华师大版数学九年级下第7讲 圆心角,圆周角定理
O
A
B
C
C
A E
F
D
O B
第7讲 圆心角，圆周角定理
知识要点梳理：
一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧
AB 所对的圆心角)
二、圆心角定理及推论：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的弧也相等．
三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：
(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题：
例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °
例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC
例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠B
O
D
C B
A
例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．
例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；
（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：
一．选择题
1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．
A ．140°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
O
B
A C
https://www.360docs.net/doc/4719225930.html,
2
1
4
3
O
B A
C
D
(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2
C ．∠4<∠1<∠3<∠2
D ．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．
A ．3
B ．3
C ．5-
1
2
3 D ．5
4．如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°
5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）
A．15°B．25°C．30°D．75°
6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，
则EC的长为（）
A．2 B．8 C ． D．2
9．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）
A．80°B．160°C．100°D．80°或100°
二．填空题
1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
2．如图4，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于．
4．如图5，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•
O B
A
E D
O
B
C
2
1
E
D
O
B C
(4) (5) (6)
5．如图6，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．
O
B
A C
D
https://www.360docs.net/doc/4719225930.html,
6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．
7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，∠ABC=50°，则∠BDC 的大小是 ．
8．如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为 ．
9．如图，点O 为
所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D 在BA 的延长线上，AD=AC ，则∠D= ．
10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为 ．
11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ． 三．解答题
1.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？
O B
A C
P
30°
B A
N
O
M
P O
B
A C y x
M
2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60°（1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．
3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），
M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．
4．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2
，求CD 的长．
能力拓展
1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.22
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
6．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证：△ABD为等腰三角形．
（2）求证：AC•AF=DF•FE．
7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
课后巩固：
1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）
A．30°B．45°C．50°D．60°
A
O
D
B
C
2.如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
3.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
（A）3（B）4（C）5（D）6
4．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
O
A
B
5、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
华东师大版九年级数学下册 圆周角教案
《圆周角》教案 教学目标： 一．知识技能 1．理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同； 2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征； 3．能灵活运用圆周角的性质解决问题； 4．使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 5．使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题． 教学重点： 1．圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 2．圆内接四边形的性质定理． 教学难点： 1．发现并证明圆周角定理． 2．理解“内对角”这一重点词语的意思． 教学过程： 一．创设情景 如图是一个圆柱形的海洋馆，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒ AB观看窗内的海洋动物．大家请看海洋馆的横截面的示意图，想想看：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？ 二．认识圆周角． 1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．(注意两点：1．角的顶点在圆上；2．角的两边都与圆相交，二者缺一不可．) 3．辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解．
4．圆周角与圆心角的联系和区别是什么？ 三．探究圆周角的性质． 1．如图所示图中，∠AOB=180°，则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可用圆周角定理说明．) B 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数． 解：连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°． 又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°． 2．在下图中，同弧⌒ AB所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想．同弧⌒ AB所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想． 3．由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 四．证明圆周角定理及推论． 1．问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 2．学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．如下图
九年级数学圆周角定理
圆周角定理及其运用 1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。 2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。 （1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。 知识点一圆周角定理及其推论 【知识梳理】 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧； C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。 （2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。因为一条弦所对的弧有两段。 2、圆周角定理的推论： 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。 推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32 ，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标 为 。 （第1题） （第2题） 2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46° B ．72° C ．64° D ．36° 3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。 （第3 题） （第4 题） 4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。 O E D A B C O A B C C B A O
华东师大版九年级下册：圆的认识
