第九部分 指数与指数函数
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。
在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。
本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。
一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。
指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。
底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。
例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。
指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。
指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数有一些基本的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。
此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。
以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。
经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。
指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。
2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。
指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。
3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。
指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。
4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。
高中数学总复习之9 指数与指数函数
指数与指数函数一、选择题1.已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称，则（ ）A.f(2x)＝e 2x (x ∈R )B.f(2x)＝ln2·lnx(x ＞0)C.f(2x)＝2e 2x (x ∈R )D.f(2x)＝lnx+ln2(x ＞0) 解析:∵f(x)与y ＝e x 的图象关于y ＝x 对称,∴f(x)是y ＝e x 的反函数.∵y ＝e x ,∴x ＝lny(y ＞0),即y ＝lnx(x ＞0).∴f(2x)＝ln2x ＝lnx+ln2(x ＞0).答案:D 2.63a a -•等于( ) A.a -- B.a - C.a - D.a解析:216131613163)()()(a a a a a a --=--=-•=-•+. 答案:A3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A.x y -=215 B.y ＝(31)1-x C.1)21(-=x y D.x y 21-= 解析:对于C 、D,y ＝0成立;对于A,021≠-x ,故y≠1. 答案:B4.要得到函数y ＝21-2x 的图象,只需将指数函数y ＝(41)x 的图象( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移21个单位D.向右平移21个单位 解析:∵x x y 22)41(-==,)21(22122---==x x y , ∴y ＝21-2x 由y ＝(41)x 向右平移21个单位得到. 答案:D5.若a ＞1,-1＜b ＜0,则函数y ＝a x +b 的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限解析:y ＝a x 的图象向上平移|b|个单位即可得到y ＝a x +b 的图象.∵-1＜b ＜0,∴0＜|b|＜1.故y ＝a x +b 的图象一定在第一、二、三象限.答案:A6.若函数f(x)＝a |x|(a ＞0,x ∈R )的值域是{f(x)|0＜f(x)≤1},则f(-2)与f(1)的大小关系是…( )A.f(-2)＜f(1)B.f(-2)＝f(1)C.f(-2)＞f(1)D.无法确定 解析:由已知f(x)的值域为{f(x)|0＜f(x)≤1},得0＜a ＜1,而f(-2)＝a 2,f(1)＝a,易知f(-2)＜f(1).故选A.答案:A7.设函数⎩⎨⎧><=.0),(,0,2)(x x g x x f x 若f(x)是奇函数,则g(2)的值是( ) A.41- B.-4 C.41 D.4 解析:∵f(x)为奇函数,x ＜0时,f(x)＝2x , ∴x ＞0时,f(x)＝-f(-x)＝-2-x ＝x 21-, 即x x g 21)(-=,41)2(-=g . 答案:A8.