高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1_2_2圆周角定理学业分层测评新人教B版选修41
人教B版高中数学选修4-1习题课件件：第一章 相似三角形定理与圆幂定理 本章整合
∴CF=13BE.∵CF∥AB,∴������������������������
知识建构
综合应用
真题放送
证明∵AD,CF 是△ABC 的两条高,
∴∠ADB=∠BFC.又∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBF.∴������������������������ = ������������������������. ∵PQ ∥BC,
∴∠APQ=∠B,∠AQP=∠ACB.
∴△APQ∽△ABC.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
知识建构
综合应用
真题放送
应用3 如图,AD,CF是△ABC的两条高,在AB上取一点P,使AP=AD, 再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.
求证:PQ=CF.
提示利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.
-8-
本章整合
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.
∴BD∶AD=DF∶AF,
即������������
������������
=
������������������������.
-4-
本章整合
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
知识建构
综合应用
真题放送
应用2 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线EM和 AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.
知识建构
综合应用
真题放送
专题三 平行线分线段的规律性质 平行线分线段的相关定理即平行截割定理,其实质是揭示一组平 行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律.主要用来证明 比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以作为计算某些 图形的周长或面积的重要方法.
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.2.3弦切角定理课件新人教B版选修4_1
[质疑· 手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，与“小伙伴们”探讨交流：
疑问 1：
_____________________________________________________
解惑：
_______________________________________________________
3.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法
上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.
[再练一题] 2.如图 1-2-43 所示，BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，BF、 BD 分别交 AD 于点 F、D，交⊙O 于 E、C，连接 CE.求证：BE·BF＝BC·BD.
∵∠A＝∠A，
∴ ∴ ∴△ A∠ADEAB＝DDEEBD∽ ＝DE，△ 90即A°BBD，DDE.∴＝t21a，n∠2＝DBDE＝12. ∴ ∵DB∠DEF＝＋12∠. BEF＝90°，∠2＋∠BEF＝90°， ∴∠2＝∠F，∴tan∠F＝tan∠2＝12.
[再练一题] 1.如图 1-2-41，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AC 平分 ∠BAD.求证：AD⊥CD.
解惑：
_______________________________________________________
图 1- 2- 40
【思路探究】 △ADE∽△ABD→tan∠ABD＝DBDE＝12→∠ABD＝∠F→结果
【尝试解答】 如图所示，连接 BD.
∵AC 为⊙O 的切线，
∴ ∵∠ BE1为＝⊙∠O2. 的直径，
【命题意图】 本题主要考查弦切角定理及三角形相似的性质.
高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.2.3 弦切角定理学案 新人教B版选修41
1．2.3 弦切角定理[对应学生用书P22][读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．[小问题·大思维]一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．[对应学生用书P23][例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．[思路点拨] 本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．[精解详析] 由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)； (3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD 很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD 与圆相交，∠BAE 也不一定是弦切角，只有已知AE 切圆于点A ，才能确定它是弦切角．1．如图，NA 与⊙O 切于点A ，AB 和AD 是⊙O 的弦，AC 为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图： (1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部．即∠BAN 、∠CAN 、∠DAN 为弦切角.[例2] 已知：AB 切⊙O 于A ，OB 交⊙O 于C ，AD ⊥OB 于D .求证：∠DAC ＝∠CAB . [思路点拨] 本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．[精解详析] 法一：如图(1)，延长AD 交⊙O 于E ，AB 切⊙O 于A ，∵CD ⊥AE ， ∴AC ＝CE .又∵∠DAC 的度数＝12CE 的度数．∠CAB 的度数＝12AC 的度数．∴∠DAC ＝∠CAB .法二：如图(2)，延长BO 交⊙O 于E ， 连接AE ，则∠CAE ＝90°.又∵AD ⊥CE ， ∴∠DAC ＝∠E . ∵AB 是⊙O 的切线，∴∠CAB＝∠E.∴∠DAC＝∠CAB.法三：如图(3)，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.∵CE是圆的切线，∴∠FCA＝∠CBA.∵∠FCA＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CBA.∵AB是直径，∴AD⊥BC，∴∠BAC＝90°－∠CBA.又∵CE⊥BD，∴∠D＝90°－∠DCE，∴∠D ＝∠BAC ，∴AB ＝BD .[对应学生用书P24]一、选择题1．