泰勒级数展开

泰勒级数展开若干方法

何琼（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000）

摘要： 泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成．把一个函数展开成泰勒级数或幂级数，

有着广泛的应用．本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解．

关键词： 泰勒级数；幂级数；余项

§１ 引言

泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（１）幂

级数的收敛理论；（２）如何把一个函数展开成泰勒级数．本文是对后者进行较全面的归纳和总结．我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行： 第一步：求出函数的各阶导数;),(),("),(')

(L L x f

x f x f n

第二步：求函数ƒ(χ)及其各阶导数在),(0x f ;),(),("),('0)

(00L L x f x f x f n

第三步：写出泰勒级数

L L +−++−+

−+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!

)()(!2)("))((')(00)(2

00000 第四步：考察余项)(x R n 在0x 的某一领域)(0x U 内极限是否为零.

按照Taylor 定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用

中通常利用间接展开法.

1 代换法 这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函数符合某个已知泰勒展开式．这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法．

例1

求x

e 处1=x 的泰勒级数

解 已知t e 在0=t 处的泰勒级数为

L L +++++=!

!212n t t t e n

t

， ),(+∞−∞∈x

而 11

1−+−⋅==x x x e e e

e

设1−=x t 代入（1）得

∑∞

=−=0

!)1(n n

x

n x e e ， ),(+∞−∞∈x

2 等比级数求和法 利用公式

L L +++++=−n x x x x

2111

由于本公式应用广泛，所以专列一条.

例2

将2

31

)(−=

x x f 在2=x 处展开成泰勒级数

解 )]2(4

3[11

41)2(4311414)2(31231−−−=

−+=+−=−x x x x })]2(43[)]2(43[)2(431{4132L +−−+−−+−−=x x x )3

10,32(−∈x L +−−−+−−=3

432322)2(4

3)2(43)2(4341x x x

,)2(43)1(0

1

n

n n n n x −−=∑∞

=+ 310,32(−∈x 3 逐项微分法 应用泰勒级数在收敛区间内可“逐项微分”的性质， 将被展函数视为泰

勒级数已知的函数的导函数而间接展开.

例3

已知)1,1( ,110−∈=−∑∞

=x x x n n ，求n

x )

1(1− 在0=x 处的泰勒级数，)1,1(−∈x 解 ∑∑∞=∞===−=−002

)()()11()1(1n n n n

x dx

d x dx d x dx d x n n n n x n nx

∑∑∞

=∞

=−+==

1

1

)1( )1,1(−∈x

])1([21])1(1[21)

1(102

3n n x n dx d x dx d

x ∑∞=+=−=− )1,1(−∈x n n n n x n n nx

n ∑∑∞

=−∞=++=+=0

1

0!2)1)(2()1(21 ．．．．．．

])!1()1()1([

1])1(1[1)1(101n

n k

k x k n k n dx d k x dx d k x −+−+=−=−∑∞=+L n

n x k n k n ∑∞

=++=

!

)1()([

L )1,1(−∈x

4 逐项积分法 应用泰勒级数在收敛区间内可“逐项积分”的性质，将被展函数视为泰勒级数已知的函数的原函数而间接展开.

例4

将arctgx x f =)(在0=x 处展开成泰勒级数.

解 ∫+=

x

x arctgx 0211

Q

而由法2知 ∑∞

=−=+−+−=+0

26422

)1(111n n

n x x x x x L )1,1(−∈x dx x dx x arctgx x n n n x

])1([1100202

∫∑∫∞=−=+=∴ 1

2020

012)1()1(+∞

=∞=∑∑∫+−=−=n n n

n

n x

n

x n dx x )1,1(−∈x 5 运算法 应用泰勒级数的四则运算法则来展开函数，我们称之为运算法.

1）应用泰勒级数乘法法则，将被展开函数视为泰勒级数展式已知的函数的乘积展开.

例5

将)1ln()(x e x f x

+=在0=x 处展开成泰勒级数.

解 L L Q +++++=!!

212n x x x e n

x

),(∞−∞∈x

L L +−+++−=+−n x x x x x n

n 132)1(3

2)1ln( )1,1(−∈x

)4

32)(!3!21()1ln(4

3232L L +−+−++++=+∴x x x x x x x x e x

+++−⋅+−+=L 32

)3

1

21!211(

)2

1

1(x x x L L +⋅+−+⋅−++−⋅+−⋅−⋅=+−11!

0)1()1(!1)1()!2(31)!1(21!11(

n n

n x n n n n n 100)!

)(1()1([+∞

==∑∑−+−=n n n

k k x k n k )1,1(−∈x L L +−+−+++++=+=∑10532))!

)(1()1((!59!32!21n n

k k

x k n k x x x x )1,1(−∈x

2）应用泰勒级数除法法则，将被展函数视为泰勒级数已知的函数之商来展开. 例6

试求x

e x

f x

+=1)(在0=x 处展开成泰勒级数的前五项.

解 此题可用前一方法来做，但这里用长除法解之.

L Q ++++++=!

5!4!3!215

432x x x x x e x

),(∞−∞∈x

而