函数f(x)＝x 2-bx+c 满足f(1+x)＝f(1-x)且f(0)＝3,则f(b x )和f(c x )的大小关系是( )A.f(b x )≤f(c x )B.f(b x )≥f(c x )C.f(b x )＞f(c x )D.大小关系随x 的不同而不同 解析:∵f(1+x)＝f(1-x),∴f(x)图象的对称轴为直线x ＝1,由此得b ＝2.又f(0)＝3,∴c ＝3.∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,∴f(3x )≥f(2x ).若x ＜0,则3x ＜2x ＜1,∴f(3x )＞f(2x ).∴f(3x )≥f(2x ).故选A.答案:A9.下图是指数函数①y ＝a x ,②y ＝b x ,③y ＝c x ,④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是…( )A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c解法一:当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象越向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象越下降，底数越小，图象越向右越靠近于x 轴,得b ＜a ＜1＜d ＜c.解法二:令x ＝1,由题图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1,∴b ＜a ＜1＜d ＜c.答案:B10.已知y ＝4x -3·2x +3的值域为［1,7］,则x 的取值范围是( )A.［2,4］B.(-∞,0)C.(0,1)∪［2,4］D.(-∞,0］∪［1,2］ 解析:∵y ＝4x -3·2x +3的值域为［1,7］,∴1≤4x -3·2x +3≤7.∴-1≤2x ≤1或2≤2x ≤4.∴x ≤0或1≤x ≤2.答案:D二、填空题1.已知函数f(x)＝a x +a -x (a ＞0,a≠1),且f(1)＝3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是__________.解析:∵31)1(=+=aa f ,f(0)＝2,f(2)＝a 2+a -2＝(a+a -1)2-2＝7, ∴f(1)+f(0)+f(2)＝12.答案:122..不等式21213≤+-x x 的解集为__________. 解析:依题意,得11322-+-≤x x ,113-≤+-x x ,即0)1)(3(≤-+xx x ,解得不等式的解集为{x|x ≤-3或0＜x ≤1}.答案:{x|x ≤-3或0＜x ≤1}3.若实数x 满足不等式22332222---->-x x x x ,则x 的取值范围是___________. 解析:由题意,得22323222---->-x x x x ,构造函数t t t f --=32)(,则f(t)在R 上递增,且f(x 2)＞f(2-x),∴x 2＞2-x,即x 2+x-2＞0.解得x ＞1或x ＜-2.答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)4..定义运算:⎩⎨⎧<≥=⊗,,,,b a a b a b b a 则函数f(x)＝3-x ⊗3x 的值域为______________.解析:右图为y ＝f(x)＝3-x ⊗3x 的图象(实线部分),由图可知f(x)的值域为(0,1］.答案:(0,1］三、解答题1.已知函数f(x)＝3x ,且f(a+2)＝18, g(x)＝3ax -4x 的定义域为［0,1］.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其单调性并用定义证明;(3)求g(x)的值域.解:(1)∵f(x)＝3x 且f(a+2)＝3a+2＝18,∴3a ＝2.∵g(x)＝3ax -4x ＝(3a )x -4x ,∴g(x)＝2x -4x .(2)∵函数g(x)的定义域为［0,1］,令t ＝2x ,∵x ∈［0,1］,函数t 在区间［0,1］上单调递增,且t ∈［1,2］,则g(x)＝t-t 2在［1,2］上单调递减,∴g(x)在［0,1］上单调递减.证明如下:设x 1,x 2∈［0,1］且x 1＜x 2,则g(x 2)-g(x 1)＝11224242x x x x +--)221)(22(1212x x x x ---=∵0≤x 1＜x 2≤1,∴1222x x >,且221,22121≤<<≤x x .∴422221<+<x x .∴1221321-<--<-x x ,可知0)221()22(1212<--•-x x x x .∴g(x 2)＜g(x 1).∴函数g(x)在［0,1］上为减函数.(3)∵g(x)在［0,1］上为减函数,又x ∈［0,1］,故有g(1)≤g(x)≤g(0).∵g(0)＝-2,g(0)＝0,∴函数g(x)的值域为［-2,0］.2..定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x ∈(0,1)时,142)(+=x xx f . (1)求f(x)在［-1,1］上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;(3)当λ为何值时,方程f(x)＝λ在x ∈［-1,1］上有实数解.解:(1)∵f(x)是x ∈R 上的奇函数,∴f(0)＝0.又∵2为最小正周期,∴f(1)＝f(1-2)＝f(-1)＝-f(1)＝0.