大学物理授课教案第十三篇机械波

第十三章 机械波§13-1 机械波的产生和传播一、常见机械波现象 1、水面波。

把一块石头投在静止的水面上，可见到石头落水处水发生振动，此处振动引起附近水的振动，附近水的振动又引起更远处水的振动，这样水的振动就从石头落点处向外传播开了，形成了水面波。

2、绳波。

绳的一端固定，另一端用手拉紧并使之上下振动，这端的振动引起邻近点振动，邻近点的振动又引起更远点的振动，这样振动就由绳的一端向另一端传播，形成了绳波。

3、声波。

当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成了声波。

二、机械波产生的条件两个条件 1、波源。

如上述水面波波源是石头落水处的水；绳波波源是手拉绳的振动端；声波波源是音叉。

2、传播介质。

如：水面波的传播介质是水；绳波的传播介质是绳；声波的传播介质是空气。

说明：波动不是物质的传播而是振动状态的传播。

三、横波与纵波1、横波：振动方向与波动传播方向垂直。

如 绳波。

2、纵波：(1)气体、液体内只能传播纵波，而固体内既能传播纵波又能传播横波。

(2)水面波是一种复杂的波，使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性力，而是重力和表面张力。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧(3）一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。

四、关于波动的几个概念1、波线：沿波传播方向带箭头的线。

2、同相面（波面）：振动位相相同点连成的曲面。

同一时刻，同相面有任意多个。

3、波阵面（或波前）：某一时刻，波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前，显然它是同相面的一个特例，它是离波源最远的那个同相面，任一时刻只有一个波阵面。

（或：传播在最前面的那个同相面）4、平面波与球面波(1)平面波：波阵面为平面。

(2)球面波：波阵面为球面。

图13-1*：在各向同性的介质中波线与波阵面垂直。

§13-2 波长、波的周期和频率波速波长、波的周期、波的频率、波速是波动过程中的重要物理量，分述如下：一、波长λ波长λ:同一波线上位相差为π2的二质点间的距离（即一完整波的长度）。

在横波情况下，波长可用相邻波峰或相邻波谷之间的距离表示。

如下图。

在纵波情况下，波长可用相邻的密集部分中心或相邻的稀疏部分中心之间的距离表示。

二、波的周期T图13-2波的周期T : 波前进一个波长距离所用的时间（或一个完整波形通过波线上某点所需要的时间）波动频率v ：单位时间内前进的距离中包含的完整波形数目。

可有T v 1= （13-1）说明：由波的形成过程可知，振源振动时，经过一个振动周期，波沿波线传出一个完整的波形，所以，波的传播周期（或频率）=波源的振动周期（或频率）。

由此可知，波在不同的介质中其传播周期（或频率）不变。

三、波速μ波速μ：某一振动状态在单位时间内传播的距离（单位时间内波传播的距离）。

可有Tv λλμ== （13-2）对弹性波而言，波的传播速度决定于介质的惯性和弹性，具体地说，就是决定于介质的质量密度和弹性模量，而与波源无关。

横波在固体中传播速度为：ρμN=纵波速度为：ρμB=（液、气、固体中）对大多数金属，Y B ≈，∴ρμY=式中 N ：固体切变弹性模量B ：介质的体积弹性模量 Y ：杨氏弹性模量ρ：介质质量密度说明：波动速度与质点振动速度是不同的物理量。

§13-3 平面简谐波的波动方程一、简谐波及波动方程1、简谐波：当波源作谐振动时，介质中各点也都作谐振动，此时形成的波称为简谐波。

又叫余弦波或正弦波。

*一般地说，介质中各质点振动是很复杂的，所以由此产生的波动也是很复杂的，但是可以证明，任何复杂的波都可以看作是由若干个简谐波迭加而成的。

因此，讨论简谐波就有着特别重要的意义。

2、简谐波的波动方程：设任一质点坐标为x ，t 时刻位移为y ，则()t x f y ,=关系即为波动方程。

二、波动方程建立如图所示，谐振动沿+x 方向传播，∵与x 轴垂直的平面均为同相面，∴任一个同相面上质点的振动状态可用该平面与x 轴交点处的质点振动状态来描述，因此整个介质中质点的振动研究可简化成只研究x 轴上质点的振动就行了，设原点处的质点振动方程为()ϕω+=t cos A y 0式中，A 为振幅，ω为角频率，ϕ称为初相。

图13-3设振动传播过程中振幅不变（即介质是均匀无限大，无吸收的）为了找出波动过程中任一质点任意时刻的位移，我们在ox 轴上任取一点p ，坐标为x ，显然，当振动从o处传播到p 处时，p 处质点将重复o 处质点振动。

∵振动从o 传播到p 所用时间为Vx，所以，p 点在t 时刻的位移与o 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛-V x t 时刻的位移相等，由此t 时刻p 处质点位移为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕωv x t cos A y p （13-3）同理，当波沿-x 方向传播时，t 时刻p 处质点位移为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕωv x t cos A y p （13-4）利用 πνω2=⎪⎭⎫⎝⎛==λνλν1v /v 或由式（13-3）、（13-4）有（13-5）式（13-5）中，“-”表示波沿+x方向传播；“+”表示波沿-x方向传播。

