圆周角的三个定理和三个推论
第16讲 圆心角、圆周角定理
OABC第16讲 圆（二）知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BACODC B ACA EFDO B例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠B例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）A ．AB =2CD B ．AB >CDC ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=2AC C ．AB<2ACD ．AB>2ACOBA(5) 4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°OB2143OB(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠26．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123D ．5二、填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BC21EDOBCOBACED(4) (5) (6)OA CDO BP 5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，∠A=•60°，则⊙O•半径为_______．三、解答题1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？OBAC D N M2．如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=65°，求BE 的度数和EF 的度数．BACEDF3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．HGIOEDABCF30°B ANOMP OBACy xM5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB 为⊙C 直径．（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222.已知在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E,F 为BA 延长线上一点，连接EF,以EF 为直径的⊙O 经过点D,与CD 边交于点G.(1)求∠FDE; (2)判断四边形ACDF 是什么四边形，说明理由（3）若G 为CD 中点，①求证：FD=FI ②设AC =2m ，BD =2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．ODBAC 课后巩固：1.如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°2.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
圆周角定理及其推论
∠BAC的度数分别是多少？它们之间有什么关系？
（2）如图， Rt △ABC内接于⊙O ，则∠BOC与
∠A的度数分别是多少？它们之间有什么关系？
A
B
60° O
120°
B
C
O
A
C
你有什么猜想？ 一条弧所对的圆周角等于它
所对圆心角的一半.
圆周角
沪科版九年级数学下册第24章第3节
探究：圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
沪科版九年级数学下册第24章第3节
2.课堂探究
问题：如果将圆心角的顶点逐渐向上移，直至
与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特点？
C
顶点在圆上
这样的角叫圆周角.
.
两边都与圆相交
O
A
B
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和
圆相交的角叫做圆周角．
圆周角
小 试 牛 刀
沪科版九年级数学下册第24章第3节
下 列 各 角 都 是 圆 周 角
吗 ？
圆周角
沪科版九年级数学下册第24章第3节
3.合作探究
问题 如图：小明同学站在圆心O的位置，
小华站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？
A
小华(C)
玻
小明(O)
璃
窗
B
圆周角
沪科版九年级数学下册第24章第3节
4.归纳猜想
（1）如图，正△ABC内接于⊙O ，则∠BOC与
对的弦是什么?
圆周角
沪科版九年级数学下册第24章第3节
四、授新
1.复习提问
(1)什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角.
O.
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
24.1.4圆周角定理及其推论(教案)-2023-2024学年九年级上册数学(人教版)
一、教学内容
本节课选自人教版数学九年级上册第24章“圆”的24.1.4节，主要教学内容包括圆周角定理及其推论。具体内容包括：
1.圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
2.圆周角定理推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
首先，我发现学生们在理解圆周角定理的基本概念时，普遍感到比较困难。尽管我通过动态演示和模型操作来帮助他们形象地理解，但似乎效果并不如预期。在今后的教学中，我需要寻找更直观、更贴近学生生活实际的教学方法，让他们能够更容易地接受和理解这个定理。
其次，在案例分析环节，我注意到学生们对实际问题的解决能力还有待提高。他们往往知道定理，但在应用时却不知道从何下手。针对这个问题，我计划在后续的教学中增加一些典型例题的讲解，并引导学生从多个角度去思考问题，培养他们的解题技巧和思维灵活性。
-强调圆周角为90°的圆弧为四分之一圆，通过画图展示。
-圆内接四边形对角互补，通过具体例子让学生理解内接四边形的性质。
-实践应用：通过典型例题，让学生应用定理和推论解决具体问题。
2.教学难点
-难点内容：圆周角定理及其推论的理解和运用。
-难点解析：
-理解难点：
-圆周角与圆心角的关系：学生可能难以理解圆周角为何等于圆心角的一半，需要通过动态演示或模型操作来直观展示。
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
圆周角定理推论
E
圆周角定理的推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
D 8 7 A 2 1 E 5 3 B 4 6 C
作图探索证明 问题讨论 1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过 圆心O吗？为什么？
A
E A O B C
A
B C
C
O
A
O E
B
圆周角定理的推论：
推论1 同弧或等弧所对的圆 周角相等；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆（或直径）所对的 圆周角是直角； 90°的圆周角 所对的弦是直径.
2.填空题: A (1)如图所示, ∠BAC= ∠BDC ,∠DAC=∠DBC .
