一元二次函数的定义
017-从函数的角度看一元二次方程
§3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1从函数观点看一元二次方程学习目标 1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程．知识点一二次函数的零点1．定义：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的，也称为二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的零点．2．关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的．提醒零点不是点，指的是一个实数．知识点二一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系1．所有的二次函数都有零点．()2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实根x1，x2，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()3．二次函数y＝x2－1的零点为－1,1.()4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ>0时有两个零点．( )一、求二次函数的零点 例1 求下列函数的零点：(1)y ＝3x 2－x －4； (2)y ＝－4x 2＋4x －1. 解：跟踪训练1 若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则x 1x 2＋x 2x 1的值为( )A ．6B ．4C ．3 D.32二、由二次函数的零点求参数的值例2 若二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的两个零点分别是2和3，则2a ＋b 的值为________． 延伸探究函数y ＝x 2＋mx ＋4m 2－3的两个零点分别为x 1，x 2且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值为________．反思感悟 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及根与系数的关系．跟踪训练2 若二次函数y ＝x 2＋(p －2)x －21的图象与x 轴的交点为A (α，0)，B (β，0)，与y 轴的交点为C . (1)若α2＋β2＝51，求p 的值；(2)若△ABC 的面积为105，求p 的值． 解：三、由二次函数的零点求参数的范围例3 函数y ＝x 2－5x ＋1－m 的两个零点均大于2，则实数m 的取值范围是( ) A.[−214,+∞) B ．(－∞，5) C.[−214,−3) D.(−214,−3)反思感悟 二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，由此列出不等式组进行求解．1．函数y ＝2x 2－3x ＋1的零点是( )A ．－12，－1B ．－12，1 C.12，－1D.12，12．若函数y ＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)3．二次函数y ＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定4．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－3x －4的两个零点，则x 1＋x 2的值是( ) A ．1 B ．－3 C ．3 D ．－45．已知函数y ＝x 2－ax －3a 的一个零点是－2，则它的另一个零点是________．1．知识清单：(1)二次函数零点的概念．(2)一元二次方程的根、二次函数零点以及二次函数图象间的关系． 2．方法归纳：参数分离的方法，转化思想．3．常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错．1．函数y＝x2－8x＋16的零点是()A．(0,4) B．(4,0)C．4 D．82．函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是() A．－1 B．1 C．－2 D．23．若函数y＝x2－4x＋2m没有零点，则m的取值范围为()A．m<4 B．m>2C．m>6 D．m<84．函数y＝(x＋1)x＋x(x－1)＋(x－1)(x＋1)的两个零点分别位于区间() A．(－1,0)和(0,1)内B．(－∞，－1)和(－1,0)内C．(0,1)和(1，＋∞)内D．(－∞，－1)和(1，＋∞)内5．已知方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0有两个正根，则实数m的取值范围是() A．m≤－2 B．m≤－4C．m>－5 D．－5＜m≤－46．设x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则1x1＋1x2的值为________．7．函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝________.8．已知y＝x2＋ax＋b，集合{x|y＝x}＝{4}，将集合M＝{x|y＝4}用列举法表示为________．9．已知函数y ＝x 2－x －2.求： (1)y ＝x 2－x －2的零点； (2)y <0时,求x 的取值范围．10．若函数y ＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则y ＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16C.12和13 D ．－12和－1311．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－m －1的零点，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为( ) A ．－1或2 B ．1或－2 C ．－2 D ．112．函数y ＝(1－k )x 2－2x －1有两个不相等的零点，则实数k 的取值范围是________．13．已知y ＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程y ＝0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( ) A ．a <α<b <β B ．a <α<β<b C ．α<a <b <β D ．α<a <β<b。
一元二次方程和二次函数的区别
一元二次方程和二次函数的区别
一元二次方程和二次函数是微积分中重要的概念，它们是解决一元二次方程的有效方法。
尽管它们有很多共性，但也存在很多不同之处。
本文旨在对一元二次方程和二次函数的概念，定义，关系和区别进行探讨，以便更好地理解它们。
一元二次方程可以定义为一个变量的一元二次多项式，它的标准形式为ax2+bx+c=0，其中a，b，c都是常数。
它的解法是求平方根，当a，b，c都不为零时，它的解可以写成x=（-b±√b2-4ac）/2a。
而二次函数是在二维坐标系上表示一个函数图像的方式，它的定义为：y=ax2+bx+c，其中a，b，c都是常数，也可以写成y=f(x)，其中f(x)表示一元二次多项式。
一元二次方程和二次函数的最大的关系在于，一元二次多项式是二次函数的表达式，它们有着相同的解。
因此，一元二次方程和二次函数可以互相转换，从而更好地理解。
一元二次方程和二次函数之间存在一些不同之处。
首先，一元二次方程是一元二次多项式的形式，而二次函数是一元二次多项式在二维坐标系上表示的函数图像。
其次，解一元二次方程的方法是求平方根，而求解二次函数的过程是求一元二次多项式的根。
另外，一元二次方程可求出实数解，而二次函数可求出实数解和虚数解。
综上所述，一元二次方程和二次函数有共性，也有不同之处。
一元二次方程是一个一元二次多项式，而二次函数则是该多项式在二维坐标系上表示的函数图像。
它们可以相互转换，以便更好地理解它们，
但它们的解法也有所不同。
由此可见，以上两个概念具有各自的重要性，可以用于解决不同的问题。
二次函数的定义ppt
思考：1.
