p：?c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．?c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．?c＜0，方程x2﹣x+c=0有解5．（5分）已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数8．（5分）如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C 使得△ABC为等边三角形，则称A为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=．10．（5分）若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．11．（5分）已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则?=．12．（5分）去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin （x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为℃．13．（5分）设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．?a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；。
北京海淀中关村中学2016-2017高一上期中数学试题(原卷版)
2016-2017学年度第一学期高一期中练习数学 2016．11一、选择题：本大题共8小题，共32分．1. 已知集合，，则（）．A. B. C. D.2. 函数的定义域是（）．A. B. C. D.3. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）．A. B. C. D.4. 函数在区间上是单调函数的条件是（）．A. B. C. D.5. 已知偶函数在上单调递增，则下列关系成立的是（）．A. B.C. D.6. 函数的零点所在的区间是（）．A. B. C. D.7. 函数的图象大致是（）．A. B. ...C. D.8. 已知定义在上的奇函数满足，且时，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为其中正确的是（）．A. 甲，乙，丁B. 乙，丙C. 甲，乙，丙D. 甲，丁二、填空题：本大题共6小题，共24分9. 已知幂函数过点，则函数的解析式是__________．10. 已知函数的单调增区间是，则__________．11. 函数在的最大值与最小值之和是__________．12. 奇函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是__________．13. 设函数的最小值是，则实数的取值范围是__________．14. 已知是集合是非空子集，且当时，有．记满足条件的集合的个数为，则__________；__________．三、解答题：本大题共4小题，共44分．15. 已知集合，，全集．（）求．（）已知集合，若，求实数的取值范围．16. （）．（）．17. 已知二次函数的最小值为，且．（）求的解析式．（）若函数在区间上不单调．．．，求实数的取值范围．（）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．18. 设函数定义在上，对于任意实数，，恒有，且当时，．（1）求的值．（2）求证：对任意的，有．（3）证明：在上是减函数．（4）设集合，，且，求实数的取值范围．。
2016-2017学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(理科)及解析
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知向量 a =（﹣1，2）， b →=（2，﹣4）．若 a →与 b →（ ） A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2.函数y=2x + 22x 的最小值为（ ）A.1B.2C.2 √2D.43.已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（ ） A.∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 B.∀c≤0，方程x 2﹣x+c=0有解C.∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 D.∃c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解4.已知函数y=a x ， y=x b ， y=log c x 的图象如图所示，则（ ）A.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a5.设 a →， b →是两个向量，则“| a →+ b →|＞| a →﹣ b →|”是“ a →• b →＞0”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f （x ）=cos 4x+sin 2x ，下列结论中错误的是（ ） A.f （x ）是偶函数 B.函f （x ）最小值为 34 C.π2 是函f （x ）的一个周期D.函f （x ）在（0， π2 ）内是减函数7.如图所示，A 是函数f （x ）=2x 的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数g （x ）=2x+2的图象于点B ，若函数f （x ）=2x 的图象上存在点C 使得△ABC 为等边三角形，则称A 为函数f （x ）=2x 上的好位置点．函数f （x ）=2x 上的好位置点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.大于2第II 卷（非选择题）二、解答题n 2的等差数列，数列{b n 满足b n+1﹣b n =a n ， 且b 2=﹣18，b 3=﹣24．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求b n 取得最小值时n 的值． 9.已知函数f （x ）=e x （x 2+ax+a ）． （1）求f （x ）的单调区间；（2）求证：当a≥4时，函数f （x ）存在最小值．10.已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n+1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）． （1）若a 1=2，a 2=3，求a 3 ， a 4 ， a 5的值；（2）求证：“数列{a n }中存在a k （k∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；n }中∃a k （k∈N *），使得1≤a k ＜2．三、填空题n n 项和S n =3n +1，则a 2+a 3= ．12.若角θ的终边过点P （3，﹣4），则sin （θ﹣π）= ．13.已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则 AE →⋅BD →= ．14.去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数y=a+bsin （ π6 x+ π6 ）（a ，b 为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃．15.设函数f （x ）= {2x −a,x ≤1log a x,x ＞1（a ＞0，且a≠1）．①若a= 32 ，则函数f （x ）的值域为 ；②若f （x ）在R 上是增函数，则a 的取值范围是 ．16.已知函数f （x ）的定义域为R ．∀a ，b∈R，若此函数同时满足： ①当a+b=0时，有f （a ）+f （b ）=0； ②当a+b ＞0时，有f （a ）+f （b ）＞0， 则称函数f （x ）为Ω函数． 在下列函数中： ①y=x+sinx； ②y=3x ﹣（ 13 ）x ；③y= {0,x =0−1x,x ≠0是Ω函数的为 ． （填出所有符合要求的函数序号）参考答案1.D【解析】1.解：向量 a →=（﹣1，2）， b → =（2，﹣4）． b →=﹣2 a →，所以两个向量共线，反向． 故选：D ．【考点精析】关于本题考查的数量积判断两个平面向量的垂直关系，需要了解若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直才能得出正确答案．2.C【解析】2.解：函数y=2x + 22x ≥2 √2x ⋅22x =2 √2 ，当且仅当x= 12 时，等号成立． 故选：C ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式： ． 3.A【解析】3.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解． 故选：A ． 4.C【解析】4.解：根据函数的图象知，函数y=a x 是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b 是幂函数，且x=2时，y=2b ∈（1，2），∴b∈（0，1）； 函数y=log c x 是对数函数，且x=2时，y=log c 2∈（0，1），∴c＞2； 综上，a 、b 、c 的大小是c ＞a ＞b ． 故选：C ．【考点精析】通过灵活运用指数函数的单调性与特殊点，掌握0<a<1时:在定义域上是单调减函数;a>1时:在定义域上是单调增函数即可以解答此题． 5.C【解析】5.解：若| a →+ b →|＞| a →﹣ b →|，则等价为| a →+ b →|2＞| a →﹣ b →|2 ，即| a →|2+| b →|2+2 a →• b →＞| a →|2+| b →|2﹣2 a →• b →， 即4 a →• b →＞0，则 a →• b →＞0成立，反之，也成立，即“| a →+ b →|＞| a →﹣ b →|”是“ a →• b →＞0”的充要条件， 故选：C ． 6.D【解析】6.解：对于A ，函数f （x ）=cos 4x+sin 2x ，其定义域为R ，对任意的x∈R，有f （﹣x ）=cos 4（﹣x ）+sin 2（﹣x ）=cos 4x+sin 2x=f （x ）， 所以f （x ）是偶函数，故A 正确；对于B ，f （x ）=cos 4x ﹣cos 2x+1= (cos 2x −12)2 + 34 ，当cosx= √22 时f （x ）取得最小值 34 ，故B 正确；对于C ，f （x ）= (cos 2x −12)2 + 34= (1+cos2x 2−12)2 + 34 = cos 22x 4 + 34 = 1+cos4x 8 + 34 = 1+cos4x 8 + 78 ，它的最小正周期为T= 2π4 = π2 ，故C 正确；对于D ，f （x ）= 78 cos4x+ 78 ，当x∈（0， π2 ）时，4x∈（0，2π），f （x ）先单调递减后单调递增，故D 错误． 故选：D ．【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题． 7.B【解析】7.解：根据题意，设A ，B 的纵坐标为m ， 则A （log 2m ，m ），B （log 2m ﹣2，m ）， ∴AB=log 2m ﹣log 2m+2=2， 设C （x ，2x ），∵△ABC 是等边三角形，∴点C 到直线AB 的距离为 √3 ， ∴m﹣2x = √3 ，∴x=log 2（m ﹣ √3 ），∴x= 12 （log 2m+log 2m ﹣2）=log 2m ﹣1， ∴log 2（m ﹣ √3 ）=log 2m ﹣1=log 2 m2 ， ∴m﹣ √3 = m2 ， 解得m=2 √3 ，∴x=log2（m﹣√3）=log2√3，函数f（x）=2x上的好位置点的个数为1个，故选：B．8.（1）解：由题意知d=2，再由bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴an=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（2）解：bn+1﹣bn=2n﹣10，∴b2﹣b1=2×1﹣10，b 3﹣b2=2×2﹣10，…b n ﹣bn﹣1=2（n﹣1）﹣10（n≥2），累加得：bn =b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+ 2×n(n−1)2−10(n−1) = n2−11n=(n−112)2−1214．