8.3 直线的交点坐标与距离公式

)
3．直线 1经过点 ．直线l 经过点A(3,0)，直线 2经过点 表示l 间的距离， ，直线l 经过点B(0,4)，且l1∥l2，用d表示 1，l2间的距离， ， 表示 则( A．d≥5 ． 答案： 答案：D 4．直线l过点 ．直线 过点 过点(2,1)，且原点到 的距离是 ，那么 的方程是 的距离是1， 的方程是( ，且原点到l的距离是 那么l的方程是 A．x＝1或3x－4y＋5＝0 ． ＝ 或 － ＋ ＝ C．y＝1或4x－3y－5＝0 ． ＝ 或 － － ＝ 答案： 答案：C B．y＝1或3x－4y－5＝0 ． ＝ 或 － － ＝ D．x＝1或4x－3y－5＝0 ． ＝ 或 － － ＝ ) ) B．3≤d≤5 ． C．0≤d≤5 ． D．0<d≤5 ．
变式2. 如图所示，正方形的中心点为C(－ ， ， 变式 如图所示，正方形的中心点为 －1，0)，一条边所在的直线方程 是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程． ＋ － ＝ ，求其他三边所在直线的方程． 解答： 平行的直线为 解答：设与x＋3y－5＝0平行的直线为 ＋3y＋C1＝0， ＋ － ＝ 平行的直线为x＋ ＋ ， 由题意＝ 由题意＝ ∴C1＝－5或C1＝7. ＝－ 或
因此所求直线方程为3x＋ ＝ 或 ＋ ＋ ＝ 因此所求直线方程为 ＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)由(a＋1)x＋y＋2－a＝0得a(x－1)＋(x＋y＋2)＝0. 由 ＋ ＋ ＋ － ＝ 得 － ＋ ＋ ＋ ＝
无论a取何值，直线 过 ，－3)点 无论 取何值，直线l过A(1，－ 点， 取何值 ，－ 则直线l的斜率 解得a≤－ 则直线 的斜率k≥0，即－(a＋1)≥0.解得 －1. 的斜率 ， ＋ 解得
解法二： 直线l的方程为 的方程为y－ ＝－ 解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－ ，直线 的方程为 －2＝－ (x＋1)， ∥时 ＋ ， 中点时， 中点为(－ 即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，线段 中点为 －1,4)． ＋ － ＝ 当 过 中点时 线段AB中点为 ． 方程为x＝－ 的方程为x＋ － ＝ ， ＝－1. ∴直线AB方程为 ＝－ ，故所求直线 的方程为 ＋3y－5＝0，或x＝－ 直线 方程为 ＝－1，故所求直线l的方程为 ＝－
被两条直线l 【例1】直线 被两条直线 1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点 】直线l被两条直线 ＋ ＋ ＝ 和 － － ＝ 截得的线段的中点 的方程． 为P(－1,2)，求直线 的方程． － ，求直线l的方程 解答：解法一： 直线l与 的交点为A(x0，y0)，由已知条件，则直线 与l2的 解答：解法一：设直线 与l1的交点为 ，由已知条件，则直线l与 交点为B(－ － 交点为 －2－x0,4－y0)，并且满足 － ， 即 解得 因此直线l的方程为 因此直线 的方程为 ，即3x＋y＋1＝0. ＋ ＋ ＝
且与点A(2,3)和B(－4,5)的距离相等的直线 的方程． 的距离相等的直线l的方程 且与点 和 － 的距离相等的直线 的方程． 【例2】求过点 －1,2)且与点 】求过点P(－ 解答：解法一： 直线 的方程为 的方程为y－ ＝ ＋ ， 解答：解法一：设直线l的方程为 －2＝k(x＋1)， 由题意知＝ 即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝ － ＋ ＝ 由题意知 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－ .∴直线 的方程为 －2＝－ (x＋1)， 的方程为y－ ＝－ k ＝－ k ， ∴直线l的方程为 ＋ ，在时，直线方程为 ＝－ ＝－1，也适合题意． 当直线 的斜率不存在时，直线方程为x＝－ ，也适合题意． 的斜率不存在时
直线l 与直线l 的交点： 直线 1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线 2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点： ＋ ＋ 与直线 ＋ ＋ 的交点 1．可通过解方程组 ． 求得，若方程组有唯一解， 求得，若方程组有唯一解，则l1与l2相
交；若方程组无解，则直线l1∥l2；若方程组有无数组解，则l1与l2重合． 若方程组有无数组解， 重合． 若方程组无解，则直线 2．方程(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过 1与l2交点的直线， ．方程 表示过l 交点的直线， ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 表示过 但不能表示直线l 不表示直线x－ 但不能表示直线 2：A2x＋B2y＋C2＝0.如y－y0＝k(x－x0)不表示直线 －x0＝0. ＋ ＋ 如 － － 不表示直线
1．两条直线是否相交的判断 ． 两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解． 两直线是否有公共点， 要看它们的方程是否有公共解．因此只要将两条直线 L1和L2的方程联立 (1)若方程组无解，则L1//L2； 若方程组无解， 若方程组无解 (2)若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交； 若方程组有且只有一个解， 相交； 若方程组有且只有一个解 (3)若方程组有无数解，则L1与L2重合． 若方程组有无数解， 重合． 若方程组有无数解
将直线l的方程变为： ＋ － ＋ 将直线 的方程变为：x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，它表示过直线 1：x＋y－2 的方程变为 ＋ － ＝ ，它表示过直线l ＋ － 0， 3x＋2y－5＝0的交点且不包含第二条直线的所有直线 的交点且不包含第二条直线的所有直线． ＝ 0， l2： 3x＋ 2y－ 5 ＝ 0 的交点且不包含第二条直线的所有直线 ． 显然当直 线过点P时距离最小为 ，当直线过交点B(1,1)且与 垂直时距离 最大为 且与PB垂直时距离 线过点 时距离最小为0，当直线过交点 时距离最小为 且与 垂直时距离d最大为 但此时直线与已知直线l 重合，所以0≤d< 但此时直线与已知直线 2重合，所以 答案： 答案：A . ，