圆的认识 教学目标 1.理解圆的定义；理解半径、直径、等圆的概念； 2.理解圆的对称性； 3.并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法； 学习内容 知识梳理 一、圆的定义 1.圆的定义 如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫 做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 总结： ⊙圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ⊙圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹. 2. 等圆的概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点诠释： ⊙定点为圆心，定长为半径； ⊙圆指的是圆周，而不是圆面； ⊙强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 3.弦 （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径. （3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 注意： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ⊙AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ⊙直径AB是⊙O中最长的弦. 4.弧 （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. （2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧； （4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 总结： ⊙半圆是弧，而弧不一定是半圆； ⊙无特殊说明时，弧指的是劣弧. 5. 等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 总结： ⊙等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ⊙圆中两平行弦所夹的弧相等. 二、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 注： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
华师大版数学九年级下第7讲 圆心角,圆周角定理
O A B C C A E F D O B 第7讲 圆心角，圆周角定理 知识要点梳理： 一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧 AB 所对的圆心角) 二、圆心角定理及推论： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等． 三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论： (1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题： 例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= ° 例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC 例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。 求证：∠D=∠B O D C B A
例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长． 例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ； （2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。 经典练习： 一．选择题 1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130° O B A C https://www.360docs.net/doc/4719225930.html, 2 1 4 3 O B A C D (1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2 C ．∠4<∠1<∠3<∠2 D ．∠4<∠1<∠3=∠2 3．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）． A ．3 B ．3 C ．5- 1 2 3 D ．5 4．如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°
2020华师大版九年级数学下 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习含答案
【文库独家】 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ A D B O C E 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5 10.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
九年级数学下册 27.1.3 圆周角教案 华东师大版(2021学年)
九年级数学下册 27.１．３圆周角教案（新版）华东师大版 编辑整理： 尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册2７.1.3 圆周角教案（新版)华东师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学下册2７.１.3 圆周角教案（新版)华东师大版的全部内容。
2７.1．3圆周角 教学内容:课本Ｐ4０~４４ 教学目标 1、认识圆周角,探索圆周角与圆心角的关系； 2、掌握圆周角定理及其推论; 3、会用圆周角及其推论解决圆中的简单计算题; 教学重难点 重点：掌握圆周角定理及其推论； 难点:会用圆周角定理及其推论解决圆中的计算题; 教学准备:课件 教学方法:讲授法 教学过程 一、认识圆周角 圆周角：顶点在圆上,两边和圆相交的角叫做圆周角。 判定下列角是否是圆周角,为什么？ 图（２)是圆周角，圆（4)是圆心角，图(1)是圆外角，图(3)是圆内角。 二、学习思考
1、小组合作学习。(4人一组） 2、班级展示 ３、教师总结 ４、结论:半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于９0°（直角).５、提出问题:对于一般弧所对的圆周角,又有什么规律呢？三、学习试一试
１、小组合作学习（4人一组）。 2、班级交流. 3、教师总结 我们可以发现，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角度数的一半。 四、学习圆周角定理及其推论 1、定理的论证
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳 圆的知识点归纳 圆的定义： 1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 圆的各元素： 1.半径：圆上一点与圆心的连线段。 2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。 3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。 4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。 1) 劣弧：小于半圆周的弧。 2) 优弧：大于半圆周的弧。 5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。
圆的基本性质： 1.圆的对称性。 1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 3) 圆是旋转对称图形。 2.垂径定理。 1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 2) 推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 1) 同弧所对的圆周角相等。 2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。
5.夹在平行线间的两条弧相等。 6.设⊙O的半径为r，OP=d。 dd）点P在⊙O内 d=r点P在⊙O上 d>r（r 九年级下册数学圆周角定理 一、圆周角定理的定义 圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。 二、圆周角定理的证明 证明圆周角定理可以采用以下步骤： 1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。 2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。 3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。 4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。 5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。 6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 三、圆周角定理的应用 圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面： 1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。 2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。 3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。 4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。 四、圆周角定理的推论 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。 2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。 3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。 圆周角定理教学设计 教学目的：1、理解圆周角的概念，会判断一个角是否为圆周角。 2、掌握圆周角的性质和直径所对的圆周角的特征。 3、会证明圆周角定理，掌握同弧所对圆周角和圆心角的关系。 4、体会圆周角定理证明中所蕴涵的数学思想方法。 教学重点：掌握圆周角定理并能运用它来解决问题。 教学难点：圆周角定理证明过程中体现的数学思想方法及其运用。 施教程序： 一、创设情境，引发思考，导入新课。 问题情境：足球训练场上教练球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练，甲、乙两名，运动员分别在C、D 两地，他们争论不休，都说在自己的位置射门好，如果你是教练评一评他们的说法。 该问题转化为研究在不考虑其他因素的前提下，∠ADB与∠ACB的数量关系，教师引出课题，与圆有关的另一类角——圆周角。 二、探究新知 （一）定义：学生阅读课本，了解圆周角的定义。 1、学生概括定义。 2、跟踪联系。