∴当n=5或6时，bn 取得最小值为b5=b6=﹣30【解析】8.（1）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（2）把数列{an }的通项公式代入bn+1﹣bn=an，利用累加法求得bn，结合二次函数求得bn取得最小值时n的值．【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．9.（1）解：f′（x）=e x（x+2）（x+a），由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，①﹣a=﹣2即a=2时，f′（x）=e x（x+2）2≥0恒成立，∴函数f（x）在R递增；2），（﹣a，+∞）递增，在（﹣2，﹣a）递减，a＞2时，f（x）在（﹣∞，﹣a），（﹣2，+∞）递增，在（﹣a，﹣2）递减；（2）解：法一：由（1）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，∵a≥4，∴x∈（﹣∞，﹣a）时，x（x+a）≥0，e x＞0，x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，∴a≥4时，函数f（x）存在最小值f（﹣2）；法二：由（Ⅰ）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，x→﹣∞时，x2+ax+a→+∞，∴f（x）＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，∴x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）＞0，∴a≥4时，函数f（x）的最小值是f（﹣2）【解析】9.（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）结合（1）得到函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．10.（1）解：∵a1=2，a2=3，lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），∴lga3=|lg3﹣lg2|= lg32，即a3=32；lga4=|lg32−lg3|=lg2，即a4=2；lga5=|lg2−lg32|=lg43，即a5=43；（2）证明：必要性、已知数列{an }中有无数多项是1，则数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．∵数列{an }中有无数多项是1，∴数列{an}中存在ak（k∈N*）使得ak=1，即数列{an }中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．充分性：已知数列{an }中存在ak（k∈N*）使得lgak=0，则数列{an}中有无数多项是1．假设数列{an}中没有无数多项是1，不妨设a m=1(m∈N∗)是数列{a n}中为1的最后一项，则am+1≠1，若am+1＞1，则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=lgam+1，∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=0，则lgam+3=1，与假设矛盾；若0＜am+1＜0，则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=﹣lgam+1，∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=﹣2lgam+1，lgam+4=|lgam+3﹣lgam+2|=|﹣2lgam+1+lgam+1|=﹣lgam+1，lgam+5=|lgam+4﹣lgam+3|=|﹣lgam+1+2lgam+1|=﹣lgam+1，∴lgam+6=|lgam+5﹣lgam+4|=0，得lgam+6=1，与假设矛盾．综上，假设不成立，原命题正确；（3）证明：假设数列{an }中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，则0＜ak ＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得a n+1={a na n−1,a n≥a n−1a n−1a n,a n＜a n−1（n=1，2，3，…）*，且an＞0（n=1，2，3，…），∴当n≥2时，an ≥1，an≥2（n=3，4，5，…）．若a4=a3≥2，则a5=1，与a5≥2矛盾；若a4≠a3≥2，设bm =max{a2m+1，a2m+2}（m=1，2，3，…），则bm≥2．由（*）可得，a2m+3≤max{a2m+1,a2m+2}2=12b n，a2m+4≤12max{a2m+2,a2m+3}，∴ max{a2m+3,a2m+4}≤12b m，即b m+1≤12b m（m=1，2，3，…），∴ b m≤b12m+1，对于b1，显然存在l使得21−1≤b1<21．∴ b1+1≤b121＜1，这与b m≥2矛盾．∴假设不成立，原命题正确【解析】10.（1）由a1=2，a2=3，结合lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）可得a3， a4， a5的值；（2）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；（3）利用反证法，假设数列{an }中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，则0＜ak ＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．11.24【解析】11.解：数列{an }的前n项和Sn=3n+1，S 1=31+1=4，S3=33+1=28，a 2+a3=28﹣4=24．所以答案是：24．【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式． 12.45【解析】12.解：∵角θ的终边过点P （3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣ 45 ， 则sin （θ﹣π）=﹣sinθ= 45 ，所以答案是： 45 ． 13.12【解析】13.解：由题意可得 AD →⋅AB → =0，AD=AB=1，∴ AE →⋅BD → =（ AD →+AB→2）•（ AD → ﹣ AB →）= AD →2﹣ 12AB →⋅AD →﹣AB →22=1﹣0﹣ 12 = 12 ，所以答案是： 12 ．14.31【解析】14.解：函数y=a+bsin （ π6 x+ π6 ）（a ，b 为常数）， 当x=6时y=22；当x=12时y=4； 即 {a +bsin(π+π6)=22a +bsin(2π+π6)=4，化简得 {a −12b =22a +12b =4，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin （ π6 x+ π6 ），当x=8时，y=13﹣18sin （ π6 ×8+ π6 ）=31． 所以答案是：31．15.（﹣ 32 ，﹣ 12 ]∪（0，+∞）；[2，+∞）【解析】15.解：（1）当a= 32 时，若x≤1，则f （x ）=2x ﹣ 32 ，则其值域为（﹣ 32 ，﹣ 12 ]，若x ＞1，f （x ）= log 32x ，则其值域为（0，+∞），综上所述函数f （x ）的值域为（﹣ 32 ，﹣ 12 ]∪（0，+∞）， ·（2）∵f（x ）在R 上是增函数， ∴a＞1，此时f （x ）=2x ﹣a 的最大值为2﹣a ，f （x ）=log a x ＞0，∴2﹣a≤0，解得a≥2，故a的取值范围为[2，+∞），所以答案是：（1）：（﹣32，﹣12]∪（0，+∞），（2）：[2，+∞）16.①②【解析】16.解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f （b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．所以答案是：①②．【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．。
。北京市海淀区中关村中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
x 需满足：
2 x 1 0且 2x 1 1
2
3x 2 0
，解得： x 且 x 1 ， 3
2
C．
, 3
∴函数的定义域是 故选 A ．
2 ,1
U (1,
)，
3
1
D．
, 2
3．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（
1 A ． y x2
3
B． y x
【答案】 C
）． C． y x x
1 【解析】 A 选项， y x2 是偶函数，故 A 错误；
π
∴ f ( π) f (2) f
，
2
∴ f ( π) f (2) f 故选 C ．
π ，
2
x
6．函数 f ( x) 3 log 2 ( x) 的零点所在的区间是（
）．
5
A．
,2 2
B． ( 2, 1)
C． (1,2)
【答案】 B
【解析】∵
f ( 2)
32
log2 2
1 9
1
0 ， f ( 1) 3 1
9
π0 ．
（ 2 ） lg5(lg8
lg1000)
(lg2 3 )2
1 lg
lg0.06 ．
6
【答案】见解析
1
【解析】解： （ 1） (0.027) 3
2
1 7
1
72 2
π0
9
1
27 3
1000
2
1 7
1
25 2 π0 9
10 49 5 1
3
3
5 50
45 ．
（ 2 ） lg5(lg8
lg1000)
∴ m 1． 故实数 m 的取值范围是 ( , 1) ．
(完整版)2017年北京市中考数学试题及答案
2017年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 题一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.如图所示，点P 到直线l 的距离是（ ）A ．线段PA 的长度B ． 线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段PD 的长度 2.若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠ 3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）A ． 三棱柱B ． 圆锥C ．四棱柱D ． 圆柱4. 实数,,,a b c d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．4a >-B ．0bd > C. a b > D ．0b c +> 5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ． C. D ．6.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ） A ． 6 B ． 12 C. 16 D ．187. 如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭g 的值是（ ）A ． -3B ． -1 C. 1 D ．38.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况. 2011-2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（）A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B．2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C. 2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多9.小苏和小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（）A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程 D ．小林在跑最后100m 的过程中，与小苏相遇2次10. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.