九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识要点归纳
初三数学全册基本知识点总结
初三数学全册基本知识点总结数学是被很多人称之拦路虎的一门科目,同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺。
下面是小编为大家整理的关于初三数学基本知识点总结，希望对您有所帮助!初三数学知识总结圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距从圆心到弦的.距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dd=r 点P在⊙O上;d>r 点P在⊙O外。
过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。
初三数学轴对称知识点归纳1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
圆心角弧弦弦心距之间的关系
圆心角弧弦弦心距之间的关系在圆的世界里，圆心角、弧、弦、弦心距这四个元素之间存在着密切而奇妙的关系。
它们相互影响、相互制约，共同构成了圆的美妙与和谐。
首先，让我们来认识一下这四个概念。
圆心角，顾名思义，就是顶点在圆心的角。
比如，当我们以圆心为顶点，两条半径为边所构成的角就是圆心角。
弧呢，是圆上任意两点之间的部分。
想象一下圆的周长被分成了不同的小段，每一小段就是一段弧。
弦则是连接圆上任意两点的线段。
简单来说，就是在圆中画一条线段，其两个端点都在圆上，这就是弦。
弦心距，是从圆心到弦的距离。
也就是圆心到弦所作垂线的长度。
接下来，我们深入探讨它们之间的关系。
当在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧一定相等。
这就好像两个同样大小的“角力”，它们在圆这个“舞台”上所能“推动”的弧的长度是一样的。
反之，如果两个圆心角所对的弧相等，那么这两个圆心角也相等。
可以这样理解，既然弧的长度相同，说明产生它们的“力量”——圆心角也是相同的。
同样在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等。
这是因为圆心角决定了弦的位置和长度，当圆心角相等时，弦也就被“固定”在了相同的位置和长度上。
反过来，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等。
这就好比两根长度相同的“杠杆”，它们所对应的“角度”也是相同的。
再看弦心距与其他元素的关系。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
因为弦相等意味着它们到圆心的距离是相同的，所以弦心距也就相等。
反之，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦也相等。
这是因为相等的弦心距保证了弦与圆心的相对位置是相同的，从而弦的长度也相等。
为了更直观地理解这些关系，我们可以通过一些实际的例子来感受。
比如，想象一个圆形的蛋糕，我们将其看作一个圆。
如果我们从圆心沿着某个角度切下去（这就形成了一个圆心角），那么切下来的那部分蛋糕的边缘（就是弧）的长度就取决于我们切的角度大小。
角度相同，弧长就相同；弧长相同，角度也就相同。
第01讲 圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核
第01讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系目录考点一：圆的认识考点二：点与圆的位置关系考点三：圆心角、弧、弦的关系考点四：三角形的外接圆与外心考点五：综合应用【基础知识】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．三．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．四．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【考点剖析】一．圆的认识（共2小题）1．（2020秋•浦东新区月考）下列说法正确的是（）A．半圆是弧B．过圆心的线段是直径C．弦是直径D．长度相等的两条弧是等弧2．（2018秋•嘉定区期末）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部二．点与圆的位置关系（共7小题）3．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＜3C．﹣1＜a＜3D．﹣1≤a≤3．4．（2022•嘉定区校级模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内5．（2022春•徐汇区校级期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内6．（2022•静安区二模）如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是．7．（2022•黄浦区二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cot B＝，如果顶点C在⊙B内，顶点A 在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是．8．（2022•宝山区模拟）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是．9．（2022春•长宁区校级期中）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足为点F，且DF＝CE，联结AE．（1）求证：菱形ABCD是正方形；（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的⊙A上．三．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）10．（2022春•浦东新区校级期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半径，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是．11．（2022春•徐汇区校级期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF ＝度．12．（2022•宝山区模拟）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tan C＝2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．13．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sin C＝，求⊙O的半径．四．三角形的外接圆与外心（共8小题）14．