设x ∈(-1,0),则-x ∈(0,1),)(142142)(x f x f x xx x -=+=+=---, ∴142)(+-=x xx f , ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+-∈-∈+-=).1,0(,142},1,0,1{,0),0,1(,142)(x x x x f x x x x(2)设0＜x 1＜x 2＜1,f(x 1)-f(x 2))14)(14()22()22(2112212122++-+-=++x x x x x x x x 0)14)(14()21)(22(212121>++--=+x x x x x x , ∴f(x)在(0,1)上为减函数.(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, ∴142)(1420011+<<+x f , 即f(x)∈(52,21). 同理,x 在(-1,0)上时,f(x)∈(21-,52-). 又f(-1)＝f(0)＝f(1)＝0,∴当λ∈(21-,52-)∪(52,21)或λ＝0时,f(x)＝λ在［-1,1］内有实数解. 3..设函数f(x)＝2|x+1|-|x-1|,求使f(x)≥22的x 的取值范围.解:由于y ＝2x 是增函数,f(x)≥22等价于|x+1|-|x-1|≥23.① (1)当x ≥1时,|x+1|-|x-1|＝2,∴①式恒成立.(2)当-1＜x ＜1时,|x+1|-|x-1|＝2x,①式化为2x ≥23,即43≤x ＜1. (3)当x ≤-1时,|x+1|-|x-1|＝-2,①式无解. 综上可得,x 的取值范围是［43,+∞). 4.已知a ＞0且a≠1,)1()1()(log 22--=a x x a x f a . 试判断f(x)在定义域上是否为单调函数?若是,是增函数还是减函数?并证明结论. 解:是增函数.证明如下:设t ＝log a x,则x ＝a t , ∴t t aa a a t f 11)(22-•-=, 即)(1)(2t t a a a a t f ---=. ∴)(1)(2x x a a a a t f ---=. ∵f(x)的定义域为R ,设x 1＜x 2,则f(x 1)-f(x 2))]()[(122112x x x x a a a a a a ------= 212121)1)((12x x x x x x aa a a a a a a •+-•-=. ∵a ＞0,a≠1,∴01,02121>+>x x x x a a a a .若0＜a ＜1,则0,2121>->x x x x a a a a. 此时012<-a a , ∴f(x 1)＜f(x 2).同理,若a ＞1,则f(x 1)＜f(x 2).综上所述,当a ＞0且a≠1时,f(x)在R 上单调递增.。
《指数与指数运算》课件
复合指数函数的图像是连 续的
复合指数函数的图像是单 调递增的
复合指数函数的图像是凸 的
复合指数函数的图像是光 滑的
复合指数函数：指数函数与对数函数的复合 单调性：在定义域内，复合指数函数是单调递增：复合指数函数在解决实际问题中具有广泛的应用，如经济学、生物学等领域
指数运算：指数运算是 数学中最基本的运算之 一，其性质广泛应用于 各种数学问题中。
指数函数与对数函数：指 数函数与对数函数是数学 中最重要的函数之一，其 性质广泛应用于各种数学 问题中。
指数函数与三角函数：指 数函数与三角函数是数学 中最重要的函数之一，其 性质广泛应用于各种数学 问题中。
指数函数是一种特殊的函数，其形 式为y=a^x，其中a为底数，x为指 数。
复利：一种计算利息的方法，将利息计入本金，再计算新的利息
复利公式：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A为终值，P为本金，r为利率，n为计息次数，t为 时间
复利在生活中的应用：投资理财、贷款、信用卡还款等
复利与单利：复利比单利更能体现时间的价值，复利效应在长期投资中更为明显
放射性物质的衰 变：放射性物质 随着时间的推移， 其放射性会逐渐 减弱，这个过程
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指数函数的图像在y轴右侧无限接 近于x轴，但不相交
指数函数的图像在x轴下方，且随 着x的增大，图像逐渐靠近x轴
指数函数的单调性 是指函数值随自变 量x的变化而变化 的趋势
指数函数y=a^x 在定义域内是单 调递增的
当a>1时，指数函 数y=a^x在定义 域内是单调递增的
指数的底数可以是负数
指数的底数可以是零
指数的底数可以是分数
指数与指数函数
(1) (-4)4 =π-4.( × )
(2) 与( )n 都等于 a(n∈N*).( × )
2
1
(3)(-1)4 =(-1)2
=
-1.( × )
(4)函数 y=3·2x 与 y=2x+1 都不是指数函数.(
(5)若 am>an,则 m>n.( × )
)
考向一
指数幂的运算
例 1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
2
－
1
27 3
(1)－ 8 ＋0.002－2－10( 5－2)－1＋π0
a3b2 3 ab2
(2)
1 1(a>0，b>0)
1 1
（a4b2）4a－3b3
1
5
2
3
(3) [(0.064 ) 2.5]
1
2
1
1
23 1
3
2
a
b
a
b
(4)
6
a b5
3
3
38－π0；
成假分数.