下面有三个推断：① 当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ② 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620. 其中合理的是（ ）A ．①B ．② C. ①② D ．①③二、填空题（本题共18分，每题3分）11. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．12. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为____________． 13.如图，在ABC ∆中，M N 、分别为,AC BC 的中点.若1CMN S ∆=，则ABNM S =四边形 ．14.如图，AB 为O e 的直径，C D 、为O e 上的点，AD CD =.若040CAB ∠=，则CAD ∠= ．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆可以看作是OCD ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由OCD ∆得到AOB ∆的过程： ．16.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：0,90Rt ABC C ∆∠=，求作Rt ABC ∆的外接圆.作法：如图．（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于,P Q 两点； （2）作直线PQ ，交AB 于点O ； （3）以O 为圆心，OA 为半径作O e .O e 即为所求作的圆.请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题 （本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：(4cos3012+--.18. 解不等式组：()21571023x x x x ⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩19.如图，在ABC ∆中，0,36AB AC A =∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D . 求证：AD BC =.20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S ∆∆∆=-+矩形，ABC EBMF S S ∆=-矩形（____________+____________）． 易知，ADC ABC S S ∆∆=，_____________=______________，______________=_____________． 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形．21.关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围.22. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，0//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=，E 为AD 的中点，连接BE .（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长. 23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图象与直线2y x =-交于点()3,A m . （1）求k m 、的值；（2）已知点()(),0P n n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =-于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数()0ky x x=>的图象于点N . ①当1n =时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN PM ≥，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.24.如图，AB 是O e 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作O e 的切线交CE 的延长线于点D . （1）求证：DB DE =；（2）若12,5AB BD ==，求O e 的半径.25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整. 收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格） 分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：得出结论：a .估计乙部门生产技能优秀的员工人数为____________；b .可以推断出_____________部门员工的生产技能水平较高，理由为_____________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）26.如图，P 是AB 所对弦AB 上一动点，过点P 作PM AB ⊥交AB 于点M ，连接MB ，过点P 作PN MB ⊥于点N .已知6AB cm =，设A P 、两点间的距离为xcm ，P N 、两点间的距离为ycm .（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PAN ∆为等腰三角形时，AP 的长度约为____________cm . 27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A B 、（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122,,,P x y Q x y ，与直线BC 交于点()33,N x y ，若123x x x <<，结合函数的图象，求123x x x ++的取值范围.28.在等腰直角ABC ∆中，090ACB ∠=，P 是线段BC 上一动点（与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M . （1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.29．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当O e 的半径为2时，①在点123115,0,,,,02222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O e 的关联点是_______________． ②点P 在直线y x =-上，若P 为O e 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C e 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C e 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。
北京市海淀区2017年九年级数学一模试题(含答案)
海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习数 学2018．5考生须知1．本试卷共7页，共五道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2018年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为A ． 50.1510⨯B ．41.510⨯C ．51.510⨯D ．31510⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D.正方体 3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为2A0BA ． 1B ．1C ． 2D ．24．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为A ．12B ．45C ．49D ．595．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于A ． 40°B ．50°C ．60°D ．140°ba 216．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ． （2）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． （3）画射线OC ．根据上述作图步骤，下列结论正确的是A ．射线OC 是AOB ∠的平分线 B ．线段DE 平分线段OC C ．点O 和点C 关于直线DE 对称D ．OE =CE 7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是A ．98，95B ．98，98C ．95，98D ．95，95 8. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于A ．1.2B ．2C ．2.4D ．6 9．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60B ∠=︒，AC =3，则CD 的长为A ． 6B ．23C ．3D ．310．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是二、填空题（本题共18分，每小题3分）A B CD63S /千米t /分钟OEDCBOABA CEOD11．分解因式：32a ab -=____________．12．写出一个函数y kx =（0k ≠），使它的图象与反比例函数1y x=的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1）14．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA AB ⊥，1AD =，17BD =，则BC 的长为__________． 15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD =BC ”，小红说“添加AB =DC ” ．你同意 的观点， 理由是 ．16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：2022cos6012(3.14π)--+-+-o ．18．解不等式组：345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥摸球的次数 100 200 300 400 500600 摸到白球的次数m58118189237302359摸到白球的频率nm0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598 C BDA19．已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值．20．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ． 求证： BE=CD ．21.已知关于的方程220 (0)kx x k k--=≠. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．22．列方程或方程组解应用题:FDCB AE为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．FBCAED24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2018年到2018年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2018年中国网民的人数约为亿；（3）据某市统计数据显示，2018年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2018年该市的网民学历结构与2018年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2018年末该市网民学历是大专的约有万人．25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．AEB D CFO26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．