高二数学期末试卷
期末测试高二数学题
期末测试高二数学题高二数学要怎么学好?在平时要养成良好的解题习惯。
让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。
今天小编在这给大家整理了高二数学题大全，接下来随着小编一起来看看吧!高二数学题(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是()A.若ab=0，则a=0B.若a≠0，则ab≠0C.若ab=0，则a≠0D.若ab≠0，则a≠02.椭圆+=1的长轴长是()A.2B.3C.4D.63.已知函数f(x)=x2+sinx，则f′(0)=()A.0B.﹣1C.1D.34.“a>1”是“a2<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线=1的渐近线方程是()A.y=±2xB.y=±4xC.y=±xD.y=±x6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后减B.x=﹣2是函数f(x)极小值点C.f(x)在(﹣1，1)上是增函数D.x=1是函数f(x)的极大值点7.已知双曲线的离心率e=，点(0，5)为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为()A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=18.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为()A.(﹣∞，)B.(0，)C.(﹣∞，e)D.(e，+∞)9.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为()A.(﹣∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)10.已知命题p：?x∈(0，+∞)，2x>3x，命题q：?x0∈(0，+∞)，x>x，则下列命题中的真命题是()A.p∧qB.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.(￢p)∧q11.f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3)B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)C.(﹣3，0)∪(3，+∞)D.(﹣3，0)∪(0，3)12.过点M(2，﹣1)作斜率为的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=()A.B.C.D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13.抛物线x2=4y的焦点坐标为.14.已知命题p：?x0∈R，3=5，则￢p为.15.已知曲线f(x)=xex在点P(x0，f(x0))处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为.16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是.三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧(￢q)为真命题，求实数k的取值范围.18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的值为3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.19.已知点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上.(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值.20.已知函数f(x)=x﹣﹣2alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=处取得极值，求实数a的值;(2)求证：当a≤1时，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.21.已知函数f(x)=x﹣﹣2alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=处取得极值，求实数a的值;(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.22.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，点P(﹣，1)在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.23.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，原点到直线+=1的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.高二数学题(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若函数，则等于()A.4B.3C.2D.12、设全集，，，则是()A.(-2,1)B.(1,2)C.(-2,1]D.[1,2)3、命题“存在R，0”的否定是.(()())A、不存在R,>0B、存在R,0C、对任意的R,0D、对任意的R,>04、下列函数中，在定义域内是减函数的是()A.B.C.D.5、函数的图象在处的切线在轴上的截距为()A、10B、5C、-1D、-376、设，则“”是“”的()A、充分必要条件B、必要不充分条件C、充分不必要条件D、既不充分也不必要条件7、已知定义在上的函数是偶函数，对，都有，当时，的值为()A.2B.-2C.4D.-48、函数在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.39、函数错误!未找到引用源。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2023-2024学年河北省邯郸市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y＝2x+3的一个方向向量是（）A．（2，1）B．（2，3）C．（1，2）D．（3，2）2．已知，，是不共面的空间向量，若＝3﹣4与＝（m+1）+8（m，n是实数）是平行向量，则m+n的值为（）A．16B．﹣13C．3D．﹣33．一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去（）A．29.375米B．19.375米C．38.75米D．28.75米4．已知圆M过点O（0，0），A（2，0），B（2，﹣2），则圆M的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x+1）2+（y﹣1）2＝25．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该椭圆上的动点，点Q（2，1），则|PF1|+|PQ|的最大值是（）A．9B．8C．7D．66．已知数列{a n}中a1＝2，且，则数列{a n}的前n项和S n＝（）A．3（2n﹣n）﹣1B．5（2n﹣n）﹣3C．3×2n﹣5n+1D．5×2n﹣3n﹣57．过直线l：x﹣y+4＝0上的动点P向圆心为C（2，0），半径为2的圆引两条切线P A，PB（A，B为切点）（）A．B．C．D．8．如图，已知双曲线C：的一条弦AB所在直线的倾斜角为75°1，若∠BAB1＝30°，双曲线C的离心率为e，则e2＝（）A．3B．C．D．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点A（3，3），B（5，﹣1）到直线y＝kx+1的距离相等，则斜率k的值可以是（）A．﹣2B．2C．0D．10．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P 是椭圆上异于A1，A2的动点，点Q是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）A．该椭圆的蒙日圆的方程为x2+y2＝35B．存在点Q使△F1QF2的面积为25C．使∠F1PF2＝90°的点P有四个D．直线P A1，P A2的斜率之积11．已知数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若S n＝n2+1，T n＝2n﹣1，则下列说法正确的是（）A．{a n}是首项为2的等差数列B．{b n}是首项为1的等比数列C．当n≥2时，a n均为奇数，b n均为偶数D．存在p，q∈N*，使得S p＝T q12．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为3，且，，两两向量的夹角都是60°，过AC1的平面AEC1F与BB1，DD1分别交于点E，F，DF＝2，则（）A．截面BDD1B1的面积为9B．C．，的夹角是60°D．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若点（2，1）在抛物线mx＝4y2上，则该抛物线的准线方程为．14．已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则＝．15．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，设，．16．