导数与函数的单调性、极值、最值

因为－e2<－1e，所以 a＝－e2 为所求． 故实数 a 的值为－e2.
[变式训练] (2017·北京卷)已知函数 f(x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝excos x－x，所以 f(0)＝1， f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以 f′(0)＝0， 所以 y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. (2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令 g(x)＝f′(x)，
考点 2 利用导数求函数的最值(讲练互动) 【例】 (2019·广东五校联考)已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数． (1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值． 解：(1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x， 令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0.
由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1. 此时 f(1)＝3e≠0. 所以 a 的值为 1. (2)f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex ＝(ax－1)(x－2)ex. 若 a>12，则当 x∈(1a，2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a， 当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞) 上单调递增，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大 值．
考点 3 已知函数的极(最)值求参数(讲练互动) 【例】 (2018·北京卷)设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x ＋4a＋3]ex. (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行， 求 a； (2)若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
解：(1)因为 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex， 所以 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex. 所以 f′(1)＝(1－a)e.
导数与函数的单调性、 极值、最值
知识梳理
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1.函数的单调性与导数的关系
(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,
①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内 单调递增
;
②如果个区间内 单调递减
;
③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大
值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f (a) 为函数的
最小值, f (b) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上
单调递减,则 f (a) 为函数的最大值, f (b) 为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在
[a,b]上的最大值和最小值的步骤 ①求f(x)在(a,b)内的 极值 ;
②将f(x)的各极值与 f (a),f (b) 进行比较,其中
最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
知识梳理
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)>0. ( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.
解：(1)由 f(x)＝x－1＋eax，得 f′(x)＝1－eax. 又曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴， 所以 f′(1)＝0，即 1－ae＝0，解得 a＝e. (2)f′(x)＝1－eax， ①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的单调 递增函数，所以函数 f(x)无极值．
所以 f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． 所以 f(x)max＝f(1)＝－1. 所以当 a＝－1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f′(x)＝a＋1x，x∈(0，e]，1x∈1e，＋∞. ①若 a>－1e，则 f′(x)>0，从而 f(x)在(0，e]上是增函数， 所以 f(x)max＝f(e)＝ae＋1>0，不合题意．
() (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不
一定是极小值. ( )
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
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答案
考点 1 求函数的极值(讲练互动) 【例】 (2019·泉州质检)已知函数 f(x)＝x－1＋eax(a ∈R，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴， 求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
则 g′(x)＝－2sin x·ex≤0 在0，π2上恒成立，且仅在 x ＝0 处等号成立，
所以 g(x)在0，π2上单调递减， 所以 g(x)≤g(0)＝0，所以 f′(x)≤0 且仅在 x＝0 处等 号成立， 所以 f(x)在0，π2上单调递减， 所以 f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝fπ2＝－π2.
.
(2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有 f'(x)≥0 在[a,b]上
恒成立. (3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有 f'(x)≤0 在[a,b]上
恒成立.
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f'(x)在该区间上
不变号 .
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2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f'(x0)=0, ①如果在x0附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 , 那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 , 那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤
所以 g′(x)＝1x－m－xm2＝x－mxx22－m＝－mx2－x2x＋m，
令 h(x)＝mx2－x＋m，
要使 g(x)存在两个极值点 x1，x2，
则方程 mx2－x＋m＝0 有两个不相等的正数根 x1，x2.
h（0）>0，
故只需满足21m>0， h21m<0，
即可，解得
1 0<m<2.
所以实数 m 的取值范围为0，12.
所以 f(x)在 x＝2 处取得极小值． 若 a≤12，则当 x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤12x－ 1<0， 所以 f′(x)>0. 所以 2 不是 f(x)的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(12，＋∞)．
[变式训练] (2019·邯郸调研)已知函数 f(x)＝ln x. (1)求 f(x)图象的过点 P(0，－1)的切线方程； (2)若函数 g(x)＝f(x)－mx＋mx 存在两个极值点 x1，x2， 求 m 的取值范围．
①确定函数的定义域,并求f'(x); ②求方程 f'(x)=0 的根;
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③检查方程 f'(x)=0 的根是否在定义域内,若
在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正
右负,那么f(x)在这个根处取得 极大值
;如果左
负右正,那么f(x)在这个根处取得 极小值
.
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3.函数的最值
由 x＝－2 是函数 f(x)的极值点得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，
所以 a＝－1.
所以 f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由 ex－1>0 恒成立，得 x＝－2 或 x＝1 时，f′(x)＝0， 且 x<－2 时，f′(x)>0；－2<x<1 时，f′(x)<0； x>1 时，f′(x)>0. 所以 x＝1 是函数 f(x)的极小值点． 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)＝－1. 故选 A. 答案：A
[变式训练]
(2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－
1)ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
解析：函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
D．1
则 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝1x. 设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为 y＝x10x＋ln x0－1. 把点 P(0，－1)代入切线方程，得 ln x0＝0，所以 x0＝1， 所以过点 P(0，－1)的切线方程为 y＝x－1.
(2)因为 g(x)＝f(x)－mx＋mx ＝ln x－mx＋mx ，
②若 a<－1e，则由 f′(x)>0 得 a＋1x>0，结合 x∈(0，e]， 解得 0<x<－1a；