ADE B CADEB FC G EC ABDF图1 图2 图3请回答：BC +DE 的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；EDC BAEDCBA备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--．xy O –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567（1）①点()3,1的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围； （3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2018．5一、 选择题（本题共30分，每小题3分）xy–6–5–4–3–2–1123456–6–5–4–3–2–1123456O题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BACDBACBDB二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号111213141516答案 a (a ＋b )(a －b )()0y kx k =>如，y x =0.6178小明（1分）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2分） 30°或150°（只答对一个2分，全对3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. (本小题满分5分) 解：原式=11223142-⨯++ ………………………………………………………4分 1234=+． ………………………………………………………………5分18. (本小题满分5分) 解： 345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥ ② ①由不等式①得 3x <． ……………………………………………………2分由不等式②得 2≥x -． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为23≤x -<． ……………………………………………………5分19. (本小题满分5分)解： 22(2)()()2x y x y x y y ---+-2222244()2x xy y x y y =-+---………………………………………………2分243xy y =-+ ……………………………………………………………………3分()43y x y =--．…………………………………………………………………4分∵43x y =，∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分20. (本小题满分5分) 证明：∠EBC =∠FCB ，A B E F C D ∴∠=∠． …………………………………………………………1分在△ABE 与△FCD 中， ,,,A F AB FC ABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分 ∴BE=CD ． ………………………………………………………………………5分21. (本小题满分5分) （1）证明：0k ≠，∴220 kx x k--=是关于x 的一元二次方程．22(1)4()k k∆=--- ……………………………………………………1分90=>．∴方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分（2）解：由求根公式，得192x k±=． ∴1221,x x k k==-． …………………………………………………………4分方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴ 1k =-或1k =．…………………………………………………………5分22. (本小题满分5分)解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x 克．………………………………………1分由题意，得40016020.8x x =⨯-． ………………………………………………2分 解得 4x =． ………………………………………………………3分 经检验， 4x =为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，FDCB A E∴AD //BC ． ∴∠DAF=∠F ．∠F =45°，∴∠DAE=45°．………………………………………1分 AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠=．90DAB ∴∠=．又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． …………………………2分（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图． 四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°．AB =14，DE =8， ∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得2210BE BC CE =+=． ……………………………………………3分 在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 4572BH AB =⋅= ． …………………………………………4分 在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=7210BH BE =． ……………………………………………5分 24. (本小题满分5分)（1）36． ……………………………………………………………………………1分（2）6.700.01±． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分25. (本小题满分5分) （1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，HFBCAEDFBCAED∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在 ⊙O 上， ∴ ∠EFC =90°．CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°． ∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠．∴BF EF EFFC=．又DF =1， BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴22EF =． ………………………………………………… 3分∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．由勾股定理，得2223BE BF EF =+=． ……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==． ∴3AE =． ……………………………………………………5分26. (本小题满分5分)解：BC ＋DE 的值为34． ……………………………………………………2分解决问题：连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形，∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC // FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°．AEBD CFO GE C A BD F∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的解析式为y kx b =+． ∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ．当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．xy O –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567FE DABCGFEDCBA……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分GFEDCBA图1 图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ． 120ADC ∠=︒， 60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ……………………………………………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知， 50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………………………………3分 100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒． GEB CBE ∴∠=∠． 50FBC ∠=︒，50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒．…………………………………………………………4分 EBG BEC ∴∠=∠． 在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分xy–4–3–2–1123456789–7–6–5–4–3–2–11234O HG F ED CBA方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ． 120ADC ∠=︒， 60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知， 50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒． ……………………………………………3分50FBC ∠=︒， 图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠．……4分 BH EH ∴=．在△GEH 与△CBH 中， ,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 （3）3AE BG EG +=． …………………………………………………………………7分 29．(本小题满分8分)解：（1）① (3,1)； ……………………………………………………1分② 点B ． ………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当1x =时，b '取最大值2．当2b '=-时，23x -=-+．5x ∴=． ………………………………………3分 当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分 52≤≤b '-，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分 （3）2222()y x tx t t x t t =-++=-+，∴顶点坐标为(,)t t ．………………………………………………………………6分若1t <，b '的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符． 若1≥t ，当1≥x 时，y 的最小值为t ，即m t =；当1x <时，y 的值小于2[(1)]t t --+，即2[(1)]n t t =--+．22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ (． ……………………………7分 当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分。
上学期九年级数学期中试题