B
D
C A
(2)如图所示,⊙O的直径 AB=10cm,C为⊙O上一 点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O
C
B
分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦 ,延长BD到C,使DC=BD,AC与AB的大 小有什么关系?为什么?
A
●
O
C
D
B
2.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°, 求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
⌒ ⌒ 3.如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的 中点, DE分别交AB和AC于点M、N; 求证:△AMN是等腰三角形.
如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径, ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
O
A C
B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
圆周角定理及推论证明
圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。
圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。
在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。
首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。
这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。
因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。
其次，我们需要了解乘法原理。
乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。
根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。
现在，我们开始证明圆周角定理。
为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。
我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。
首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。
连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。
根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。
那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。
接下来，我们观察△COD和△EOC。
由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。
同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。
再来看△AOD和△BOC。
由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。
24.3 圆周角+第1课时 圆周角定理及其推论+课件+2024-2025学年+沪科版数学九年级下册
典例导学 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点
D.若 AB＝10，AC＝6，求 BC，BD 的长．
【自主解答】 ∵AB 是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在 Rt△ABC 中，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝ AB2－AC2＝8，即 BC＝8. ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠DCA＝∠BCD，∴A︵D＝B︵D，∴AD＝BD，
(D )
A．∠ADC
B．∠ABD
C．∠BAC
D．∠BAD
8．(核心素养·创新意识)如图，一块三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的 直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 58°，则∠ACD＝__6611__度．
9．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，B︵C＝B︵D. (1)∠AEC＝9900°°； (2)若∠CDB＝30°，AC＝2 3，则 OE＝1 .
(1)证明：∵D 是A︵C 的中点，∴A︵D＝C︵D， ∵AB⊥DH，且 AB 是⊙O 的直径，∴︵AD ＝A︵H， ∴C︵D＝A︵H， ∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF.
(2)解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠B＝90°， ∵∠DAE＋∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE＝ 55，
【针对训练】 1．在上图中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD 平分∠ACB，则 AD＝55 2 ， BD＝55 2 ，CD＝77 2 .
2．在上图中，∠ACB≠90°，CD 平分∠ACB，∠ABD＝40°，则∠ADB＝100°.
10．如图，⊙O 的弦 AB，CD 的延长线相交于点 P，且 AB＝CD.求证：PA ＝PC.
证明：连接 AC， ∵AB＝CD，∴A︵B＝C︵D， ∴A︵B＋B︵D＝B︵D＋︵CD， 即A︵D＝C︵B，∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC.
圆周角三个定理及其推论
圆周角三个定理及其推论
圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
这一定理叫做圆周角定理。
定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
定理内容
圆周角的度数等同于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角成正比。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。
这两个条件缺一不可。
1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角成正比，成正比的圆周角面元的弧也成正比。
2.半圆（直径）所对的`圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3.圆的内接四边形的对角优势互补，并且任何一个外角都等同于它的内对角。
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圆周角的三个定理和三个推论
圆周角是几何学中非常重要的课题，它测量了连续弧线绕圆心一周所形成的面积，它表征了圆弧路径的大小。
圆周角的三个定理和三个推论很重要，下面将对
它们做一些详细的介绍。
第一个定理是“极角定理”，它声明了一个角的圆心角（圆周角），它的大小
是由圆弧的长度和此弧端点从圆心到他们之间的距离决定的。
它可以为求解圆周角提來许多帮助。
第二个定理，“同余角定理”，它认为圆弧A，B，C，D上的三个角相同，即
A＝B＝C＝D，那么圆的圆周必然相同为∠ACD。
这一定理使圆周角更容易求解。
第三个理定，“圆周角定理”，它宣称，对于任意两个圆心角相同的多边形的
每一条边，其角的总和为360°，或等于2π。
这一定理可以用来计算更复杂的圆
上的角度和圆周角。
此外，圆周角有三个重要推论，第一个是“梯形定理”，它保证了梯形是可以
分解为两个相同的三角形，梯形的内角和周围角之和等于360°，即弧度为2π。
第二个推论是“饼图定理”，它保证了由一个圆形分割成多个部分形成的饼图，其总弧度之和等于2π，在此饼图中，各部分所占的弧度数可以根据各部分的大小
来计算。
最后一个推论是“三角形定理”，它给出了一个三角形，它的三条边和三个内
角的总和等于180°，或与弧度等于π。
这三个推论可以用来计算更复杂的圆周角。
总之，圆周角的三个定理和三个推论对于几何学是非常重要的，它们可以帮助
我们很好地计算出更复杂的圆周角，这对于研究几何领域是很有帮助的。