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 的值为( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠B ＝50°，∠C ＝60°， ∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°， ∴∠EDF ＝55°. 答案：B2．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：连接BC ，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有△ADC与△ACB 相似，所以可得AD AC ＝ACAB，代入数值得关于AC 的方程． 答案：C3．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．23－1D ．23＋1解析：如图，连接OP ，则OP ⊥PA ，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OPA中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.答案：A4．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为( )A．40° B．100°C．120° D．60°解析：∵AP是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠CAP＝40°，又∠ACP＝100°，∴∠BAC＝∠ACP－∠ABC＝60°，即∠BAC所对的弧的度数为120°.答案：C二、填空题5．如图，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于________．解析：连接BD，∵AB为直径，∴∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.答案：40°6.如图所示，AC切⊙O于点A，∠BAC＝25°，则∠B的度数为________．解析：∵∠BAC ＝12∠AOB ，∴∠AOB ＝2×25°＝50°， ∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°.答案：65°7.如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，C 是AB 上的一点，已知⊙O 的半径为r ，PO ＝2r ，设∠PAC ＋∠PBC ＝α，∠APB ＝β，则α和β的大小关系为________．解析：连接AB 、AO 、OC 、OB ， ∴∠PAC ＝∠ABC ，∠PBC ＝∠BAC . ∴α＝∠PAC ＋∠PBC ＝∠ABC ＋∠BAC＝12(∠AOC ＋∠BOC )＝12(180°－∠APB )． ∵AO ＝r ，PA 切⊙O 于A ，AO ⊥PA 且PO ＝2r ， ∴∠APO ＝30°. ∴∠APB ＝2∠APO ＝60°.∴α＝12(180°－60°)＝60°＝β.答案：α＝β8.如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝____________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC.而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35 三、解答题9．AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.证明：连接DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠EFD＝∠BAD，∴∠EFD＝∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC＝∠DAC.∴∠EFD＝∠FDC.∴EF∥BC.10．如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.11．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线PQ切⊙O于点C，BD∥PQ，AC，BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．解：如图所示：(1)证明：因为PQ 是⊙O 的切线，所以∠1＝∠2. 因为BD ∥PQ ，所以∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4. 因为∠ABD ＝∠ACD ，AB ＝AC ， 所以△ABE ≌△ACD .(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ， 所以△BCE ∽△ACB ，BC AC ＝CE CB，AC ·CE ＝BC 2. 因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ， 所以6·(6－AE )＝16.所以AE ＝103 cm.。
高中数学 第1章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1.4 锐角
1.1.4 锐角三角函数与射影定理(建议用时：40分钟)[学业达标](时间40分钟，满分60分)1.△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( ) A.3∶2 B.9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3【解析】 如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，又∵AD ＝3，BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝5， ∴AC 2＝3×5＝15，BC 2＝2×5＝10. ∴AC BC＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶2， 故选C. 【答案】 C2.在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D.2 【解析】 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又∵BD ∶AD ＝1∶4， 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0). ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x ， 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 【答案】 C3.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD等于( )A.34B.43C.169D.916【解析】 如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ，∴AC 2AB 2＝CD BD ＝(34)2， 即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169. 【答案】 C4.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D .