上学期九年级数学期中试题在初三的时候我们要做准备好我们的数学去考试哦，今天小编就给大家参考一下九年级数学，希望大家来收藏阅读哦九年级数学上册期中试题参考一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)1.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是A.(1，1)B.(2，2)C.(1，2)D.(1，3)2.平面直角坐标系内与点P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是A.(3，-2)B.(2，3)C.(2，-3)D.(-3，-3)3.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是A.a确定抛物线的开口方向与大小B.若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D.若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变4.如图，B，C是⊙O上两点，且∠α=96°，A是⊙O上一个动点(不与B，C重合)，则∠A为A.48°B.132°C.48°或132°D.96°5.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为A.2.3B.2.4C.2.5D.2.66.如图，将半径为6cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为A. B. C. 2 D. 34题图 5题图 6题图7.若二次函数y=mx2-4x+m有最大值-3，则m等于A.m=4B.m=-4C.m=1D.m=-18.在平面直角坐标系中，将点P(-3，2)绕点A(0，1)顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为A.(-1，-2)B.(3，-2)C.(1，4)D.(1，3)9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为A. B. C.3 D.9题图 10题图10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0，3)，(x1，0)，其中，2A.②③④B.①②③C.②④D.②③二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是 .12.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是_________________.13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，则∠B的度数为 .14.如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，则AB的长为________.第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图15.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S梯形ABCE= cm2.16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 .三、解答题(共8小题，共72分)17.(5分)已知抛物线的顶点坐标是(-1，-4)，与y轴的交点是(0，-3)，求这个二次函数的解析式.18.(8分)如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示.(1) 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形.(2) 若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为________.19. (7分)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图1)，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m.(1)建立如下的坐标系，求暴雨后水面的宽;(2)一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m(横断面如图2所示)，暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?(注：结果保留根号.)图1 图220.(7分)已知y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1，x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的两个实数根，且x12+x22=39，求k的值.21.(7分)如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.22.(8分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式.(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少?23.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E.(1)求证：∠CAB=∠CAE;(2)求证：CE是⊙O的切线;(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半径长.24.(10分)如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD=CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF.(1)求证：CF= BE，且CF⊥BE;(2)将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角(如图2)，其它条件不变，此时(1)中的结论是否仍成立?并证明你的结论.图1 图225.(12分)如图1，抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C，且OC=OA.(1)求抛物线解析式;(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC 交于点N.已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值;(3)如图2，D(0，-2)，连接BD，将△OBD绕平面内的某点(记为P)逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′.若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标.图1 图2答案：1-10 A C D C B A B C B D11、(-3，0);12、-117、y=(x+1)2-418、(1)略;(2) (以AC为直径)19、因为当水面宽AB=6m时,水面离桥孔顶部3m,所以点A的坐标是(3,-3).把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a= .把y=-2代入y= x2,得， .解得， .所以，点C、D的坐标分别为( ,-2)、(- ,-2),CD=2 .答:水位上升1m时,水面宽约为2 m.(2)当x=2时，y= ，因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且| |<1.5，所以这艘船能从桥下通过.20、解：(1)∵y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点，∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，解得k≤ ;(2)根据题意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，∵x12+x22=39，∴(x1+x2)2-2x1x2=39，∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，∵k≤ ，∴k=-4.21、解：(1)作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，由条件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，∴BD=240× =120<130，∴本次台风会影响B市.(2)如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F 时，台风影响结束.由(1)得BD=240，由条件得BE=BF=130，∴EF=2 =100，∴台风影响的时间t= =2(小时).故B市受台风影响的时间为2小时.22、解：(1)y=50- =-0.1x+62;(2)w=(x-20)(-0.1x+62)=-0.1x2+64x-1240=-0.1(x-320)2+9000，∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元.23、证明：(1)∵ ，∴∠CDB=∠CBD，∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠CAE;(2)连接OC∵AB为直径，∴∠ACB=90°=∠AEC，又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，∴EC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.(3)过点C作CF⊥AB于点F，∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，∴AE=AF，在△CED和△CFB中，，∴△CED≌△CFB，∴ED=FB，设AB=x，则AD=x-2，在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，解得，x=5，∴⊙O的半径的长为2.5.24、解：(1)在△ACD和△BCE中，∵ ，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，∵F为AD中点，∠ACD=90°，∴FC=AF= AD，∴CF= BE，∠CAD=∠ACF，∴∠CBE=∠ACF，∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，∴CF⊥BE;(2)此时仍有CF= BE、CF⊥BE，延长CF至G，使FG=CF，连接GA，在△CDF和△GAF中，∵ ，∴△DFC≌△AFG(SAS)，∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，∴AG∥DC，AG=CE，∴∠GAC+∠DCA=180°，又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，∴∠GAC=∠BCE，在△BCE和△CAG中，∵ ，∴△BCE≌△CAG(SAS)，∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，∴CF= BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，∴CF⊥BE.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，将C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)如图1中，∵A(﹣3，0)，C(0，3)，∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，设M(m，-m2-2m+3)，则N(m，m+3)，则MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3，MN=-m2-3m=-(m+ )2+ ，∵a=-1<0， -3∴m=- 时，MN最大，此时S= ;(3)如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等.设B′(t，-t2-2t+3)，则D′(t+1，-t2-2t+3+2)∵B′在抛物线上，则-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，解得，t= ，则B′的坐标为( ， )，P是点B和点B′的对称中心，∴P( ， ).初三九年级数学上学期期中试卷一、选择题(每题4分，共40分).1.下列根式是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2.下列计算，正确的是( )A. B. C. D.3.若是方程的一个根，则的值为( )A. B. C. D.4.