（2022•长宁区模拟）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB ＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面积为cm2．15．（2022春•虹口区期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为．16．（2022•松江区二模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的长．17．（2022•静安区二模）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，EC＝AB．（1）求证：∠B＝2∠AEC；（2）当OA＝2，cos∠BAO＝时，求DE的长．18．（2021•上海模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝2，AB＝3，求边BC的长．19．（2021•崇明区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sin B＝．（1）求边AC的长；（2）求⊙O的半径长．20．（2020秋•闵行区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：（1）边BC的长；（2）⊙O的半径．21．（2020•黄浦区二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．五．综合应用（共7小题）22．（2022•松江区二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝．D、E分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD＝2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定23．（2022春•虹口区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．24．（2022•静安区二模）如图，已知半圆直径AB＝2，点C、D三等分半圆弧，那么△CBD的面积为．25．（2022春•虹口区校级期中）如图，AB是圆O的直径，＝＝，AC与OD交于点E．如果AC ＝3，那么DE的长为．26．（2022•长宁区二模）如图，已知在半圆O中，AB是直径，CD是弦，点E、F在直径AB上，且四边形CDFE是直角梯形，∠C＝∠D＝90°，AB＝34，CD＝30．求梯形CDFE的面积．27．（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求证：∠D＝30°；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．28．（2022•金山区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P是劣弧的中点，求tan∠P AB的值．【过关检测】1．（2021·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知点C 在线段AB 上（点C 与点,A B 不重合），过点,A B 的圆记为圆1O ，过点,B C 的圆记为圆2O ，过点,C A 的圆记为圆3O ，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆1O 可以经过点CB ．点C 可以在圆1O 的内部 C ．点A 可以在圆2O 的内部D ．点B 可以在圆3O 内部3．（2018·上海宝山·九年级期末）若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是（1，2），点P 的坐标是（5，2），那么点P 的位置为（ ）A ．在⊙A 内B ．在⊙A 上C ．在⊙A 外D ．不能确定4．（2019·上海上海·九年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tan B ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 5．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是_____．6．（2018·上海金山·九年级期末）如图， AB 是⊙O 的弦，∠OAB=30°．OC ⊥OA ，交AB 于点C ，若OC=6，则AB 的长等于__．7．（2020·上海松江·二模）如图，已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AO 平分∠BAC ．点M 、N 分别在弦AB 、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：MN OM AB OA．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．（1）求证：~BDE ADB△△；（2）联结EG ，如果//EG AB ，求证：2AE DE CB =⋅．9．（2018·上海普陀·一模）已知：在⊙O 中，弦AB=AC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BD=CD ．10．（2019·上海长宁·一模）如图，AB 是圆O 的一条弦，点O 在线段AC 上，AC=AB ，OC=3，sinA=35．求：(1)圆O 的半径长；(2)BC 的长．11．（2019·上海市南塘中学中考模拟）如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接,CE CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且FAB ABC ∠=∠，连接BF ．（1）求证：BCD BEC ∠=∠；（2）若2BC =，1BD =，求CE 的长及sin ABF ∠的值．12．（2021·上海杨浦·二模）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），过点A 作AD //OC 交半圆于点D ，E 是直径AB 上一点，且AE ＝AD ，联结CE 、CD ．（1）求证：CE ＝CD ；（2）如果3AD CD =，延长EC 与弦AD 的延长线交于点F ，联结OD ，求证：四边形OCFD 是菱形．。
九年级数学 圆 第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
AB 3
3
3
∴ AM MN NB
A
M
NБайду номын сангаасO
B
E
F
C
A
MN O
B
E
F
解析二：
连结 OE，易知 OE 与半径的比．
AC ，也可求得 AM ，进而可求得 AM MO
证法二：
如图，连结 OE，设 AC＝2a，则 AC＝AB＝2OE＝2a
∵ CAM AOC 60 ，∴ AC OE ， C
∴ OM OE a 1 AM AC 2a 2
60
，
AO
EO