(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运
算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指
数幂.
（Ⅰ）
（
【解析】
（Ⅰ）原式＝
；
；
对点训练1
求值与化简:
1
若 2
+
1
2 +-2 −2
2 =3,求 3 3 的值.
-
2 + 2 −3
（3）（2019·福建泉州五中模拟）设 a>0，且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1，1]上的最大值是 14，则实数 a 的值为________．
指数与指数函数
2.4指数与指数函数【考试大纲】(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幕的含义，了解实数指数蓦的意义，掌握蓦的运算.(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.【基础知识】一、指数式，指数函数：(1)根式的概念①如果x"=a,a e R,xe R,n>l,且n&N+,那么x叫做。
的"次方根.当〃是奇数时，a的"次方根用符号沥表示；当〃是偶数时，正数。
的正的〃次方根用符号沥表示，负的〃次方根用符号-％表示；0的乃次方根是0;负数。
没有〃次方根.②式子沥叫做根式，这里〃叫做根指数，a叫做被开方数.当〃为奇数时，a为任意实数；当〃为偶数时，a>0.③根式的性质：(*)"=a；当〃为奇数时，即=a；当〃为偶数时，即=|a|=<a(a>0)-a(q<0) (2)分数指数蓦的概念①正数的正分数指数幕的意义是:m___M，且〃>1).(口决：母在夕卜)ma n②正数的负分数指数幕的意义是:(-)7=J(-)m(a>0,m,〃c M，且乃>1).a V a(3)分数指数幕的运算性质①a r•"=a r+s(€z>0,r,5g R)②(o')'=a rs(a>0,r,5g/?)③(ab)r=a r b r{a>0,b>0,r g7?)(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y=a"a〉0且。
？1)叫做指数函数图象一a>l\Ovovlj=iAy=^7(0,1)\,\\y=^J(0,1)0X 0X定义域R值域(0,+oo)过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=l.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况a x>l(x>0)a x=1(x=0)a x<1(x<0)a x<\(%>0)a x=1(x=0)a x>1(x<0)。
指数与指数函数
由二次函数单调性可知 y＝－t－122＋14在12，2是减函 数．
∴函数 g(x)在[－1,1]上是减函数．
(3)由(2)知 t＝2x∈12，2，则方程 g(x)＝m 有解 ⇔方程 2x－4x＝m 在[－1,1]内有解
题型二 利用指数函数的单调性比较大小
例 2 比较大小： (1)1.72.5,1.73；(2)0.6－1,0.62； (3)0.8－0.1,1.250.2；(4)1.70.3,0.93.1.
解析：(1)∵函数 y＝1.7x 是增函数，2.5＜3， ∴1.72.5＜1.73. (2)∵y＝0.6x 是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62. (3)∵(0.8)－1＝1.25， ∴问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小． ∵y＝1.25x 是增函数，0.1＜0.2， ∴1.250.1＜1.250.2，即 0.8－0.1＜1.250.2. (4)∵1.70.3＞1,0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1.
题型四 指数函数的综合应用 例 4 设 a＞0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数． (1)求 a 的值； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解析：(1)∵f(x)是 R 上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴ea－x＋ea－x＝eax＋eax，
∴a－1aex－e1x＝0 对一切 x 均成立， ∴a－1a＝0，而 a＞0，∴a＝1.
A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y) C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：∵axy≠ax·ay，axy≠ax＋ay，ax＋y≠ax＋ay，而 ax＋y＝ ax·ay.故只有 C 正确．故应选 C.
