高等数学三元函数求极值
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
函数求极值的方法总结
函数求极值的方法总结函数求极值的方法总结数学主要以函数为研究对象,而函数极值无论在初等数学还是在高等数学里都是函数部分的一个重要问题，下文是函数求极值的方法，希望对同学们有帮助！一、利用二次方程的判别式求极值在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。
例1、求函数y=求函数极值的若干方法的极值。
解：将原函变形为关于x的二次方程(y-1)x 求函数极值的若干方法 -2yx-3y=0∵x∈R，且x≠3，x≠-1，∴上方程在实数范围内一定有解。
△= (-2y) 求函数极值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0解之得y≤0 或y≥ 求函数极值的若干方法这里虽然y无最大（小）值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法的x分别为x=0和x=-3，所以当x=0时，y有极大值0，当x=-3时，y有极小值求函数极值的若干方法。
例2、求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。
解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法≥0，解之得：-1≤y≤1∴函数y= 求函数极值的若干方法值域为[-1，1]由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。
但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。
二、利用倒数关系求极值对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。
例3、求函数y=2- 求函数极值的若干方法的最小值。
解：∵x 求函数极值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函数极值的若干方法 +5＞0∴函数的定义域为一切实数，又由x 求函数极值的若干方法-2x+6=(x-1) 求函数极值的若干方法 +5 知当x=1时，求函数极值的若干方法取最小值求函数极值的若干方法 ,∴ 求函数极值的若干方法取最大值求函数极值的若干方法 ,此时 y=2- 求函数极值的若干方法取最小值 2- 求函数极值的若干方法 ,即当x=1时，有y的最小值是 2- 求函数极值的若干方法。
高数第九章--多元函数的极值及其求法
o
x
设有一列实验数据
, 它们大体
分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方
法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 .
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特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b
使 y ax b 满足:
n
y
M (a,b) ( yk axk b)2 min
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
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推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
(x, y, z) 0下的极值.
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设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
o
x
2. 确定近似函数的标准
•实验数据有误差, 不能要求 yi f (xi )
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• 偏差 ri yi f (xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对
值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
n
[ yi f (xi )]2 min
y
i0
来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理:
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
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三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
高考数学中的函数极值问题详解
高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。
对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。
本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。
一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。
如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。
（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。
具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。
若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。
若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。
下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。
解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。
在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。
（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。
反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。
在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。
第五节多元函数的极值及其求法