（为方便，下p 标省略）。

式（13-5）称为平面简谐波方程。

根据位相（或πνω2=）关系，式（13-5）又可化为（13-6）注意：（1）原点处质点的振动初相ϕ不一定为0；（2）波源不一定在原点，因为坐标是任取的。

三、波动方程的物理意义1、x、t均变化时，()t x yy,=表示波线上各个质点在不同时刻的位移。

()t x yy,=为波动方程。

2、xx=时，()t x yy,=表示x处质点在任意t时刻位移。

波动方程()t x yy,=变成了x处质点振动方程()t yy=。

3、tt=时，()0,t x yy=表示t时刻波线上各个质点位移。

波动方程()t x yy,=变成了t时刻的波形方程()x yy=。

4、x、t均一定，()00,txyy=表示t时刻坐标为x处质点位移。

例13-1：横波在弦上传播，波动方程为()xty5200cos02.0-=π (SI)求：（1）?=μλ、、、、TvA（2）画出sst005.00025.0、=时波形图。

解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=λπλπμπωxTtAxvtAxtAy2cos2cos2cos此题波动方程可化为⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=4.001.02cos02.04.01002cos02.040200cos02.0xtxtxtyπππ由上比较知： m A 02.0= s m /40=μ Hz v 100= m 4.0=λ s T 01.0=另外：求λμ、可从物理意义上求（a ）λ=同一波线上位相差为π2的二质点间距离设二质点坐标为x 1、x 2（设x 2> x 1），有()()πππ25200520021=---x t x t ，得m x x 4.05212==-=λ（b ）μ=某一振动状态在单位时间内传播的距离。

设1t 时刻某振动状态在1x 处，2t 时刻该振动状态传到2x 处，有()()221152005200x t x t -=-ππ ⇒()()12122005t t x x -=-，得 s m t t x x /4052001212==--=μ（2）一种方法由波形方程来作图（描点法），这样做麻烦。

此题可这样做：画出0=t 时波形图，根据波传播的距离再得出相应时刻的波形图（波形平移）。

平移距离λμ411.00025.04011==⨯=∆=∆t xλμ212.0005.04022==⨯=∆=∆t x图13-4⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧例13-2：一平面简谐波沿+x 方向传播，波速为s m /20，在传播路径的A 点处，质点振动方程为t y π4cos 03.0= (SI)，试以A 、B 、C 为原点，求波动方程。

图13-5解：（1）t y A π4cos 03.0=，以A 为原点，波动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λππx t y 24cos 03.0m T 1042202=⨯=⋅==ππωπμμλ⇒ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x t y 54cos 03.0ππ (SI)（2）以B 为原点⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=954cos 03.0ππt y (SI)（B 处质点初相为)59(π-）波动方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λπππx t y 2594cos 03.0即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πππ5954cos 03.0x t y (SI)（3）以C 为原点()()ππππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=t t y c 4cos 03.0554cos 03.0 (SI)（C 处初相为π）波动方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x t y λπππ24cos 03.0即 ⎪⎭⎫⎝⎛+-=πππx t y 54cos 03.0 (SI)强调：（1）建立波动方程的程序（2）位相中加入λπx2±的含义例13-3：一连续纵波沿+x 方向传播，频率为Hz 25，波线上相邻密集部分中心之距离为24cm ，某质点最大位移为3cm 。

原点取在波源处，且0=t 时，波源位移=0，并向+y 方向运动。

求：（1）波源振动方程； （2）波动方程； （3）s t 1=时波形方程； （4）m x 24.0=处质点振动方程；（5）m x 12.01=与m x 36.02=处质点振动的位相差。

解：（1）设波源波动方程为()ϕω+=t A y cos 0可知： m A 03.0=1502-==s v ππω 由旋转矢量知：2πϕ-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=250cos 03.0ππt y (SI)（2）波动方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x t y λπππ2250cos 03.0 m 24.0=λ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232550cos 03.0πππx t y (SI)（3）s t 1=时波形方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ππ325299cos 03.0 (SI)（4）m x 24.0=处质点振动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2550cos 03.02250cos 03.0πππππt t y (SI)（5）所求位相差为：ππλπϕ224.012.036.02212=-=-=∆x x ，x 1处质点位相超前。

强调：（1）波源初相ϕ不一定=0（2）λπϕx∆=∆2的含义例13-4：一平面余弦波在T t 43=时波形图如下， （1）画出0=t 时波形图； （2）求O 点振动方程； （3）求波动方程。

解：（1）0=t 时波形图即把T t 43=时波形自-X方向平移43个周期即可，见上图中下面的结果。

（2）设O 处质点振动方程为()ϕω+=t A y cos 0可知： m A 2.0=11804.036222-====s Vv ππλππω0=t 时，O 处质点由平衡位置向下振动，0=t 由旋转矢量图知，2πϕ=图13-6⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2180cos 2.00ππt y m⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧（3）波动方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x t y λπππ22180cos 2.0 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=25180cos 2.0πππx t y m注意：由波形图建立波动方程的程序。