若BC ＝m ，∠B ＝α，则AD 长为( ) A.m sin 2α B.m cos 2α C.m sin αcos αD.m sin αtan α【解析】 由射影定理得，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·BC ，即m 2cos 2α＝BD ·m ，m 2sin 2α＝CD ·m ， 即BD ＝m cos 2α，CD ＝m sin 2α， 又∵AD 2＝BD ·DC ＝m 2cos 2αsin 2α， ∴AD ＝m cos αsin α.故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1163，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB .DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线BD 的长为________.图1163【解析】 ∵OF ＝a ， ∴AD ＝2a ，∵AE ⊥BD ，∴AD 2＝DE ·BD . ∵DE ∶EB ＝1∶3，∴DE ＝14BD ，∴AD 2＝14BD ·BD .∴BD 2＝4AD 2＝4×4a 2＝16a 2，∴BD ＝4a . 【答案】 4a6.Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，则S △ACD ∶S △BCD ＝________. 【解析】 ∵∠ACB ＝90°，CD 是高， ∴AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ∶BD ＝AC 2∶BC 2. 又∵S △ACD ＝12·AD ·CD .S △BCD ＝12·BD ·CD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝AD ∶BD ＝AC 2∶BC 2.又∵AC ＝12，BC ＝15，∴S △ACD ∶S △BCD ＝144∶225＝16∶25. 【答案】 16∶25三、解答题(每小题10分，共30分)7.已知直角三角形周长为48cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分. (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长.【解】 (1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ， ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2， ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为：20cm ，12cm ，16cm. (2)作CF ⊥AB 于F ， ∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm).∴两直角边在斜边上的射影长分别为365cm ，645cm.8.如图1164，Rt △ABC 中有正方形DEFG ，点D 、G 分别在AB 、AC 上 ，E 、F 在斜边BC 上，求证：EF 2＝BE ·FC .【导学号：61650009】图1164【证明】 如图，过点A 作AH ⊥BC 于H . ∴DE ∥AH ∥GF .∴DEAH＝BEBH，GF AH ＝FC CH.∵DE·GFAH2＝BE·FCBH·CH.又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC.[能力提升]9.如图1165，已知：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH.图1165【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴FGBG＝CGGH，∴BG·GC＝GH·FG. ②由①②得，GD2＝GH·FG.。
高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.2相似三角形的性质课件新人教B版选修4_1
3.一条河的两岸是平行的,在河的这一岸每隔5 m有一棵树,在河的
对岸每隔50 m有一根电线杆,在这岸离岸边25 m处看对岸,看到对
岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之
间还有两棵树,则河的宽度为
m.
解析:如图,A,B是相邻两电线杆的底部,F,G中间还有两棵树,则
AB=50 m,FG=3×5=15(m),EC=25 m,CD⊥AB,AB∥FG,
������'������'
=
54,则△ABC
和△A'B'C'的内切圆的直径的比等于(
)
A.45
B.59
C.94
D.54
解析:△ABC和△A'B'C'对应角平分线的比等于它们内切圆直径的
比,故选D.
答案:D
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HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
HONGNAN JVJIAO
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随堂演练
UITANGYANLIAN
1234 5
4.如图,在▱ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△ADF的面
积为
.
解析:∵AE∥DC,AE∶EB=1∶2,
∴△AEF∽△CDF,
且相似比������������
������������
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 3】 已知△ABC∽△A'B'C',������������'������������' = 23,△ABC 外接圆的直 径为 4,则△A'B'C'外接圆的直径等于( )
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理课件新人教B版选修4_1
类型三 平行截割定理及推论的综合应用 如图 1-1-45 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角
线的交点 O，且 EF∥AD.
图 1-1-45
(1)求OADE＋OBCE的值； (【(22))思求利路证用探：(1究)A及1D】例＋B21((C11＝))利结E2用果F.比证例明线. 段转化所求；
阶1.3平行截割定理
段 一
学业分1.3平行截割定理
层 测 评
阶1.3平行截割定理
段 二
1.掌握平行截割定理及其推论. 2.能利用平行截割定理及推论解决有关问题.
成比例
2.平行截割定理的推论
图 1-1-35
(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所
得的对应线段
.
(2)符号语言表示：如图 1-1-36 所示，若 a∥b∥c，则A AD B ＝A AC E＝D BC E.
1.本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变 形.
2.运用平行截割定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中 的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等.
[再练一题] 3.如图 1-1-46，M 是▱ABCD 的边 AB 的中点，直线 l 过 M 分别交 AD，AC 于 E，F，交 CB 延长线于 N，若 AE＝2，AD＝6.求 AF∶AC 的值.