a
，
C
∴ AOE 为等边三角形，∴ AE AO a
又∵ EAO CBA 60 ，∴ AE BC
∴ AME BMC ，∴ AM AE a 1 ，∴ AM 1
BM BC 2a 2
AB 3
同理： BN 1 ，∴ MN AB 2 AB 1 AB ，
第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
课标引路
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
圆心角概念
抓两点
圆心角定理推 论使用前提条 件
注意 必须在同 圆或者等圆中
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
注意：这里说的相等是指角 的度数与弧的度数相等．而 不是角与弧相等，在书写时
证明三：连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G
设 AC＝2a，则有 AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE 为等边三角形）
圆心角弧弦弦心距之间的关系
圆心角弧弦弦心距之间的关系在我们探索圆的奇妙世界时，圆心角、弧、弦、弦心距这几个概念就像圆这个大舞台上的主角，它们之间存在着紧密而有趣的关系。
首先，让我们来认识一下这几位“主角”。
圆心角，就是顶点在圆心的角。
想象一下，从圆心出发的两条射线，它们所夹的角就是圆心角。
弧呢，是圆上任意两点间的部分，就像是圆这个大蛋糕上切下来的一小段。
弦则是连接圆上任意两点的线段，是圆上两点之间的“直线通道”。
弦心距呢，是从圆心到弦的距离，简单说就是圆心到弦的垂线段的长度。
接下来，我们看看它们之间的具体关系。
当在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧一定相等，所对的弦也相等，弦心距自然也是相等的。
这就好像是一把神奇的钥匙，只要圆心角这个“开关”相同，其他几个元素就会随之呈现出相同的状态。
反之，如果两个弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，弦心距也相等。
弧就像是一个传递信号的使者，它的相等能够带动其他元素的一致。
同样的道理，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦心距也相等。
弦在这里扮演了重要的角色，它的平等能够引发一系列的连锁反应。
要是两条弦心距相等，那么对应的圆心角相等，所对的弧相等，弦也相等。
弦心距的相等仿佛是一个启动按钮，引发了整个系统的平衡与一致。
为了更好地理解这些关系，我们可以通过一些实际的例子来感受。
比如，在一个标准的圆形钟表盘上，假设时针从 12 点转到 3 点，形成的圆心角是 90 度。
那么对应的弧长，也就是 12 点到 3 点之间的圆弧长度，是整个圆周长的四分之一。
这时候对应的弦，也就是 12 点和 3点之间的线段长度，以及弦心距，也就是圆心到这段弦的垂直距离，都是确定且唯一的。
再比如，我们制作圆形的扇子。
如果要保证扇子打开的角度美观且一致，那么对应的扇面弧长、扇骨的长度以及扇骨到圆心的距离也都应该是相等的。
在实际的数学问题中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系常常被用来进行计算和证明。
最新沪科版九年级数学下24.2.2弦、弧、圆心角、弦心距间的关系
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB 与 A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵
B
AOE 180 3 35
75
在同圆或等圆中,如果①两个圆心，②两条弧,
③两条弦,④两条弦心距中。 有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量 都分别相等.
拓展练习
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为 圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试 证明。
︵
AB A ' B '.
︵
︵
AB A ' B '.
归纳小结
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心B = CD
？！
O'
D 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等
（已知）
图 23.1.5
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ AB=CD
∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧所对的 圆心角相等）
例 3：
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
E D C A ∵
= DE
BC = CD
24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
与CD，OE=OF有怎样的数量关系？
在☉O中，如果AB=CD，那么圆心角∠AOB与 ∠COD，A⌒B
与C⌒D，OE=OF有怎样的数量关系？
在☉O中，如果OE=OF，那么圆心角∠AOB与 ∠COD，A⌒B
与C⌒D，AB与CD有怎样的数量关系？
C B
DE F
·
O
A新知探究Fra bibliotek知识要点 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所 对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等， 那么其余各组量都分别相等.
求证:AB＝CD.
C
证明：连接AO,BO,CO,DO.
B
.O
Q »AD B»C，
AOD BOC.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
课堂小测
能力提升：
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么C⌒D=2A⌒B成立吗？
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间
圆心角 相等
弦 相等
弧 相等
弦心距 相等
新知探究
例1 已知，如图，等边三角形ABC的三个顶点都在☉O上.
求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°. A
证明：连接OA，OB，OC.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA B
O
C
= 1 360o=120o.
3
新知探究
例2 已知:如图，点O是∠A平分线上的一点，☉O分别交
（4）圆绕圆心旋转任意一个角度后，能
·
与原来的图形重合吗？
能.（这是圆的一个特有性质，我们 称之为圆的旋转不变性）.
