2019高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案1
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第一节 平行线等分线段定理课堂导学案 新人教A版选修41
第一节 平行线等分线段定理课堂导学三点剖析一、平行线分线段成比例定理及推论的应用【例1】如图1-1-1,已知△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 为AD 中点,BE 的延长线交AC 于F.图1-1-1求证:AF=31AC. 思路分析：欲证AF=31AC,只要取FC 的中点G,然后证AF=FG=GC 即可,或者过D 作DG∥BF,再证AF=FG=GC.证法一:取FC 中点G,∵BD=DC,∴DG 为△BFC 的中位线.∴DG∥EF.在△ADG 中,E 为AD 中点,∴F 为AG 中点.∴AF=FG=GC.∴AF=31AC. 证法二:过D 作DG∥BF 交AC 于G.在△ADG 中,E 为AD 中点,∴AF=FG.在△BCF 中,D 为BC 中点,∴FG=GC.∴AF=FG=GC.∴AF=31AC. 温馨提示证法一利用取中点和中位线定理得平行,然后再利用定理及推论证得线段相等. 证法二是作平行线,直接利用定理或推论.二、线段和差的证明问题【例2】如图1-1-3,ABCD 中,AC 、BD 相交于O,以A 为端点引射线AM,分别过B 、C 、D 向AM 作垂线,垂足分别为B′、C′、D′.求证:AD′=B′C′.图1-1-3思路分析：平行四边形对角线互相平分,容易看出O 是△AC′C 的边AC 的中点,也是梯形BDD′B′的腰BD 的中点.为此,只要过O 作OO′⊥AM 或O O′∥DD′易得O′分别为AC′和B′D′的中点,即O ′A=O ′C′,O′D′=O′B′,两式相减即得证.证明:作OO′⊥AM,O′为垂足,∵ABCD 为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.又∵DD′,OO′,BB′,CC′都垂直于AM,∴DD′∥OO′∥BB′∥CC′.∴O′A=O′C′,O′D′=O′B′.∴O′A -O′D′=O′C′-O′B′,即A D′=C′B′.三、探索线段间的关系【例3】如图1-1-5,已知M 是AB 中点,A 、B 在l 的两侧,分别过A 、B 、M 作直线l 的垂线,垂足分别为C 、D 、N.请探讨AC 、BD 、MN 的关系并证明.图1-1-5(1)思路分析：假设B 、D 重合,则图形变为图1-1-5(2).图1-1-5(2)∵AC⊥l,MN⊥l,∴MN∥AC.又∵M 是中点,∴N 是BC 中点,MN 是△ABC 的中位线.∴MN=21AC.而当B 、D 不重合时,要么MN=21(AC+BD),要么MN=21(AC-BD).通过观察,A 、B 在l 异侧时MN ＜21AC,因此我们猜想MN=21(AC-BD).下面我们给出猜想的证明.解:如图1-1-5(1),连结DM 并延长交AC 于E,∵AC、MN 、BD 都垂直于l,∴AC∥MN∥BD.又∵M 是中点,∴N 是CD 的中点.∴MN 是△CDE 的中位线. ∴MN=21EC=21(AC-AE).∵AE∥BD,∴∠A=∠B.在△AME 和△BMD 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,BMD AME MB AM BA ∴MN=21(AC-BD).温馨提示容易证明A 、B 在l 同侧时,MN=21(AC+BD).各个击破类题演练1如图1-1-2,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,M 是CD 的中点,求证:MA=MB.图1-1-2证法一:过M 点作MN∥BC 交AB 于N,则AD∥MN∥BC.∵DM=MC，∴AN=MC.又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB.∴MN 是AB 的垂直平分线.∴MA=MB.证法二:取AB 中点N,∵AN=BN,DM=MC,∴MN 是梯形ABCD 的中位线.∴MN∥AD∥BC.又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB.∴MN 是AB 的中垂线.∴MA=MB.类题演练2如图1-1-4,已知梯形ABCD 中,A D∥BC,E、F 分别是AB 、DC 的中点,连结EF,交BD 于G,交AC 于H.求证:GH=21(BC-AD).图1-1-4证明:∵E、F 为AB 、CD 的中点,∴EF 为梯形ABCD 的中点，∴EF∥AD∥BC.∴BG=DG,AH=CH.∴EG、EH 分别为△ABD 和△ABC 的中位线. ∴EH=21BC,EG=21AD. ∴EH -EG=21BC-21AD. ∴GH=21(BC-AD). 温馨提示在证明线段相等时有时,通过将有关线段作和、差来证明.类题演练3如图1-1-6,梯形ABCD 中,AB∥CD,G、H 分别是梯形对角线的中点.图1-1-6探讨GH 与AB 、CD 的关系.解析：猜想当A 、B 重合,AC 与BC 重合,梯形变为三角形,如图1-1-6.由三角形中位线定理知GH=21CD. 一般地,GH 肯定与AB 有关,可能GH=21(CD+AB)或GH=21(CD-AB).通过观察,GH 不大于21CD,所以猜想GH=21(CD-AB). 下面给出证明.证明:如图1-1-7,图1-1-7连结AH 并延长交CD 于E.∵AB∥CD,∴∠ABH=∠EDH,BH=DH,∠AHB=∠EHD.∴△ABH≌△EDH.∴AH=EH,AB=ED.又∵AG=CG,∴GH=21CE=21(CD-ED)=21(CD-AB).。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理a41a高二41数学