已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线分别与渐近线和，B，且∠F AO＝90°（O是坐标原点）．若|AB|＝4|F A|．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，公差d＞0．从①S7＝28；②a4，a6，a9成等比数列；③三个条件中任选一项，解答下列问题．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝+2a n，求数列{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．18．（12分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，A（﹣3，0），C（3，0），|AB|＝2|BC|．（1）求△ABC的顶点B的轨迹方程；（2）若圆D：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4和顶点B的轨迹交于两点P，Q，求直线PQ的方程和圆心D到PQ的距离．19．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，且S4＝30．（1）求{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，将△DAE折起，使得点D到达点M的位置，以BE为轴，将△CEB折起，且平面NEB⊥平面ABE，设平面MAE∩平面NEB＝直线l．（1）求证：直线l⊥平面ABE；（2）若∠ADE＝60°，求平面MNE与平面ABE夹角的余弦值．21．（12分）已知曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为60°的直线l经过左焦点F1．直线l与曲线C的交点为P，Q（P在x轴上方），过点F2作∠F1PF2的平分线PM的垂线，垂足为M，O为坐标原点．（1）若m＝4，n＝﹣3，求△PF1F2内切圆的圆心I的横坐标和OM的长；（2）若m＝9，n＝5，求△PF1F2的面积和OM的长．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为H，B，且当A为HB的中点时，．（1）求抛物线C的方程．（2）记抛物线C在A，B两点处的切线的交点为M，是否存在直线l使△AFM与△BFM的面积相等？若存在；若不存在，请说明理由．2023-2024学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y＝2x+3的一个方向向量是（）A．（2，1）B．（2，3）C．（1，2）D．（3，2）解：直线y＝2x+3的一个方向向量是（7，2）．故选：C．2．已知，，是不共面的空间向量，若＝3﹣4与＝（m+1）+8（m，n是实数）是平行向量，则m+n的值为（）A．16B．﹣13C．3D．﹣3解：∵∥，∴，解得m＝﹣13，∴m+n＝6．故选：C．3．一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去（）A．29.375米B．19.375米C．38.75米D．28.75米解：前五次落地经过的路程分别为10米，10米，2.5米，∴小球第五次落地时经过的路程为：S＝10+10+7+2.5+7.25＝28.75（米）．故选：D．4．已知圆M过点O（0，0），A（2，0），B（2，﹣2），则圆M的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2解：由题意可得圆心在线段OA的中垂线上，又在线段AB的中垂线上，而O（0，0），7），﹣2），所以圆心M所在的直线方程为x＝1且y＝﹣3，即M（1，﹣1），则r＝|OM|＝＝，所以圆M的方程为（x﹣1）3+（y+1）2＝6．故选：A．5．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该椭圆上的动点，点Q（2，1），则|PF1|+|PQ|的最大值是（）A．9B．8C．7D．6解：根据题意，我们知道椭圆，右焦点分别为F1（﹣2，5），F2（2，6），由椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝2﹣|PF2|，|PF1|+|PQ|＝4﹣|PF2|+|PQ|≤|QF2|+6＝+8＝9，当且仅当P，F8，Q在同一直线上时取等号，所以|PF1|+|PQ|最大值为9．故选：A．6．已知数列{a n}中a1＝2，且，则数列{a n}的前n项和S n＝（）A．3（2n﹣n）﹣1B．5（2n﹣n）﹣3C．3×2n﹣5n+1D．5×2n﹣3n﹣5解：由a n＝2a n﹣1+7得a n+3＝2（a n﹣7+3），所以数列{a n+3}是首项为a4+3＝5，公比为2的等比数列，所以，所以，所以3n﹣2．故选：D．7．过直线l：x﹣y+4＝0上的动点P向圆心为C（2，0），半径为2的圆引两条切线P A，PB（A，B为切点）（）A．B．C．D．解：∵过直线l：x﹣y+4＝0上的动点P向圆心为C（6，0），PB（A，∴CA⊥P A，CB⊥PB，|AC|＝2，∴S四边形P ACB＝4S△P AC＝|AC|•|P A|＝2|P A|＝2．当PC⊥l0时，|PC|取得最小值，∴|PC|min＝＝3．∴|P A|min＝8＝2．即四边形P ACB面积的最小值为5．故选：B．8．如图，已知双曲线C：的一条弦AB所在直线的倾斜角为75°1，若∠BAB1＝30°，双曲线C的离心率为e，则e2＝（）A．3B．C．D．4解：由题意得，直线AB1的倾斜角为45°，＝tan45°＝5，k AB＝tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝2+，设A（x1，y1），B（x2，y2），则B1（﹣x4，﹣y2），与相减可得，即•k AB＝，则＝2+，e5＝＝+1＝8+．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点A（3，3），B（5，﹣1）到直线y＝kx+1的距离相等，则斜率k的值可以是（）A．﹣2B．2C．0D．解：A（3，3），﹣3），当A，B在直线y＝kx+1的同侧时，所以k＝k AB＝＝﹣4，当A，B在直线y＝kx+1的异侧时，1）在直线上，即7＝4k+1，解得k＝6．故选：AC．10．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P 是椭圆上异于A1，A2的动点，点Q是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）A．该椭圆的蒙日圆的方程为x2+y2＝35B．存在点Q使△F1QF2的面积为25C．使∠F1PF2＝90°的点P有四个D．直线P A1，P A2的斜率之积解：因为a＝5，，，长轴端点和短轴端点处的切线互相垂直，其交点在蒙日圆上，即过点（a，x＝5，故点（6，）在该椭圆的蒙日圆上，所以蒙日圆方程为x2+y2＝62+（）2＝35，故其方程为x7+y2＝35，故A正确；≤c＝5，故B不正确；由，可得以F1F8为直径的圆x2+y2＝15，显然＜，与椭圆有四个交点，故C正确；，故D正确．故选：ACD．11．已知数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若S n＝n2+1，T n＝2n﹣1，则下列说法正确的是（）A．{a n}是首项为2的等差数列B．{b n}是首项为1的等比数列C．当n≥2时，a n均为奇数，b n均为偶数D．存在p，q∈N*，使得S p＝T q解：对A：由S n＝n2+1，则当n≥7时n﹣1＝（n﹣1）3+1，故a n＝S n﹣S n﹣1＝n6+1﹣（n﹣1）5﹣1＝2n﹣7，当n＝1时，a1＝S5＝12+6＝2，不符合上式，故a n＝，故A错误；对B：由T n＝2n﹣1，则当n≥7时n﹣1＝2n﹣8﹣1，故b n＝T n﹣T n﹣1＝3n﹣1﹣2n﹣7+1＝2n﹣7，当n＝1时，b1＝T7＝21﹣4＝1，符合上式，故b n＝2n﹣2，故B正确；对C：由a n＝，b n＝5n﹣1，则当n≥2时，a n均为奇数，b n均为偶数，故C正确；对D：若存在p，q∈N*使得S p＝T q，则p6+2＝2q，等式两边均为偶数，所以p为偶数，设p＝2k（k≥1），则2q＝p6+2＝（2k）2+2＝2（2k2+1），所以4q﹣1＝2k3+1，此时等号两边分别为偶数和奇数，故D错误．故选：BC．12．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为3，且，，两两向量的夹角都是60°，过AC1的平面AEC1F与BB1，DD1分别交于点E，F，DF＝2，则（）A．截面BDD1B1的面积为9B．C．，的夹角是60°D．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为解：选项A，在菱形BDD1B1中，＝（＝0，所以，所以菱形BDD1B1的面积为DB•BB6＝3×3＝3，即选项A正确；选项B，由平行六面体的性质知1A1∥平面DCC4D1，因为AE⊂平面ABB1A2，所以AE∥平面DCC1D1，又AE⊂平面AEC4F，平面AEC1F∩平面DCC1D6＝C1F，所以AE∥C1F，因为DF＝7，所以BE＝1，所以＝（++）＝（++）＝•+•+•+＝8×3××3×+×+，即选项B正确；选项C，＝（＝＝3×，所以cos＜＞＝＝＝，所以的夹角不是60°；选项D，由选项C可知，，所以平行六面体的高为＝，所以平行六面体的体积为S四边形ABCD＝×2S△ABD＝×7×＝，即选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若点（2，1）在抛物线mx＝4y2上，则该抛物线的准线方程为x＝﹣．解：因为点（2，1）在抛物线mx＝2y2上，所以2m＝2×12，解得m＝6，即抛物线的标准方程为y2＝x，所以抛物线的直线方程为x＝﹣．