说明哪个角是圆周角，并说明理由。 （二）、探究直径所对圆周角的特征。 1、提出问题：探究半圆或直径所对的圆周角是多少度呢90度的圆周角所对的弦是否是直径（小组合作探究） 2、交流展示，并用演绎推理说明原因。 3、引申：半圆或直径所对的圆周角与圆心角有什么数量关系是不是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角和圆周角都有这样的数量关系呢 （三）、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 1、学生动手操作。 画一个圆⊙O，在圆上任取一段弧BC，做出这段弧所对的圆周角和圆心角。 2、观察发现，同一段弧所对的圆心角有几个圆周角有几个分别量一量同弧所对的圆心角与圆周角的度数。 3、讨论圆周角的位置与圆心的位置关系。演示三种位置关系。 4、分类化归验证猜想（小组合作） 对上述猜想结论，分三类给出严密的逻辑证明。 利用圆周角与圆心角关系解题 我们知道，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，即同圆或等圆中圆周角相等，可以得到圆心角也相等.利用圆周角与圆心角的这种关系，我们求解许多与之相关的问题，现举例说明. 例1 已知：如图1，⊙O 的两条弦AE ，BC 相交于点D ，连结AC ，BE ，AO ，BO ，若∠ACB ＝60°，则下列结论中正确的是（ ） A.∠AOB ＝60° B.∠ADB ＝60° C.∠AEB ＝60° D.∠AEB ＝30° 分析 由于已知的是圆周角的大小，则由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，可以确定圆周角∠AEB 和圆心角∠AOB 的大小，于是问题即可求解. 解 因为∠ACB ＝60°，所以圆周角∠AEB ＝60°，圆心角∠AOB ＝120°.故应选C . 说明 利用圆周角与圆心角的关系性质解题时一定要注意其前提条件是：在同圆或等圆中. 例2 如图2，已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝47°，求∠AOB . 分析 要求∠AOB 的大小，只要能求出∠C ，此时的∠C 是△ABC 的内角，结合已知条件即可求解. 解 因为⊙O 是△ABC 的外接圆， 所以∠CAB 、∠ABC 、∠C 都是圆周角，∠AOB 是圆心角. 又因为∠BAC ＝50°，∠ABC ＝47°，所以∠C ＝180°－(∠A +∠B )＝180°－(50°+47°)＝83°. 由圆周角定理，得∠C ＝ 1 2 ∠AOB ，所以∠AOB ＝2∠C ＝2×83°＝166°. 说明 求解此类问题时，一定要正确理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其证明的思路，另外，圆周角定理也可以理解成：“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍.” 例3 已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数 . 图1 图 2 圆的有关性质（第四课时） 一、内容和内容解析 1内容 圆周角概念，圆周角定理及其推论 2内容解析 与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带 圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理 二、目标和目标解析 1目标 （1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论 （2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法 2目标解析 达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题 达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理 三、教学问题诊断分析 圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形 基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理 四、教学过程设计 1了解圆周角的概念 问题1 如图1，∠ACB的顶点和边有哪些特点 师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB的顶点在OΘ上，角的两边分别交OΘ于点A,B两点教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角与圆心角都是圆有关的角 课时课题：第三章圆3．圆周角和圆心角的关系第1课时 课型：新授课 教学目标： 1．经历圆周角和圆心角的关系的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会分类、归纳等数学思想方法。 2．理解圆周角的概念及圆周角和圆心角的关系。并能够应用“圆周角与圆心角的关系”进行简单的论证和计算． 重点: 经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，理解“圆周角与圆心角的关系”． 难点: 了解圆周角与圆心的三种位置关系，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”． 教学分析及教学方法： 本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的推论的理论依据,还能充分渗透分类讨论的数学思想和方法。本节课储备的知识，在推理、论证和计算中应用广泛，并且它在研究圆和其他图形中起着桥梁和纽带作用，是本章重点内容之一。 根据本节课教学内容的特点，采用“创景导学—自主探究—合作交流—巩固提升—当堂检测”的教学模式． 课前准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情境，导入新课 师：同学们玩过足球射门游戏吗？（投影展示一系列足球射门的图片） 生：玩过． 师：适当玩一些益智游戏，可以锻炼我们的多种能力，但是一定要把握度。请同学们想一想，球员射中球门的难易与什么有关？ 生：积极回答！ 设计说明：设计上述问题，意在通过射门游戏引入圆周角的概念，激发学生的兴趣，而对于 这一问题的答案，则可以让学生相互交流，自由发挥，不必去刻意追求正确的答案． 师：（教师总结）如图1所示，球员射中球门的难易与他所在的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．把实际图形画成图（1），请同学们观察图中的∠ABC有哪些特征？ 生1：角的顶点在圆上． 生2：他说的不全面，应该有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交．设计说明：在引导学生探索圆周角的特征时，要引导学生先在观察图形的基础上进行独立思考，然后再进行合作交流，最后形成共识． 师：第二位同学回答的非常全面，我们把具备这两个特征的角叫做圆周角，这节课我们就来探索圆周角与圆心角的关系．（板书课题，导入新课） 二、问题导学，合作探究 （一）圆周角的概念 师：哪位同学能叙述一下圆周角的概念？ 生：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角． 师：这位同学回答的很正确，同学们在理解圆周的概念时一定要抓住它的两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交．下面我就出个题目，来检测一下同学们对圆周角概念的掌握情况． 投影出示：判断下列图中的角是否是圆周角，并说明理由． （先让学生观察思考，然后再找基础较弱的学生回答） A 图5 【文库独家】 圆的总结 圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性．质定理．．．与判定定理．．．．及公式．． 。 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d 图1 图2 D B B A B A O 推论1：（1 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 BC BD =AC AD = 《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系； 2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，。 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -。 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，。当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -。 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠。 ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结 华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结 总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，因此，让我们写一份总结吧。你所见过的总结应该是什么样的？下面是小编整理的华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结1 圆 1．圆的认识 （1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。 （3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC 都是圆O中的弦。 、BAC其中像弧BC这样（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。2．圆的对称性 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。3．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。4．圆周角 （1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。5．点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则（1）点在圆外dr （2）点在圆上dr（3）点在圆内dr6．（1）过一点可以画无数个圆； 过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。（3）一个三角形的外接圆是唯一的。7．直线与圆的位置关系 （1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。 （2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线． 如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：若dr直线l与⊙O相离；若dr直线l与⊙O相切；若dr 直线l与⊙O相交；8．切线 （1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（3）切线长：把切线上某一点与 【文库独家】 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1九年级下册数学圆周角定理
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