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三
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思维辨析
探究二证明线段相等
【例2】 如图,在△ABC中,E为中线AD上的一点,
交AC于点F,求证:AF=CF.
1BE并延长,
典例在△ABC 中,直线 DE 与直线 AB,AC 分别交于点 D,E,且
DE∥BC.若
+
AD=1,DB=2,则
=
.
错解 D,E 分别在边 AB,AC 上,则由 DE∥BC 知
+
=1+3=4.
=
= ,故
1
3
=
答案 4
正解(1)同错解;
(2)若 D,E 分别在 BA,CA 的延长线上,则由 DE∥BC 知
(2)符号表示:如图①②③所示,若 DE∥BC,则
12/9/2021
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=
.
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2
做一做2 如图所示,在△ACE中,B,D分别在AC,AE上,则下列推理(tuīlǐ)不
已知 a∥b∥c,l1 交 a,b,c 于点
,
=
,
=
.
A,B,C,l2 交 a,b,c 于点 D,E,F,则
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
张家湾中学 高三 年级 选修4-1 册 数学 学科导学案（学生版）学案编号 1 教师姓名 田 雪执笔 田 雪 审 核班级学生姓名小组第 周第 1 课时第一讲 相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理【学习目标】1. 通过自学了解平行线等分线段定理；2. 通过习题掌握平行线等分线段定理； 【学习重点】平行线等分线段定理【学习过程】一、阅读教材P 2-P 4中黑体字 二、新课导学1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ，并且等于 三、当堂练习练习1. 如图4-82，已知： △ABC 中， AE ＝EB ， EF//BC ，则练习2. 如图4-81,已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AE ＝EB ，EF//BC ，则 四、例题分析例1、如图EF ∥BC ，FD ∥AB ，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm ．则BD= ．例2、如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=60°,AB=BC,E 为AB 的中点，求证:△ECD 为等边三角形。
五、当堂检测1.顺次连结等腰梯形的两底中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是（ ） A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.梯形2.一个等腰梯形的周长是80cm ，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm ，则这个梯形的面积为____________________cm 2．ABCDF E学案编号 2 教师姓名 田 雪执笔 田 雪 审 核班 级学生姓名小组第 周第 1 课时第一讲 相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理【学习目标】1.通过自学了解平行线分线段成比例定理；2.通过习题掌握平行线分线段成比例定理； 【学习重点】平行线分线段成比例定理【学习过程】一、阅读教材P 5-P 9中黑体字 二、新课导学平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________________-即：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段_______________推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段__________________ 三、例题分析例1、如上图1，321////l l l ，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ，EK= ，FK= ．例2、如图：DE ∥BC ，AB=15，AC=7，AD=2，求EC.例3、如图2，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，求梯子的长. 四、当堂练习1 .如图，已知：AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO=78cm ，BO=42cm ，CD=159cm ， 则CO= cm ， DO= cm ．2．如图：BC ∥DE ，AB=15，AC=9，BD=4，求：AE3． 如图，ΔABC 中，点D 为BC 中点，点E 在CA 上，且CE=21EA ，AD ，BE 交于点F ，则AF:FD= ．A M C EK F B D l 1 l 2 l 3 图1 ADB ┐ ┐ 图3AB C D FE AO CB D ┐ └ 1题图 AB C D E2题图 B C DE A学案编号 3 教师姓名 田 雪执笔 田 雪 审 核班 级学生姓名小组第 周第 1 课时第一讲 相似三角形的判定及有关性质1.3相似三角形的判定及性质【学习目标】1.