故答案为：x＝﹣．14．已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则＝．解：等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则＝＝＝＝＝＝．故答案为：．15．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，设，．解：设B1C1的中点为D7，分别以DB，DA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，B2（1，0，7），0，0），C3（﹣1，0，6），，，由，，可得，则，所以当时，PQ取最小值．故答案为：．16．已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线分别与渐近线和，B，且∠F AO＝90°（O是坐标原点）．若|AB|＝4|F A|2．解：由题意，不妨设a＞b，可知AB的方程为：y＝，，解得A（，﹣），，解得B（，），|AB|＝4|F A|，可得|BF|＝3|F A|，可得＝3•，c3＝a2+b2，化简整理可得a2＝2b2，tan∠AOB＝＝＝＝＝2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，公差d＞0．从①S7＝28；②a4，a6，a9成等比数列；③三个条件中任选一项，解答下列问题．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝+2a n，求数列{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．解：（1）选①：因为数列{a n}为等差数列，且，得到a4＝2，又a1＝1，所以n}的通项公式为a n＝n；选②：因为等差数列{a n}中a1＝2，a4，a6，a2成等比数列，则（1+5d）6＝（1+3d）（7+8d），解得d＝1或d＝7（舍），又a1＝1，所以数列{a n}的通项公式为a n＝n；选③：因为数列{a n}为等差数列，所以，又a8＝1，所以，所以数列{a n}的通项公式为a n＝n；（2）由（1）知a n＝n，则，所以，而，所以．18．（12分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，A（﹣3，0），C（3，0），|AB|＝2|BC|．（1）求△ABC的顶点B的轨迹方程；（2）若圆D：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4和顶点B的轨迹交于两点P，Q，求直线PQ的方程和圆心D到PQ的距离．解：（1）设顶点B（x，y）（y≠0），则|AB|2＝（x+4）2+y2，|BC|3＝（x﹣3）2+y7，由|AB|＝2|BC|，可得（x+3）5+y2＝4（x﹣5）2+4y8，可得顶点B的轨迹方程为（x﹣5）2+y5＝16（y≠0）；（2）将圆D：（x﹣1）3+（y﹣3）2＝2与（x﹣5）2+y3＝16（y≠0）方程相减可得8x﹣7y﹣3＝0，即所求直线PQ的方程为4x﹣6y﹣3＝7．所以圆心D（1，3）到4x﹣6y﹣3＝4的距离d＝＝．19．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，且S4＝30．（1）求{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设公比为q（q＞0），因为，所以q＝6，又，解得a1＝6，所以；（2）由（1）知，则，所以T n＝b1+b2+b3+⋯+b n＝＝，所以数列{b n}的前n项和．20．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，将△DAE折起，使得点D到达点M的位置，以BE为轴，将△CEB折起，且平面NEB⊥平面ABE，设平面MAE∩平面NEB＝直线l．（1）求证：直线l⊥平面ABE；（2）若∠ADE＝60°，求平面MNE与平面ABE夹角的余弦值．解：（1）证明：由题意知AD＝DE＝EC＝CB，分别取AE，Q，连接MP，则MP⊥AE，因为平面MAE⊥平面ABE，平面MAE∩平面ABE＝AE，所以MP⊥平面ABE，同理NQ⊥平面ABE，因为MP⊄平面NBE，NO⊂平面NBE，因为平面MAE∩平面NEB＝直线l，所以MP∥l，又MP⊥平面ABE，所以直线l⊥平面ABE．（2）不妨设AD＝1，所以平行四边形ABCD中，DE＝EC＝CB＝1，所以∠DEA＝∠EAD＝∠EAB，∠CEB＝∠CBE＝∠EBA，又平行四边形ABCD中，∠EAD+∠EAB+∠CBE+∠EBA＝π，所以，所以，以E为原点，EA，y轴，建立如图的空间直角坐标系，又∠ADE＝60°，则AE＝1，所以E（2，.0），，，，设平面MNE的法向量为，则，得，令y＝1，则x＝3，，由（1）知是平面ABE的一个法向量，则，所以平面ME与平面ABE夹角的余弦值为．21．（12分）已知曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为60°的直线l经过左焦点F1．直线l与曲线C的交点为P，Q（P在x轴上方），过点F2作∠F1PF2的平分线PM的垂线，垂足为M，O为坐标原点．（1）若m＝4，n＝﹣3，求△PF1F2内切圆的圆心I的横坐标和OM的长；（2）若m＝9，n＝5，求△PF1F2的面积和OM的长．解：（1）若m＝4，n＝﹣3，此时曲线C，所以a＝2，，则，可得，，不妨设内切圆I分别与PF1，PF5，F1F2切于点A，B，C，则|P A|＝|PB|，|F2A|＝|F1C|，|F2B|＝|F5C|，|PF2|﹣|PF1|＝5，所以|PF2|﹣|PF1|＝（|PB|+|F4B|）﹣（|P A|+|F1A|）＝|F2C|﹣|F5C|＝c﹣x C﹣[x C﹣（﹣c）]＝﹣2x C＝4，解得x C＝﹣8，即圆心I横坐标为﹣2，不妨设F2M与PF3的延长线交于点N，此时|PF2|＝|PN|，所以|F1N|＝|PN|﹣|PF7|＝4，因为O，M分别为F1F2，F2N的中点，所以；（2）若m＝8，n＝5，此时曲线C：，所以a＝3，，则c＝6，可得F1（﹣2，4），F2（2，7），不妨设F2M与PF1的延长线交于点N，令|PF8|＝t，此时|PF2|＝|PN|＝2a﹣t＝8﹣t，所以|F1N|＝6﹣t﹣t＝3﹣2t，因为O，M分别为F1F3，F2N的中点，所以，在△PF5F2中，由余弦定理得，即（6﹣t）2＝t7+42﹣7×4t cos60°，解得，所以，则＝．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为H，B，且当A为HB的中点时，．（1）求抛物线C的方程．（2）记抛物线C在A，B两点处的切线的交点为M，是否存在直线l使△AFM与△BFM的面积相等？若存在；若不存在，请说明理由．解：（1）易知，当A为HB的中点时，不妨设，此时，则，解得，所以，解得p＝2，则抛物线C的方程为y2＝8x；（2）由（1）知H（﹣1，0），不妨设直线l的方程为x＝y﹣5，，，联立，消去x并整理得y7﹣4ty+4＝3，此时Δ＝16t2﹣16＞0，由韦达定理得y4+y2＝4t，y5y2＝4，不妨设抛物线C在A点处的切线方程为，联立，消去x并整理得，此时，解得，不妨设抛物线C在B点处的切线方程为，同理得，联立，消去y并整理得，所以MF⊥x轴，此时，，假设存在直线l使△AFM与△BFM的面积相等，此时，整理得，又y1y5＝4，解得y1＝y4＝2或y1＝y8＝﹣2，此时A，与题意矛盾．故不存在直线l使△AFM与△BFM的面积相等．。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
2023-2024学年广东省茂名市电白区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省茂名市电白区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线经过点（﹣1，0），焦点分别为F 1（﹣2，0）、F 2（2，0），则双曲线的方程为（ ） A ．x 22−y 2=1 B ．x 2−y 22=1C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则(a →+b →)⋅(b →−c →)=（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．23．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1内，则直线l ：ax +by ＝1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定4．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ） A ．25.5尺B ．34.5尺C ．37.5尺D ．96尺5．过抛物线y 2＝2x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点．若线段AB 的中点横坐标为2，则|AB |＝（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都是1，M 是BC 的中点，CN →=λCC 1→（0＜λ＜1），且MN ⊥AB 1，则λ＝（ ）A ．12B ．13C ．14D ．157．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2=23，且x n 2x n−1x n+1=1（n ∈N *，且n ≥2），则x n ＝（ ）A ．(23)n−1B ．(32)n−1C ．2n+1D ．n+128．