第五节多元函数的极值及其求法的图形观察二元函数22y x e xyz +-=播放播放设函数),(y x f z =在点),(00y x 的及其附近有定义，对于点),(00y x 附近的任一点),(y x 都有),(),(00y x f y x f <，则称函数在),(00y x 有极大值；若有),(),(00y x f y x f >，则称函数在),(00y x 有极小值.一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yx z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22yx z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xyz =设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .多元函数取得极值的条件（称驻点）例如, 点)0,0(是函数xy z =的驻点，但不是极值点.驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，设 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ，定理2（充分条件）则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00， （1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．设3322(,)339f x y x y x y x =-++-,求极值. 求得驻点：)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(--,二阶偏导数为：66,0,66+-=''=''+=''y f f x f yy xy xx ,C B A 2B AC - （-3,0）-12 0 6 - 不是极值 （1,0）12 0 6 + 极小值-5 （-3,2）-12 0 -6 + 极大值31 （1,2） 12 0 6- 不是极值 例4解，令⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=-+='063096322y y f x x f y x多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解x y o 6=+y x D 例5先求函数在D 内的驻点，⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,再求),(y x f 在D 边界上的最值，解方程组 在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,在边界6=+y x 上，即x y -=6，得 4,021==x x ，,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f 比较后可知4)1,2(=f 为最大值, 64)2,4(-=f 为最小值.,)6(223x x -=)2)(6(2--=x x z )60(≤≤x ,0)4(6=-='x x z 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,要做一个容积为323cm 的无盖长方体箱子，问长、宽、高各为多少时，才能使所用材料最省？ 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解6464(0.0)S xy x y x y =++>>设长方体的长为x ，高为y ，则宽为32.xy 则箱子所用材料的面积为令由实际问题意义知,S 必有最小值,且内部唯一驻点,故当4x y ==时,S 有最小值.即当长、宽均为4cm 时，所用材料最省.22640640x y S y x S x y ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩解得唯一驻点 4.x y ==用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？二、条件极值拉格朗日乘数法设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,,则目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =, 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.，xyV z =⇒ 代入目标函数,化为无条件极值问题：x yz令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='0)(20)(222y V x S x V y S y x ,求得唯一驻点3V y x ==,从而3V z =, 内部唯一驻点,且由实际问题S 有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时解出隐函数困难甚至不可能.目标函数化为：)(2yV x V xy S ++=, 0,0>>y x要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，解出λ,,y x ，其中y x ,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法令,0),(0),(),(0),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=='+'='+'y x y x y x f y x y x f y y x x ϕϕλϕλ其中λ为参数，引入拉格朗日函数),(),();,(y x y x f y x F λϕλ+=如果目标函数是三元函数),,(z y x f ,且约束条件有两个,0),,(=z y x g ,0),,(=z y x h ,则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),;,,(z y x h z y x g z y x f z y x L μλμλ++=令,0),,(0),,(),,(),,(),,(0),,(),,(),,(0),,(),,(),,(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='+'+'='+'+'='+'+'z y x h z y x g z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z z z y y y x x x μλμλμλ解出z y x ,,，就是可能的极值点的坐标.用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？例7目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =,解构作拉格朗日函数 )()(2V xyz zx yz xy L -+++=λ,令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++='Vxyz xy y x L xz z x L yz z y L z y x 0)(20)(20)(2λλλ, 解得唯一驻点,3V z y x ===,由实际问题,即为最小值点.。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。
拉格朗日乘数法：求在约束条件
,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λ μ ,可由L x =0, L y =0, L z =0, , ,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。
这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。
例．已知22
3x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。
1.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为__________．
2.若正实数
的最大值是 ． 3.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值_________.
4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )
5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________