解法二：设直线 的方程为 的方程为y－ ＝ ＋ ， 解法二：设直线l的方程为 －2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. － ＋ ＝ 由 由 则 得x＝ ＝ 得x＝ ＝ ＝－2，解得k＝－ ＝－ ，解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－ ＝－ ＝－3(x＋ ， 因此所求直线方程为 －2＝－ ＋1)，即3x＋y＋1＝0. ＋ ＋ ＝ 解法三：两直线 的方程为(4x＋ ＋ 解法三：两直线l1和l2的方程为 ＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，① － － ＝ ， 将上述方程中(x， 换成 换成(－ － － 整理可得 整理可得l 关于(－ 将上述方程中 ，y)换成 －2－x,4－y)整理可得 1与l2关于 －1,2) 对称图形的方程： ＋ ＋ 对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.② － ＋ ＝ ② ①－②整理得3x＋y＋1＝0. 整理得 ＋ ＋ ＝
8.3
直线的交点坐标与距离公式
(能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 掌握两点间的距 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标/掌握两点间的距 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 离公式/点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 离公式 点到直线的距离公式/会求两条平行直线间的距离 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离)
所求直线的方程为x＋ ＋ ＝ 设与 设与x＋ － ＝ 垂直的直线为 所求直线的方程为 ＋3y＋7＝0.设与 ＋3y－5＝0垂直的直线为 3x－y＋C2＝0，由题意＝ － ＋ ，由题意＝ ∴C2＝9或C2＝－ 或 ＝－3.
所求直线的方程为3x－ ＋ ＝ 或 － － ＝ 所求直线的方程为 －y＋9＝0或3x－y－3＝0.
2．点到直线距离公式 ． 到直线l： ＋ ＋ ＝ 的距离为 的距离为： 点P(x0，y0)到直线 ：Ax＋By＋C＝0的距离为： 到直线 3．两平行线间的距离公式 ． 已知两条平行线直线l 的一般式方程为l 已知两条平行线直线 1和l2的一般式方程为 1：Ax＋By＋C1＝0， ＋ ＋ ， l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为 ＋ ＋ ，
变式1. 如图，设一直线过点(－ 变式 如图，设一直线过点 －1,1)，它被两平行直线 1：x＋2y－1＝0， ，它被两平行直线l ＋ － ＝ ， l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线 3：x－y－1＝0上，求其方程． 所截的线段的中点在直线l ＋ － ＝ 所截的线段的中点在直线 － － ＝ 上 求其方程． 解答： 且距离相等的直线方程为x＋ － ＝ 解答：与l1、l2平行且距离相等的直线方程为 ＋2y－2＝0. 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0， 设所求直线方程为 ＋ － ＋ － － ＝ ， 又直线过A(－ 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过 －1,1)， ＋ ＋ － － － ＝ 又直线过 ， 解得λ＝－ ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)1－2－λ＝0.解得 ＝－ ＋ － ＋ － － － ＝ 解得 ∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0. 所求直线方程为 ＋ － ＝
如直线l： ＋ 取任何实数直线l恒过一定 如直线 ：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，无论 取任何实数直线 恒过一定 ＋ ＋ － ＋ ＝ ，无论λ取任何实数直线 点，定点坐标的求法大致有两种： 定点坐标的求法大致有两种： (1)将直线方程转化为 ＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，通过解方程组 将直线方程转化为(x＋ － ＋ ＋ － ＝ ， 将直线方程转化为
(2)也可令 ＝0，λ＝1通过特殊情况求出定点的坐标，然后证明定点坐标满足 也可令λ＝ ， ＝ 通过特殊情况求出定点的坐标 通过特殊情况求出定点的坐标， 也可令 方程(1＋ 方程 ＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0. ＋ ＋ － ＋ ＝
的方程为(a＋ ＋ ＋ － ＝ ∈ ． 【例3】 设直线 的方程为 ＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． 】 设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴的截距相等，求l的方程； 若 在两坐标轴的截距相等 在两坐标轴的截距相等， 的方程 的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数 的取值范围． 若 不经过第二象限 求实数a的取值范围 不经过第二象限， 的取值范围． 解答： 若 ＝ ，直线方程为3x＋ ＝ ； 解答：(1)若a＝2，直线方程为 ＋y＝0； 显然a≠－ ， 时直线方程可化为： 显然 －1，当a≠2时直线方程可化为： 时直线方程可化为