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线AC 与A 1D 之间的距离是（ ） A ．√22B ．12C ．13D ．√33二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如果AB ＜0，BC ＞0，那么直线Ax +By +C ＝0经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．若α∈(−π2，π2)，则方程x 2+sin αy 2＝1可能表示下列哪些曲线（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．两条直线11．一条光线从点A （﹣2，3）射出，经x 轴反射后，与圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝1相切，在下列方程中，不是反射光线所在直线方程的是（ ） A ．4x +3y ﹣1＝0B ．4x ﹣3y ﹣1＝0C ．3x ﹣4y ﹣6＝0D ．3x +4y ﹣6＝012．数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1﹣3a n ﹣1＝0，n ∈N *，下列说法正确的是（ ） A ．数列{a n +12}为等比数列B ．a n =12×3n −12C ．数列{a n }是递减数列D ．{a n }的前n 项和S n =14×3n+1−54三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知圆x 2+y 2﹣6x +4y +12＝0与圆x 2+y 2﹣14x ﹣2y +14＝0，则两圆心之间的距离为 ． 14．已知双曲线x 24−y 212=1的两个焦点分别为F 1与F 2，M 是双曲线上的一点，且|MF 1|＝5，则|MF 2|＝ ．15．已知数列{a n }满足：a 1+a 221+a 322+a 423+⋯+a n2n−1=2n ，则a n ＝ ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2B →=−4F 2A →，则C 的离心率为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
高二(下)期末数学试卷
高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数z 在复平面内对应点的坐标为(3,6)，则|2|(z i -= ) A ．3B ．4C ．5D ．62．（5分）5人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有( ) A ．24种B ．48种C ．72种D ．120种3．（5分）52()x x-的展开式中3x 的系数为( )66666666666666A ．10B ．10-C ．5D ．5-4．（5分）某铁球在0C ︒时，半径为1dm ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为C t ︒时铁球的半径为(1)at dm +，其中a 为常数，则在0t =时，铁球体积对温度的瞬时变化率为( )（参考公式：34)3V R π=球A ．0B ．a πC ．43a πD ．4a π5．（5分）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为( ) A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.46．（5分）正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( ) A ．33B ．63C ．22D ．237．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位．若质点移动6次，则回到原点O 的概率为( )A ．0B ．14C ．516 D ．588．（5分）已知函数()f x xlnx =，()24g x x =-，若12()()f x g x =，则21x x -的最小值为()A ．22e -B ．3e -C ．2e -D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）随机变量~(2,4)X N ，则( ) A ．()2E X =B ．()2D X =C ．(4)(1)P X P X >><D ．(1)(3)1P X P X >+>=10．（5分）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则(A ．12()()f x f x <B ．32()()f x f x <C ．()f x 在(,)a b 内有2个极值点D ．()f x 的图象在点0x =处的切线斜率小于011．（5分）把4个编号为1，2，3，4的球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，则()A ．不同的放法有64种B ．每个盒子放一个球的不同放法有24种C ．每个盒子放一个球，且球的编号和盒子的编号都不相同的不同放法有9种D ．恰有一个盒子不放球的不同放法有72种12．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别满足AE AB λ=，BF BC μ=，其中[0λ=，1]，[0μ∈，1]，则( )A ．当1μ=时，三棱锥11AB EF -的体积为定值 B ．当12λ=时，点A ，B 到平面1B EF 的距离相等C ．当12μ=时，存在λ使得1BD ⊥平面1B EF D ．当λμ=时，11A F C E ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若31iz i-=+，则z z += ． 14．（5分）已知(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若点(P x ，1，1)在平面ABC 内，则x = ．15．（5分）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数有 个．（用数字作答）16．（5分）函数,(),x xe x a f x x x a⎧=⎨>⎩，当0a =时，()f x 零点的个数是 ；若存在实数0x ，使得对于任意x R ∈，都有0()()f x f x ，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数32()f x x ax b =++在2x =处有极值2-． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[2-，3]上的最值．18．（12分）在国家政策扶持下，近几年我国新能源汽车产业迅速发展．某公司为了解职工购买新能源汽车的意愿，随机调查了30名职工，得到的部分数据如表所示：（1）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为“该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关”；（2）为进一步了解职工不愿意购买新能源汽车的原因，从不愿意购买新能源汽车的被调查职工中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名女职工的概率． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82819．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PBC ∆是正三角形，AC BC ⊥，D 是AB 的中点． （1）证明：BC PD ⊥；（2）若2AC BC ==，22PA =，求二面角D PA C --的余弦值．20．（12分）为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12组不同身高i x （单位：)cm 的未成年男性体重的平均值i y （单位：)(1kg i =，2，，12)数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值．xyω1221()ii xx =-∑121()()ii i xx y y =--∑121()()ii i xx ωω=--∑11524.3582.95814300 6300 286表中(1i i lny i ω==，2，，12)，112i i ωω==∑．（1）根据散点图判断y ax b =+和cx d y e +=哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y 与身高x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）． （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区的一位未成年男性身高为175cm ，体重为78kg ，他的体重是否正常？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-，20.693ln ≈． 21．（12分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数，Y 表示样本中黄球的比例． （1）若有放回摸球，求X 的分布列及数学期望；（2）（ⅰ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y 与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率．