6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________.
7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，
345a b c
-+的最小值为 .8.已知a,b [0,1],a+b=1,求 + +(1-a)(1-b)的取值范围。
（若去掉条件a+b=1呢）
y x ，x y +。
高等数学 8-8.多元函数的极值及求法
条件最值的求法：找出Langrange函数的所有驻点 与不可导点，及边界上的驻点与不可导点.
例7
将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 3 2 u = x y z 为最大.
2
′ 由 f x = 4 x ( x − 6) + 2 x = 0 ,
2
得 x1 = 0, x2 = 4
f (4,2) = −64,
为最大值, 比较后可知 f (2,1) = 4为最大值
y
x+ y=6
D
为最小值. f (4,2) = −64为最小值
o
x
x+ y 的最大值和最小值. 例 6 求z = 2 的最大值和最小值 2 x + y +1
仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时 为零的点，均称为函数的驻点 驻点. 为零的点，均称为函数的驻点 注 意： 驻点 (可导的 极值点 可导的)极值点 可导的
例如, 点( 0,0) 是函数 z = xy 的驻点, 例如 的驻点 但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
由此构造三元函数
F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y ) )为 易知点(x0 ,y0 ,λ0 )为F ( x, y, λ )的驻点.
称F ( x, y, λ )为条件极值的Langrange函数.
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点，先构造函数
高等数学教学教案多元函数的极值及其求法
9 8 多元函数的极值及其求法授课次序59方向导数的计算 如果函数 z f(x y)在点 P 0(x 0 y 0) 可微分 那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都这就证明了方向导数的存在 且其值为f x (x 0, y 0)cos f y (x 0,y 0)cosl (x 0,y 0)提示 f (x 0x,y 0 y) f (x 0,y 0)f x (x 0, y 0) x f y (x 0,y 0) y o( (x)2 ( y)2)22x t cosy t cos ( x) ( y) t讨论 函数 z f (x y)在点 P 沿 x 轴正向和负向 沿 y 轴正向和负向的方向导数如何 提示 沿 x 轴正向时 cos cos 0 f f lx 沿 x 轴负向时 cos 1 cos 0 f flx例 1 求函数 z xe 2y 在点 P(1 0)沿从点 P(1 0)到点 Q(2 1)的方向的方向导数对于三元函数 f(x y z)来说 它在空间一点 P 0(x 0 y 0 z 0)沿 e l (cos cos cos )的方向导数 为f lim f(x 0tcos ,y 0 tcos ,z 0 tcos ) f(x 0,y 0,z 0) l (x 0,y 0,z 0 ) t 0 t如果函数 f(x y z)在点 (x 0 y 0 z 0)可微分 则函数在该点沿着方向 e l (cos cos cos 的方向导数为ff x (x 0 y 0z 0)cos f y (x 0 y 0 z 0)cos f z (x 0 y 0 z 0)cosl (x 0,y 0,z 0)例 2求 f(x y z) xy yz zx 在点 (1 1 2)沿方向 l 的方向导数 其中 l 的方向角分别为 60 45 60二 梯度设函数 z f(x y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数 则对于每一点 P 0(x 0 y 0) D 都可确定一个向量fx (x 0y 0)i f y (x 0 y 0)j 这向量称为函数 f(x y) 在点 P 0(x 0 y 0) 的梯度 记作 grad f(x 0 y 0) 即grad f(x 0 y 0) f x (x 0 y 0)i f y (x 0 y 0)j梯度与方向导数如果函数 f(x y)在点 P 0(x 0 y 0)可微分 e l (cos cos )是与方向 l 同方向的单位向量 则存在 且有 l (x 0,y 0) f x (x 0,y 0)cos f y (x 0,y 0)cos其中 cos cos 是方向 l 的方向余弦 简要证明 设 x t cos y t cos f(x 0 tcos y 0 tcos ) f(x 0 tcos ,y 0 tcos ) lim 0 0t0 f(x 0 f (x0, y0) f x (x 0,y 0)cosf y (x 0,y 0)siny 0) f x (x 0 y 0)tcos f y (x 0 y 0) tcos o(t) 所 以定理f x ( x 0, y 0) cos f y (x 0,y 0)cosgrad f(x 0 y 0) e l(x 0,y 0)| grad f(x 0 y 0)| cos(grad f(x 0 y 0)^ e l )这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间关系 特别 当向量 e l 与 gradf(x 0 y 0)的夹角 0 即沿梯度方向时 方向导数 f 取得最大值 这个最大值就是梯度的模l (x 0,y 0)|grad f(x 0 y 0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得 最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值讨论f的最大值结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它 的模为方向导数的最大值我们知道 一般说来二元函数 z f(x y)在几何上表示一个曲面这曲面被平面 z c(c 是常数 )所截得的曲线 L 的方程为 z f(x,y) 这条曲线 L 在 xOy 面上的投影是一条平面曲线 L* 它在 zcxOy 平面上的方程为 f(x y) c 对于曲线 L*上的一切点 已给函数的函数值都是 c 所以我们称平 面曲线 L* 为函数 z f (x y)的等值线若 f x f y 不同时为零 则等值线 f(x y) c 上任一点 P 0(x 0 y 0)处的一个单位法向量为这表明梯度 grad f(x 0 y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同而沿这个方向的方向导数f就等于 |grad f(x 0 y 0)| 于是 gradf (x 0, y 0) f nnn 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函 数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指 向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数 f(x y z)在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数 则对于每一点 P 0(x 0 y 0 z 0) G 都可定出一个向量f x (x 0 y 0 z 0)i f y (x 0 y 0 z 0)j f z (x 0 y 0 z 0)k这向量称为函数 f(x y z) 在点 P 0(x 0 