关键是什么？ຫໍສະໝຸດ 由问题1和2你认为判断二次函数的
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看
二次项的系数是否为0．
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0 (2)方 程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c 中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者 是y,后者是0
驶向胜利 的彼岸
练
习
2.已知正方体的棱长为xcm,面积为 Scm 2 ，体积 为 Vcm3。
（1）分别写出S与x,V与x之间的函数关系式。
（2）这两个函数中，哪一个是x的二次函数？
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
有没有一种统一的能包括一切可能砌法的探讨方法呢？
设与围墙相邻的每一面墙的长度都为xm，则与围墙相对的 一面墙的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积S为
s x(100 2 x),0 x 50
即
s 2 x 2 100 x,0 x 50
①
有了公式①，我们对植物园的面积S随着砌法的不同而变 化 的情况就了如指掌了.
概念引入
二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫 做x的二次函数
驶向胜利的 彼岸
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c 各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你 认为它们还是不是二次函数？
一元二次方程定义
一元二次方程定义一元二次方程是高中数学中比较重要且常见的一个概念，它是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知实数，且a ≠ 0。
在一元二次方程中，x是未知数，我们需要通过解方程来确定x的值。
这个过程涉及到一系列的解法和概念，本文将详细介绍一元二次方程的定义、性质以及解法。
一元二次方程的定义是指方程的形式。
根据定义，一元二次方程的最高次项是x的平方，且系数不为0。
这意味着方程的图像是一个二次曲线，通常是抛物线。
方程中的a、b、c分别代表已知的实数，其中a通常被称为二次项系数，b被称为一次项系数，c被称为常数项。
方程的解是使得方程两侧相等的所有x值。
一元二次方程的解可以通过多种方法求得，并且可以有不同类型的解。
常见的解法包括因式分解、配方法、求根公式和完成平方等。
第一种解法是因式分解。
当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘的形式时，可以通过将方程两侧的表达式分解为两个因式之积，然后令这两个因式分别等于0，求解得到方程的解。
第二种解法是配方法，也叫做补全平方。
通过将方程两侧配方，使得方程左侧成为一个完全平方的表达式，然后再通过求平方根的方法求解方程。
第三种解法是求根公式。
一元二次方程有一个非常重要的公式——求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)。
通过将方程的系数代入公式，可以求得方程的根。
第四种解法是完成平方。
通过将方程两侧进行平方差展开，使得方程左侧成为一个完全平方的二次多项式，然后使用求平方根的方法求解方程。
除了这些解法之外，一元二次方程还有一些重要的性质。
首先，二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
判别式是方程中的b² -4ac，通过判别式的值可以判断方程的解的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有复数解。
这个性质可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。
二次函数的概念 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、函数定义是什么？ （在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于 x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都有 一个唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是x的函数．）
3、一次函数，正比例函数的一般形式是 什么？
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？
合作学习，探索新知 :
上述几个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式， （2）自变量的最高次数是二次， （3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x
(4) y -2x2 +2
(6)y=x2-x(1+x)
(7) y x2 +2x 3
(8) y (x 2)(x 3)
解：(1) y x(20 2x)
2x2 + 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 + 20 3 42m
• P41 1 2
作业
结束寄语
• 生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