【答案】
3 5
4.如图 1- 1- 40 所示，已知 a∥b，B AF F＝3 5，C BC D＝3，则 AE∶EC＝________. 图 1- 1- 40
【解析】 ∵a∥b， ∴EACE＝CAGD，BAFF＝ABGD. ∵CBCD＝3，∴BC＝3CD， ∴BD＝4CD. 又∵ABFF＝35，
高中数学 第1章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1.3 平行截割定理学业分层测评 新人教B版选修4
2016-2017学年高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3 平行截割定理学业分层测评新人教B版选修4-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3 平行截割定理学业分层测评新人教B版选修4-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
1.3 平行截割定理(建议用时：40分钟)［学业达标］一、选择题(每小题5分，共20分)1。
如图1.149，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F。
下列结论：①错误!＝错误!；②错误!＝错误!；③错误!＝错误!；④错误!＝错误!，其中正确的个数是( )图11。
49A.1B.2C.3D.4【解析】∵BC∥AD，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!.故①④正确。
∵BF∥AD，∴错误!＝错误!,故②正确。
【答案】C2。
已知如图11。
50，AD∥BE∥CF,EG∥FH，则下列等式成立的是( )图1。
1。
50A。
错误!＝错误! B.错误!＝错误!C.错误!＝错误!D.错误!＝错误!【解析】∵BE∥CF,∴错误!＝错误!,∵EG∥FH，∴错误!＝错误!,∴错误!＝错误!.故选C.【答案】C3.如图1.1.51,平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则错误!－错误!为（）图1.1。
51 A.错误!B。
1C。
错误! D.错误!【解析】∵AD∥BM,∴错误!＝错误!.又∵DC∥AN，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.∴DNMN＝错误!，∴错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!＝1。
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末分层突破课件新人教B版选修4_1
图 1-6
(2)如图 1-6②，将“⊙O1、⊙O2外切于点 P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点 P”，
其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？并证明你的结论.
【解】 (1)证明：如图③，可过点 P 作两圆的公切线 PM，交 AC 于点 M， 则∠BPM＝∠A，∠MPC＝∠MCP.
∠BPC＝∠BPM＋∠MPC＝∠A＋∠MCP＝∠CPD.∴PC 平分∠BPD.
求证：AM2＝DM·EM.
图 1-1
【证明】 ∵∠BAC＝90°， M 是 BC 的中点， ∴AM＝CM，∠MAC＝∠C. ∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°. 又∵∠BAM＋∠MAC＝90°， ∴∠E＝∠BAM. ∵∠EMA＝∠AMD， ∴△AMD∽△EMA. ∴DAMM＝EAMM. ∴AM2＝DM·EM.
运动变化的思想
运动变化思想要求用运动变化的眼光去看问题，识别静中的动，动中的静 的特殊情况，在解题时，抓住不变的规律去解决动中的结论.
如图 1-6①，已知⊙O1、⊙O2 外切于点 P，A 是⊙O1 上一点，直线 AC 切⊙O2 于点 C，交⊙O1 于点 B，直线 AP 交⊙O2 于点 D.
(1)求证：PC 平分∠BPD；
如图 1-5 所示，P 是⊙O 的直径 CB 的延长线上一点，PA 和⊙O 相 切于 A，若 PA＝15，PB＝5.
图 1-5 (1)求 tan∠ABC 的值； (2)弦 AD 使∠BAD＝∠P，求 AD 的长.
【解】 (1)连接 AC，AB， ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°. 又∵PA 为切线， ∴∠BAP＝∠C. 又∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA， ∴ABPP＝AACB＝155＝3. ∴在 Rt△ABC 中，tan∠ABC＝AACB＝3.
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理学业分层测评新人教B版选修4_1
∴四边形EDCF是平行四边形.
∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.
设AE＝DE＝FC＝x.
由EF∥BC得 ＝ .即 ＝ ，
解之得x1＝6，x2＝－10(舍去).
所以DE＝6cm，BE＝15－6＝9(cm).
8.如图1156所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.
图1151
A. B.1
C. D.
【解析】∵AD∥BM，∴ ＝ .
又∵DC∥AN，∴ ＝ ，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，
∴ － ＝ －Βιβλιοθήκη ＝ ＝1.【答案】B4.如图1152，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则 ＋ 的值为()
图1152
A. B.1
C. D.2
【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G，则 ＝ ＝ ＝ .而 ＝ ，即 ＝ ，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋1＝ .
图1156
【证明】过A作AG∥BC，交DF于G点，如图所示.
∵AG∥BD，∴ ＝ .
又∵BD＝DC，
∴ ＝ .
∵AG∥BD，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，
即AE·FB＝EC·FA.
[能力提升]
9.如图1157，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证： ＋ ＝ .
【导学号：61650007】
∴ ＝ ＝ .
【答案】
6.如图1154，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.2相似三角形的性质课件新人教B版选修4_1
【解】 ∵AACE＝AADB＝35， ∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC，∴SS△△AADBCE＝(AACE)2＝295. 又∵S△ABC＝100cm2， ∴S1△0A0DE＝295，∴S△ADE＝36cm2， ∴S 四边形 BCDE＝S△ABC－S△ADE ＝100－36＝64cm2.