九年级数学人教版(上册)24.1.3弧、弦、圆心角
OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
2
2
F C
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
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练一练
下列说法中，正确的是( C)
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
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弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
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要点归纳
二、弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弧相等．
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关系结构图
圆心角 相等
弦相等
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当堂练习
( (
( (
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵AD=BC
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
圆心角弧弦弦心距之间的关系
圆心角弧弦弦心距之间的关系在我们探索圆的奥秘时，圆心角、弧、弦和弦心距这几个概念及其之间的关系是非常重要的。
它们就像是圆这个神秘世界的密码，掌握了它们之间的关系，就能更加深入地理解圆的性质和特点。
首先，让我们来认识一下这几个概念。
圆心角，简单来说，就是顶点在圆心的角。
想象一下，从圆心出发的两条射线所夹的角，那就是圆心角。
弧呢，是圆上任意两点之间的部分。
比如，圆上 A 点和 B 点之间的曲线部分就是一段弧。
弦则是连接圆上任意两点的线段。
还是以 A 点和 B 点为例，连接A、B 两点的线段就是弦。
弦心距，指的是圆心到弦的距离。
那么，它们之间到底有着怎样的关系呢？在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的弧一定相等，所对的弦也一定相等。
反之，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
同样，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
为了更好地理解这一关系，我们可以通过一些实际的例子来感受一下。
假设我们有一个圆，圆心为 O，有两个圆心角∠AOB 和∠COD，且∠AOB ＝∠COD。
那么，根据上述关系，弧 AB 和弧 CD 是相等的，弦 AB 和弦 CD 也是相等的。
再比如，如果我们已知弧 AB 和弧 CD 相等，那么我们就可以得出∠AOB ＝∠COD，弦 AB ＝弦 CD。
又或者，当我们知道弦 AB 和弦 CD 相等时，同样可以推断出∠AOB ＝∠COD，弧 AB ＝弧 CD。
这种关系的证明，其实可以通过圆的性质和三角形的全等知识来实现。
以圆心角相等推出弧和弦相等为例。
我们可以连接圆心 O 与弧的两个端点 A、B 和圆心 O 与弧的另外两个端点 C、D，得到两个三角形△AOB 和△COD。
因为圆心角相等，OA ＝ OC，OB ＝ OD（都是圆的半径），根据三角形全等的判定定理（SAS），可以证明△AOB ≌△COD。
全等三角形的对应边相等，所以弦 AB ＝弦 CD。
又因为弧的长度取决于圆心角的大小，圆心角相等，所以弧 AB ＝弧 CD。
圆心角弧弦弦心距之间的关系
圆心角弧弦弦心距之间的关系在圆的世界里，圆心角、弧、弦、弦心距这几个概念就像是一个紧密相连的大家庭，它们之间存在着神奇而又美妙的关系。
首先，让我们来认识一下这几个“家庭成员”。
圆心角，就是顶点在圆心的角。
弧呢，是圆上任意两点间的部分。
弦则是连接圆上任意两点的线段。
弦心距，是从圆心到弦的距离。
当圆心角发生变化时，弧、弦、弦心距也会随之改变。
它们之间存在着一些恒定不变的规律。
先来说说圆心角和弧的关系。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也是相等的。
这就好比两个大小相同的扇子，扇角相等，展开的弧度也就一样。
反过来，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也是相等的。
接下来是圆心角和弦的关系。
同样在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也是相等的。
想象一下，圆心角就像一只无形的手，用力均匀地拉扯着弦，当这个力（圆心角）相等时，弦的长度也就相等了。
反之，相等的弦所对的圆心角也是相等的。
再看看圆心角和弦心距的关系。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距也是相等的。
这就好像圆心发出的力量（圆心角）相同，到弦的垂直距离（弦心距）也就相同。
反过来，弦心距相等时，对应的圆心角也相等。
那弧和弦又有着怎样的联系呢？在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦是相等的。
比如一个圆的一段弧确定了，那么连接这段弧两端的弦的长度也就确定了。
反之，相等的弦所对的弧也是相等的。
弧和弦心距之间也有着密切的关系。
在同圆或等圆中，相等的弧所对应的弦心距相等。