解: （1）由题意得： S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数
；
x2
（2）由题意得:y Fra bibliotek(x 0)4
一元二次函数定义域的求法
一元二次函数定义域的求法大家好，今天咱们聊聊一元二次函数的定义域是怎么求的。
你可能会想，哎呀，啥是定义域？难不成又是某个高大上的数学术语？别紧张，咱们把它给捋顺了。
定义域就是指，那个让函数有意义的所有x值的范围。
比如说，你去买一个苹果，商店里苹果摆得满满的，那苹果的“定义域”就是所有你能挑的苹果的个数。
而如果咱们说这个函数的定义域，那就是告诉你：你能往这个函数里放多少种不同的x，才能不让它“崩溃”。
什么意思？就是说，咱们不想给函数塞进去一个根本不能搞的x，让它炸掉，明白吧？咱们说一元二次函数，一般都长得那样：( f(x) = ax^2 + bx + c )，看起来是不是很简洁，像个化学式一样？不过，你别被它的外表迷了眼，它可没那么简单，里面的奥秘可大着呢。
这种函数的定义域其实是一个很简单的问题，基本上你不用担心它会很复杂。
因为一元二次函数在现实生活中，几乎是个“万能牌”，你随便给个x，它就能给你算出来f(x)，不会发生什么特别糟糕的情况。
好啦，我们就得聊聊那些可能让人头疼的“坑”。
有些函数，不是每个x值都能用。
比方说，咱们遇到一个带有平方根的函数，比如 ( f(x) = sqrt{x 3 )，你会发现，嘿，这玩意儿对负数可不行！你想试试 x = 2 吗？不好意思，算出来会出现虚数，显然这不是咱们的菜。
所以，定义域就得考虑这些“根本不让你做”的情况。
举个例子，咱们要确保x 3 要大于或等于零，才能算平方根。
你能理解吧？就是说，3往前的数都不能来，要不然你就拿不出正数了，怪麻烦的。
一元二次函数的定义域就是这么简单吗？其实不然。
如果你遇到的是带分母的函数，比如说 ( f(x) = frac{1{x2 )，那就要小心了！这里的x不能是2，因为分母不能为零，不然结果就会“炸”掉，完全没有意义了。
是不是又发现了新的坑？不过没关系，咱们这就会好好避开它。
不过说实话，对于标准的一元二次函数 ( ax^2 + bx + c )，它的定义域几乎就是全体实数。
一元二次函数_四象限_概述说明
一元二次函数四象限概述说明1. 引言1.1 概述本文旨在对一元二次函数和四象限概念进行概述和说明。
一元二次函数是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
而四象限则是一种表示数值范围和符号规律的方法，在数学与科学领域中有着各种重要应用案例。
1.2 文章结构本文分为引言、一元二次函数、四象限概念和结论与总结四个部分。
其中，引言部分介绍了文章的目的和结构；一元二次函数部分详细阐述了其定义、性质以及解析式与图像之间的关系；四象限概念部分探讨了其定义与表示方法、数值范围和符号规律以及应用案例等内容；最后，结论与总结部分对重要概念和性质进行总结，并指出进一步学习和探索的方向与推荐相关资源。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面理解一元二次函数及其图像形态，并能够准确把握四象限概念及其应用场景。
通过阅读本文，读者将获得对于数学中这两个重要概念的深入认识，同时也能够在实际问题中灵活应用，并具备进一步学习和探索的能力。
2. 一元二次函数2.1 定义与性质一元二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是实数且a不等于0。
这个函数在坐标平面上呈现出抛物线的图像。
一元二次函数的一些基本性质包括：- 导数：它的导数是一个一次多项式函数。
- 零点：当f(x) = 0时，称x为一元二次函数的零点或根。
可以通过求解ax^2 + bx + c = 0方程来找到零点。
- 解析式：一元二次函数的解析式通常给出了a、b和c的具体值，并用于计算特定x处的y值。
2.2 解析式与图像通过解析式可以获得一元二次函数在坐标系中每个点的坐标。
例如，对于f(x) = 2x^2 - 3x + 1，我们可以根据不同的x值求出对应的y值，然后绘制出这些点来描绘抛物线图像。
同时，解析式还可以帮助我们判断抛物线开口方向（上下），以及确定顶点坐标和轴对称线。
2.3 一些特殊情况下的图像形态根据一元二次函数中各参数的取值情况，其图像可能表现出以下特殊形态：1) 当a > 0时，抛物线向上开口，并且顶点为最小值点。
初中数学一元二次方程和一元二次不等式的区别
初中数学一元二次方程和一元二次不等式的区别一元二次方程和一元二次不等式都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在一些区别：1.定义：o一元二次方程是一个包含一个未知数的方程，且未知数的最高次数为2。
例如，x^2 - 3x + 2 = 0。
o一元二次不等式则是一个包含一个未知数的不等式，且未知数的最高次数为2。
例如，x^2 - 3x +2 > 0。
2.解的性质：o一元二次方程有解的条件是判别式Δ=b²-4ac≥0。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ=0时，方程有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
o一元二次不等式的解集是一个区间或区间的并集，取决于不等式的形式和二次函数的图像。
通过解相应的一元二次方程，可以确定不等式的解集。
3.解的个数：o一元二次方程最多有两个解（实数解或复数解）。
o一元二次不等式的解集可能包含无数个解，也可能没有解，这取决于不等式的形式。
4.应用场景：o一元二次方程常用于解决与二次曲线相关的问题，如抛物线的顶点、与坐标轴的交点等。
o一元二次不等式则更多用于描述某些物理量或经济量之间的关系，如温度、速度、成本等。