[再练一题] 2.如图 1-1-24，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，BE⊥AC 交 AC 于 F，过 F 作 FG∥AB 交 AE 于 G.
求证：AG2＝AF·FC.
图 1-1-24
【证明】 ∵E 为矩形 ABCD 的边 DC 的中点， ∴AE＝BE. 又∵GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF. ∵BE⊥AC 于 F， ∴Rt△ABF∽Rt△BCF， ∴CBFF＝ABFF，∴BF2＝AF·FC， ∴AG2＝AF·FC.
【尝试解答】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴SS△△AADBCE＝(AADB)2， 又∵SS△ △BAFBCC＝BAFB且 S△BFC＝S△ADE， ∴AADB22＝ABBF. ∴AD2＝AB·BF.
1.解答本题的关键是把△BFC 与△ABC 的面积比转化为边长之比. 2.要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形 中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得 到结论.
【答案】 65°或 115°编后语• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
[真题链接赏析] (教材 P6 练习 T5) 如图 1-1-27，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 相交于 O，AO＝2 cm， AC＝8 cm，且 S△BCD＝6 cm2，求 S△AOD.
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1
1.2.2 圆周角定理
(建议用时：40分钟)
[学业达标]
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )
° °或150°
° °或120°
【解析】 弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.
【答案】 B
2.如图1228，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么CDAB等于( )
图1228
∠BPD
∠BPD
∠BPD
D.以上都不对
【解析】 由题意可知，∠C＝∠A，∠D＝∠B，
连接BD，∠BDP＝90°，
∴△CPD∽△APB，
∴CDAB＝PDPB＝cos∠BPD，故选B.
【答案】 B
3.如图1229所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是BC︵的中点，E是
AC︵的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE
的三内角的度数分别是( )
图1229
°，30°，100° °，20°，105°
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2
°，10°，110° °，20°，120°
【解析】 如图所示，连接AD.
∵AB＝AC，D是BC︵的中点，
∴AD过圆心O.
∵∠A＝40°，
∴∠BED＝∠BAD＝20 °，
∠CBD＝∠CAD＝20°.
∵E是AC︵的中点，
∴∠CBE＝12∠CBA＝35°，
∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.
∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，
故选B.
【答案】 B
4.如图1230，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等
于( )
图1230
π π
π π
【解析】 连接OA，OB.
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形.
又AB＝4，∴OA＝OB＝4.
∴S⊙O＝π·42＝16π.
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图1231，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________.
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3
【导学号：】
图1231
【解析】 由圆周角定理得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以
周长等于9.
【答案】 9
6.如图1232所示，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于E，∠ACD＝60°，∠
ADC
＝45°，则∠AEC＝________.
图1232
【解析】 如图，连接BC.根据圆周角定理的推论2，可知∠ACB＝90°.
∵∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝30°，
BD
︵
的度数＝60°.
∵∠ADC＝45°，
∴AC︵的度数＝90°.
∴∠AEC＝12(BD︵＋AC︵)的度数＝75°.
【答案】 75°
三、解答题(每小题10分，共30分)
7.如图1233，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接
CD、AD
.
(1)求证：DB平分∠ADC；
(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长.
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4
图1233
【解】 (1)证明：∵AB＝BC，∴AB︵＝BC︵，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC.
(2)由(1)可知AB︵＝BC︵.
∴∠BAC＝∠ADB.
∵∠ABE＝∠ABD.
∴△ABE∽△DBA.∴ABBE＝BDAB.
∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.
∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.
∴AB＝33.
8.如图1234, △ABC是圆O的内接等边三角形，AD⊥AB，与BC的延长线相交于点D，
与圆O相交于点E，若圆O的半径r＝1，求DE的长度.
图1234
【解】 连接BE，∴AD⊥AB，
∴BE为⊙O的直径，且BE＝2r＝2.
又∵∠AEB＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∠EBD＝30°.
又∵∠ABD＝60°，
∴∠D＝∠EBD＝30°，
∴DE＝BE＝2.
[能力提升]
9.如图1235①所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线
AD
和△ABC外接圆的交点.
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5
图1235
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)如图1235②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立
请证明；若不成立，请说明理由.
【解】 (1)证明：如图①，
连接BE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
又∠BAD＝∠EAB.
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE＝AD∶AB，
即AB2＝AD·AE.
(2)如图②，连接BE，
结论仍然成立，证法同(1).