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )A. B. C. D.5.已知，则的值为( )A. B. C. D.6.下列各组线段的长度成比例的是( )A.2cm，3cm，4cm，5cmB.1cm， cm，2cm， cmC.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cmD.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 .若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )A. B.C. D.8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为( )A. B. C. D.9.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )A.∠C=∠EB.∠B=∠ADEC.D.10.如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为( )A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共24分).11.使有意义的的取值范围是.12.方程的根是13.小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是米.14.已知215.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= .16.如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5.则①CD=; ②图中阴影部分面积为.三、解答题(共86分).17.计算：(8分)(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.18.解方程： (8分)19.先化简，再求值：，其中 (8分)20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.(8分)21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2016-2017学年北京海淀101中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2016-2017学年北京海淀101中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在中，，，，则边的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据正弦定理的式子，结合题中数据加以计算，即可得到边b 的值．详解：根据正弦定理可得：故选A点睛：本题给出三角形的两角及一角对边大小，求第另外的边长．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．2．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．3．下列结论正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】C【解析】分析：根据不等式性质逐一分析即可.详解：A. 若，则,因为不知道c的符号，故错误；B. 若，则可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若，则，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.4．已知，，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由不等式的性质，推导出2a-b的取值范围．详解：∵-1≤a≤3，∴-2≤2a≤6，又∵2≤b≤4，∴-4≤-b≤-2，∴-6=-2-4≤2a-b≤6-2=4，即-6≤2a-b≤4，∴2a-b的取值范围是[-6，4]；故选：A．点睛：本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应牢记不等式的性质，并会熟练地应用．也可以利用线性规划求解．5．在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将第二个等式代入第一个等式用a表示出b，再利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入计算即可求出值．详解：将c=2a代入得：b2=ac=2a2，即故选B.点睛：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：，，，则（）．A. ，，为“同形”函数B. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数C. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数D. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数【答案】B【解析】分析：由辅助角公式，我们可将函数f1（x）=sinx+cosx的解析式化为正弦型函数的形式，结合正弦函数的图象和性质，我们判断三个函数中的ω值，根据ω值相等，函数同形，ω不相等，函数不同形，即可得到答案．详解：则，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数故选B.点睛：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据ω值相等，函数同形，ω不相等，函数不同形，得到结论是解答本题的关键．7．已知函数，若且，则的值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：通过且，求出α的正弦值，然后求出角即可．详解：由题可得将原式化简：故选C.点睛：本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．8．已知，，且对任意，都有：①；②．以下三个结论：①；②；③．其中正确的个数为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由已知中对任意m、n∈N都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．我们易推断出，f（1，n）=2n-1，f（n，1）=2n-1，f（m，n+1）=2m-1+2n，进而判断已知中三个结论，即可得到答案．详解：：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴f（1，n）=2n-1故（1）f（1，5）=9正确；又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴f（n，1）=2n-1∴（2）f（5，1）=16也正确；则f（m，n+1）=2m-1+2n∴（3）f（5，6）=26也正确故选：D．点睛：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知条件推断出：f（1，n）=2n-1，f（n，1）=2n-1，f（m，n+1）=2m-1+2n，是解答本题的关键．二、填空题9．在等差数列中，，，则前项之和__________．【答案】99【解析】分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．详解：：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，，∴数列{an}的前9项之和故答案为99.点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题．10．已知，函数的最小值是__________．【答案】5【解析】分析：由，函数=-1+1，然后由基本不等式即可求得最小值.详解：由题可得：=-1+1，因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式可知：=-1+1，当x=3时取得最小值，故答案为5.点睛：本题考查基本不等式的应用，考查基本不等式的性质，属于基础题．11．计算：__________．【答案】【解析】分析：原式变形后，利用裂项相消法，计算即可得到结果．详解：由裂项相消法原式=点睛：此题考查了数列的求和，熟练掌握裂项相消法运算法则是解本题的关键．12．在等比数列中，，，则数列的前项和__________．【答案】【解析】分析：利用等比数列的通项公式和求和公式求解．详解：：∵等比数列{an}满足：a1=-2，a4=-54，∴q3=27，解得q=3，故答案为点睛：本题考查数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．在中，若，，成等差数列，且三个内角，，也成等差数列，则的形状为__________．【答案】等边三角形【解析】分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列得到角A，B，C的三角函数关系，再由A，B，C也成等差数列得到角B等于60°，然后联立并展开两角和与差的正弦求解答案．详解：因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得lgsinA+lgsinC=2lgsinB，即sin2B=sinAsinB①又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60°．代入①得sinAsinB=②假设A=60°-α，B=60°+α．代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）=．展开得，cos2α−sin2α＝．即cos2α=1．所以α=0°．所以A=B=C=60°．故答案为等边三角形．点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档题．14．给出下列命题：①若，则；②若，，则；③若，则；④；⑤若，，则，；⑥正数，满足，则的最小值为．其中正确命题的序号是__________．【答案】②③④⑤【解析】分析：利用不等式的性质与基本不等式对①②③④⑤⑥逐项判断即可．详解：①若a＜b＜0，则，故①错误；②若a＞0，b＞0，则≥（当且仅当a=b时取等号）；又﹣=（1﹣）≥（1﹣）=＞0≥0，所以≥，综上，≥≥，故②正确；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞0，ab＞b2＞0，因此，a2＞ab＞b2，故③正确；④lg9•lg 11＜（）2=＜=1，故④正确；⑤若a＞b，＞⇔﹣＞0⇔＞0⇔＜0，则ab＜0，所以a＞0，b＜0，故⑤正确；⑥正数x，y满足+=1，则x+2y=（x+2y）（+）=1+2++≥3+2，故其最小值为3+2，故⑥错误．综上所述，正确命题的序号是：②③④⑤，故答案为：②③④⑤．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查不等式的性质与基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题15．在中，，，分别是角，，的对边，且，，．求：（）的值．（）的面积．【答案】（）；（）.【解析】分析：（1）由A与C度数求出B的度数，再由c及C的度数，利用正弦定理求出b的值即可；（2）由b，c及sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．详解：（）∵，，∴，又，，∴由正弦定理得：．（），，，，，，∴，，．点睛：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．某工厂生产的某种产品，当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似地表示成，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．【答案】年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低为万元．【解析】分析：利用函数的解析式求出平均成本的表达式，利用基本不等式求解即可．详解：设每吨的平均成本（万元/），则，当且仅当，（）的每吨平均成本最低，且最低成本为万元．点睛：本题考查函数的模型的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．17．已知函数（，为常数）．（）求函数的最小正周期．（）求函数的单调递减区间．（）当时，的最小值为，求的值．