同样，弦心距相等时，对应的弧也相等。
这些关系在解决圆的相关问题时非常有用。
比如，当我们知道了一个圆心角的度数，就可以通过这些关系求出对应的弧长、弦长和弦心距。
举个例子，假设有一个圆，圆心角为 60 度，半径为 5 厘米。
我们可以先根据圆心角的度数求出它所对的弧长占整个圆周长的比例，因为圆的圆心角总共是 360 度，所以 60 度圆心角所对的弧长就是圆周长的六分之一。
圆的周长可以通过公式2πr 计算（r 是半径），即2×π×5＝10π 厘米，那么 60 度圆心角所对的弧长就是10π÷6 ＝5π/3 厘米。
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［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。
4.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
(1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。
如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD ，但 AB=CD ，而且 AB = CD ，弦心距也不相切。
(2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上述关系。
下面举四个错例：c c若O O 中，AC = DB ，则 CE = FD , CEA =/DFBCE FD 不是弦，/ CEA / BFD 不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。
其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。
(4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。
5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。
一般地，n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。
圆心弧弦 弦心距之间的关系这两个结论都是错误，首先 (3)同一条弦对应两条弧, 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“ .AOB 二AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个不能比较变量的概念。
相等的弧 一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1） 在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦 的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。
当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦 心距逐步增大，趋近于半径。
（2） 在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的 圆心角较大，反之也成立。
注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对 的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。
7. 辅助线方法小结：（1） 有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关 系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。
（2） 在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。
（3） 有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。
【典型例题】例1.已知：如图，在O O 中，弦AB CD 的延长线交于 P 点，P0平分/ APC分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角 平分线P0过圆心，利用弦心距相等可以解决。
证明：（1）过 0点作 OMLAB 于 M, ONL CD 于 N •/ P0平分/ APC••• 0M= ON••• AB= CD （在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等） 此题还有几种变式图形，道理是一样的。
弦AB DC 的交点在圆上，即 B 、P 、D 三点重合。
求证: (1)AB= CD(2) PA= PC 若P0平分/ APC 求证:弦AB CD交于P点（P点在圆内）PO 平分/ APC 求证：AB= CDD Py / |Bc cA. AB 2CDc cC. AB =2CDc分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行:C1 CC(1)把AB 的一半作出来，然后比较 —AB 与CD 的大小;2c(2 )把2CD 作出来，变成一段弧，然后比较 解法一：此题还可将题设与结论交换一下，即已知 样，利用弦心距等。
(2)在 Rt △ POM 和 Rt △ PON 中，21=N 2AB = CD ,求证：PO 平分/ APC 证法与上面一丄 OMP =NONPQP =0P. POM 二 PON (AAS)二 PN1 1AB , CN CD , AB 二 CD 2 一 -CNAM = PNAM.AM.PM即 PA= PCCN例2.如图，在O O 中, Cc~rFB. AB ：： 2CDc cD. AB 与2CD 的大小关系不可能确定cAB= 2CD , AE 二 CD =」AB2cAF c二FB , . AF 二FB (等弧对等弦)c c2 CD 与AB 的大小。