（ⅱ）比较（ⅰ）中所求概率的大小，说明其实际含义． 22．（12分）已知函数()(1)()f x ln x ax a a R =++-∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()x a f x xe ax -+，求a 的取值范围．高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数212iz i=-的实部与虚部之和为( ) A ．25-B ．25C ．45D ．652．（5分）已知函数32()2f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则f '（2）(= ) A ．24B ．26C ．32D ．283．（5分）函数()23x f x x =-在[0，2]上的平均变化率为( ) A ．32 B ．32-C ．1D ．2-4．（5分）4(23)x -展开式中的第3项为( ) A ．216-B ．216x -C ．216D ．2216x5．（5分）某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试．这次体能测试满分为100分，已知测试结果ξ服从正态分布2(70,)N σ．若ξ在[60，70]内取值的概率为0.2，则估计该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为( ) A ．160B ．200C ．240D ．3206．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的数是偶数”，事件B 为“第二次取到的数是偶数”，则(|)(P B A = ) A ．12B ．25 C ．37D ．387．（5分）已知复数1cos sin ()z i R θθθ=+∈，2z i =，且12z z 在复平面内对应的点在第一，三象限的角平分线上，则tan (θ= )A ．2-B ．2-+CD ．8．（5分）某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有()A ．86种B ．100种C ．112种D ．134种二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）已知复数(2)(1)z i i =+-，则( ) A ．1z i =+B ．||z =C ．z 在复平面内对应的点在第四象限D ．13zi i=- 10．（5分）已知~(4X B ，)(01)p p <<，则下列结论正确的有( )A ．若13p =，则8()9E X =B ．若13p =，则16(0)81P X ==C ．()1maxD X =D ．若(1)()3P x P X =>=，则102p <<11．（5分）下面四个结论中正确的有( )A ．43)+展开式中各项的二项式系数之和为16B ．用4个0和3个1可以组成35个不同的七位数C ．0.290.251()x x+的展开式中不存在有理项D ．方程10x y z ++=有36组正整数解12．（5分）已知函数2()(2)(2)f x x x a a =->，若函数()(()1)g x f f x =+恰有4个零点，则a 的取值可以是( ) A ．52B ．3C ．4D ．92三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）若随机变量ξ的分布列为．ξ0 1 2 Pa0.2a +0.3则a = ．14．（5分）写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x = ． 15．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了1张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．16．（5分）若221a lna c b d--==，则22()()a c b d -+-的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下： 跑步公里数 性别 [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35]男 4 6 10 25 10 5 女2581762（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5，15)，[15，25)，[25，35]的概率；（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关．附：2K =，n a b c d =+++．2)k18．（12分）已知函数()f x 的导函数是()f x '，且21()(1)24f x f x f '=+（1）4x -． （1）求()f x 的解析式；（2）求经过点(0,6)-且与曲线()y f x =相切的直线方程． 19．（12分）已知6621201212(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++⋯+．（1）求2221311a a a ++⋅⋅⋅+的值；（2）求2412a a a ++⋯+的值； （3）求46a a +的值．20．（12分）某小型企业在开春后前半年的利润情况如表所示：设第i 个月的利润为y 万元．（1）根据表中数据，求y 关于i 的回归方程ˆˆˆ(22)i yb i a =-+（系数精确到0.01)； （2）由（1）中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如98.1万元~98万元）（3）已知y 关于i 的线性相关系数为0.8834．从相关系数的角度看，y 与i 的拟合关系式更适合用ˆˆˆypi q =+还是ˆˆˆ(22)i y b i a =-+，说明你的理由． 参考数据：62221()1933.5,22523188,1418.5259ii yy =-=+=⨯=∑，1140.96109.44⨯=，取2005.4=．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n的相关系数()()nii xx y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的系数1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy b xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（12分）在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品．已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分． （1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X 表示游戏结束时所进行的取球次数，求X 的分布列及数学期望．22．（12分）已知函数234()sin 3f x x sin x m =-+．（1）求()f x 在[0，]π上的单调区间；（2）设函数4()2(2)(16)x g x x e ln x =--，若(0,)α∀∈+∞，[0β∀∈，]π，()()f g βα，求m 的取值范围．。
2023-2024学年福建省漳州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．122．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝253．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．304．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=05．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．47．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T88．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：（a ﹣2）x +y +a ＝0，l 2：ax +（a ﹣2）y ﹣1＝0，则（ ）A ．l 1过定点（﹣1，﹣2）B ．当a ＝2时，l 1⊥l 2C ．当a ＝0时，l 1∥l 2D ．当a ＝2时，l 2的斜率不存在10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A ，B 展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为812．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 ．14．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝ ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +a x)n 的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．18．（12分）已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 2+1，a 5+1成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．22．