5.求解方法：o一元二次方程通常通过因式分解法、公式法或配方法来求解。
o一元二次不等式则可以通过分析二次函数的图像，结合不等式的性质来求解。
总的来说，一元二次方程和一元二次不等式都是二次项相关的数学概念，但它们在定义、解的性质、解的个数、应用场景和求解方法上有所不同。
一元二次方程主要关注方程的解，而一元二次不等式则关注满足不等式的解集。
专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)
专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34． ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54． 【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，并强调它们在解题和图像分析中的作用。
一、一元二次方程的定义及求解方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
一元二次方程的求解通常借助于求根公式，即：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这个公式被称为“二次根公式”。
为了更好地理解二次根公式的应用，我们举一个例子：求解方程x²+3x-4=0。
根据二次根公式，我们可以得到两个解：x₁=(-3+√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=-4，x₂=(-3-√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=1。
因此，该方程的解集为{x|x=-4或x=1}。
二、二次函数的定义及图像特征二次函数是一种特殊的函数形式，它的一般表达式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向和形状与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还具有以下特征：当自变量x的取值在无穷小区间内变化时，函数值f(x)也在相应的范围内连续变化；二次函数的对称轴是与抛物线关于顶点对称的轴线；顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
三、二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的关系。
具体来说，当我们给定一个二次函数f(x)=ax²+bx+c时，如果我们要求解f(x)=0的解，就相当于求解一元二次方程ax²+bx+c=0的解。
同样地，当我们给定一个一元二次方程ax²+bx+c=0时，如果我们要分析该方程的图像，就可以将它转化为二次函数f(x)=ax²+bx+c，并通过分析f(x)的图像来获得有关方程的信息。
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星火教育讲义 教师姓名 李俊方 学生姓名 周龙 上课时间 2012-10-04
年级 初三 学科 数学 课时计划 第（ 5 ）课 教学内容 一元二次函数的定义及性质
教学重难点 二次函数的定义 教学目标 理解二次函数的概念和定义，掌握二次函数的表达式 审核 校区主任： 时间： 教学步骤： 一、新授内容 1. 二次函数的概念及图象 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c( a, b , c 是常数， a 0 ) ，那么 y 叫做 x 的
二次函数 . 图像：在 画二次 函数 y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的图 象时 通常先 通过 配方 配 成
2 2 y=a(x+ b ) 2+ 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 (- b , 4ac-b
2a 4a 2a 4a ), 然后对称找点列表并
画图 , 或直接代用顶点公式来求得顶点坐标 .
2. 理解二次函数的性质
2 2
b 4 ac b 二次函数 y ax 2 bx c 用配方法可化成： y a x 的形
2 a 4a
式， 2 其中对称轴是直线 x b ， 顶点坐标为（ - b ， 4ac b ）
2 a 2 a 4 a
抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时 , 在对称轴左侧 y 随 x 的增大 而减小 ; 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 ; 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时,y
2a
最小值 = 4ac-b
2 2
; 反之当 ab 时 y 最大值 = 4ac-b .
4a 2a 4 a
3. 待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地 , 在所给的三个条件是任意三点 ( 或任意三对 x,y? 的值 )? 可设解析式 为 y=ax2+bx+c, 然后组成三元一次方程组来求解 ; 在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时 , 可设解析式为 y=a(x-h) 2+k; 在所给条件中已知抛物线与 x?轴两交点 坐标或已 知抛物线 与 x 轴 一交点坐 标和对 称轴 , 则可 设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2 ) 来求解 .