AE 二 EB 1 AB2AB= 2CD,那么(B■ 1 「1 '过 O 点作 OF_AB 于 E,贝 V AF =FB 二一AB , 2在：AFB中，AF FB AB, 2AF ABAF CDc c c c.2 AF 2CD，即 AB 2CD故选AoFO* [BC D解法二：1 女口图，作弦 DE二CD，连结CE,贝V DE二CD二1 CE2 在CDE 中，有CD DE CE2CD - CEAB =2CD, AB CEc c c c.AB CE，. AB 2 CDA[O 1BC EDc c例3.如图，CD为O O的弦，AC=BD，OA、OB交CD于F、E 求证：OP OFOF./ ] EC DA B证法一：连结OG ODOC =0D，■ C = Dc cAC二BD，. . COA =/BOD （等弧所对的圆心角相等）COF = DOEOE =OFOEC ------------ DA _ B证法二： 过0点作OM L CD 于N 交O O 于Mc c.CM = MDc c c c又 CA = BD , AM = MBZAOM ZBOM又 FNO = ENO = 90 , ON = ONOFN 二 OENOF =OEOF _ E C N D* ! D A M B例4.如图，O O 中AB 是直径,c c求证：EC=2EA分析：在同圆中，要证 EC=2EA ，考虑分别求出 EC 和EA 的度数，而弧的 度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出/COE / AOE 的度数。
证明：连结OEED//AB , CO_ABED _CO'■ D 是CO 中点1OE =OC, . OD OE, DEO =302EOD = 90 -30 = 60cEC 的度数是60EOA 二 DEO 二 30cCOL AB D 是CD 的中点,DE// ABDAE的度数是30解析一:也为等边三角形。
所以， .EAB 二/CBA ，即AE // BC ，贝V AME ~ .〔BMC ，可 求得AM」，知AM 是直径AB 的三等分之一，同理，BN 也是AB 的三分之一,BM 2 故问题得证。
C I I\X <1 XfI li X A M1NB O\ -i! Jl J v }/\ /E ■ F证法一：连结OE AE,设等边△ ABC 的边长为2ac c cAB 为O O 直径，AE =EF =FB1 c EOA 等于1AEB 的度数3 1乙 EOA 180 = 60 ， AO 二 EO 二 ac cEC = 2EA例5.如图，AABC 是等边三角形, c c cAB 是O O 直径，AE = EF = FB , CE 、CF交AB 于M No求证：AM= MN= NB1/ !i 1 M i,N由于E 、F 是半圆AEB 的三等分点，故连结 OE ， 知.AOE =60，因而 AOEOC O3AOE为等边三角形又：EAO = • CBA = 60 , AE // BC.：AME 〜. BMCAM AE a 1 BM_ BC -2a - 三AM 1AB _3同理， BN 1AB3=1 AB.MN=AB - --AB3 3.AM 二 MN 二 NB解析二:解析三:要证AW MN= NB 即证AM MO= 2 : 1 ,故联想到三角形的重心性质，若能证明ACG 的重心，问题得证。
（三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于到对边中点距离的 2倍）CA M + NB V ； 7EF连结OE ,易知OE //AC ，也可求得进而可求得AM 与半径的比证法如图，连结 OE 设 AC = 2a ,贝U AC= AB= 2OB 2aCAM = AOE = 60 , . AC// OEOM OE a 1AM 一 AC 一 2a 一 2 OM AMAM同理,BN ABAMMOII证明三：连结AE 并延长交CO 的延长线于G设AC= 2a ,则有AE = OA= a (证法一中已证明△ AOE 为等边三角形)•/ AC = BC, AO= OB••• AOL CG / CAB=Z GA = 60 ° , AO= AO•••△ AOC2A AOG•- OC = OG 且 AG^ AC = 2a AE = a , • AE = EG^ a即E 为AG 中点，O 为CG 中点 •ACG 的 重心22 1 .AM AO a AB3331同理，NB AB3.AM 二 MN 二 NBc c6.如图，AB 为O O 的直径，C D 是O O 上的两点，.BAC =20 , AD=CD ，则/ DAC的度数是（)1. 在O O 与O O'中，若.AOB = . A'O'B'中，则有（）C Cc c A. AB 二 A'B' B. AB A' B'r\ r\ c cC. AB ：： A' B'D. AB 与A' B'的大小无法比较 2. 半径为4cm, 120°的圆心角所对的弦长为（ ）A.5cm B. 4 3cmC. 6cmD. 3 3cm3. 在同圆或等圆中，如果圆心角/ BOA 等于另一个圆心角/ COD 勺2倍，则下列式子中能成立的是（）A.AB 二 2CDB. AB 2 CDC C C C C.AB ：2CDD. AB =2CD4. 在O O 中，圆心角/ AOB= 90°，点O 到弦AB 的距离为4,则O O 的直径的长为（ A. 4 . 2B. 8.2C. 24D. 165. 在O O 中，两弦AB< CD OM ON 分别为这两条弦的弦心距， 则OM ON 的关系是（A. OM ONB. OM =ONC.OM OND.无法确定【模拟试题】 -.选择题。