通过自学理解相似三角形定义、相似三角形的判定定理及性质定理；2.通过习题掌握相似三角形的判定定理及性质定理； 【学习重点】相似三角形的判定定理及性质定理【学习过程】一、阅读教材P 10-P 18中黑体字 二、新课导学1.相似三角形定义：对应角_________，对应边___________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做___________(或相似系数). 2.相似三角形的判定定理：（1）(AA) （2）（SAS ） （3）(SSS)结论1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形__________ 结论2：如果一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，那么这条直线与三角形的第三边_________推论：如果一条直线与三角形的一边平行，且与三角形的另两条边相交，则 3.相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应________的比、对应___________的比和对应________的比都等于等于 ； （2）相似三角形_______的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于 . 三、当堂练习1.如图1，已知∠1=∠2，请补充条件： （写三个即可），使得ΔABC ∽ΔADE ．2.两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ．3．如图3，ΔABC 中，∠1=∠B ，则Δ ∽Δ ．此时若AD=3，BD=2，则AC= ．4.如图1-12，△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝4，EC ＝2，BC ＝8，求BF 和CF 的长.四、例题分析例1、如图，△ABC 是钝角三角形，AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的三条高. 求证：AD BC BE AC ∙=∙。
高中数学 第一章 相似三角形的判定及有关性 1.2 平行线分线段成比例定理教案3 1数学教案
平行线分线段成比例定理教学目标1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.能初步应用定理及推论进行解题.教学重点定理及推论的内容及应用.教学难点定理结论的推理过程.教学过程一、复习提问：1. 什么是平行线等分线段定理？2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则的比值是多少？二、新课讲解：1.平行线分线段成比例定理从图（1）可知，当AD∥BE∥CF,且AB=BC时，则DE=EF,也就是= =1接着象教材一样，说明=时，也有=.要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当AD∥BE∥CF时，都可得到=.接着应用比例的性质。
举例得到：=，=，=，=，=.从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上.（2）强调对应的意义，并说明上述6个比例式中的任何一个都可推导出其他5个来.（3）用形象化的语言描述如下：=，=，=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2）图（3）图（4）图（5）2.定理的应用（1）课本例1已知：如图，l1∥l2∥l3,AB=3,DE=2,EF=4.求BC.练习一(1)如图（6）如果AE:EB=AF:FC,那么EF与BC的关系是若AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形EBCD是形。
（2）如图（7），若DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则EC= .若AD=3,DB=7,AC=8,则EC= .若AD:DB=2:3,EC-AE=2,则AE= ,EC= .（3）如图（8），DE∥AB,那么AD:DC= ,BC:CE= 。
（4）如图（9），在梯形ABCD中，AD∥BC,E是AB上一点，EF∥BC 交CD于F，若AE=2,CD=7,则FC= ,DF= .(2)课本例2。
说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。
高中数学 1.2 第一讲 相似三角形的判定及有关性质课件
名师点拨 1.平行线分线段成比例定理
(1)用数学符号语言表达
直线l1∥l2∥l3，直线l交l1，l2，l3于A，B，C，l′交l1， l2，l3于D，E，F，则BACB＝DEFE.
(2)教材中就
AB BC
为有理数时给出了证明，实际上当
AB BC
为无
理数时定理也成立．
变式1 如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，BC＝3，则
DE DF
＝
________.
解
因为l1∥l2∥l3，所以
AB BC
＝
DE EF
，所以
DE EF
＝
5 3
，所以
DED＋EEF＝5＋5 3，所以DDFE＝58.
【例2】 如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线 分别于E，F，D三点，且AD＝BE.
