高中《不等式》知识点总结

《不等式》知识点

一、不等式及其解法：

1．一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正）?“大于取两边，小于取中间”

如：解不等式（1）0322≤-+x x ； （2）0122≤++-x x

解：（1）原不等式等价于 0)1)(3(≤-+x x ， 方程0)1)(3(=-+x x 的根为3-，1

故解集为}{}13≤≤-x x .

（2）原不等式等价于0122≥--x x ， 方程0122=--x x 的根为21+，21-，

故解集为}{}

2121+≥-≤x x x 或. 2．高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的x 系数为都为正）?穿根

（从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）

如：解不等式（1）0)1)(1(≤-+x x x ； （2）0

)1)(2(≥-+x x ； （3）0

)1(2<-x

解：（1）解集为{}101≤≤-≤≤-x x x 或； （3）解集为]1,2[--

3．分式不等式：移项?通分.

如：解不等式12≤x

. 解：移项后012≤-x ，通分后02≤-x x ，化标准式为02≥-x x ，故解集为{}20≥a 的解集为{}a x a x <<-； a x >)0(>a 的解集为{}

a x a x x -<>或 二、1．重要不等式：),(222R

b a ab b a ∈≥+,当且仅当b a =时，等号成立 变形：2

2

2b a ab +≤ 应用：22b a +为定值时，求ab 的最大值. 2．基本不等式：)0,0(2

>>+≤b a b a ab 当且仅当b a =时，等号成立 变形一：ab b a 2≥+ 应用：ab 为定值时，求b a +的最小值.

变形二：2)2

(b a ab +≤ 应用：b a +为定值时，求ab 的最大值. 注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.

三、线性规划问题

1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.

2.相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.

3.目标函数常见类型：

（1）求线性目标函数By Ax z +=的最值时，先令0=z ，画出直线l ：0=+By Ax ，

①若0>B ，则l 向上平移，z 变大，向下平移，z 变小；②若0

（2）“斜率型”目标函数a

x b y z --=，z 表示可行域内动点),(y x 与定点),(b a 连线的斜率. （3）“距离型”目标函数22222))()(()()(b y a x b y a x z -+-=-+-=，z 表示可行域内动点),(y x 到定点),(b a

的距离的平方.