y 0 z 0)的梯度 记为 grad f(x 0 y 0 z 0) 即grad f(x 0 y 0 z 0) f x (x 0 y 0 z 0)i f y (x 0 y 0 z 0)j f z (x 0 y 0 z 0)k结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它 的模为方向导数的最大值如果引进曲面 f(x y z) c 为函数的等量面的概念 则可得函数 f(x y z)在点 P 0(x 0 y 0 z 0)的梯 度的方向与过点 P 0的等量面 f(x y z) c 在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面 指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数1f x 2(x 0,y 0) f y 2(x 0,y 0)(f x (x 0,y 0), f y (x 0,y 0))1数量场与向量场 如果对于空间区域 G 内的任一点 M 都有一个确定的数量 f(M) 则称在这 空间区域 G 内确定了一个数量场 (例如温度场、密度场等 ) 一个数量场可用一个数量函数 f(M)来 确定 如果与点 M 相对应的是一个向量 F(M) 则称在这空间区域 G 内确定了一个向量场 (例如力 场、速度场等 ) 一个向量场可用一个向量函数 F (M)来确定 而 F (M) P(M)i Q(M)j R(M)k 其 中 P(M) Q(M) R(M)是点 M 的数量函数利用场的概念 我们可以说向量函数 grad f(M)确定了一个向量场——梯度场它是由数量场f(M)产生的 通常称函数 f( M )为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个 向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场例 5 试求数量场 m r 所产生的梯度场 其中常数 m>0 r x 2 y 2 z 2 为原点 O 与点 M(x y z)间的距离 解x (m r )r m 2 r xm r 3x同理y (m r ) m r 3y z (m r ) m r 3z从而 grad m m 2 (x i y j z k) 记e r x i y j z k它是与OM同方向的单位向量 则r r 2 r r r r r rgrad m rm2 e r r r 2上式右端在力学上可解释为 位于原点 O 而质量为 m 质点对位于点 M 而质量为 l 的质点的 引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由 点M 指向原点 因此数量场 m 的势场即梯度场 grad m 称为引力场 而函数 m 称为引力势r r r§9 8 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数 z f(x y)在点 (x 0 y 0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于 (x 0 y 0)的 点(xy) 都有 f(x y)<f(x 0 y 0)(或 f(x y)>f(x 0 y 0)) 则称函数在点 (x 0 y 0)有极大值 (或极小值 )f(x 0 y 0) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 例 1 函数 z 3x 2 4y 2在点(0 0)处有极小值当 (x y) (0 0)时 z 0 而当 (x y) (0 0)时 z 0 因此 z 0 是函数的极小值 例 2 函数 zx 2 y 2 在点(0 0)处有极大值当(x y) (0 0)时 z 0 而当 (x y) (0 0)时 z 0 因此 z 0是函数的极大值 例 3 函数 z xy 在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值因为在点 (0 0)处的函数值为零 而在点 (0 0) 的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使 函数值为负的点以上关于二元函数的极值概念 可推广到 n 元函数 设 n 元函数 u f(P)在点 P 0 的某一邻域例 3 求grad22 xy例4 设 f(x y z) x 2 y 2 z 2 求grad f(1 1 2)内有定义如果对于该邻域内任何异于P0 的点P 都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P 0)) 则称函数f(P)在点P0 有极大值(或极小值)f(P0)定理1(必要条件) 设函数z f(x y)在点(x0 y0)具有偏导数且在点(x0 y0)处有极值则有f x(x0 y0) 0 f y(x0 y0) 0从几何上看这时如果曲面z f(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面则切平面z z0 f x(x0 y0)(x x0) f y(x0 y0)(y y0) 成为平行于xOy 坐标面的平面z z0类似地可推得如果三元函数u f (x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为fx(x0 y0 z0) 0 f y(x0 y0 z0) 0 f z(x0 y0 z0) 0仿照一元函数凡是能使f x(x y) 0 f y(x y) 0 同时成立的点(x0 y0)称为函数z f(x y)的驻点从定理 1 可知具有偏导数的函数的极值点必定是驻点但函数的驻点不一定是极值点例如函数z xy 在点(0 0) 处的两个偏导数都是零函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值定理2(充分条件) 设函数z f(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又f x(x0 y0) 0 f y(x0 y0) 0 令f xx(x0 y0) A f xy(x0 y0) B f yy(x0 y0) C 则f (x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下(1) AC B2>0 时具有极值且当A<0 时有极大值当A>0 时有极小值(2) AC B2<0 时没有极值(3) AC B2 0 时可能有极值也可能没有极值在函数f(x y)的驻点处如果f xx f yy f xy2>0 则函数具有极值且当f xx<0 时有极大值当f xx>0 时有极小值极值的求法第一步解方程组f x(x y) 0 f y(x y) 0 求得一切实数解即可得一切驻点第二步对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、 B 和C第三步定出AC B2的符号按定理 2 的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值还是极小值例 4 求函数f(x y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值应注意的问题不是驻点也可能是极值点例如函数z x2y2在点(0 0)处有极大值但(0 0)不是函数的驻点因此在考虑函数的极值问题时除了考虑函数的驻点外如果有偏导数不存在的点那么对这些点也应当考虑最大值和最小值问题如果f(x y)在有界闭区域 D 上连续则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在 D 的内部也可能在 D 的边界上我们假定函数在 D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点这时如果函数在 D 的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此求最大值和最小值的一般方法是将函数f(x y)在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较其中最大的就是最大值最小的就是最小值在通常遇到的实际问题中如果根据问题的性质知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得而函数在 D 内只有一个驻点那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在 D 上的最大值(最小值)例 5 某厂要用铁板做成一个体积为 8m 3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才 能使用料最省从这个例子还可看出 在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小例 6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样 折法才能使断面的面积最大？