求证：EF FD＝CA CB.
【证明】 证法一：如图，过D作DK∥AB交EC于点K， 则FEDF＝BEKB，ACDA＝BBCK，即CBCA＝ABDK.
∵AD＝BE，∴CBCA＝BBKE， ∴FEDF＝CCAB.
证法二：如图，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P.
∵AB∥EP，∴CBEB＝CAPA， 即CCAB＝ABPE. 在△DPE中，∵AF∥PE， ∴FEDF＝AADP. ∵AD＝BE，∴BAEP＝AADP，∴CCAB＝FEDF.
(1)求证：AC∥BD； (2)如果PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC明：∵平面PBD∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD.又 α∥β，∴AC∥BD.
提示 利用比例性质可以得到多条平行线截两条直线所得 对应线段成比例．平行线等分线段定理在空间仍成立．
思考探究2 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长 线)所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线是否平 行于三角形的第三边？
2019_2020学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理课件新人教A版选修4_1
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【例3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于 点O,OE∥AB交BC于点E,AD=6,求BE的长.
分析由于OE∥AB,OA=OC,根据平行线等分线段定理的推论1,得出 E是BC的中点,所以BE=EC =12BC=12AD.
A.AE=CE B.BE=DE
C.CE=DE D.CE>DE 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案. 答案C
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2.推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
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() (4)梯形的中位线平行于两底,并且等于两底差的一半. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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探究一
探究二
探究三
探究一作已知线段的等分点
【例1】 已知线段AB,求作线段AB的六等分点,并予以证明. 分析根据平行线等分线段定理,只要作射线AM,在AM上以任意取
DG=
,H是
的中点,F是
的中点.
解析由平行线等分线段定理、推论1和2以及AE=EB可得答案,故 填BG,AC,CD.
答案BG AC CD
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[精品]2019学年高中数学第一讲三相似三角形的判定及性质2相似三角形的性质学案含解析新人教A版选修4
2．相似三角形的性质1．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．如图，已知△ABC △ABC △AEF 4 cm 2，求sin A 的值．由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值． ∵CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝ACAB. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ，则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k .∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F .若AD ＝3，AB ＝5，求：(1)AG AF的值；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比； (3)△ADE 与△ABC 的面积之比． 解：(1)在△ADE 与△ABC 中， 因为∠ADE ＝∠B ，∠BAD 为公共角， 所以△ADE ∽△ABC ，所以AG AF ＝AB AD ＝53. (2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比， 即AD ∶AB ＝3∶5.(3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝925.2.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3.(1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD . ∵AE EB ＝23， ∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25. ∴AE CD ＝25. 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ， ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5. (2)S △AEF ∶S △CDF ＝4∶25， 又S △AEF ＝8， ∴S △CDF ＝50.么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题． 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m ，才能看到水塔．连接FD ，由题意知，点A 在FD 上，过F 作FG ⊥CD 于点G ，交AB 于点H ， 则四边形FEBH ，四边形BCGH 都是矩形． ∵AB ∥CD ，∴△AFH ∽△DFG . ∴AH ∶DG ＝FH ∶FG .即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x ∶(x ＋30)，解得x ＝55.2(m)． 故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m 才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m.(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE .∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)得△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BCDE. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20 m ，BC ＝1.6 m. ∴220＝1.6DE，∴DE ＝16 m. 答：古塔的高度为16 m.4．有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm.由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC .得AK ∶AD ＝HG ∶BC ，所以(8－x )∶8＝2x ∶12，即x ＝247(cm)．则S 矩形EFGH ＝2x 2＝1 15249(cm 2)．如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ ＝18(cm 2)． 即加工成的铁片的面积为1 15249 cm 2或18 cm 2.课时跟踪检测(四)一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC ，∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，且△BEG 的面积是1 cm 2，则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC ，所以△BEG ∽△DAG ，因为BE ＝EC ，所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BE DA 2＝14， 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)． 又因为AD ∥BC ，所以AG EG ＝DABE＝2，所以S △BAG S △BEG ＝AGEG＝2， 所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2)，所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2)， 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE ， ∴BF DE ＝CB CD. ∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8. 4．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14. ∴EF AB ＝EC AC ＝45. ∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F, 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ， 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图，在△ABC 中有一个矩形EFGH ，其顶点E ，F 分别在AC ，AB 上，G ，H 在BC 上，若EF ＝2FG ，BC ＝20，△ABC 的高AD ＝10，则FG ＝________.