（12分）已知O为坐标原点，A1，A2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积为定值−14，设动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），△OEF的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为S1，S2.若k1，k，k2恰好构成等比数列，求S1+S2S的取值范围．2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．12解：{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，∴q2=a4a2=42=2，则a6=a4q2=4×2＝8．故选：B．2．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝25解：根据题意设所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0），代入点（﹣2，2），得r2＝25，所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝25．故选：B．3．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．30解：这2个新节目插入节目单中，若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选1个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有C41A22=8种插法，若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选2个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有A42=12种插法，所以共有8+12＝20种插法．故选：B．4．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=0解：设直线x−√3y+3=0的倾斜角为α，α∈[0，π），因为该直线的斜率为√3=√33，所以tanα=√33，α=π6，所以2α=π3，tan2α=√3，所以直线l的斜率为√3，方程为y−√3=√3（x﹣2），即为√3x﹣y−√3=0．故选：D．5．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x解：由题意可知∠F1PF2＝120°，所以tan∠F1PO＝tan60°=√3=cb ，又因为c2＝a2+b2，所以3b2＝a2+b2，可得a2＝2b2，所以ba=√22，所以渐近线方程为y=±√22x．故选：A．6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：|AB|=√(3+1)2+(1−3)2=2√5，作ABC的外接圆，r=√5，当ABC为等腰直角三角形时候，CD为AB边上的高等于r=√5，而原点O到AB距离为√12+22=√5=r，而根据外接圆定义，点C必落在圆O上，根据图示，可以判断符合条件的C分别为E，F，O三点，即C点有三个．如图：故选：C．7．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T8解：不妨设正项等比数列{a n}的公比为q，q＞0，所以a n=a1⋅q n−1n∈N*对于A，若T6＝T8，则a7a8＝1，由等比数列性质可得a1a14＝a2a13＝⋯＝a7a8＝1，所以可得T14＝a1a2⋯•a7a8•⋯×a13a14＝1，即A错误；对于B，若T6＝T8，可得a7a8=a1⋅q6⋅a1⋅q7=a12⋅q13=1，又a1＞1，所以0＜q＜1；所以a8＜a7，又a7a8＝1，可得a7＞1，a8＜1，因此可得a1＞1，a2＞1，…，a7＞1，a8＜1，即T n≤T7，所以B正确；对于C，D，若T6＜T7，可得a7=a1⋅q6＞1，又a1＞1，因此q的大小无法判断，所以C，D错误．故选：B．8．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8解：由x24+y23=1，得a2＝4，b2＝3，c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，解得a＝2，b=√3，c＝1，因为椭圆C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，所以|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|，即△AF1F2为等边三角形，因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，由椭圆的定义可知，|DF2|+|DF1|＝2a＝2×2＝4，|EF2|+|EF1|＝2a＝2×2＝4，所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|＝|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|＝4a＝4×2＝8．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，l2：ax+（a﹣2）y﹣1＝0，则（）A．l1过定点（﹣1，﹣2）B．当a＝2时，l1⊥l2C．当a＝0时，l1∥l2D．当a＝2时，l2的斜率不存在解：直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，即a（x+1）﹣2x+y＝0，令{x+1=0−2x+y=0，解得{x=−1y=−2，故l1过定点（﹣1，﹣2），故A正确；当a＝2时，直线l1：y＝﹣2，直线l2：x=12，故BD正确；当a＝0时，直线l1：y＝2x，直线l2：y=−12，二者不平行，故C错误．故选：ABD．10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A，B展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法解：对于选项A ，若A 展馆需要3种花卉，则有C 43=4种安排方法，即选项A 正确；对于选项B ，共有C 41+C 42+C 43=4+6+4=14种安排方法，即选项B 正确；对于选项C ，若“绿水晶”去A 展馆，则有C 30+C 31+C 32=1+3+3＝7种安排方法，即选项C 错误；对于选项D ，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则有A 22×22=8种安排方法．即选项D 错误．故选：AB ．11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为8解：已知抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝﹣2，焦点F （2，0），若|PF |＝4，则x P ＝2，此时y P ＝±4，直线l 的斜率为k ＝±2，所以点为Q （﹣2，±4），则O 为线段PQ 中点，选项A 正确；若|OP |=√x 2+y 2=√x 2+8x =4√3，则x 2+8x ﹣48＝0，解得x ＝4或x ＝﹣12（不合题意，舍去），所以点P 的横坐标为4，|PF |＝4+2＝6，选项B 正确； 不妨设P （a 28，a ），a ＞0，则Q （﹣2，−16a ）， 所以FP →=（a 28−2，a ），FQ →=（﹣4，−16a ）， 此时FP →•FQ →=−a 22+8﹣16=−a 22−8＜0， 所以FP 与FQ 不垂直，选项C 错误；因为△PFQ 的面积为S =12OF •|y P ﹣y Q |=12×2×|a +16a |≥2√a ⋅16a=8， 当且仅当a =16a，即a ＝4时等号成立，所以△PFQ 面积的最小值为8，选项D 正确． 故选：ABD ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64解：对A 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，∴a 2+a 1＝3，∴a 2＝3﹣a 1＜2，∴a 1＞1，∴A 选项错误； 对B 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，∴a n +1﹣（n +1）＝﹣（a n ﹣n ），又a 1﹣1＞0，∴数列{a n ﹣n }是以a 1﹣1为首项，﹣1为公比的等比数列，∴B 选项正确；对C 选项，由B 选项分析可知a n ﹣n =(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴a n ＝n +(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴S n ={n(n+1)2，n 为偶数n(n+1)2+(a 1−1)，n 为奇数， ∴S 10=10×112=55，∴C 选项正确； 对D 选项，由C 选项分析可知S 64=64×652=2080≠2024，∴D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 x +√3y ﹣4＝0 ．解：因为（1，√3）是圆x 2+y 2＝4上的点，所以它的切线方程为：x +√3y ＝4即：x +√3y ﹣4＝0故答案为：x +√3y ﹣4＝014．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ﹣1 ．解：(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝（2﹣3）7＝﹣1．