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第九部分 指数与指数函数 一、基本知识点 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn
＝a，则x叫做__________，其中n＞1且n∈N*.式子 na叫做__________，这里n叫做__________，a叫做____________． (2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写为________(a＞0)． ③( na)n＝______. ④当n为奇数时， nan＝______； 当n为偶数时，nan＝|a|＝______________. ⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：an＝naaa•••L14243个(n∈N*)．
②零指数幂：a0＝______(a≠0)． ③负整数指数幂：a－p＝________(a≠0，p∈N*)．
④正分数指数幂：mna＝______(a>0，m、n∈N*，且n>1)． ⑤负分数指数幂：-mna＝__________＝________ (a>0，m、n∈N*，且n>1)． ⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝__________(a>0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝__________(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图像与性质
y＝ax a>1 0图像 定义域 (1)____
值域 (2)________
性质 (3)过定点________
(4)当x>0时，______； x<0时，________ (5)当x>0时，________； x<0时，_______
(6)在(－∞，＋∞)上是______ (7)在(－∞，＋∞)上是_____
二、内容扩充 1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程． 2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论． 三、小练习 1．用分数指数幂表示下列各式． (1)3x2＝________； (2)4a＋b3((a＋b)>0)＝________； (3)m3m＝________.
2．化简162[(-2)]－(－1)0的值为________． 3．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________． 4．若函数f(x)＝ax－1 (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于 ( ) A．5 B．7 C．9 D．11 四、题型分析 题型一 指数式与根式的计算问题 例1计算下列各式的值．
(1)23278＋1-2(0.002)－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45；
(3)3322111143342abababab(a>0，b>0)． 探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计 算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 练习 计算下列各式的值：
(1)1-31.5×076＋80.25×42＋(32×3)6－2323；
(2)413322333824aabaabb÷1－2 3ba×3a (a>0，b>0)． 题型二 指数函数的图像及应用 例2 (1)函数y＝xax|x| (0
(2)若函数y＝ax＋b－1 (a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围是__________． (3)方程2x＝2－x的解的个数是________． 探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． 练习 (1)函数y＝ex＋e－xex－e－x的图像大致为 ( )
(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？ 题型三 指数函数的性质及应用 例3 设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 探究提高 指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解． 由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解． 练习 已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|. (1)若f(x)＝32，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 练习已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解 (1)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，
从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a. [3分]
又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a， 解得a＝2. [6分] (2)方法一 由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，
又由题设条件得222212122tttt＋222212122tktk<0， 即221(22)tk－＋＋(2221tt－－＋)＋(22122tt－＋＋)(2221tk－－＋)<0. [9分] 整理得2322ttk－－>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0. [11分] 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0， 解得k<－13. [13分]
方法二 由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1， 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数， 由上式推得t2－2t>－2t2＋k. [11分] 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－13. [13分] 批阅笔记 (1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立．所以还要注意检验． (2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价转化为：t2－2t>－2t2＋k恒成立．这个转化考生易出错．其次，不等式t2－2t>－2t2＋k恒成立，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，也可以这样做：k<3t2－2t，t∈R，只要k比3t2－2t的最小值小即可，而3t2－2t的最小值为－13，所以k<－13. 方法与技巧 1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线．当01时，x→－∞，y→0；当a>1时，a的值越大，图 像越靠近y轴，递增的速度越快；当0越快． 2．画指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)、 (0,1)、－1，1a. 3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解． 4.指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1与0来研究． 5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围． 限时训练A组(时间：60分钟) 一、选择题 1．函数y＝2x的值域是 ( ) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[2，＋∞) 2．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是 ( ) A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D.0，12 3．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 ( ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0二、填空题
4．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________． 5．若函数f(x)＝2()ex－－(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________. 6．函数f(x)＝ax (a>0，a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a的值为__________．
7．已知函数f(x)＝ax＋b (a>0且a≠1)的图像如图所示，则a＋b的值是________．
三、解答题 8．(1)计算：20.52113--0.2532234[35+(0.008)(0.02)(0.32)]0.062 589；
(2)化简：412323333225333382?·42aabbaaaaaababa(式中字母都是正数)． 限时训练B组 一、选择题
1．函数y＝2+212xx的值域是 ( ) A．R B．(0，＋∞)