二、条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值 例如 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的 体积问题 设长方体的三棱的长为 x y z 则体积 V xyz 又因假定表面积为 a 2 所以自变量 x y z 还必须满足附加条件 2(xy yz xz) a 2这个问题就是求函数 V xyz 在条件 2(xy yz xz) a 2 下的最大值问题 这是一个条件极值问题 对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题 例如上述问题 由条件 2(xy yz xz) a 2 解得 z a2 2xy 于是得 V xy (a2 2xy )2(x y) 2 (x y) 只需求 V 的无条件极值问题在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就 是拉格朗日乘数法现在我们来寻求函数 z f(x y)在条件 (x y) 0 下取得极值的必要条件如果函数 z f(x y) 在(x 0 y 0)取得所求的极值 那么有 (x 0 y 0) 0 假定在 (x 0 y 0)的某一邻域内 f(x y)与 (xy) 均有连续的一阶偏导数 而 y (x 0 y 0) 0 由隐函数存在 定理 由方程 (x y) 0 确定一个连续且具有连续导数的函数y (x) 将其代入目标函数 z f (x y)得一元函数 z f [x (x)]于是 x x 0 是一元函数 z f [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有dzx x0 f x (x 0, y 0) f y (x 0, y 0) dy x x0 0 即 f x (x 0, y 0) f y (x 0,y 0)x (x 0,y 0)dx 0dx 0y (x 0,y 0)从而函数 z f(x y)在条件 (x y) 0 下在 (x 0 y 0)取得极值的必要条件是F x (x,y) f x (x,y)F y (x,y) f y (x,y) (x,y) 0f x (x 0,y 0) f y (x 0,y 0) x (x 0, y 0) y (x 0,y 0)0 与 (x 0 y 0) 0 同时成立设 f y (x 0,y 0) y (x 0,y 0) 上述必要条件变为f x (x 0,y 0)f y (x 0,y 0) (x 0, y 0)x (x 0, y 0) y (x 0,y 0) 0 拉格朗日乘数法F(x y) f(x y) (x y) 要找函数 z f(x y)在条件 (x y) 0 下的可能极值点 其中可以先构成辅助函数为某一常数 然后解方程组x (x, y)y (x,y)由这方程组解出x y 及则其中(x y)就是所要求的可能的极值点这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形是极值点在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积解设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件2(xy yz 构成辅助函数F(x y z) xyz (2xy 2yz 2xz a2)F x(x,y,z) yz 2 (y z) 0解方程组F y(x,y,z) xz 2 (x z) 0F z(x,y,z) xy 2 (y x) 02xy 2yz 2xz a2得x y z 66 a这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在所以最大值就在这个可能的值点处取得此时V 366a3至于如何确定所求的点是否xz) a2下求函数V xyz 的最大。
高等数学88多元函数的极值及其求法
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
,
故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy x y
23
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
Q Q(x, y) 10xy 20.2x 30.3y 10x2 5y2
已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位， 产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该 公司的最大利润。 解 利润函数为
L L(x, y) 100Q (20x 30y 1000)
无条件极值： 对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
21
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
8
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
解 令 F (x, y, z, ) x3 y2z (x y z 12) ,
大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
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高等数学三元函数求极值
高等数学中，对于三元函数的求极值问题是一个重要的研究方向，它可以应用于物理、化学、经济等领域的实际问题中。
求解三元函数的极值问题，通常需要使用偏导数的概念和相关的求导法则。
具体地，对于三元函数 $f(x,y,z)$，我们需要求出其在
给定条件下的极值点，即满足 $frac{partial f}{partial x}=0$，$frac{partial f}{partial y}=0$，$frac{partial f}{partial
z}=0$ 的点。
在求解三元函数的极值问题时，需要注意以下几点：
1. 确定函数的定义域。
对于三元函数，其定义域通常是一个三
维空间中的区域，我们需要确定这个区域的边界条件和约束条件。
2. 求解偏导数。
根据求导法则，我们可以得到三元函数的偏导
数公式，通过求解偏导数，可以得到函数在极值点处的导数为零的条件方程组。
3. 求解方程组。
求解偏导数为零的条件方程组，可以得到极值
点的坐标。
4. 判断极值类型。
通过二阶偏导数的符号来判断函数在极值点
处的极值类型，即是极大值还是极小值。
以上是求解三元函数在给定条件下的极值问题的基本思路和流程，需要注意的是，在具体应用中，可能会遇到一些特殊情况，需要根据具体问题进行分析和求解。
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