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝n(n+1)2． 解：因为a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，所以当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+⋯+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1＝n +（n ﹣1）+⋯+3+2+1=n(n+1)2，当n ＝1时，a 1=1×22=1，满足a 1＝1，所以a n =n(n+1)2． 故答案为：n(n+1)2． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 [√2+1，+∞） ．解：由对称性可知当P 为双曲线右顶点，PQ 与圆F 相切时，∠FPQ 取得最大值，所以∠FPQ ≥45°， 如图所示：在Rt △FPQ 中，sin ∠FPQ =|FQ||FP|=c c+a ≥√22，所以2c ≥√2c +√2a ，（2−√2）c ≥√2a ，所以e =c a ≥√22−√2=√2+1，即双曲线C 的离心率e 的取值范围为[√2+1，+∞）．故答案为：[√2+1，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +ax )n 的展开式中，所有二项式系数的和为32．（1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．解：（1）∵所有二项式系数的和为32，∴2n ＝32，∴n ＝5；（2）二项式(2x+ax)5展开式的通项公式为T r+1=C5r(2x)5−r(a x)r=C5r25−r a r x5−2r，∴．展开式中1x5的系数为C5520a5，∴a5＝﹣1，解得a＝﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2+1，a5+1成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）∵a1，a2+1，a5+1 成等比数列，且公差d＝2，∴(a2+1)2=a1⋅(a5+1)，∴(a1+3)2=a1⋅(a1+9)，解得a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），∴S n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n6n+9．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．解：（1）∵圆C的圆心在y轴上，∴设圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），∵圆C经过A（0，7），B（3，6）两点，∴{02+(7−b)2=r232+(6−b)2=r2，解得{b=2r=5，∴圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝25．（2）记圆心C到直线l的距离为d，∵|MN|=2√r2−d2=8，解得d＝3，当直线的斜率不存在时，l：x＝﹣3，此时圆心到直线的距离d＝3，符合；当直线的斜率存在时，l：y﹣1＝k（x+3），即kx﹣y+3k+1＝0，由d=√k+1=3，解得k=−43，∴直线l：−43x−y−4+1=0，即4x+3y+9＝0．综上，直线l为x＝﹣3或4x+3y+9＝0．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．解：（1）方法一：设圆心M到直线x＝﹣2的距离为d，则由题意得|MF|+1＝d，即|MF|＝d﹣1，从而动点M到定点F的距离与到定直线x＝﹣1的距离相等，故点M的轨迹E为抛物线，设E的方程为y2＝2px，p＞0，由题意p＝2，∴E的方程为y2＝4x；方法二：设动点M（x，y），由题意得√(x−1)2+y2+1=x+2，整理得y2＝4x，∴E的方程为y2＝4x；（2）易知直线l斜率不为0，故可设方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y2=4xx=my+2，消去x整理得：y2﹣4my﹣8＝0，Δ＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣8，则S△ABO=S△APO+S△BPO=12⋅|OP|⋅|y1|+12⋅|OP|⋅|y2|=|y1|+|y2|，由题意A，B两点位于x轴异侧，所以y1，y2符号相反，所以S△ABO=|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=4√m2+2=4√3，解得m＝±1，所以直线l的方程为x±y﹣2＝0．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．解：（1）当n＝1时，有a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；当n≥2时，有S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，联立条件，得S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2），即a n＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，所以{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此a n =2n ；（2）删去数列{a n } 的第3i 项（其中 i ＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大排列依次为： a 1，a 2，a 4，a 5，a 7，a 8，…，数列 b n } 前6项为2，22，24，25．27，28，T 6＝2+4+16+32+128+256＝438．注意到a 1，a 4，a 7，…构成以a 1为首项，以8为公比的等比数列，a 2．a 5，a 8，…构成以a 2为首项，以8为公比的等比数列．T 2n ＝（a 1+a 4+a 7+⋯+a 3n ﹣2）+（a 2+a 5+a 8+⋯+a 3n ﹣1）=2(1−8n )1−8+4(1−8n)1−8 =67(8n −1)． 22．（12分）已知O 为坐标原点，A 1，A 2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积为定值−14，设动点M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，直线OE ，l ，OF 的斜率分别为k 1，k ，k 2（其中k ＞0），△OEF 的面积为S ，以OE ，OF 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1+S 2S的取值范围．解：（1）设M 的坐标为（x ，y ），依题意，得y x+2⋅y x−2=−14，整理得x 24+y 2=1(x ≠±2)． （2）设直线EF 的方程为 y ＝kx +m （m ≠0，且m ≠±1），联立{y =kx +m x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0， Δ＝64k 2m 2﹣4（4m 2﹣4）（1+4k 2）＝16（1+4k 2﹣m 2）＞0，即1+4k 2＞m 2，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2， 因为k 1，k ，k 2成等比，所以y 1y 2x 1x 2=k 2，即(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2， 即km(x 1+x 2)+m 2=0，所以−8k 2m 21+4k 2+m 2=0， 因为m ≠0且m ≠±1及k ＞0，上式可解得k =12， 所以x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，Δ＝16（2﹣m 2），m 2＜2，且m ≠±1，S 1+S 2=π4(|OE|2+|OF|2) =π4(x 12+y 12+x 22+y 22) =π4[2+34(x 12+x 22)]] =π4[2+34(x 1+x 2)2−32x 1x 2] =π4(2+3m 2−3m 2+3) =5π4，|EF|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅4√2−m21+4k2=2√1+k2⋅√2−m2，O到EF的距离d=|m|√1+k，S=|m|√2−m2=√(2−m2)m2=√−(m2−1)2+1，因为0＜m2＜2 且m≠±1，所以S∈（0，1），S1+S2S ∈(5π4，+∞)．。
职教高二期末数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是：A. 顶点在x轴上的抛物线B. 顶点在y轴上的抛物线C. 顶点在x=2处的抛物线D. 顶点在y=4处的抛物线答案：C2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，d=2，则S10等于：A. 120B. 130C. 140D. 150答案：A3. 下列函数中，y = log2(x - 1)的图像与y = 2^x的图像关于直线y = x对称的是：A. y = log2(2x - 1)B. y = 2^(x - 1)C. y = 2x - 1D. y = log2(1/x)答案：D4. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于直线y = x的对称点是：A. (2, 3)B. (-3, 2)C. (-2, -3)D. (3, -2)答案：D5. 下列方程组中，无解的是：A. x + y = 2B. 2x - y = 1C. x + 2y = 5D. x - 2y = 5答案：D二、填空题（每题5分，共20分）6. 函数f(x) = (x - 1)^2的对称轴是______。