解析：设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x . 因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC ，所以AM AD ＝EF BC ，即10－x 10＝2x 20，解得x ＝5，即FG ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA . 所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm. 因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ·2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)，AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E是AC 上的点，BE ，CD 交于点M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于点F ， 设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2.∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC ，∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.DE ＝12CD .9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE EC 2＝19， S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8， ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度，甲在操场上C 处直立 3 m高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE ＝3 m ，乙的眼睛到地面的距离FE ＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处退后6 m 到E 1处，恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1＝4 m ，求旗杆AB 的高．解：设F 1F 与AB ，CD ，C 1D 1分别交于点G ，M ，N ，GB ＝x m ，GM ＝y m.因为MD ∥GB ，所以∠BGF ＝∠DMF ，∠GBF ＝∠MDF ， 所以△BGF ∽△DMF ， 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m)， 所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB ，同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1， 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1， 即1.5x＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m)， 即旗杆AB 的高为10.5 m.。
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行
一平行线等分线段定理互动课堂重难突破一、平行线等分线段定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.图1-1-3定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.应当注意定理图形的变式:对于三条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-4图1-1-5利用本定理可将一线段分成n等份，也可以证明线段相等或转移线段的位置.平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB =BC，BB′∥CC′交AC′于B′点.求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线a，分别双向延长线段BB′、CC′,得直线b、c.∵a∥b∥c，AB =BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1-6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB =BC，BB′∥CC′.求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB =BC，分别延长AA′、BB′、CC′为a、b、c,如图1-1-7.∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.图1-1-7三、刨根问底问题平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？探究:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形;或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形，它们的关系可以直观地表示,如图1-1-8:图1-1-8活学巧用【例1】如图1-1-9，已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC 于点F.求证:BF =CF.图1-1-9思路解析:在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论1，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.证明:在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC，∴E是AB的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF∥AC交BC于F，∴F是BC的中点，即BF =FC.【例2】求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图1-1-10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证:ED=EC.图1-1-10思路解析:在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明:过E点作EF∥BC交DC于F,∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F 是DC 的中点(经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰). ∵∠ADC =90°， ∴∠DFE =90°. ∴EF ⊥DC 于F . 又∵F 是DC 中点,∴EF 是DC 的垂直平分线.∴ED =EC (线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等). 【例3】 如图1-1-11,ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O ,OE ∥AB 交BC 于E ,AD =12,求BE 的长.图1-1-11思路解析:本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力. 解:∵ABCD 是平行四边形, ∴OA =OC ,BC =AD . ∵AB ∥DC ,OE ∥AB , ∴DC ∥OE ∥AB . 又∵AD =12, ∴62121====AD AB EC BE =AD 21. 【例4】已知在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AE ⊥CD 于E ，EF ∥BC 交AB 于F .求证:AF =BF .思路解析:一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺陷时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AE⊥CD 于E ，恰在三角形内部，而Rt△AEC 又不好用,所以延长AE 与BC 相交就势在必行了.图1-1-12证明:延长AE 交BC 于M.∵CD 是∠ACB 的平分线，AE ⊥CD 于E ,∴在△AEC 与△MEC 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠MCD.ACD CE,EC MEC,AEC∴△AEC ≌△MEC . ∴AE =EM .∴E 是AM 的中点. 又在△ABM 中,FE ∥BC , ∴点F 是AB 边的中点. ∴AF =BF .【例5】如图,已知△ABC 中,AD 平分∠BAC,CD ⊥AD ,DE ∥BA,求证:BC =2BE .图1-1-13思路解析:要证BC =2BE ,即证E 为BC 的中点,联系已知条件DE ∥AB ,考虑平行线等分线段定理的推论,延长CD 交AB 于点F ,只要证点D 为FC 的中点即可. 证明:延长CD 交AB 于点F , ∵AD 平分∠FAC , ∴∠FAD =∠CAD. 在△AFD 和△ACD 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDA,FDA AD,AD CAD,FAD ∴△AFD≌△ACD. ∴FD =CD . 又∵DE ∥AB,∴BE =E C,即BC =2BE.。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合课件新人教A版选修4
(2)DE·DC=AE·BD.
