第三章 线性离散系统的自由振动

二.具有黏性阻尼系统的振动特性 1. 振动微分方程的解
令 x (t ) =
& m && + c x + k x = 0 x
A e st
&& (t ) = As 2 e s t 得到特征方程 x
c2 k − 4 m2 m
m s 2 +c s + k =0
有
s1, 2 c =− ± 2m
s1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1
arc tan
x0ω n k 2 2 ϕ = ωn = , R = x0 + ( x0 / ω n ) , & & m π + arc tan x 0 x0ω n
x0 > 0 x0 < 0
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
式中 ω n1 =
k 1 / m 1 = 10 rad / s
2 n
有
s 1, 2 = ± i ω
n
R=
2 & x0 + ( x0 /ω n ) 2
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
振动微分方程
m && + k x = 0 x
的解： 的解：
x (t ) = c 1 cos ω n t + c 2 sin ω n t = R cos ω n t −ϕ ） （
ζ 1 = c1 / cc = 1.25
ζ 2 = c2 / cc = 1.0
ζ 3 = c3 / c c = 0.25
− 10 t
解：将已知条件代入 有关公式中得
x 1 (t ) = 0.04 e − 5 t − 0.03 e − 20 t m x 2 (t ) = ( 0.01+ 0.5 t ) e x 3 (t ) = 0.045 e
ω n 2 = k 2 / m 2 = 5 rad / s
R1 = & x0 2 = x0 + ω n1
& 2 x0 x 0 + ω n2
2
ω n 3 = k 3 / m 3 = 20 rad / s
10 − 2 + 10 =1.41 × 10 −3
第三章 线性离散系统的自由振动
3.1 数学基础（自复习） 数学基础（自复习） 3.2 单自由度系统 3.3 二自由度系统 3.4 多自由度系统
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 1 数学基础 （自复习） 自复习）
• 二阶齐次常系数线性微分方程的解
dy d2 y a0 2 + a1 + a2 y = 0 dt dt
例 3-2 分别求图示三系
统在已知初始条件下的响 应
初始位移10-3m 初始速度10-2m/s
m1 = 1 kg
m 2 = 4 kg
m3 = 1 kg
k1 = 100 N / m k 2 = 100 N / m k 3 = 400 N / m
& x0
解： Q x (t ) = R cos ( ω n t −ϕ )
x (t ) = c 1 cos ω n t + c 2 sin ω n t = R cos ω n t −ϕ ） （
c1 = x 0 & c2 = x0 /ω n
简谐振动 固有频率
只与系 统本身 元件的 参数有 关 固有圆频率 固有频率 周期
ωn =
fn = 1 2π
k/m
k/m
R=
τn= 2 π
阻尼比或 阻尼比或阻尼因子
定义
临界阻尼系数
c c = 2 mk
c ζ = = cc 2
c mk
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3. 2 单自由度系统
根据ζ的大小,振动微分方程有三个解: 根据ζ的大小,振动微分方程有三个解:
s1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1
1 ） or 强阻尼） （ 当ζ >1 过阻尼 强阻尼） ，方程的解 （ 时
记 k / m =ω
& & 代入初始条件 x (0) = x 0 x (0) = x 0 & x0 &0 /ω n c2 = x 有 c1 = x 0 arc tan
x (t) = c 1 cos ω n t + c 2 sin ω n t = R cos ωn t −ϕ ） （
ϕ =
x0ω n & π + arc tan x 0 x0ω n x0 > 0 x0 < 0
m &&− F f + k x = 0 x
∆ = Ff / k
& x>0 & x<0
定义摩擦位移
m &&+ k ( x ± ∆ ) = 0 x
m ( x±∆ )
••
+ k ( x±∆ ) = 0

& x>0 & x<0
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
m ( x±∆ )
− 2.5 t
m
cos ( 9.68 t −1.35 ) m
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
选讲) 三.带摩擦阻尼的系统(选讲)
1. 运动微分方程及其解
& 摩擦阻力： 摩擦阻力： Ff = −sgn ( x ) µ N
系统的振动微分方程为： 系统的振动微分方程为：
带摩擦阻尼的系统
运动微分方程法 静变形法 Q ∆ s = 能量法
|
m&& + kx = 0 x
|
mg g , ωn = k ∆s
|
设 x = A cos ( ω n t − ϕ )
k ωn = m
1 U max = k A 2 2
Vmax
1 2 = m A 2ω n 2
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3. 2 单自由度系统
m&& + kx = 0 x
x ( 0) = − ∆ = − m g / k & x (0) = 0
弹簧质量系统
∴
mg x (t ) = cos k
k t −π m
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
解法Ⅱ 建立广义坐标 如图所示， 解法Ⅱ：建立广义坐标x1如图所示，原 点在系统静平衡时位置，向上为正。 点在系统静平衡时位置，向上为正。 振动微分方程 : 初始条件： 初始条件：
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
2. 振动特性
从以上振动微分方程的解， 从以上振动微分方程的解， 可看出： 可看出： 当系统具有过（ 当系统具有过（强）阻尼 系统是作衰减运 （ζ>1）时，系统是作衰减运 ） 而不是振动！ 动 ，而不是振动！ 当系统具有临界阻尼（ ） 当系统具有临界阻尼（ζ=1） 系统也是作衰减运动 时，系统也是作衰减运动 ，而 不是振动！ 不是振动！且此时在初始扰动 下回零时间最短 系统作振幅按指数衰减的准周 当系统具有弱阻尼 （ζ<1）时，系统作振幅按指数衰减的准周 ） 期振动 ξ=0 ξ<1
• 二阶齐次常系数线性微分方程组的特征值 特征方程 、特征根 • 矩阵基础
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3. 2 单自由度系统 （Single-degree of Freedom System） ）
一.无阻尼系统的振动特性
m && + k x = 0 x 1. 振动微分方程的解 st && (t ) = cs 2 e s t x 令 x (t ) = c e ms 2 +k =0 得到特征方程
m&&1 + kx1 = 0 x
弹簧质量系统
x1 (0) = ∆ = m g / k
& x1 (0) = 0
不同的广 义坐标下 系统响应 的表达式 不同。 不同。
mg cos ∴ x (t ) = k
k t m
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3. 2 单自由度系统
2. 振动特性
从振动方程的解得到： 振动方程的解得到： 得到
方程的解为
••
+ k ( x±∆ ) = 0
& x>0 & x<0
& x >0 & <0 x<0
& x>0 & x<0
x ± ∆ = A cosω n t + Bsin ω n t
x ( 0) = x 0
& x0
初始条件为
& & x ( 0 ) = x0
x = ( x 0 ± ∆ ) cosω n t +
B2 = & x0 + ζ ω n x0
或
x (t ) = R e
cos ( ω d t −ϕ )
R=
ϕ=
ωd

2
& x 0 +ζ ω n x 0 2 x0 + ωd
& x0 + ζ ω n x0 x0 > 0 arc tan ω d x0 & x0 + ζ ω n x0 x0 < 0 π + arc tan ω d x0
x(t )
xo
R
ωn
oϕ
τn