【答案】(1) 的最小正周期;(2) 单调递减区间为;(3).【解析】分析：化简函数+cos2x+a（a∈R，a为常数）．为一个角的一个三角函数的形式，（I）直接根据周期公式求出函数的最小正周期；（II）借助正弦函数的单调减区间，求函数的单调递减区间；（III）若时，f（x）的最小值为﹣2．，求出取得最小值求解即可．详解：（），所以的最小正周期．（）单调递减区间为．（）当时，，所以当即时，取得最小值．所以，所以．点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．18．设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1．（）求数列和的通项公式．（）设，求数列的前项和．【答案】（），;（）.【解析】分析：（I）由已知利用递推公式可得a n，代入分别可求数列b n的首项b1，公比q，从而可求b n（II）由（I）可得c n=（2n﹣1）•4n﹣1，利用乘“公比”错位相减求和．详解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，T n=c1+c2+…+c nT n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=[（6n﹣5）4n+5]∴.点睛：（I）当已知条件中含有s n时，一般会用结论来求通项，一般有两种类型：①所给的s n=f（n），则利用此结论可直接求得n＞1时数列{a n}的通项，但要注意检验n=1是否适合②所给的s n是含有a n的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于a n的递推关系，再用求通项的方法进行求解．（II）求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点．19．已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前项和为，且是与的等差中项．（）求数列的通项公式．（）设，数列满足，．求数列的前项和．（）在（）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，，恒有成立，且（为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.【解析】分析：（1）本题考查求数列的通项公式，用数列的前n项和求是列的通项公式，注意对于第一项的验证，又根据等比中项解决问题，这一道题目比较困难，第一问考查的内容较多．（2）构造新数列，构造数列时按照一般的方式来整理，整理后发现结果比较简单，利用等比数列的前n项和公式求数列的和．（3）本题证明数列是一个等差数列，应用等差数列的定义来证明，只要数列的连续两项之差是一个常数，问题得证，证明是一个常数的过程是一个数列和函数综合的过程，用到所给的函数的性质．详解：（）依题意得，故．又，即，所以，当时，．又也适合上式，故．（）因为，，因此．由于，所以是首项为，公比为的等比数列．所以，所以．所以．（）方法一：，则．所以．因为已知为常数，则数列是等差数列．方法二：因为成立，且，所以，，，，所以．所以数列是等差数列．点睛：本题是一道综合题，数列的递推关系式往往比通项公式还重要，我们要重视数列的递推关系式，依据递推关系式的特点，选择恰当的方法，达到解决问题的目的．。
2017.1海淀初三第一学期期末试题答案(最终稿)
23． （1）1． -------------------------------------------------------------------------------2 分 （2）解法一：
A D
B
P C
---------------------------------------------------------------------------3 分
1 2
1 3 ， ----------------------------------------------------------------------------------4 分
-------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
4
O E B D
C
5 4 30 °， AN AC 2 ；
⑤由 △OAN 为含有 30°的直角三角形，可求 ON 的长．
（本题方法不唯一）
26． （1）①增大； ②（1，1） ， （2，2） ；
--------------------------------------------------------------------------------5 分
----------------------------------------------------------------------------------------------3 分 ----------------------------------------------------------------------------------------------4 分 --------------------------------------5 分
2017年北京市中考数学试卷(含答案详解)
2017年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=0 B．x=4 C．x≠0 D．x≠43．（3分）如图是某个几何题的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b|D．b+c＞05．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C． D．6．（3分）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．187．（3分）如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣）•的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．（3分）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（）A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多9．（3分）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次10．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共18分，每题3分）11．（3分）写出一个比3大且比4小的无理数：．12．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．13．（3分）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边=．形ABNM14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD=CD．若∠CAB=40°，则∠CAD=．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD得到△AOB的过程：．16．（3分）图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（5分）计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD=BC．20．（5分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD =S △ADC ﹣（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF =S △ABC ﹣（ + ）． 易知，S △ADC =S △ABC ， = ， = ． 可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF ．21．（5分）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +2k +2=0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．22．（5分）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE ． （1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分∠BAD ，BC=1，求AC 的长．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x ﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．24．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．25．（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77乙93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为；b．可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）26．（5分）如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm0 2.0 2.3 2.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为cm．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．28．（7分）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C 不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB 于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．2017年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）（2017•北京）如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度【考点】J5：点到直线的距离．【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解答】解：由题意，得点P到直线l的距离是线段PB的长度，故选：B．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是解题关键．2．（3分）（2017•北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=0 B．x=4 C．x≠0 D．x≠4【考点】62：分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的范围；【解答】解：由意义可知：x﹣4≠0，∴x≠4，故选（D）【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（3分）（2017•北京）如图是某个几何题的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【考点】I6：几何体的展开图．【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．4．（3分）（2017•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b|D．b+c＞0【考点】29：实数与数轴．【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案．【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A不符合题意；B、bd＜0，故B不符合题意；C、|a|＞4=|d|，故C符合题意；D、b+c＜0，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得处a，b，c，d的大小是解题关键．5．（3分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．