证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC.又
BC=CB,∴△ABC≌△DCB.
(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.
又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所
得的对应线段成比例.
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专题三
例1如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,
2
与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则
比例中项.
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例3如图所示,在Rt△ABC中有正方形DEFG,点D,G分别在AB,AC
上,点E,F在斜边BC上,求证:EF2=BE·FC.
证明
如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,
则DE∥AH∥GF.
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=
,
= .
1
= 4 , = .
1
所以 16 = 4,即 BM=4.取 BC 的中点 P,
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专题三
作 PQ∥DH 交 EH 于 Q,如图,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线,
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线等分线段定理成长学案 新人教A版选修41
一 平行线等分线段定理主动成长夯基达标1.等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形思路解析:连结梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的邻边相等，由此可以断定此四边形必为菱形. 答案：B2.如图1-1-14，AB ∥CD ∥EF ，AF 、BE 相交于O ，若AO =OD =DF ，BE =10 cm ，则BO 的长为（ ）图1-1-14A.cm 310 B.5 cm C.cm 25D.3cm思路解析:根据AB ∥CD ∥EF 和AO =OD =DF ，有BO =OC =CE ，所以BE BO 31=. 答案：A图1-1-153.如图1-1-15,已知AD ∥EF ∥BC ，E 是AB 的中点，则DG = ,CH = ,AE = ,CF = .思路解析:利用AD ∥EF ∥BC 和E 是AB 的中点，根据平行线等分线87段定理，可得G 、H 、F 分别是BD 、AC 、DC 的中点，由此即得结论. 答案：BG AH BE DF4.如图1-1-16,在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ， AD CD 21=，若EG =5cm ，则AC = ；若BD =20cm ，则EF = .图1-1-16思路解析:由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，可得F 是AD 的中点，结合CD =21AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，又由EG ∥A C ，可得EG 等于AD 的一半，FD =EG ，由此可得两个结论.答案：15 cm 10 cm图1-1-175.如图1-1-17，AB =AC ,AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP .若AB =6cm ，则AP =;若PM =1 cm ，则PC = .图1-1-18思路解析:由AB =AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，有D 是BC 的中点，再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点，P 是AN 的中点，由此，AP =AB 31,PM =PC 41. 答案：2 cm 4 cm6.如图1-1-18，已知AC ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ,OC =OD ,连结OA 、OB .求证:OA =OB .图1-1-19思路分析:作OE ⊥AB 于E ，可得一组平行线，利用O 是CD 的中点，得到E 是AB 的中点，结合线段垂直平分线的性质就有本题的结论.证明:作OE ⊥AB 于E .∵AC ⊥AB ,DB ⊥AB , ∴AC ∥OE ∥DB . ∵O 是DC 中点, ∴E 是AB 中点. ∴OA =OB .7.如图1-1-19，已知∠ACB =90°,AC =BC ,CE =CF ，EM ⊥AF ，CN ⊥AF .求证:MN =NB .图1-1-20思路分析:由已知易得ME 与NC 平行，所以要说明MN =NB ，只要点C 是一条线段的中点即可，由此启发我们作辅助线CP .证明:延长ME交BC的延长线于P，由已知可得，Rt△E PC≌Rt△FAC.∴PC=CB.又∵EM⊥AF，CN⊥AF,∴PM∥CN.又∵C是BP的中点,∴N是MB的中点.∴MN =NB.8.已知线段AB，求作AB的五等分点.图1-1-21思路分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等份的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等份了.作法：(1)如图，作射线AM；(2)在射线AM上截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5;(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.9.梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B = 60°，AB =BC，E为AB的中点.求证:△ECD为等边三角形.思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.证明:连结AC，过点E作E F∥AD交DC于F.∵梯形ABCD,∴AD∥BC.∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）.∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.∴△EDC为等腰三角形.∵AB =BC,∠B =60°,∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB =60°.又∵E是AB边中点,∴CE平分∠ACB.∴∠1=∠2=30°.∴∠DEF=30°.∴∠DEC=60°.又∵ED=EC,∴△DEC为等边三角形.走近高考10.如图1-1-22,已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED,DC的延长线交BE 于F.求证:EF =BF.图1-1-22思路分析:在△EAB中,OF∥AB,要说明EF=BF,只要说明O是AE的中点,而O是平行四边形对角线的交点,根据平行四边形对角线互相平分,可以知道O是A E的中点,于是问题得证.证明:连结AE交DC于O,∵四边形ACED是平行四边形,∴O是AE的中点(平行四边形对角线互相平分).∵四边形ABCD是梯形,∴DC∥AB.在△EAB中,OF∥AB,又O是AE的中点,∴F是EB的中点.∴EF =BF.11.已知直线l1∥l2∥l3，任作两直线m、n，分别交l1、l2、l3于点A、B、C和D、E、F,如图1-1-23所示.图1-1-23图1-1-24图1-1-25(1)分别量出线段AB 、AC 、DE 、DF 的长,观察结论，你有什么发现？(2)把直线n 沿DA 方向平移到A 点，得到直线n ′，分别与直线l 2、l 3交于E ′、F ′，如图1-1-24，观察△ABE ′与△ACF ′，你有什么发现？说出你的猜测，并验证.(3)如图1-1-24，若继续把直线n 平移使其经过B 点，分别与直线l 1、l 3交于D ″、F ″，结果如何？(4)利用你的发现，判断图1-1-25中的相似三角形有几对？思路分析:对于线段的关系，尤其是四条线段的关系，很有可能是成比例，但要通过验证才能确定.而两个三角形在大小不一的情况下，又有了成比例的线段，就可以联想到两个三角形相似.要判断最后一个图形中有几对相似三角形，就要设法把图形分离出（2）（3）中的基本图形.解:（1）通过测量可得AB =1.5 cm,AC =4 cm ,DE =1.15cm,DF =3.1 cm,观察且计算可发现AC AB =45.1 =0.375,DF DE =1.315.1≈0.371，由于作图和测量都会有一定的误差，因此可以确定有=AC AB =DFDE .（2）△ABE ′∽△ACF ′，由于AF ′是由DF 平移而来的，由平移的特征可得AE ′=DE ,AF ′=DF ,所以仍然有AC AB =DF DE =F A E A ''.而通过测量同样可计算出FC E B ''的值也非常接0.375，因此有AC AB =F A E A '' =F C E B ''；由平行线的性质，可得∠ABE =∠ACF ,∠AE ′B=AF ′C .而∠CAF ′为公共角.所以△ABE ′∽△ACF ′. （3）△ABD ″∽△CBF ″.(4)有3对：△ADE ∽△ABC ,△CEF ∽△CAB ,△ADE ∽△EFC .。
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精选资料教材
二 平行线分线段成比例定理
1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)
2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. (难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 平行线分线段成比例定理
阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
2．图形语言
如图121，l1∥l2∥l3，
则有：ABBC＝DEEF，
ABAC＝DEDF，BCAC＝EF
DF
.
图121
如图122所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )
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图122
A.ADDC＝AFDE B.CECB＝BFAB
C.CDAD＝CEDF D.AFBF＝DFBC
【解析】 ∵DF∥EB，DE∥FB，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE＝BF，DF＝EB，
∴ADDC＝AFFB＝AFDE，A正确；
CECB＝DEAB＝BF
AB
，B正确；
CDAD＝CEEB＝CE
DF
，C正确．
【答案】 D
教材整理2 平行线分线段成比例定理的推论
阅读教材P7～P9，完成下列问题．
1．文字语言
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
2．图形语言
如图123，l1∥l2∥l3，
图123
如图124所示，在△ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是( )
图124
A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCE
B．BD∥CE⇒ADAE＝BDCE
精选资料教材
C．BD∥CE⇒ABBC＝ADDE
D．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE
【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A，B，C都是正确的，D是错误
的．
【答案】 D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
证明线段成比例
如图125，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE＝AF，求
证：EPFP＝ACAB.
图125
【精彩点拨】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，
过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边
形来求解．
【自主解答】 如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点
N
.
∵AE＝AF，∴AM＝AC.
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD.
延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形，