【例 1】 2 ＋2x－1 是二次函数，则 m= 函数 y=（m＋2）x m 2 ．
【例 2】 下列函数中是二次函数的有（ ）
1 2＋2；③ y=（x＋3）2－2x2 1 ①y=x＋ x ；② y=3（x－ 1） ；④ y= x 2 ＋ x．
A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【例 3】正方形的边长是 5，若边长增加 x，面积增加 y ，求 y 与 x 之间的函数表达式．
1、已知正方形的周长为 20，若其边长增加 x，面积增加 y，求 y 与 x 之间的表达式．
2、已知正方形的周长是 x，面积为 y，求 y 与 x 之间的函数表达式． 3、已知正方形的边长为 x，若边长增加 5，求面积 y 与 x 的函数表达式． 【例 4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存， 到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的函数表达式． 【例 5】某商场将进价为 40元的某种服装按 50元售出时，每天可以售出 300套．据市场调查发现，这种服装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式．
【例 6】如图 2-1-1 ，正方形 ABCD的边长为 4， P 是 BC边上一点， QP⊥AP交 DC 于 Q，如果 BP=x，△ ADQ的面积为 y，用含 x 的代数式表示 y．
【例 7】某高科技发展公司投资 500 万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金 1500 万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成 本为 40 元．在销售过程中发现，当销售单价定为 100 元时，年销售量为 20 万
件；销售单价每增加 10 元，年销售量将减少 1 万件．设销售单价为 x（元），年销售量为 y（万件），年获利（年获利 =年销售额－生产成本－投资） 为 z（万元）．（ 1）试写出 y 与 x 之间的函数表达式（不必写出 x 的取值范围）；（ 2）试写出 z 与 x 之间的函数表达式（不必写出 x 的取值范围）；（3）计算销售单价为 160 元 时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（ 4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年
获利不低于 1130 万元．请你借助函数的大致图象说明， 第二年的销售单价 x（元）应确定在什么范围内？
【例 8】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（ 1）在第 n 个图中，第 一横行共有 块瓷 砖，每一 竖列共有
块瓷砖（均用含 n 的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为 y，请写出 y 与（ 1）中的 n 的函数表达式（不要求写出自变量 n 的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 n 的值；
（4）若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题（ 3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
二、课堂训练 1．已知函数 y=ax2＋ bx＋c（其中 a，b，c 是常数），当 a 时，是二次函 数；当 a ，b 时，是一次函数；当 a ， b ，c 时，是正比例函 数．
2．当 m 时， y=（m－2）x m 2 2
是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为 a，另一条对角线为它的
示出菱形的面积 S 与对角线 a 的关系． 3 倍，用表达式表
4．已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表 达式，并分别求出 a=1， a= 2 ，a=2 时三角形的面积．
5．在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运
1 mv2（m为定值）． 动速度 v 之间的关系是 E=2 （1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时， E 的取值：
v 1 2 3 4 5 6 7 8 E （2）若物体的运动速度变为原来的 2 倍，则它运动时的能量 E 扩大为原来的多少倍？
6．下列不是二次函数的是（ ）
1 A．y=3x2＋4 B ．y=－ 3 x2 C．y= x 2 5 D ．y=（x＋1）（ x－ 2） 7．函数 y=（ m－ n） x2＋ mx＋n 是二次函数的条件是（ ）
A．m、n 为常数，且 m≠ 0 B．m、n 为常数，且 m≠n C．m、n 为常数，且 n≠ 0 D．m、n 可以为任何常数
（ 8．半径为 ） 3 的圆，如果半径增加 2x，则面积 S 与 x 之间的函数表达式为
A．S=2π（x＋ 3）2 B ．S=9π ＋x C ．S=4πx2＋12x＋ 9
D ．S=4πx2＋ 12x
＋ 9π 9．下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2 ＋bx ＋c（ a≠0）模型的是
（ ） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系． 10．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=6x2＋1 6 6 B ． y=6x＋1 C ． y= x ＋ 1 D ．y= x 2 ＋1 11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135°的两面墙，另外两边是总长为 30 米的铁栅栏．（ 1）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式；（ 2）求 x 的取值范围．
12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这 样一个表达式：若导线电阻为 R，通过的电流强度为 I ，则导线在单位时间所产
生的热量 Q=RI2．若某段导线电阻为 可以算出这段导线单位时间产生的热量 0．5 欧姆，通过的电流为 5 安培，则我们
Q= ． 三、课后作业 13．某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提
高 1 元，其销售量就要减少 10 件．若他将售出价定为 x 元，每天所赚利润为 y 元，请你写出 y 与 x 之间的函数表达式？
14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为 a
2 （ m），则正方体需要涂漆的表面积 S（m）如何表示？
15．⑴已知：如图菱形 ABCD中，∠ A=60°，边长为 a，求其面积 S 与边长
a 的函数表达式．
⑵菱形 ABCD，若两对角线长 a： b=1： 3 ，请你用含 a 的代数式表示其面
积 S．
⑶菱形 ABCD，∠ A=60°，对角线 BD=a，求其面积 S 与 a 的函数表达式．