（3分）（2017•北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得（n﹣2）•180°=150n，解得n=12，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键．7．（3分）（2017•北京）如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣）•的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a2+2a﹣1=0变形即可解答本题．【解答】解：（a﹣）•===a（a+2）=a2+2a，∵a2+2a﹣1=0，∴a2+2a=1，∴原式=1，故选C．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．8．（3分）（2017•北京）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（）A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多【考点】VD：折线统计图．【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．【解答】解：A、由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；B、由折线统计图可得：2011﹣2014年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；C、2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：（3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4）÷6≈4358，故超过4200亿美元，正确，不合题意，D、∵4554.4÷1368.2≈3.33，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多，故选：B．【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．9．（3分）（2017•北京）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次【考点】E6：函数的图象．【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C错误；小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．10．（3分）（2017•北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的可能性是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选B ．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本题共18分，每题3分）11．（3分）（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数： π ．【考点】26：无理数．【分析】根据无理数的定义即可．【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，故答案为：π．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．12．（3分）（2017•北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 ．【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=435元，②篮球的单价﹣足球的单价=3元，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．13．（3分）（2017•北京）如图，在△ABC 中，M 、N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN =1，则S 四边形ABNM = 3 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX ：三角形中位线定理．【分析】证明MN 是△ABC 的中位线，得出MN ∥AB ，且MN=AB ，证出△CMN ∽△CAB ，根据面积比等于相似比平方求出△CMN 与△CAB 的比，继而可得出△CMN 的面积与四边形ABNM 的面积比．最后求出结论．【解答】解：∵M ，N 分别是边AC ，BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥AB ，且MN=AB ，∴△CMN ∽△CAB ，∴=（）2=，∴=，∴S 四边形ABNM =3S △AMN =3×1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．14．（3分）（2017•北京）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，AD=CD ．若∠CAB=40°，则∠CAD= 25° ．【考点】M5：圆周角定理．【分析】先根据AD=CD 得出=，再由AB 为⊙O 的直径，∠CAB=40°得出的度数，进而可得出的度数，据此可得出结论．【解答】解：∵AD=CD ，∴=．∵AB为⊙O的直径，∠CAB=40°，∴=80°，∴=180°﹣80°=100°，∴==50°，∴∠CAD=25°．故答案为：25°．【点评】本题考查的是圆周角定理，弧、弦的关系，根据题意得出的度数是解答此题的关键．15．（3分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD 得到△AOB的过程：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；P6：坐标与图形变化﹣对称；Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【解答】解：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16．（3分）（2017•北京）图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．【专题】13 ：作图题．【分析】由于90°的圆周角所的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（5分）（2017•北京）计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣2+2=2﹣2+3=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）（2017•北京）解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①式得x＜3；由②式得x＜2，所以不等式组的解为x＜2．【点评】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．（5分）（2017•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC 交AC于点D．求证：AD=BC．【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论． 【解答】证明：∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°， ∴∠A=∠ABD ，∠BDC=∠C ， ∴AD=BD=BC ．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．20．（5分）（2017•北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD =S △ADC ﹣（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF =S △ABC ﹣（ S △AEF + S △FCM ）． 易知，S △ADC =S △ABC ， S △ANF = S △AEF ， S △FGC = S △FMC ． 可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF ．【考点】LB ：矩形的性质．【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．【解答】证明：S 矩形NFGD =S △ADC ﹣（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF =S △ABC ﹣（ S △ANF +S △FCM ）． 易知，S △ADC =S △ABC ，S △ANF =S △AEF ，S △FGC =S △FMC ，可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF ．故答案分别为 S △AEF ，S △FCM ，S △ANF ，S △AEF ，S △FGC ，S △FMC ．【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．21．（5分）（2017•北京）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +2k +2=0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围． 【考点】AA ：根的判别式．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k ﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2=k +1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x 2﹣（k +3）x +2k +2=0中，△=[﹣（k +3）]2﹣4×1×（2k +2）=k 2﹣2k +1=（k ﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x 2﹣（k +3）x +2k +2=（x ﹣2）（x ﹣k ﹣1）=0， ∴x 1=2，x 2=k +1． ∵方程有一根小于1， ∴k +1＜1，解得：k ＜0， ∴k 的取值范围为k ＜0．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k 的一元一次方程．22．（5分）（2017•北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．【考点】LA：菱形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE 即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC=．【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．23．（5分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A点代入y=x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN＞PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y=x﹣2，∴m=3﹣2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=，∴k=3×1=3，（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x﹣2，x﹣2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=，∴y=3，∴N（1，3），∴PM=2∴PM=PN，②P（n，n），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．24．（5分）（2017•北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC ⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE==，由此求出AE即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBE+∠EBD=90°，。