答案：x = 17. 等差数列{an}中，a1 = 1，d = 3，则第10项an = ______。
答案：288. 若sinθ = 1/2，则cosθ的值为______。
答案：√3/29. 在△ABC中，若a = 5，b = 7，c = 8，则△ABC的面积S = ______。
答案：14√3/210. 下列函数中，y = √(x + 1)的定义域是______。
答案：x ≥ -1三、解答题（每题20分，共80分）11. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解答：首先，我们将方程因式分解：x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0由此得到两个解：x - 2 = 0 或 x - 3 = 0解得：x1 = 2，x2 = 312. 已知数列{an}是等比数列，且a1 = 2，a4 = 32，求该数列的通项公式及前5项和。
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苏苑中学高二数学期终试卷
命题人：蔡守鸣 班级______姓名_________
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意要求的。
1．若直线的斜率k= -5，则倾斜角α= （ ）
A．arctan(-5) B． π-arctan(-5) C．arctan5 D． π
-arctan5
2．直线)0(0mnpnymx在两坐标轴上的截距相等，则pnm,,满足条件是（ ）
A．nm B．||||nm C．nm且0p D．0p或0p且nm
3． (1+x)2+ (1+x)3 +…….+(1+x)10的展开式中，含x2项的系数为┄┄（ ）
A.29 B.210 C.C310 D. C311
4． 在下面四个椭圆中，最接近与圆的是 （ ）
A.9x2+y2=36 B.2211612xy C.221610xy D.2x2+y2=8
5．甲、乙射击的命中率分别为0.6、0.9，两个独立各射击一次，只有一人命中的概率（ ）
A.0.38 B.0.42 C.0.54 D.0.96
6．若6人随意排成一排，其中甲、乙、丙恰好相邻的概率为 ┄┄┄（ ）
A.51 B. 201 C. 301 D. 1201
7．若过点P(-2,1)作圆(x-3)2+(y+1)2=r2的切线有且仅有一条，则圆的半径r为 ( )
A.29 B.29 C.小于 29 D.大于29
8．若椭圆13422yx上一点P到右焦点距离为3，则P到左准线的距离为 （ ）
A．429 B．213 C．2 D．4
9．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概
率是（ ）
A、95 B、94 C、2111 D、2110
10．点P（-3,1）在椭圆22221(0)xyabab的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)
的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A.33 B.13 C.22 D.12
11．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线
经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，
其中焦距为2c，长轴长为2a，当放在点A处的小球被击出发，经椭圆壁反弹后再回到
点A时，小球经过的路程是 （ ）
A. 4a B. 2()ac C. 2()ac D.以上答案均有可能
12. 将语、数、外、理、化、生六本课外辅导书赠送给希望工程学校的四名学生阅读，
每人至少一本，至多两本，恰好有一人同时获得理、化两本书的概率是
（ ）
A、152 B、151 C、154 D、301
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
13. 5人排成一排,其中甲、乙之间至少有一人的排法概率为______ 。
14. 若动点),(),(2211yxByxA、分别在直线1l：07yx和2l：05yx上移
动，则AB中点M到原点距离的最小值为 。
15. 已知x, y满足约束条件12,212yxxxyx则的最小值为。
16.若双曲线的渐近线方程为xy3，它的一个焦点是0,10，则双曲线的方程是
__________。
17. 对于椭圆19y16x22和双曲线19y7x22有下列命题：
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .
18.我们知道若AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，
则22OMABbkka.在双曲线中是否也有类似的命题？若有，请写出在双曲线中的一个
类似的正确命题： 。
三、解答题：本大题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、若某一等差数列的首项为112225113nnnnCA，，公差是3252()25mxx的常数项，其中m
是7777-15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值。
20、平面上两个质点A、B 分别位于（0，0），（2，2），在某一时刻同时开始，每隔1秒
钟向上下左右任一方向移动1个单位，已知质点A向左右移动的概率都是,41向上下
移动的概率分别是31和,61质点B向各个方向移动的概率是,41求：（1）4秒钟后A
到达C（1，1）的概率；（2）三秒钟后，A，B同时到达D（1，2）的概率.
21.（12分）已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件（1）焦点F1的坐标为 ( 3, 0 )；
（2）长半轴长为5.则可求得此椭圆方程为 1162522yx （※）问可用其他什么条件代
替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（※）？请写出两种替代条件，并说明理由。
22.（14分）已知椭圆的一个焦点F1(0,22)，对应的准线方程为y=924－,且一个顶
点的坐标为（0，3）。
（1）求椭圆方程。
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x＝12－平
分；若存在求出l的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由。
23．（14分）已知定点1（F，）0动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，
并延长MP到点N，且0PFPM，||||PMPN。
①求动点N的轨迹方程；
②直线l与动点N的轨迹交于BA、两点，若-4OBOA，且304|AB|64，
求直线l的斜率的取值范围。
苏苑高级中学2005-2006学年度第一学期
高二数学期末测试答案
一、选择题
DDDBB,ABCCA,DA
二、填空题
13.32345535AAA 14.32，15.1，16.2219yx，17.①②，18.22OMABbkka
三、解答题
19、解：由112522113nnnn111375n 所以n=2
故a1=112225113nnnnCA，=100
又7777-15=(76+1)77-15=76M-14=19(4M-1)+5
故 m=5,
32552()25xx的常数项为332234552()()4,25TCxx
所以 公差d=-4
21(1)21022nnSnnadnn
当n=25或n=26时 Sn有最大值1300。
20、（1）4秒时，A到达C处，
A在4秒内的运动可以是一次向上且一次向左且两次向右
或者一次向右且一次向下且两次向上
概率为P=P1+P2=1122112243243211111117()()344363144CCCCCC
(2)3秒时 A到达D的概率为
21．① 短半轴长为4；
② 离心率 e = 53；
③ 右准线方程为 x = 325；
④ 点P ( 3, 516) 在椭圆上；
⑤ 椭圆上两点间的最大距离为10；
……
（答案是开放的，还可写出多种替换条件.）
22.(1)2222,43322acccaca即.
可得椭圆的方程：2219yx
（2）令l：y=kx+m,代入椭圆方程得：(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0
12
2
2222
219,44990km
xxkkmkm
解得3k>k<-3或.
∴倾斜角2,,3223U。
23、解 (1)设动点N的的坐标为(,)Nxy，则(,0),(0,),(0)2yMxPx，
(,),(1,)22yyPMxPF
，由0PMPF得，204yx，
因此，动点N的轨迹C的方程为24(0)yxx. …………5分
(2)设直线l的方程为ykxb，l与抛物线交于点1122(,),(,)AxyBxy，则
由4OAOB，得12124xxyy，又2211224,4yxyx，故128yy.
又224440(0)yxkyybkykxb，
∴216(12)048kbk，2222116||(32)kABkk，
∴46||430AB即22211696(32)480kkk
解得直线l的斜率k的取值范围是11[1,][,1]22. ……………………12分